2024-2025學(xué)年陜西省四校聯(lián)考高三（下）第一次高考模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2024-2025學(xué)年陜西省四校聯(lián)考高三（下）第一次高考模擬數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．2．的展開式中的項的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．403．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．4．如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．5．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）種.A．408 B．120 C．156 D．2406．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．7．若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．28．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元9．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交10．已知集合，則等于（）A． B． C． D．11．已知實數(shù)滿足線性約束條件，則的取值范圍為（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]12．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是_____________.14．角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則的值是．15．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是______.16．已知集合，若，且，則實數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點.?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.18．（12分）已知，，為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）.19．（12分）聯(lián)合國糧農(nóng)組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：年份20102012201420162018需求量（萬噸）236246257276286（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份—2014”為橫坐標，“需求量”為縱坐標，請完成如下數(shù)據(jù)處理表格：年份—20140需求量—2570（2）根據(jù)回歸直線方程分析，2020年聯(lián)合國糧農(nóng)組織計劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸，問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.20．（12分）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，為數(shù)列的前項和，記，證明：．21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)時，若對任意實數(shù)，都成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】

化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選：本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.3．A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點坐標和焦點坐標，進而求出點的坐標，代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點的坐標為，由題意知，焦點,準線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標為，代入斜率公式可得，.故選：A本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.4．C【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

利用間接法求解，首先對6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；【詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有（種），當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），當(dāng)“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），故選：．本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題．6．D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.7．C【解析】

作出可行域，直線目標函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當(dāng)過點時，取得最大值1．故選：C．本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．8．D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題．9．D【解析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．10．C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

作出可行域，表示可行域內(nèi)點與定點連線斜率，觀察可行域可得最小值．【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點與定點連線斜率，，，過與直線平行的直線斜率為－1，∴．故選：B．本題考查簡單的非線性規(guī)劃．解題關(guān)鍵是理解非線性目標函數(shù)的幾何意義，本題表示動點與定點連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論．12．D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由知x＞0，故.令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.14．【解析】試題分析：由三角函數(shù)定義知，又由誘導(dǎo)公式知，所以答案應(yīng)填：．考點：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式．15．【解析】

設(shè)，判斷為偶函數(shù)，考慮x>0時，的解析式和零點個數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象，即可得到的范圍.【詳解】設(shè)，則在是偶函數(shù)，當(dāng)時，，由得，記，，，故函數(shù)在增，而，所以在減，在增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此的圖象為因此實數(shù)的取值范圍是.本題主要考查了函數(shù)的零點的個數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，以及化簡運算能力和推理能力，屬于難題.16．.【解析】

化簡集合，由，以及，即可求出結(jié)論.【詳解】集合，若，則的可能取值為，0，2，3，又因為，所以實數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是.故答案為:.本題考查集合與元素的關(guān)系，理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）取中點，連接，，證明平面，由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）由，即可求得三棱錐的體積．【詳解】解：（1）證明：取中點D，連接，.因為，，所以且，因為，平面，平面，所以平面.又平面，所以；（2）解：因為平面，平面，所以平面平面，過N作于E，則平面，因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，由于，所以所以，所以.本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．18．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用均值不等式即可求證；（2）利用，結(jié)合，即可證明.【詳解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.本題考查利用均值不等式證明不等式，涉及的妙用，屬綜合性中檔題.19．（1）見解析；（2）能夠滿足.【解析】

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合以“年份—2014”為橫坐標，“需求量”為縱坐標的要求即可完成表格；（2）根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程，由線性回歸方程預(yù)測2020年的糧食需求量，即可作出判斷.【詳解】（1）由所給數(shù)據(jù)和已知條件，對數(shù)據(jù)處理表格如下：年份—2014024需求量—25701929（2）由題意可知，變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由（1）中表格可得，，，，.由上述計算結(jié)果可知，所求回歸直線方程為，利用回歸直線方程，可預(yù)測2020年的糧食需求量為：（萬噸），因為，故能夠滿足該地區(qū)的糧食需求.本題考查了線性回歸直線的求法及預(yù)測應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20．（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，且成等差數(shù)列，可求得q，從而可得本題答案；（Ⅱ）化簡求得，然后求得，再用裂項相消法求，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，可設(shè)公比為q，，又成等差數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），則，；（Ⅱ）證明：，，，則，因為，所以即.本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及用裂項相消法求和并證明不等式，考查學(xué)生的運算求解能力和推理證明能力.21．（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）對a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）對a分三種情況，先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值，再解不等式得解.【詳解】（1），當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：當(dāng)時，，∴成立.當(dāng)時，，，∴.當(dāng)時，，，∴，即.綜上.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立