人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第二章 章末復(fù)習(xí)提升同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

1．線線關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有相交、平行、異面三種．兩直線垂直有“相交垂直”與“異面垂直”兩種情況．(1)證明線線平行的方法①線線平行的定義；②公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；③線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；④線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；⑤面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.(2)證明線線垂直的方法①線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角，在研究異面直線所成的角時，要通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線；②線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b.2．線面關(guān)系直線與平面之間的位置關(guān)系有且只有線在面內(nèi)、相交、平行三種．(1)證明直線與平面平行的方法①線面平行的定義；②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；③平面與平面平行的性質(zhì)：α∥β，a?α?a∥β.(2)證明直線與平面垂直的方法①線面垂直的定義；②判定定理1：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；④面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；⑤面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.3．面面關(guān)系兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有平行、相交兩種．(1)證明面面平行的方法①面面平行的定義；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；③線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，a⊥β?α∥β；④公理4的推廣：α∥γ，β∥γ?α∥β.(2)證明面面垂直的方法①面面垂直的定義：兩個平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.4．證明空間線面平行或垂直需注意的三點(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定．(2)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一．(3)用定理時要先明確條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論．5．“升降維”思想用降維的方法把空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題，可以使問題得到解決．用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以從已知探索未知，是“學(xué)會學(xué)習(xí)”的重要方法．平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程.題型一幾何中共點、共線、共面問題1．證明共面問題證明共面問題，一般有兩種證法：一是由某些元素確定一個平面，再證明其余元素在這個平面內(nèi)；二是分別由不同元素確定若干個平面，再證明這些平面重合．2．證明三點共線問題證明空間三點共線問題，通常證明這些點都在兩個面的交線上，即先確定出某兩點在某兩個平面的交線上，再證明第三個點是兩個平面的公共點，當(dāng)然必在兩個平面的交線上．3．證明三線共點問題證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上的問題．例1如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E、F、G、H四點共面；(2)GE與HF的交點在直線AC上．證明(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四點共面．(2)∵G、H不是BC、CD的中點，∴EF≠GH.又EF∥GH，∴EG與FH不平行，則必相交，設(shè)交點為M.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EG?面ABC,HF?面ACD))?M∈面ABC且M∈面ACD?M在面ABC與面ACD的交線上?M∈AC.∴GE與HF的交點在直線AC上．跟蹤訓(xùn)練1如圖，O是正方體ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方體對角線AC1和截面A1BD的交點．求證：O、M、A1三點共線．證明∵O∈AC，AC?平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵M(jìn)∈AC1，AC1?平面ACC1A1.∴M∈平面ACC1A1.又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三點都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三點都在平面A1BD上，所以O(shè)、M、A1三點都在平面ACC1A1與平面A1BD的交線上，所以O(shè)、M、A1三點共線．題型二空間中的平行關(guān)系在本章中，空間中的平行關(guān)系主要是指空間中線與線、線與面及面與面的平行，其中三種關(guān)系相互滲透．在解決線面、面面平行問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而利用性質(zhì)定理時，其順序相反，且“高維”的性質(zhì)定理就是“低維”的判定定理．特別注意，轉(zhuǎn)化的方法總是由具體題目的條件決定，不能過于呆板僵化，要遵循規(guī)律而不局限于規(guī)律．如下圖所示是平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的示意圖．例2如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．解當(dāng)點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接AC和BD交于點O，連接FO，那么PF＝eq\f(1,2)PB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點．∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊eq\f(1,2)PB，∴PF綊MA.∴四邊形AFPM是平行四邊形．∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.跟蹤演練2如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)設(shè)Q為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC.證明(1)由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)連接OG并延長交AC于點M，連接QM，QO，由G為△AOC的重心，得M為AC中點．由Q為PA中點，得QM∥PC，又O為AB中點，得OM∥BC.因為QM∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因為QG?平面QMO，所以QG∥平面PBC.題型三空間中的垂直關(guān)系空間垂直關(guān)系的判定方法：(1)判定線線垂直的方法：①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)；②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b)．(2)判定線面垂直的方法：①線面垂直定義(一般不易驗證任意性)；②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)；④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法：①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計算其為90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．例3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.證明(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.跟蹤演練3如圖，A，B，C，D為空間四點．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等邊△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動．(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，求CD；(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．解(1)取AB的中點E，連接DE，CE，因為△ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝eq\r(3)，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋EC2)＝2.(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD.證明如下：①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時，因為AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD.②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述，總有AB⊥CD.題型四空間角的計算空間中的角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角(簡稱線線角、線面角、面面角)．用直接法：求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來計算，空間角的計算步驟：一作，二證，三計算．(1)求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角)．(2)求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②垂線法；③垂面法．例4如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2eq\r(3)，PD＝CD＝2.(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；(2)證明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．(1)解如圖所示，在四棱錐PABCD中，因為底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD為異面直線PA與BC所成的角．又因為AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝eq\f(PD,AD)＝2，所以異面直線PA與BC所成角的正切值為2.(2)證明由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD.又因為AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC.而AD?平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)解在平面PDC內(nèi)，過點P作PE⊥CD交直線CD于點E，連接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角．在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2eq\r(3)，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝eq\r(3).由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝eq\r(PC2＋BC2)＝eq\r(13).在Rt△PEB中，sin∠PBE＝eq\f(PE,PB)＝eq\f(\r(39),13).所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為eq\f(\r(39),13).跟蹤演練4如圖，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．解(1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．