2024年廣西中考數(shù)學(xué)試題含解析

2024年廣西初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)（全卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上．2.考生作答時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答（答題注意事項(xiàng)見(jiàn)答題卡），在本試卷、草稿紙上作答無(wú)效．3.不能使用計(jì)算器．4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．）1.下列選項(xiàng)記錄了我國(guó)四個(gè)直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫最低的是（）A. B. C. D.2.端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱的是（）A. B. C. D.3.廣西壯族自治區(qū)統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年全區(qū)累計(jì)接待國(guó)內(nèi)游客8.49億人次．將849000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.榫卯是我國(guó)傳統(tǒng)建筑及家具的基本構(gòu)件．燕尾榫是“萬(wàn)榫之母”，為了防止受拉力時(shí)脫開(kāi)，榫頭成梯臺(tái)形，形似燕尾，如圖是燕尾榫正面的帶頭部分，它的主視圖是（）A. B. C. D.5.不透明袋子中裝有白球2個(gè)，紅球1個(gè)，這些球除了顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出白球的概率是（）A.1 B. C. D.6.如圖，2時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角為（）A. B. C. D.7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A B. C. D.8.激光測(cè)距儀L發(fā)出的激光束以的速度射向目標(biāo)M，后測(cè)距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離與時(shí)間的關(guān)系式為（）A. B. C. D.9.已知點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（）A. B. C. D.10.如果，，那么的值為（）A.0 B.1 C.4 D.911.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)問(wèn)題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問(wèn)：出租的田有多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（）A B.C D.12.如圖，邊長(zhǎng)為5正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，連接，，，，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（）A.1 B.2 C.5 D.10二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．）13.已知與為對(duì)頂角，，則______°．14.寫一個(gè)比大的整數(shù)是__．15.八桂大地孕育了豐富藥用植物．某縣藥材站把當(dāng)?shù)厮幨薪灰椎姆N藥用植物按“草本、藤本、灌木、喬木”分為四類，繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則藤本類有______種．16.不等式的解集為_(kāi)_____．17.如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．18.如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度是，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則______．三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19.計(jì)算：20.解方程組：21.某中學(xué)為了解七年級(jí)女同學(xué)定點(diǎn)投籃水平，從中隨機(jī)抽取20名女同學(xué)進(jìn)行測(cè)試，每人定點(diǎn)投籃5次，進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：進(jìn)球數(shù)012345人數(shù)186311（1）求被抽取的20名女同學(xué)進(jìn)球數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；（2）若進(jìn)球數(shù)為3以上（含3）為“優(yōu)秀”，七年級(jí)共有200名女同學(xué)，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)女同學(xué)中定點(diǎn)投籃水平為“優(yōu)秀”的人數(shù)．22.如圖，在中，，．（1）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點(diǎn)D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）（2）在（1）所作的圖中，連接，若，求的長(zhǎng)．23.綜合與實(shí)踐在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．【洗衣過(guò)程】步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo)．假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都?xì)埩羲疂舛汝P(guān)系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過(guò)漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：（1）如果只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？（2）如果把清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？（3）比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說(shuō)說(shuō)你的想法．24.如圖，已知是的外接圓，．點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與相切；（3）若，，求的半徑．25.課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問(wèn)題展開(kāi)探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計(jì)算結(jié)果．【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說(shuō)法是否合理？（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說(shuō)明理由．26.如圖1，中，，．的垂直平分線分別交，于點(diǎn)M，O，平分．（1）求證：；（2）如圖2，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為．連接，①求面積的最大值及此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，并說(shuō)明理由；②當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．2024年廣西初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)（全卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上．2.考生作答時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答（答題注意事項(xiàng)見(jiàn)答題卡），在本試卷、草稿紙上作答無(wú)效．3.不能使用計(jì)算器．4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．）1.下列選項(xiàng)記錄了我國(guó)四個(gè)直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫最低的是（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】本題考查了溫度的比較以及正負(fù)數(shù)的概念，掌握比較有理數(shù)大小的方法是解決本題的關(guān)鍵．以下記為負(fù)數(shù)，以上記為正數(shù)，溫度都小于時(shí)，絕對(duì)值最大的，溫度最低．解：∵，，，∴，∴氣溫最低的是北京．故選：A．2.端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱的是（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】本題主要考查成軸對(duì)稱的定義，掌握成軸對(duì)稱的定義是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫作對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫作對(duì)稱點(diǎn)．