高中數(shù)學(xué)教案第二冊上：8. 4 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

課題：8.4皿益碳的簡單/V佝像展

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線等幾何性質(zhì)

2.掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義

3.并使學(xué)生能利用上述知識(shí)進(jìn)行相關(guān)的論證、計(jì)算、作雙曲線的

草圖以及解決簡單的實(shí)際問題

教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的漸近線及其得出過程

教學(xué)難點(diǎn)：漸近線幾何意義的證明

授課類型：新授課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

內(nèi)容分析：

本節(jié)知識(shí)是講完了雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程之后，反過來利用雙曲線的

方程研究雙曲線的幾何性質(zhì)它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，

也是高考的一個(gè)考點(diǎn)用坐標(biāo)法研究幾何問題，是數(shù)學(xué)中一個(gè)很大的課

題，它包含了圓錐曲線知識(shí)的眾多方面，這里對雙曲線的幾何性質(zhì)的

討論以及利用性質(zhì)來解題即是其中的一個(gè)重要部分

坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個(gè)“圓錐曲線方程”一章，是學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)

掌握的基本數(shù)學(xué)方法運(yùn)動(dòng)變化和對立統(tǒng)一的思想觀點(diǎn)在第8章知識(shí)

中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利用好這部分教材進(jìn)行教學(xué)

利用圖形啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生理解漸近線的幾何意義、弄通證明的關(guān)鍵;

漸近線的位置、漸近線與雙曲線張口之間的關(guān)系是學(xué)生學(xué)習(xí)離心率的

概念、搞懂離心率與雙曲線形狀之間的關(guān)系的關(guān)鍵；要突破第二定義

得出過程這個(gè)難點(diǎn)

本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中也可以與其類

比講解，主要應(yīng)指出它們的聯(lián)系與區(qū)別對圓錐曲線來說，漸近線是雙

曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，為說明這一點(diǎn)，

教學(xué)時(shí)可以適當(dāng)補(bǔ)充一些例題和習(xí)題講解完雙曲線的漸近線后，要注

意說明：反過來以為漸近線的雙曲線方程則是

對雙曲線離心率進(jìn)行教學(xué)時(shí)要指明它的大小反映的是雙曲線的張

口大小，而橢圓離心率的大小反映的是橢圓的扁平程度同橢圓一樣，

雙曲線有兩種定義，教材上以例3的教學(xué)來引出它，我們講課時(shí)要充

分注意到此例題與后面的定義在教學(xué)上的邏輯關(guān)系，突出考慮學(xué)生認(rèn)

知心理的變化規(guī)律

本節(jié)分三個(gè)課時(shí)：第一課時(shí)主要講解雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、

漸近線等幾何性質(zhì)，并補(bǔ)充一道變式例題；第二課時(shí)主要內(nèi)容為離心

率、教材中的例1、例2及一道變式例題；第三課時(shí)主要講解教材中的

例3、雙曲線另一個(gè)定義、準(zhǔn)線概念

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

名

雙曲線

稱

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動(dòng)

定

點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。即

義

當(dāng)2<2時(shí)一，軌跡是雙曲線

當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是兩條射線

當(dāng)2>2時(shí)，軌跡不存在

標(biāo)

準(zhǔn)焦點(diǎn)在軸上時(shí)：焦點(diǎn)在軸上時(shí)：

方

程注：是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置

常數(shù)

（符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）

的關(guān)

最大，可以

系

二、講解新課：

1.范圍、對稱性

由標(biāo)準(zhǔn)方程可得，當(dāng)時(shí)一，y才有實(shí)數(shù)值；對于y的任何值，x都有

實(shí)數(shù)值這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱

的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方

向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線

雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心

2.頂點(diǎn)

頂點(diǎn)：特殊點(diǎn)：

實(shí)軸：長為2a,a叫做半實(shí)軸長虛軸：長為2b,b叫做虛半軸長

講述：結(jié)合圖形，講解頂點(diǎn)和軸的概念，在雙曲線方程中，令y=0得,

故它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且x軸為雙曲線的對稱軸，所以與其對稱軸

的交點(diǎn)，稱為雙曲線的頂點(diǎn)（一般而言，曲線的頂點(diǎn)均指與其對稱軸的

交點(diǎn)），而對稱軸上位于兩頂點(diǎn)間的線段叫做雙曲線的實(shí)軸長，它的長

是2a.

在方程中令x=0得，這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根，說明雙曲線和Y軸沒

有交點(diǎn)。但Y軸上的兩個(gè)特殊點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線中也有非常重要

的作用把線段叫做雙曲線的虛軸，它的長是2b要特別注意不要把虛

軸與橢圓的短軸混淆

雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異

3.漸近線

過雙曲線的兩頂點(diǎn)，

作Y軸的平行線，經(jīng)過

作X軸的平行線，四條直線圍

成一個(gè)矩形矩形的兩條對角線所在

直線方程是（），

這兩條直線就是雙曲線的漸近線

分析：要證明直線（）

是雙曲線的漸近線，即要證明

隨著X的增大，直線和曲線越來越靠攏

也即要證曲線上的點(diǎn)到直線的距離IMQ|

越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算IMQ|

但因IMQ|不好直接求得，因此又把問題

轉(zhuǎn)化為求IMN|最后強(qiáng)調(diào)，對圓錐曲線

而言，漸近線是雙曲線具有的性質(zhì)

()

