2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：專題17 古典概型與統(tǒng)計（解析）

專題17統(tǒng)計與古典概型1．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP.某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取4000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時長，繪制如圖所示的頻率分布直方圖（每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時長均分布在0,14）.

(1)求實數(shù)a的值，并求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時長（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；(2)宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從8,10和10,12組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會，現(xiàn)從參加座談會的5人中隨機(jī)抽取2人發(fā)言，求10,12組中恰好有1人發(fā)言的概率.【答案】(1)0.075，6.8(2)30人，20人；3【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)即利用各組頻率之和為1即可求得a的值；根據(jù)平均數(shù)的計算方法即可求得平均時長；（2）根據(jù)分層抽樣即按比例抽樣即可求得兩組各抽取多少人，繼而求得從參加座談會的5人中隨機(jī)抽取2人各組抽取的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得(0.025+0.050+0.125+0.150+a+0.050+0.025)×2=1，解得a=0.075；根據(jù)頻率分布直方圖可得所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時長為：0.05×1+0.1×3+0.25×5+0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13=6.8.（2）由題意得8,10組的人數(shù)為4000×0.15=600，10,12組的人數(shù)為4000×0.1=400，這兩組的人數(shù)之比為600:400=3:2，故8,10組抽取的人數(shù)為35×50=30；10,12組抽取的人數(shù)為利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會，則8,10組抽取的人數(shù)為35×5=3；10,12組抽取的人數(shù)為從參加座談會的5人中隨機(jī)抽取2人發(fā)言，共有C510,12組中恰好有1人發(fā)言的抽取方法有C2故10,12組中恰好有1人發(fā)言的概率為P=62．某學(xué)校參加全國數(shù)學(xué)競賽初賽（滿分100分）．該學(xué)校從全體參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的初賽成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖給出的數(shù)據(jù)估計此次初賽成績的中位數(shù)和平均分?jǐn)?shù)；(2)從抽取的成績在90~100的學(xué)生中抽取3人組成特訓(xùn)組，求學(xué)生A被選的概率．【答案】(1)中位數(shù)67.5分，平均數(shù)67.75分(2)0.6【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)和平均數(shù)的求法計算即可；（2）利用列舉法結(jié)合古典概型即可得解.【詳解】（1）因為10×0.0075+0.02=0.275，所以中位數(shù)位于區(qū)間60,70，設(shè)中位數(shù)為x，則10×0.0075+0.02+10x?60即中位數(shù)為67.5分，平均分為10×0.0075×45+0.02×55+0.03×65+0.025×75+0.015×85+0.0025×95（2）成績在90~100的學(xué)生有200×10×0.0025=5人，設(shè)為A,b,c,d,e，從這5人中抽取3人，有A,b,c,b,d,e,c,d,e共其中學(xué)生A被選有A,b,c,A,b,d,所以學(xué)生A被選的概率為6103．某重點大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時間，隨機(jī)抽取了100名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時間（單位：h）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時間1,33,55,77,99,11人數(shù)510254020(1)估計這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)；(2)根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時間在7,9和9,11，這兩組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在7,9的概率．【答案】(1)7.5(2)2【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表估計中位數(shù)的方法直接求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定從7,9和9,11兩組中抽取的人數(shù)，采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）∵5+10+25=40，5+10+25+40=80，∴這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)位于7,9之間，則中位數(shù)為7+10（2）由題意知：從課余學(xué)習(xí)時間在7,9這一組抽取6×4060=4人，分別記為a1,a2從這6人中隨機(jī)抽取2人，所有的基本事件為：a1,a2,其中“抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在7,9”包含的基本事件為：a1,a∴抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在7,9的概率p=64．2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段圓滿完成．并將進(jìn)入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文學(xué)的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，這m人按年齡分成5組，其中第一組：20,25，第二組：25,30，第三組：30,35，第四組：35,40，第五組：40,45，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人的第80百分位數(shù)（中位數(shù)=第50百分位數(shù)）；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．①若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和52，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計這m人中35～45【答案】(1)37.5(2)①35；②年齡的平均數(shù)為38，方差約為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可確定第80百分位數(shù)第四組，根據(jù)第80百分位數(shù)定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）①根據(jù)分層抽樣原則可求得第四組和第五組抽取的人數(shù)，采用列舉法可得樣本點總數(shù)和滿足題意的樣本點個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果；②由z=i=14【詳解】（1）設(shè)第80百分位數(shù)為a，∵0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7<0.8，0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9>0.8，∴a位于第四組：35,40內(nèi)；方法一：由5×0.02+40?a×0.04=0.2得：方法二：由0.7+a?35×0.04=0.8得：（2）①由題意得，第四組應(yīng)抽取0.04×5×20=4人，記為A，B，C，甲；第五組抽取0.02×5×20=2人，記為D，乙，對應(yīng)的樣本空間為：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲，CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15個樣本點．設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9個樣本點．∴PM②設(shè)第四組的宣傳使者的年齡分別為x1,x2,設(shè)第五組的宣傳使者的年齡分別為y1，y2，平均數(shù)分別為y=42則x=14i=14xi可得i=14xi=4x，i=1設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為z，方差為s2則z=即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為38，則s=1即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10；據(jù)此估計這m人中年齡在35～45歲的所有人的年齡的平均數(shù)為38，方差約為10．5．某公司有甲、乙兩支研發(fā)團(tuán)隊，現(xiàn)在要考察兩支團(tuán)隊的研發(fā)水平，隨機(jī)抽取兩個團(tuán)隊往年研發(fā)新品的成果如下：A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B，A,B(1)若某團(tuán)隊成功研發(fā)一種新品，則給該團(tuán)隊記1分，否則記0分.試求兩隊研發(fā)新品的成績的平均數(shù)和方差，并比較兩團(tuán)隊的研發(fā)水平；(2)若公司安排兩團(tuán)隊各自研發(fā)一種新品，試估計恰有一隊研發(fā)成功的概率.【答案】(1)平均數(shù)x甲=23，x乙(2)7【分析】（1）用平均數(shù)與方差公式計算，并比較可得結(jié)果；（2）由古典概型可求概率.【詳解】（1）甲團(tuán)隊研發(fā)新產(chǎn)品的成績?nèi)缦拢?，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1；乙團(tuán)隊研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)椋?，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1.x甲=10s甲s乙x甲>x可以看出甲團(tuán)隊的研發(fā)水平優(yōu)于乙團(tuán)隊.（2）記恰有一隊研發(fā)成功的概率為P所抽的15個結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功包括A,B，A,B，A,B，A,B，A,B∴P=76．我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表，統(tǒng)計知，有600名學(xué)生選擇物理科，400名學(xué)生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學(xué)生中隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計表（下表）：分?jǐn)?shù)段物理人數(shù)歷史人數(shù)40,500250,601460,703470,806580,906390,10042