根據(jù)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可．A．圖案不成軸對(duì)稱，故不符合題意；B．圖案成軸對(duì)稱，故符合題意；C．圖案不成軸對(duì)稱，故不符合題意；D．圖案不成軸對(duì)稱，故不符合題意；故你：B．3.廣西壯族自治區(qū)統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年全區(qū)累計(jì)接待國(guó)內(nèi)游客8.49億人次．將849000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法：為整數(shù)，進(jìn)行表示即可．解：；故選B．4.榫卯是我國(guó)傳統(tǒng)建筑及家具的基本構(gòu)件．燕尾榫是“萬(wàn)榫之母”，為了防止受拉力時(shí)脫開(kāi)，榫頭成梯臺(tái)形，形似燕尾，如圖是燕尾榫正面的帶頭部分，它的主視圖是（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】本題考查三視圖，根據(jù)主視圖是從前往后看，得到的圖形，進(jìn)行判斷即可．解：由圖可知：幾何體的主視圖為：故選A．5.不透明袋子中裝有白球2個(gè)，紅球1個(gè)，這些球除了顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出白球的概率是（）A.1 B. C. D.答案：D解析：【分析】本題考查求概率，直接利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，有種等可能的結(jié)果，其中取出白球的情況有2種，∴；故選D．6.如圖，2時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角為（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】本題考查了鐘面角，用乘以兩針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)鐘面的特點(diǎn)，鐘面平均分成12份，每份是，根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)，可得答案．解：2時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角是，故選：C．7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)，理解點(diǎn)的坐標(biāo)意義是關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出橫、縱軸上一格代表一個(gè)單位長(zhǎng)度，然后觀察坐標(biāo)系即可得出答案．解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，故選：C．8.激光測(cè)距儀L發(fā)出的激光束以的速度射向目標(biāo)M，后測(cè)距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離與時(shí)間的關(guān)系式為（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】本題考查列函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握路程＝速度×?xí)r間是解題的關(guān)鍵．根據(jù)路程＝速度×?xí)r間列式即可．解：，故選：A．9.已知點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖象上，則滿足關(guān)系式，橫縱坐標(biāo)的積等于2，結(jié)合即可得出答案．解：點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，．故選：A．10.如果，，那么的值為（）A.0 B.1 C.4 D.9答案：D解析：【分析】本題考查因式分解，代數(shù)式求值，先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，利用整體代入法，求值即可．解：∵，，∴；故選D．11.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)問(wèn)題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問(wèn)：出租的田有多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢”列方程即可．解：根據(jù)題意，得，故選：B．12.如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，連接，，，，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（）A.1 B.2 C.5 D.10答案：C解析：【分析】先證明四邊形是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出，，證明得出，則可得出，同理，得出平行四邊形是矩形，證明，得出，進(jìn)而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．解：∵四邊形是正方形，∴，，，，∵E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，同理，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，同理，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，同理，∴平行四邊形矩形，∵，，，∴，∴，又，，∴，∴矩形是正方形，在中，，∴，∴，∴正方形的面積為5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理等知識(shí)，明確題意，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．）13.已知與為對(duì)頂角，，則______°．答案：35解析：【分析】本題主要考查了對(duì)頂角性質(zhì)，根據(jù)對(duì)頂角相等，得出答案即可．解：∵與為對(duì)頂角，，∴．故答案為：35．14.寫一個(gè)比大的整數(shù)是__．答案：2(答案不唯一)解析：【分析】本題考查實(shí)數(shù)大小比較，估算無(wú)理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．先估算出的大小，再找出符合條件的整數(shù)即可．解：，，符合條件的數(shù)可以是：2(答案不唯一)．故答案為：2．15.八桂大地孕育了豐富的藥用植物．某縣藥材站把當(dāng)?shù)厮幨薪灰椎姆N藥用植物按“草本、藤本、灌木、喬木”分為四類，繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則藤本類有______種．答案：解析：【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，用乘以藤本類的百分比即可求解，看懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．解：由扇形統(tǒng)計(jì)圖可得，藤本類有種，故答案為：．16.不等式的解集為_(kāi)_____．答案：解析：【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的步驟解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．解：移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為得，，故答案為：．17.如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案：解析：【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，于，由題意易得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得，即可得到四邊形是菱形，再解可得，即可求解，得出四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．解：過(guò)點(diǎn)作于，于，則，∵兩張紙條的對(duì)邊平行，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又∵兩張紙條的寬度相等，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，在中，，，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為，故答案為：．18.如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度是，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則______．答案：解析：【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)拋物線為，把點(diǎn)，代入即可求出解析式；當(dāng)時(shí)，求得x的值，即為實(shí)心球被推出的水平距離．