空間向量的運(yùn)算北師大選修

在射擊時(shí)，為保證準(zhǔn)確命中目標(biāo)，要考慮風(fēng)速、溫度等因素．其中風(fēng)速對(duì)射擊的精準(zhǔn)度影響最大．如某人向正北100m遠(yuǎn)處的目標(biāo)射擊，風(fēng)速為西風(fēng)1m/s.問題1：射手能否直接瞄準(zhǔn)目標(biāo)射擊？

提示：不能．

問題2：射手應(yīng)怎樣瞄準(zhǔn)目標(biāo)？提示：瞄準(zhǔn)方向?yàn)楸逼饕欢ń嵌龋畣栴}3：問題2的原因是什么？提示：在射擊過程中，子彈運(yùn)行的實(shí)際位移是子彈與風(fēng)位移的合成．問題4：空間向量的加法與平面向量類似嗎？提示：類似，滿足平行四邊形法則．相等OC(2)空間向量的減法：a與b的差定義為a＋(－b)，記作

，其中

是b的相反向量．(3)空間向量加減法的運(yùn)算律：①結(jié)合律：(a＋b)＋c＝

．②交換律：a＋b＝

.a－b－ba＋(b＋c)b＋aa為一空間向量．問題1：空間向量a與一個(gè)實(shí)數(shù)λ的乘積為λa，λa是向量嗎？提示：是．問題2：當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0對(duì)嗎？提示：不對(duì)，應(yīng)為0.問題3：若a與λa方向相反，λ的取值范圍是什么？提示：(－∞，0)．空間向量的數(shù)乘(1)定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個(gè)

，記作

.(2)向量λa與a的關(guān)系：向量λ的范圍方向關(guān)系模的關(guān)系λ＞0

方向

λa的模是a的模的

倍λ＝0λa＝

，其方向是λ＜0

方向相同0任意的相反|λ|λa(3)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律：①交換律：λa＝

(λ∈R)；②分配律：λ(a＋b)＝

，(λ＋μ)a＝λa＋μ

a(λ∈R，μ∈R)；③結(jié)合律：(λμ)a＝

(λ∈R，μ∈R)．a(chǎn)λλa＋λbλ(μa)(4)定理：空間兩個(gè)向量a與b(b≠0)共線的充分必要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得

.a＝λb空間向量的數(shù)量積(1)空間兩個(gè)向量a和b的數(shù)量積是一個(gè)

，等于|a||b|cos〈a，b〉，記作

.(2)運(yùn)算律：①交換律：

；②分配律：

；③λ(a·b)＝

(λ∈R)．a(chǎn)·ba·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·c(λa)·b數(shù)a·b＝0同與平面向量類似，空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算有如下特點(diǎn)1．空間向量的加減法滿足平行四邊形和三角形法則，結(jié)果仍是一個(gè)向量．2．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)向量，方向取決于λ的正負(fù)，模為原向量模的|λ|倍．3．兩向量共線，兩向量所在的直線不一定重合，也可能平行．4．空間向量數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．[一點(diǎn)通]

空間向量的線性運(yùn)算即為向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算．在進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意結(jié)合圖形的特點(diǎn)，利用三角形法則、平行四邊形法則及數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律來進(jìn)行化簡、計(jì)算．要特別注意把某些向量平移后轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．答案：A[一點(diǎn)通]

(1)判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a＝λb成立，或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形，通過化簡、計(jì)算得出a＝λb，從而得到a∥b.(2)共線向量定理還可用來判定兩直線平行、證明三點(diǎn)共線．在證明兩直線平行時(shí)，先取兩直線的方向向量，通過證明此兩向量共線來判定兩直線平行．當(dāng)兩共線的有向線段有公共點(diǎn)時(shí)，兩直線即為同一直線，即此時(shí)三點(diǎn)共線．答案：B[例3]

(12分)已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC.7．若|a|＝|b|＝4，a·b＝3，則cos〈a，b〉＝________.1．在運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則化簡向量表達(dá)式時(shí)，要結(jié)合空間圖形，觀察分析各向量在圖形中的表示，然后運(yùn)用運(yùn)算法則，把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決，并要化簡到