(1)利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，并求出選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)（如圖）；(2)從數(shù)學(xué)成績低于80分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取5個成績，再從這5個成績中抽2個成績，求至少有一個選擇物理科學(xué)生的概率.【答案】(1)答案見解析，79.5(2)7【分析】（1）從統(tǒng)計表看出選擇理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績高于選擇文科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績,反映了數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇文理科有一定的影響，然后根據(jù)數(shù)據(jù)繪制出直方圖即可；（2）按照分層抽樣的方法確定選擇物理學(xué)科的數(shù)學(xué)成績和選擇歷史學(xué)科的數(shù)學(xué)成績各有多少，從中抽2個成績，列舉出所有的基本事件，進(jìn)而根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知，隨著數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)的提升，選擇物理方向?qū)W生的占比有明顯的提升，所以數(shù)學(xué)成績越好，其選擇物理科方向的概率越大.頻率分布直方圖如下：

選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為x=55×0.05+65×0.15+75×0.3+85×0.3+95×0.2=79.5（2）由題可知，數(shù)學(xué)成績低于80分的選擇物理學(xué)科的成績有10個，選擇歷史學(xué)科的成績有15個，一共有25個，則按照分層抽樣的方法在選擇物理學(xué)科的數(shù)學(xué)成績應(yīng)抽取10×5在選擇歷史學(xué)科的數(shù)學(xué)成績應(yīng)抽取15×5基本事件列舉如下：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ab，ac，bc.所以，一共有10個基本事件，滿足條件的有7個：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，所以至少有一個選擇物理科學(xué)生的概率為P=77．今年是中國共青團(tuán)建團(tuán)100周年，我校組織了1000名高中同學(xué)進(jìn)行團(tuán)的知識競賽.成績分成6組：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績落在40,50∪