解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤軸正半軸，射線方向?yàn)閥軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∵出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．設(shè)拋物線解析式為：，把點(diǎn)代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；當(dāng)時(shí)，，解得，（舍去），，即此次實(shí)心球被推出的水平距離為．故答案為：三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19.計(jì)算：答案：解析：【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．先算乘法和乘方，再算加法即可．解：原式．20.解方程組：答案：解析：【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可．解：，得：，解得：，把代入①得：，∴方程組的解為：.21.某中學(xué)為了解七年級(jí)女同學(xué)定點(diǎn)投籃水平，從中隨機(jī)抽取20名女同學(xué)進(jìn)行測(cè)試，每人定點(diǎn)投籃5次，進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：進(jìn)球數(shù)012345人數(shù)186311（1）求被抽取的20名女同學(xué)進(jìn)球數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；（2）若進(jìn)球數(shù)為3以上（含3）為“優(yōu)秀”，七年級(jí)共有200名女同學(xué)，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)女同學(xué)中定點(diǎn)投籃水平為“優(yōu)秀”的人數(shù)．答案：（1）眾數(shù)為1、中位數(shù)為2、平均數(shù)為（2）估計(jì)為“優(yōu)秀”等級(jí)的女生約為50人解析：【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解即可；（2）算出樣本的優(yōu)秀率，再估計(jì)總體的優(yōu)秀人數(shù)．【小問(wèn)1詳解】解：女生進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)為（個(gè)），女生進(jìn)球數(shù)的中位數(shù)是第10個(gè)和第11個(gè)成績(jī)的平均數(shù)，即（個(gè)），女生進(jìn)球個(gè)數(shù)為1個(gè)的人最多，故眾數(shù)是1個(gè)；【小問(wèn)2詳解】解：（人），答：估計(jì)為“優(yōu)秀”等級(jí)的女生約為50人．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，用樣本件估計(jì)總體，掌握中位數(shù)，平均數(shù)、眾數(shù)的定義以及優(yōu)秀率的求法是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在中，，．（1）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點(diǎn)D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）（2）在（1）所作的圖中，連接，若，求的長(zhǎng)．答案：（1）見(jiàn)詳解（2）解析：【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)D，E，作直線，則直線l即為所求．（2）連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出，由等邊對(duì)等角可得出，由三角形內(nèi)角和得出，則得出為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】解：如下直線l即為所求．【小問(wèn)2詳解】連接如下圖：∵為線段的垂直平分線，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及正弦的定義．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.綜合與實(shí)踐在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．【洗衣過(guò)程】步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo)．假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都?xì)埩羲疂舛汝P(guān)系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過(guò)漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：（1）如果只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？（2）如果把清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？（3）比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說(shuō)說(shuō)你的想法．答案：（1）只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．（2）進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；（3）兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)解析：【分析】本題考查的是分式方程的實(shí)際應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關(guān)鍵；（1）把，代入，再解方程即可；（2）分別計(jì)算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論即可．【小問(wèn)1詳解】解：把，代入得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∴只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．【小問(wèn)2詳解】解：第一次漂洗：把，代入，∴，第二次漂洗：把，代入，∴，而，∴進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；【小問(wèn)3詳解】解：由（1）（2）的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)兩次漂洗既能達(dá)到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約用水，∴從洗衣用水策略方面來(lái)講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)．24.如圖，已知是的外接圓，．點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與相切；（3）若，，求的半徑．答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）解析：【分析】（1）先證明，，再證明，可得，，再進(jìn)一步解答即可；（2）如圖，連接，證明，可得過(guò)圓心，結(jié)合，證明，從而可得結(jié)論；（3）如圖，過(guò)作于，連接，設(shè)，則，可得，求解，可得，求解，設(shè)半徑，可得，再利用勾股定理求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：∵點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，∴，，又∵，，∴，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】證明：如圖，連接，∵，為中點(diǎn)，∴，∴過(guò)圓心，∵，∴，而為半徑，∴為的切線；【小問(wèn)3詳解】解：如圖，過(guò)作于，連接，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，設(shè)半徑為，∴，∴，解得：，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，切線的判定，垂徑定理的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．25.課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問(wèn)題展開(kāi)探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計(jì)算結(jié)果．【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過(guò)函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說(shuō)法是否合理？（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說(shuō)明理由．答案：（1）①；②當(dāng)時(shí)，有最小值為（2）見(jiàn)解析（3）正確，解析：【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象