2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：專題15 圓錐曲線中的求值與證明問題（原卷）

專題15圓錐曲線中的求值與證明問題一、求值問題1．已知橢圓E:x2a2+y2(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，D為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若E上存在點(diǎn)C，使得OC+2OD=2．已知A,B是橢圓C上的兩點(diǎn)，A2,1,A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，M是橢圓C上異于A,B的一點(diǎn)，直線MA和MB的斜率滿足(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率存在且不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于橢圓C的上、下頂點(diǎn)），當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求kOP3．設(shè)拋物線C：y2=2pxp>0，直線x?2y+1=0與C交于A，B(1)求p；(2)若在x軸上存在定點(diǎn)M，使得MA?MB=04．已知橢圓C1:x(1)求C的方程；(2)過F的直線交C于P,Q，交直線x=22于點(diǎn)N，記OP,OQ,ON的斜率分別為k1,k25．設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)，直線x?2y+1=0與C交于A，B(1)求p；(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，MF?NF=06．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=1?cos2φ1+cos2φy=tanφ（φ(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求OA?7．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為(1)求△PF(2)斜率為?2的直線與圓x2+y2=3相切于第一象限，交橢圓于8．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F(1)求E的方程；(2)不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn)（A,B異于橢圓E的頂點(diǎn)），直線AA1,BA2與y軸的交點(diǎn)分別為M,N9．已知圓O1：x+12+y2=14，圓O2(1)求圓心M的軌跡C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三點(diǎn)，且直線AB不與x軸垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OQ=λOA+μOB，則當(dāng)10．已知點(diǎn)?2,0在橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，點(diǎn)Mm,12m≠0在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM(1)求橢圓C的方程；(2)記S△BME，S△AMF分別為△BME，△AMF的面積，若S△AMF11．已知拋物線E：x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，拋物線E上一點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為5，O(1)求拋物線E的方程；(2)拋物線上有一條長為6的動弦長為6的動弦AB，當(dāng)AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求弦AB所在直線方程．12．橢圓C:x2a2+(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)12,0且斜率不為0的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為A，求直線AM與直線13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓x2a2+y(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為E、F，過點(diǎn)D(?2,2)作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且A、B位于第一象限，A在線段BD上，直線OD與直線FA相交于點(diǎn)C，連接EB、EC，直線EB、EC的斜率分別記為k1、k2，求14．已知直線l1⊥x軸，垂足為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)E，點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為F，且EF=4，直線l1⊥l2，垂足為A，線段AF的垂直平分線與直線l(1)求曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)P2,4，不過點(diǎn)P的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，若ΔQMN的面積是64215．已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OA?PB+16．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為(1)求雙曲線C的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，D為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線AD,BD與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x17．圓(x+3)2+y2=16，圓心為A，點(diǎn)B3,0(1)求N的軌跡C的方程；(2)設(shè)P為曲線C上任意一點(diǎn)，直線PA,PB分別交曲線C于Q,R兩點(diǎn)，PA=λAQ,18．已知A?2,0，B2,0，對于平面內(nèi)一動點(diǎn)Px,yx≠±(1)求點(diǎn)Р的軌跡C的方程；(2)當(dāng)x>2時(shí)，直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)Q，R，與直線y=x交于點(diǎn)S，與直線y=?x交于點(diǎn)T，若TQ=QR=19．已知拋物線M:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)2,0的直線與拋物線M交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1)設(shè)P為拋物線M上的動點(diǎn)，求OPFP(2)記△AOB的面積為S1,△BOF的面積為S220．已知雙曲線M:x2?y23=1，在雙曲線M的右支上存在不同于點(diǎn)A(2,3)的兩點(diǎn)P，Q，記直線AP,AQ,PQ的斜率分別為k(1)求k的取值范圍；(2)若△OPQ的面積為6（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線PQ的方程．二、證明問題21．設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,?2.已知點(diǎn)P是拋物線C上的動點(diǎn)，(1)求拋物線C的方程：(2)若直線PA與C交于另一點(diǎn)Q，經(jīng)過點(diǎn)B3,?6和點(diǎn)Q的直線與C交于另一點(diǎn)T，證明：直線PT22．如圖，已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A為

(1)求橢圓C1(2)若橢圓C2的長軸端點(diǎn)為F1,F2，且C2與C1的離心率相等，P為AB與C2異于F123．已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P為橢圓C上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.24．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率是22，上、下頂點(diǎn)分別為(1)求E的方程；(2)直線l與圓O相切且與E相交于M，N兩點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn).25．已知動圓M恒過定點(diǎn)F0,18，圓心M到直線y=?(1)求M點(diǎn)的軌跡C的方程；(2)過直線y=x?1上的動點(diǎn)Q作C的兩條切線l1,l2，切點(diǎn)分別為26．已知雙曲線C:x2a2?y2

(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)A的兩條直線AP，AQ分別與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)（不與A點(diǎn)重合），且兩條直線的斜率k1，k2滿足k1+k2=1，直線PQ與直線x=2，y27．已知橢圓C1:x2a2+y2(1)求實(shí)數(shù)a和b的值；(2)若梯形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓C1上，AB//CD，CD=2AB，直線BC與直線AD相交于點(diǎn)P．且點(diǎn)P在橢圓C28．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為(1)求C方程；(2)已知點(diǎn)M、N均在直線x=2上，以MN為直徑的圓經(jīng)過O點(diǎn)，圓心為點(diǎn)T，直線AM、AN分別交橢圓C于另一點(diǎn)P、Q，證明直線PQ與直線OT垂直．29．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A(1)求C的方程；(2)C的弦DE過F1，直線AE，AD分別交直線x=?4于M，N兩點(diǎn)，P是線段MN的中點(diǎn)，證明：以PD30．已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F與橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：31．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓F1：x+22+y2=4，F(xiàn)22,0，P是圓F1上的一個(gè)動點(diǎn)，線段PF2(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)F2作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)H，求證：AB32．已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)P4,1的動直線l與橢圓C相交于不同的A,B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足AP?QB33．如圖，橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B，Q?a,a，N為橢圓上的動點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，線段QN與橢圓E交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)N），直線OQ與直線BM交于點(diǎn)P，O

(1)求橢圓E的方程．(2)設(shè)直線AN,AP的斜率分別為k1,k34．已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)AB平行于y(1)求拋物線C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的垂線交直線AO于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點(diǎn)為E,AE的中點(diǎn)為G，證明：G,B,D三點(diǎn)共線.35．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)F(1,0)，定直線l:x=4，動點(diǎn)P在l上的射影為Q，且滿足|PQ|=2|PF|.(1)記點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為E，求E的方程；(2)過點(diǎn)F作斜率不為0的直線與E交于M,N兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)為H，記直線MH和直線NH的斜率分別為k1,k36．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的離心率是3，實(shí)軸長是2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)點(diǎn)Px0,y0為雙曲線C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)(1)當(dāng)l的方程為x0xa(2)設(shè)MP=λPN，求證：37．已知點(diǎn)P4,3為雙曲線E:x2a2?y(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過點(diǎn)P的直線y=kx+t與雙曲線E交于A,B兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線y=kx+t過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).38．已知R是圓M：x+32+y2=8上的動點(diǎn)，點(diǎn)N3,0，直線NR與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為S，點(diǎn)L在直線(1)求曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)P?2,0的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B都在x軸上方，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得△QAB39．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)F1?1,0，F(xiàn)21,0，圓O