(1)求出直方圖中a，b，c的值；(2)估計中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(3)在區(qū)間80,100內(nèi)的學(xué)生中通過分層抽樣抽取了5人，現(xiàn)從5人中再隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行現(xiàn)場知識答辯，求抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間90,100內(nèi)的事件概率.【答案】(1)a=0.01,b=0.015,c=0.02,(2)平均數(shù)為70.5，中位數(shù)為71.7.(3)3【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1、a,b,c成等差數(shù)列以及成績落在40,50∪70,80內(nèi)的人數(shù)為400可得關(guān)于（2）利用組中值可求均值，利用公式可求中位數(shù).（3）根據(jù)頻率之比可得抽取人數(shù)之比，再用列舉法求出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中的基本事件的個數(shù)，故可求對應(yīng)的概率.【詳解】（1）因為a,b,c為等差數(shù)列，故2b=a+c，又2a+2b+c+0.03×10=1，故2a+2b+c=0.07因為成績落在40,50∪70,80內(nèi)的人數(shù)為400，故故a=0.01，故b=0.015,c=0.02.（2）由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為：45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5，前3組的頻率之和為0.1+0.15+0.2=0.45，前4組的頻率之和為0.1+0.15+0.2+0.3=0.75，故中位數(shù)在區(qū)間70,80中，設(shè)該數(shù)為x，則x?7010故x=70+5（3）區(qū)間80,90、90,100上的頻率之比為0.15:0.1=3:2，故5人中在分?jǐn)?shù)在80,90內(nèi)的人數(shù)為3人，記為a,b,c，分?jǐn)?shù)在90,100內(nèi)的人數(shù)為2人，記為A,B，從5人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行現(xiàn)場知識答辯，共有10種取法：a,A,b,A,設(shè)C為“兩人中恰好有1人得分在區(qū)間90,100內(nèi)”，則C中的基本事件為：a,A,故PA8．今年是中國共青團(tuán)建團(tuán)100周年，我校組織了1000名高中同學(xué)進(jìn)行團(tuán)的知識競賽.成績分成5組：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間60,70內(nèi)的人數(shù)為400.(1)求出直方圖中a，b，c的值；(2)估計中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(3)在區(qū)間80,100內(nèi)的學(xué)生中通過分層抽樣抽取了5人，現(xiàn)從5人中再隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行現(xiàn)場知識答辯，求抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間90,100內(nèi)的事件概率.【答案】(1)a=0.04，b=0.03，c=0.02；(2)中位數(shù)為71.7，平均數(shù)為73；(3)2【分析】（1）先由在區(qū)間60,70內(nèi)的人數(shù)求出a值，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，求出b,c的值；（2）設(shè)中位數(shù)為x，根據(jù)中位數(shù)左側(cè)直方圖的面積為0.5求解中位數(shù)，利用平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘上小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和求解平均數(shù)；（3）先利用分層抽樣求出抽取的5人中4人來自區(qū)間80,90，1人來自區(qū)間90,100，再利用古典概型求出抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間90,100內(nèi)的概率.【詳解】（1）由已知可得a=400÷1000÷10=0.04，則0.005+0.04+b+c+0.005×10=1，即b+c=0.05又∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=0.04+c,解得c=0.02，b=0.03，（2）∵0.005+0.04×10=0.45<0.5，0.005+0.04+0.03∴設(shè)中位數(shù)為x，且x∈70,80∴0.005+0.04×10+x?70×0.03=0.5即中位數(shù)為71.7，平均數(shù)為55×0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005×10=73（3）成績位于區(qū)間80,90內(nèi)的學(xué)生有0.02×10×1000=200人，成績位于區(qū)間90,100內(nèi)的學(xué)生有0.005×10×1000=50人，通過分層抽樣抽取了5人中來自區(qū)間80,90的人數(shù)為5×200200+50=4人，來自區(qū)間90,100抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間90,100內(nèi)的概率為P=C9．全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重舉行.為做好考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在[70,80),[80,90),[90,100]的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都不在[70,80)的概率.【答案】(1)m=0.012；68(2)6【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1求出參數(shù)m的值，再根據(jù)中位數(shù)計算規(guī)則計算可得；（2）首先求出各組抽取的人數(shù)，將這11人按所在的組編號分別為：A1,A2,【詳解】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，(0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004)×10=1，解得m=0.012，設(shè)中位數(shù)為a，因為0.004+0.022×10=0.26<0.5，0.004+0.022+0.030所以a∈60,70∴0.004×10+0.022×10+a?60×0.03=0.5解得（2）∵70,80,?80,90∴從70,80,?80,90,?90,?100中分別抽取11×7將這11人按所在的組編號分別為：A1,A2,從中任取2人，所有的取法有A1,A其中2人成績都不在[70,80)的取法有：B1,B所以這2人成績都不在[70,80)的概率P=610．清明期間，某校為緬懷革命先烈，要求學(xué)生通過前往革命烈士紀(jì)念館或者線上網(wǎng)絡(luò)的方式參與“清明祭英烈”活動，學(xué)生只能選擇一種方式參加.已知該中學(xué)初一、初二、初三3個年級的學(xué)生人數(shù)之比為4:5:6，為了解學(xué)生參與“清明祭英烈”活動的方式，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù).年級人數(shù)方式初一年級初二年級初三年級前往革命烈士紀(jì)念館2a-1810線上網(wǎng)絡(luò)ab2(1)求a，b的值；(2)從該校各年級被調(diào)查且選擇線上網(wǎng)絡(luò)方式參與“清明祭英烈”活動的學(xué)生人任選兩人，求這兩人是同一個年級的概率.【答案】(1)a=3，b=2(2)5【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的原理，按比例計算出a，b；（2）根據(jù)條件，求出任取2人的結(jié)果數(shù)和任取2人是同一個年級的結(jié)果數(shù)，再求出概率即可.【詳解】（1）由題可知，4:5:6=3a?1:b+8:12，解得（2）由（1）知，選擇網(wǎng)絡(luò)方式的，初一有3人（分別記為a1初二和初三都是2人（分別記為b1,b任取2人有a1a2b1同一個年級的有a1故2人是同一年級的概率為P=511．已知1個不透明的袋子中裝有6個白球和4個黃球（這些球除顏色外無其他差異）．甲從袋中摸出1球，若摸出的是白球，則除將摸出的白球放回袋子中外，再將袋子中的1個黃球拿出，放入1個白球；若摸出的是黃球，則除將摸出的黃球放回袋子中外，再將袋子中的1個白球拿出，放入1個黃球．再充分?jǐn)嚢杈鶆蚝?，進(jìn)行第二次摸球，依此類推，直到袋中全部是同一種顏色的球，已知甲進(jìn)行了4次摸球，記袋子中白球的個數(shù)為X．(1)求袋子中球的顏色只有一種的概率；(2)求X的分布列和期望．【答案】(1)189(2)分布列見解析，4421【分析】（1）根據(jù)袋子中有6個白球和4個黃球，摸4次只剩一種顏色，則只會剩下白球求解；（2）由X的所有可能取值為2，4，6，8，10，分別求得其概率，然后列出分布列求解.【詳解】（1）解：分別記第i次摸到白球和黃球為事件Ai記“4次摸球后，袋子中球的顏色只有一種”為事件D，則P(D)=PA（2）X的所有可能取值為2，4，6，8，10．P(X=2)=PBP(X=4)=P×5P(X=8)=P610P(X=10)=PAP(X=6)=1?P(X=10)?P(X=2)?P(X=4)?P(X=8)=131故X的分布列為X246810P211913163189故E(X)=2×2112．在數(shù)學(xué)探究實驗課上,小明設(shè)計了如下實驗:在一個盒子中裝有藍(lán)球、紅球、黑球等多種不同顏色的小球,一共有偶數(shù)個小球,現(xiàn)在從盒子中一次摸一個球,不放回．(1)若盒子中有6個球,從中任意摸兩次,摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率為35①求紅球的個數(shù);②從盒子中任意摸兩次球,記摸出的紅球個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)已知盒子中有一半是紅球,若“從盒子中任意摸兩次球,至少有一個紅球”的概率不大于1114【答案】(1)①紅球的個數(shù)為3;②分布列見解析;數(shù)學(xué)期望為1(2)最小值為8【分析】(1)設(shè)出紅球的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率公式列出等式,即可解出紅球的個數(shù);根據(jù)紅球的個數(shù)寫出X的所有可能取值,分別求出概率,列出分布列即可;(2)設(shè)出球的個數(shù),求出從盒子中任意摸兩次球,都不是紅球的概率,進(jìn)而求得至少有一個紅球的概率,使其小于等于1114【詳解】（1）①設(shè)紅球的個數(shù)為nn≥1,則摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率P=解得n=3,所以紅球的個數(shù)為3;②X的所有可能取值為0,1,2,則PX=0=C32故隨機(jī)變量X的分布列為X012P131所以EX（2）設(shè)球的總個數(shù)為2m,則紅球的個數(shù)為m,則從盒子中任意摸兩次球,都不是紅球的概率:P=C所以至少有一個紅球的概率P=1?m解得m≥4,所以盒子中球的總個數(shù)的最小值為8．13．某班在一次班會課上推出了一項趣味活動：在一個箱子里放有4個完全相同的小球，小球上分別標(biāo)注有1、2、3、4號碼.參加活動的學(xué)生有放回地摸兩次球，每次摸1個，并分別記錄下球的號碼數(shù)字x，y.獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵筆記本1本；②若xy≥8，則獎勵水杯1個；③其余情況獎勵飲料1瓶.(1)求小王獲得筆記本的概率；(2)試分析小王獲得水杯與獲得飲料，哪一個概率大?【答案】(1)5(2)獲得水杯的概率大【分析】（1）采用列舉的方法，得到x,y的所有基本事件的個數(shù)，以及滿足xy≤3的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率公式，即可求解；（2）同樣采用列舉的方法，求小王獲得水杯和獲得飲料的概率，再比較大小，即可判斷.【詳解】（1）小王兩次摸球，x,y的情況包含（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16種情況，其中滿足xy≤3的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共有5種情況，所以小王獲得筆記本的概率P=（2）滿足xy≥8的基本事件包含（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6個基本事件，所有小王獲得水杯的概率P=6小王獲得飲料的概率P=1?5因為3814．2022年2月4日，第24屆北京冬奧會在國家體育館隆重開幕，本屆冬奧會吸引了全球91個國家和地區(qū)的2892名冰雪健兒前來參賽.各國冰雪運動健兒在“一起向未來”的愿景中，共同詮釋“更快、更高、更強(qiáng)、更團(tuán)結(jié)”的奧林匹克新格言，創(chuàng)造了一項又一項優(yōu)異成績，中國隊9金4銀2銅收官，位列金牌榜第三，金牌數(shù)和獎牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高.中國健兒在賽場上努力拼搏，激發(fā)了全國人民參與冰雪運動的熱情，憨態(tài)可掬的外貌加上富有超能量的冰晶外殼的吉祥物“冰墩墩”備受大家喜愛.某商場舉行“玩摸球游戲，領(lǐng)奧運禮品”的促銷活動，活動規(guī)定：顧客在該商場一次性消費滿300元以上即可參加摸球游戲.摸球游戲規(guī)則如下：在一個不透明的袋子中裝有10個大小相同、四種不同顏色的小球，其中白色、紅色、藍(lán)色、綠色小球分別有1個、2個、3個、4個，每個小球上都標(biāo)有數(shù)字代表其分值，白色小球上標(biāo)30、紅色小球上標(biāo)20、藍(lán)色小球上標(biāo)10、綠色小球上標(biāo)5.摸球時一次只能摸一個，摸后不放回.若第一次摸到藍(lán)色或綠色小球，游戲結(jié)束，不能領(lǐng)取奧運禮品；若第1次摸到白色小球或紅色小球，可再摸2次.若摸到球的總分不低于袋子中剩下球的總分，則可免費領(lǐng)取奧運禮品.(1)求參加摸球游戲的顧客甲能免費領(lǐng)取奧運禮品的概率；(2)已知顧客乙在第一次摸球中摸到紅色小球，設(shè)其摸球所得總分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)124(2)分布列見解析，3809【分析】（1）分甲第一次摸到白球或者紅球兩種情況討論，利用互斥事件的概率和古典概型的概率公式求解；（2）由條件可知X=70，60，55，50，45，40，35，30，再求出對應(yīng)的概率即得解.【詳解】（1）解：因所有小球的總分為120分，若甲第1次摸到白球，再摸兩個球的顏色若都是紅色，或者一紅一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運禮品，其概率為1×2×1+2×3+3×2若甲第1次摸到紅球，再摸2個球的顏色若是一白一紅，一白一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運禮品，其概率為2×1×1×2+1×3×2所以顧客甲能免費領(lǐng)取奧運禮品的概率為7360（2）解：由條件可知X=70，60，55，50，45，40，35，30，PX=70=1×1×2PX=55=1×4×2PX=45=1×4×2PX=35=3×4×2于是X的分布列為：X7060555045403530P11111111其數(shù)學(xué)期望為E(X)=70×136+60×15．春節(jié)是中國民間最隆重盛大的傳統(tǒng)節(jié)日，春節(jié)歷史悠久，在傳承發(fā)展中已形成了一些較為固定的習(xí)俗，有許多還相傳至今，如買年貨、貼對聯(lián)、吃年夜飯、拜年、放鞭炮、逛廟會、賞花燈等．在春節(jié)期間，全國各地均舉行各種賀歲活動，各地因地域文化不同而又存在著習(xí)俗內(nèi)容或細(xì)節(jié)上的差異，帶有濃郁的各民族特色．在某地的一個廟會上，一個商戶為了吸引客人，舉行摸獎游戲．在一個口袋內(nèi)裝有形狀大小相同的5個小球，其中，3個紅球、1個黑球、1個黃球；若中獎就送價值10元的一件禮品，若不中獎，就在商戶這里買一件價值不低于20元的商品．（1）若從中一次性摸出2個球，摸出黃球就中獎，求某個客人能領(lǐng)到一件禮品的概率；（2）商戶約定：從口袋中連續(xù)取兩次球，每次取一球后放回，若取出的兩個球中沒有紅球，則商戶可以讓客人免費拿一件價值50元的商品，否則，客人就得買一件價值100元的商品，某客人想試一試，問這位客人免費拿一件價值50元的商品的可能性會超過20%嗎？【答案】（1）25【分析】(1)設(shè)3個紅球的編號為1，2，3，黑球為a，黃球為b，寫出一次性摸出2個球的所有可能，結(jié)合古典概型的概率公式即可求解.(2)寫出從袋中連續(xù)取兩次球，每次取一球后放回，則所包含的基本事件，結(jié)合古典概型概率公式，從而可求出取出的兩個球中沒有紅球，即可判斷.【詳解】設(shè)3個紅球的編號為1，2，3，黑球為a，黃球為b，（1）從袋中一次性摸出2個球，所包含的基本事件有：1,2，1,3，2,3，1,a，2,a，3,a，1,b，2,b，3,b，a,b共10個基本事件，有黃球的基本事件有：1,b，2,b，3,b，a,b共4個基本事件；所以，某個客人能領(lǐng)到一件禮品的概率為P=4（2）從袋中連續(xù)取兩次球，每次取一球后放回，則所包含的基本事件有：1,1，1,2，1,3，1,a，1,b，2,1，2,2，2,3，2,a，2,b，3,1，3,2，3,3，3,a，3,b，a,1，a,2，a,3，a,a，a,b，b,1，b,2，b,3，b,a，b,b共25個基本事件；取出的兩個球中沒有紅球的基本事件有a,a，a,b，b,a，b,b共四個基本事件；所以客人能免費拿一件價值50元的商品的概率為P=4因此，這位客人免費拿一件價值50元的商品的可能性不會超過200【點睛】關(guān)鍵點睛:本題的做題關(guān)鍵是對球進(jìn)行編號標(biāo)記，列舉所有的基本事件，結(jié)合古典概型概率公式進(jìn)行概率的求解.16．2023年3月中旬，我國很多地區(qū)出現(xiàn)倒春寒現(xiàn)象，突然大幅降溫，河南下起了暴雪.研究表明，溫度的突然變化會引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化．某數(shù)學(xué)建模興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒學(xué)生人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，查閱了這六天中每天去校醫(yī)新增患感冒而就診的學(xué)生人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下表：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（℃）47891412新增就診人數(shù)y（位）yyyyyy參考數(shù)據(jù)：i=16(1)已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有6位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學(xué)生中隨機(jī)抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為56，求y(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程y=bx+附：b=【答案】(1)10；(2)約為35人.【分析】（1）利用對立事件及古典概率列式求出y1（2）利用數(shù)表及給定的和求出x,【詳解】（1）依題意，1?C63即y1y1所以y1（2）由數(shù)表知，i=16xi=54，即于是b=又i=16yi因此a=y?當(dāng)x=16時，y=41所以可以估計，晝夜溫差為16°17．猜燈迷是我國一種民俗娛樂活動，某社區(qū)在元宵節(jié)當(dāng)天舉行了猜燈謎活動，工作人員給每位答題人提供了5道燈謎題目，答題人從中隨機(jī)選取2道燈迷題目作答，若2道燈謎題目全答對，答題人便可獲得獎品.(1)若甲只能答對工作人員所提供的5道題中的2道，求甲能獲得類品的概率；(2)若甲不能獲得獎品的概率為710【答案】(1)1(2)3【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計算即可；（2）根據(jù)對立事件概率和為1，由甲不能獲得獎品的概率求出甲能獲得獎品的概率，再求出答對的題目數(shù)量.【詳解】（1）設(shè)工作人員提供的5道燈謎題目為a，b，c，x，y，甲能答對的題目為x，y.從這5道題目中隨機(jī)選取2道，總的事件有ab，ac，ax，ay，bc，bx，by，cx，cy，xy，共10種情況，甲2道題目全答對的事件有xy這1種情況，故甲能獲得獎品的概率為110（2）因為甲不能獲得獎品的概率為710，所以甲能獲得獎品的概率為1?設(shè)甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量為n，由（1）可知，n≥3.若n=3，不妨設(shè)甲能答對的題目為a，b，c，則甲2道題目全答對的事件有ab，ac，bc，共3種情況，甲能獲得獎品的概率為310故甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量為3.18．為提高核酸檢測效率，某醫(yī)學(xué)實驗室現(xiàn)準(zhǔn)備采用某種檢測新冠肺炎病毒核酸的新型技術(shù)進(jìn)行新一輪大規(guī)模核酸篩查.經(jīng)過初步統(tǒng)計分析得出該項技術(shù)的錯檢率約為0.04，漏檢率約為0.01.（錯檢率指在檢測出陽性的情況下未感染的概率，漏檢率指在感染的情況下檢測出陰性的概率）(1)當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，求預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)；(2)為節(jié)約成本，實驗室在該技術(shù)的基礎(chǔ)上采用“混采”的方式對個別疫區(qū)進(jìn)行核酸檢測，即將n個人的樣本裝進(jìn)一根試管內(nèi)送檢；若某組檢測出核酸陽性，則對這n個人分別進(jìn)行單人單試管核酸采樣.現(xiàn)對兩個疫區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測，A疫區(qū)共有10000名居民，采用n=10的混采策略；B疫區(qū)共有20000名居民，采用n=20的混采策略.已知兩個疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通過計算比較A、B兩個疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：0.986710≈0.8747【答案】(1)4；(2)A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量比B疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量少.【分析】（1）利用錯檢率計算得解；（2）先求出整個A疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值E(X)和整個B疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值E(Y)，再作差比較大小即得解.【詳解】（1）解：當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)為100×0.04=4.（2）解：先計算A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.設(shè)A疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為P(0<P<0.00032)，采用n=10的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為1和11，對應(yīng)的概率分別為(1?P)10和1?(1?P)1010000名居民分成1000個小組，所以整個A疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值E(X)為11000?10000(1?P)再計算B疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.設(shè)B疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為P，采用n=20的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為1和21，對應(yīng)的概率分別為(1?P)20和1?(1?P)2020000名居民分成1000個小組，所以整個B疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值E(Y)為21000?20000(1?P)E(X)?E(Y)=?10000?10000(1?P)10因為0<P<0.00032，所以2(1?P)10+1>0所以E(X)?E(Y)<0，所以A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量比B疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量少.19．某職業(yè)培訓(xùn)學(xué)?，F(xiàn)有六個專業(yè)，往年每年各專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率（直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)與招生人數(shù)的比值）統(tǒng)計如下表：專業(yè)機(jī)電維修藝術(shù)舞蹈汽車美容餐飲電腦技術(shù)美容美發(fā)招生人數(shù)100100300200800500就業(yè)率100%70%90%80%50%80%（Ⅰ）從該校往年的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該生是“餐飲”專業(yè)且直接就業(yè)的概率；（Ⅱ）為適應(yīng)人才市場的需求，該校決定明年將“電腦技術(shù)”專業(yè)的招生人數(shù)減少m0<m≤400，將“機(jī)電維修”專業(yè)的招生人數(shù)增加m3，假設(shè)“電腦技術(shù)”專業(yè)的直接就業(yè)人數(shù)不變，“機(jī)電維修”專業(yè)的就業(yè)率不變，其他專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率都不變，要使招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率比往年提高5個百分點，求m【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）m=120．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意求得往年每年的招生人數(shù)為2000，進(jìn)而求得“餐飲”專業(yè)直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解；（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，求得往年全校整體的就業(yè)率，根據(jù)招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率，列出方程，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，該校往年每年的招生人數(shù)為100+100+300+200+800+500=2000，“餐飲”專業(yè)直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)為200×0．8=160，所以所求的概率為1602000（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，可得往年各專業(yè)直接就業(yè)的人數(shù)分別為100，70，270，160，400，400，往年全校整體的就業(yè)率為100+70+270+160+400+4002000招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率為100+m解得m=120．20．長江十年禁漁計劃全面施行，漁民老張積極配合政府工作，如期收到政府的補(bǔ)償款.他決定拿出其中10萬元進(jìn)行投資，并看中了兩種為期60天（視作2個月）的穩(wěn)健型（不會虧損）理財方案.方案一：年化率2.4%，且有10方案二：年化率3.0%，且有20已知老張對每期的投資本金固定（都為10萬元），且第一次投資時選擇了方案一，在每期結(jié)束后，老張不間斷地進(jìn)行下一期投資，并且他有40%(1)設(shè)第i次投資（i=1,2,3,?n）選擇方案一的概率為Pi，求P(2)求一年后老張可獲得總利潤的期望（精確到1元）.注：若拿1千元進(jìn)行5個月年化率為2.4%的投資，則該次投資獲利ω=2.4【答案】(1)63(2)2255元【分析】（1）根據(jù)互斥加法概率公式求出選擇方案一的概率遞推式，變形，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求出概率通項公式，代入計算即可；（2）先求出每一個方案的獲利期望，然后再利用期望公式求出一年的總獲利期望.【詳解】（1）由題意知，Pi+1整理得，Pi+1?1故數(shù)列Pn?12是以P1即Pn=1（2）當(dāng)某期選擇方案一時，獲利期望值為W1當(dāng)某期選擇方案二時，獲利期望值為W2那么，在一年間，老張共投資了6次，獲得的總利潤的期望為W=[=(≈2400?40×3+即一年后老張可獲得的利潤的期望約為2255元.21．某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災(zāi)害，為了了解該地區(qū)受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失，制定合理的補(bǔ)償方案，研究人員經(jīng)過調(diào)查后將該地區(qū)所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失情況統(tǒng)計如下圖所示.(1)求a的值；(2)求所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值；(3)現(xiàn)按照分層抽樣的方法從經(jīng)濟(jì)損失在4000,8000的居民中隨機(jī)抽取8人，再從這8人中任取2人了解情況，求至多有1人經(jīng)濟(jì)損失在4000,6000的概率.【答案】(1)a=0.00009(2)3360(3)13【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖各小長方形面積之和為1即可列式求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計平均值，只需用每一個小長方形橫坐標(biāo)的中間值乘以相應(yīng)段的頻率即可；（3）把基本事件總個數(shù)列舉出來，然后把滿足條件的列出來，即可根據(jù)古典概型公式求解.【詳解】（1）依題意，0.00003×2+a+0.00015+0.0002×2000=1解得a=0.00009.（2）所有受災(zāi)居民經(jīng)濟(jì)損失的平均值為1000×0.3+3000×0.4+5000×0.18+7000×0.06+9000×0.06=3360.（3）由分層抽樣知識可知，經(jīng)濟(jì)損失在4000,6000的有6人，記為A?經(jīng)濟(jì)損失在6000,8000的有2人，記為1?隨機(jī)抽取2人，所有的情況為A,B,A,C,A,D,其中滿足條件的為A,1,A,2,故所求概率P=1322．甲?乙?丙?丁四支球隊進(jìn)行單循環(huán)小組賽（每兩支隊比賽一場），比賽分三輪，每輪兩場比賽，第一輪第一場甲乙比賽，第二場丙丁比賽；第二輪第一場甲丙比賽，第二場乙丁比賽；第三輪甲對丁和乙對丙兩場比賽同一時間開賽，規(guī)定：比賽無平局，獲勝的球隊記3分，輸?shù)那蜿犛?分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進(jìn)行排名，積分相同的隊伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊伍小組出線.假設(shè)四支球隊每場比賽獲勝概率以近10場球隊相互之間的勝場比為參考.隊伍近10場勝場比隊伍甲7:3乙甲5:5丙甲4:6丁乙4:6丙乙5:5丁丙3:7丁(1)三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為X，求PX=3(2)若前二輪比賽結(jié)束后，甲?乙?丙?丁四支球隊積分分別為3?3?0?6，求甲隊能小組出線的概率.【答案】(1)9(2)7【分析】（1）根據(jù)題意可知，X=3代表甲獲勝一場比賽，按比賽場次分情況討論即可求得結(jié)果；（2）對第三局比賽結(jié)果進(jìn)行分類討論，對每種情況對應(yīng)的積分再分別判斷是否需要抽簽，利用條件概率公式和概率加法公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）（1）設(shè)甲的第i場比賽獲勝記為Ai（i=1根據(jù)表格可知甲對乙、丙、丁比賽獲勝的概率分別為710則有P==9（2）分以下三種情況：（i）若第三輪甲勝丁，另一場比賽乙勝丙，則甲?乙?丙?丁四個球隊積分變?yōu)??6?0?6，此時甲?乙?丁三支球隊積分相同，要抽簽決定排名，甲抽中前兩名的概率為23所以這種情況下，甲出線的概率為P1（ii）若第三輪甲勝丁，另一場比賽乙輸丙，則甲?乙?丙?丁積分變?yōu)??3?3?6，此時甲一定出線，甲出線的概率為P2（iii）若第三輪甲輸丁，另一場比賽乙輸丙.則甲?乙?丙?丁積分變?yōu)??3?3?9，此時甲?乙?丙三支球隊要抽簽決定排名，甲抽到第二名的概率為13所以這種情況下，甲出線的概率為P3綜上，甲出線的概率為P=P23．高三年級計劃從甲、乙兩個班中選擇一個班參加學(xué)校的知識競賽，設(shè)甲班的成績?yōu)閤，乙班的成績?yōu)閥，兩個班以往6次競賽的成績(滿分150分)統(tǒng)計如下:123456x133145118125132127y128139121144127121（1）請計算甲、乙兩班的平均成績和方差，從求得數(shù)據(jù)出發(fā)確定派哪個班參加競賽更合適(方差保留一位小數(shù))（2）若x?y≤5，則稱甲、乙屬于“同一階層”.若從上述6附：方差s【答案】（1）130，130，69.3，75.3，派甲班參加比賽更合適；（2）12【分析】（1）分別計算出甲、乙兩班的均值和方差，進(jìn)行比較即可確定排哪個班級參賽；（2）上述6次考試中有1,3,5的成績?yōu)榧?、乙屬于“同一階層”，然后枚舉出所有的6次考試中任選三次的情況，找出其中至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的情況即可求得概率.【詳解】解析：1ySS由于x=y，2上述6次考試中有1,3,5的成績?yōu)榧?、乙屬于“同一階層”，從6次考試中任選三次，總共有1,2,31,3,6,1,4,5,1,5,6,其中至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的有10次，則至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的概率為1024．高新區(qū)某高中德育處為了調(diào)查學(xué)生對“一帶一路”的關(guān)注情況，在全校組織了“一帶一路”的知識問卷調(diào)查，并從中隨機(jī)抽取了12份問卷，得到測試成績（百分制）的莖葉圖如圖.（1）寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計該校測試成績在70分以上的人數(shù).（2）從測試成績?yōu)閇70，90]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩位學(xué)生的測試成績均落在[70，80]的概率.【答案】（1）76，2000人；（2）512【解析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義可寫出該樣本的中位數(shù)，根據(jù)莖葉圖求出樣本中70分以上所占的比例，即可估計該校測試成績在70分以上的人數(shù)；（2）測試成績?yōu)閇70，90]的學(xué)生共8人，測試成績落在[70，80]的6人，結(jié)合組合知識，利用古典概型可得結(jié)果.【詳解】（1）由莖葉圖可得測試成績?yōu)?2，63，67，68，72，76，76，76，82，88，93，94，所以中位數(shù)為76，抽取的12人中，70分以下的有4人，70分以上的有8人，則樣本中70分以上所占的比例為812所以該校這次測試成績在70分以上的人數(shù)約為3000×2（2）測試成績?yōu)閇70，90]的學(xué)生共8人，測試成績落在[70，80]的6人測試成績?yōu)閇70，90]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，兩位學(xué)生的測試成績均落在[70，80]的概率為P=C【點睛】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，考查了中位數(shù)的概念，同時考查了組合知識與古典概型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.25．一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延，在黨中央的堅強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團(tuán)結(jié)一心，共抗疫情。每天測量體溫也就成為了所有人的一項責(zé)任，一般認(rèn)為成年人腋下溫度T（單位：℃）平均在36℃~37℃之間即為正常體溫，超過37.1℃即為發(fā)熱。發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型：低熱：37.1≤T≤38；高熱：38<T≤40；超高熱（有生命危險）：T>40.某位患者因發(fā)熱，雖排除肺炎，但也于12日至26日住院治療.醫(yī)生根據(jù)病情變化，從14日開始，以3天為一個療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進(jìn)行消炎退熱.住院期間，患者每天上午8:00服藥，護(hù)士每天下午16:00為患者測量腋下體溫記錄如下：抗生素使用情況沒有使用使用“抗生素A”治療使用“抗生素B”治療日期12日13日14日15日16日17日18日19日體溫（℃）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用情況使用“抗生素C”治療沒有使用日期20日21日22日23日24日25日26日體溫（℃）38.438.037.637.136.836.636.3（1）請你計算住院期間該患者體溫不低于39℃的各天體溫平均值；（2）在18日—22日期間，醫(yī)生會隨機(jī)選取3天在測量體溫的同時為該患者進(jìn)行某一特殊項目“α項目”的檢查，求至少兩天在高熱體溫下做“α項目”檢查的概率；（3）抗生素治療一般在服藥后2-8個小時就能出現(xiàn)血液濃度的高峰，開始?xì)缂?xì)菌，達(dá)到消炎退熱效果.假設(shè)三種抗生素治療效果相互獨立，請依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷哪種抗生素治療效果最佳，并說明理由.【答案】（1）39.55℃；（2）710【分析】（1）由表知，該患者共6天的體溫不低于39°C，由此能求出患者體溫不低于39°C的各天體溫平均值．（2）設(shè)A:恰有兩天在高熱體溫下做“α項目”檢查；B:五天中三天都在高熱體溫下做“α項目”檢查，再根據(jù)和事件的概率公式計算可得；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)合理分析即可；【詳解】（1）由表可知，該患者共6天的體溫不低于39℃，記平均體溫為x，x=所以，患者體溫不低于39℃的各天體溫平均值為39.55℃（2）設(shè)A:恰有兩天在高熱體溫下做“α項目”檢查；B:五天中三天都在高熱體溫下做“α項目”檢查PA=610（3）“抗生素C”治療效果最佳可使用理由：①“抗生素B”使用期間先連續(xù)兩天降溫1.0℃又回升0.1℃，“抗生素C”使用期間持續(xù)降溫共計1.2℃，說明“抗生素C”降溫效果最好，故“抗生素C”治療效果最佳.②“抗生素B”治療期間平均體溫39.03℃，方差約為0.0156；“抗生素C”平均體溫38℃，方差約為0.1067，“抗生素C”治療期間體溫離散程度大，說明存在某個時間節(jié)點降溫效果明顯，故“抗生素C”治療效果最佳.【點睛】本題考查平均值的計算，考查古典概型，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．26．為了了解居民的家庭收入情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取了n戶家庭進(jìn)行問卷調(diào)查.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收入在5000元到8000元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左至右第一、二、四小組的頻率之比為1:3:6,且第四小組的頻數(shù)為18.(1)求n;(2)求這n戶家庭月收入的眾數(shù)與中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1);(3)這n戶家庭月收入在第一、二、三小組的家庭中,用分層抽樣的方法任意抽取6戶家庭,并從這6戶家庭中隨機(jī)抽取2戶家庭進(jìn)行慰問,求這2戶家庭月收入都不超過6000元的概率.【答案】（1）n=60

（2）眾數(shù)是67.5，中位數(shù)是66.3

（3）4【解析】（1）根據(jù)從左至右第一、二、四小組的頻率之比為1:3:6,求出第四小組的頻率，再由頻率=頻數(shù)（2）由頻率分布直方圖第四組小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)為眾數(shù)；中位數(shù)等于各個小矩形面積與其小矩形底邊中點橫坐標(biāo)之積的和.（3）根據(jù)分層抽樣得出第一、二、三小組應(yīng)分別抽取1,2,3，分別記記為a;b,c;d,e,f依次列出基本事件個數(shù)，由古典概型的概率求法公式即可求解.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)從左至右第一、三、四小組的頻率分別為p1p2=3從而n=（2）由于第四小組頻率最大，故這n戶家庭月收入的眾數(shù)為65+70由于前四小組的頻率之和為：0.05+0.1+0.15+0.3=0.6>0.5故這n戶家庭月收入的中位數(shù)應(yīng)落在第四小組，設(shè)中位數(shù)為x則0.05+0.1+0.15+x?652（3）因為家庭月收入在第一、二、三小組的家庭分別有3,6,9戶，按照分層抽樣的方法易知分別抽取1,2,3，第一組記為a，第二組b,c，第三組為d,e,f，從中隨機(jī)抽取2戶家庭的方法共有a,b,a,c,a,d,其中這2戶家庭月收入都不超過6000元的有a,bc,d,c,e,所以這2戶家庭月收入都不超過6000元的概率為P=【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，掌握住由頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)，考查了古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.27．某地區(qū)期末進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評價工作，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值；在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在70,80，80,90，90,100的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記X為3人中成績在80,90的人數(shù)，求PX=1(2)規(guī)定成績在90,100的為A等級，成績在70,90的為B等級，其它為C等級．以樣本估計總體，用頻率代替概率．從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，求獲得B等級的人數(shù)不少于2人的概率.【答案】(1)m=0.012，P(2)44【分析】（1）根據(jù)頻率和為1可構(gòu)造方程求得m的值；由分層抽樣原則可確定11人中，成績在80,90的人數(shù)，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得結(jié)果；（2）用頻率估計概率可確定獲得B等級的概率，根據(jù)二項分布概率公式，由PY≥2【詳解】（1）∵0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004×10=1，∵成績在70,80，80,90，90,100的頻率之比為0.28:0.12:0.04=7:3:1，∴抽取的11人中，成績在80,90的人數(shù)為11×3∴PX=1（2）用頻率估計概率，獲得B等級的概率為0.028+0.012×10=0.4=記抽取的3人中，獲得B等級的人數(shù)為Y，則Y～B3,∴PY≥2即獲得B等級的人數(shù)不少于2人的概率為4412528．某大學(xué)平面設(shè)計專業(yè)的報考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報名已經(jīng)結(jié)束．考生的考號按0001，0002，??的順序從小到大依次排列．某位考生隨機(jī)地了解了50個考生的考號，具體如下：0400

0904

0747

0090

0636

0714

0017

0432

0403

02760986

0804

0697

0419

0735

0278

0358

0434

0946

01230647

0349

0105

0186

0079

0434

0960

0543

0495

09740219

0380

0397

0283

0504

0140

0518

0966

0559

09100558

0442

0694

0065

0757

0702

0498

0156

0225

0327(1)據(jù)了解，這50名考生中有30名男生，20名女生．在某次模擬測試中，30名男生平均分?jǐn)?shù)是70分，樣本方差是10，20名女生平均分?jǐn)?shù)是80分，樣本方差是15，請求出此50人該次模擬考試成績的平均分和方差；（考生個人具體分?jǐn)?shù)不知曉）(2)請根據(jù)這50個隨機(jī)抽取的考號，幫助這位考生估計考生總數(shù)N，并說明理由．【答案】(1)平均分是74，方差是36(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)公式計算即可；（2）根據(jù)條件敘述清楚理由即可.【詳解】（1）記30名男生得分記為x1,x男生得分平均分x=x1所以總平均分m=s2所以此50人該次模擬考試成績的平均分是74，方差是36．（2）答案一：986，理由是用給出數(shù)據(jù)的最大值986（與0986對應(yīng)）估計考生總數(shù)；

答案二：1003，理由是