4.等軸雙曲線

a=b即實(shí)軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線

結(jié)合圖形說明:a=b時(shí)，雙曲線方程變成(或，它的實(shí)軸和都等于2a(2b),

這時(shí)直線圍成正方形，漸近線方程為它們互相垂直且平分雙曲線的

實(shí)軸和虛軸所成的角

5.共漸近線的雙曲線系

如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：

或?qū)懗?/p>

6.雙曲線的草圖

利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖

具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點(diǎn)及第一

象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置，然后過這兩點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸

近線下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲

線的對稱性畫出完整的雙曲線

焦點(diǎn)在y軸的情況同學(xué)們自己研究

7.離心率

概念：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率

范圍：

雙曲線形狀與e的關(guān)系：

因此e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就

從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就

越闊

(1)雙曲線的形狀張口隨著漸近線的位置變化而變化；

(2)漸近線的位置(傾斜)情況又受到其斜率制約

利用計(jì)算機(jī)動(dòng)畫先演示出“e的大小”與“開口的闊窄”的關(guān)系，

能讓學(xué)生對此變化規(guī)律先形成直觀理解；然后再用代數(shù)方法邊板書邊

推導(dǎo)，這樣就可化難為易，使學(xué)生對此規(guī)律有更深刻清晰的理解這

樣做將有助于實(shí)在本節(jié)的這個(gè)難點(diǎn)

8.離心率相同的雙曲線

(1)計(jì)算雙曲線的離心率；

(2)離心離為的雙曲線一定是嗎？舉例說明如果存在很多的話，它

們能否用一個(gè)特有的形式表示呢？

(3)離心率為的雙曲線有多少條？

分析：的關(guān)系式，并從中發(fā)現(xiàn)只要實(shí)現(xiàn)半軸和虛半軸各與a=2,b=3有

相同的比k：l(k>0)的雙曲線，其離心率e都是

9.共帆雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到

的雙曲線稱為原雙曲線的共甄雙曲線如與

注意的區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同(互換)c相同

通過分析曲線發(fā)現(xiàn)二者其具有相同的漸近線此即為共枕之意

1)性質(zhì)：共用一對漸近線雙曲線和它的共輒雙曲線的焦點(diǎn)在同

一圓上

2)確定雙曲線的共輾雙曲線的方法：將1變?yōu)?1

3)共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設(shè)為,

當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在y軸上

三、講解范例：

例1.求雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率.

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，

可得:實(shí)半軸長:a=4

虛半軸長:b=3半焦距：

焦點(diǎn)坐標(biāo):(0,-5),(0,5)

離心率：

例二.求下列雙曲線的范圍、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、離心率

(1)

(2)

(3)

例2.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸,它的一個(gè)焦點(diǎn)F(5,

0)，且離心率e可以使方程有相等的實(shí)根，求滿足條件的雙曲線方

程

例3.已知雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,兩焦點(diǎn)分別件,F2,

且，則雙曲線的離心率為(B)

A.B.C.D.

(參考例題)

例1求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)半軸長、虛半軸長和漸近線

方程，并作出草圖

分析：只要緊扣有關(guān)概念和方法，就易解答

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

由此可知，實(shí)半軸長a=l,虛半軸長b=2.

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一1,0),(1,0)

焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(一，0),(,0).

漸近線方程為，即

例2求與雙曲線共漸近線且過的雙曲線的方程

分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設(shè)出雙曲線系,

再把已知點(diǎn)代入，求得K的值即可

解：設(shè)與共漸近線且過的

雙曲線的方程為

則，從而有

所求雙曲線的方程為

例3求雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方

程.

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

由此可知，實(shí)半軸長a=4,虛半軸長b=3.

焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,—5),(0,5).

離心率

漸近線方程為，即

例4雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)

所成的曲面，它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25

m,高55m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1m).

分析：本題建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵。注意到通風(fēng)塔有三個(gè)特殊的截

口圓：上口、下口、最小的一個(gè)截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙

曲線的中心，直徑是雙曲線的實(shí)軸，所以以最小截口直徑所在直線為X

軸，圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式。

解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,使小圓的直徑AA'在x軸上，

圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)，上、下口的直徑CC'、BB，平行于x軸，且

|CC'|=13X2(m),|BB'|=25X2(m).

設(shè)雙曲線的方程為

令點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13,y),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(25,y—55).因?yàn)辄c(diǎn)B、C

在雙曲線上，所以

①且②

解方程組，得

(負(fù)值舍去)

代入方程①，得

化簡得

19b2+275b-18150=0③

解方程③(使用計(jì)算器計(jì)算)，得

b-25(m).

所以所求雙曲線方程為

點(diǎn)評：這是一個(gè)有實(shí)際意義的題目.解這類題目時(shí)，首先要解決以下

兩個(gè)問題：(1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)將實(shí)際問題中的條件借助坐標(biāo)

系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來.

四、課堂練習(xí)：

1.下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是

222222

(A)---二=1(B)---二=1(C)---丁=1(52_二=1答案：人

16441622

2.過點(diǎn)(3,0)的直線與雙曲線4x2-9y2=36只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線共有

(A)l條(B)2條(03條

(D)4條

答案：C

3.若方程=1表示雙曲線，其中a為負(fù)常數(shù)，則k的取值范圍是()

(A)(,-)(B)(,-)(C)(-,)(D)(-oo,)u(-,+oo)

答案：B

4.中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(3,0),一條漸近線方程2x-3y=0的雙曲

線方程是

(A)(B)

(0(D)

答案：A

5.與雙曲線有共同的漸近線，且一頂點(diǎn)為(0,9)的雙曲線的方程是

()

(A)

(B)

(0(D)

答案：D

6.一雙曲線焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率分別為(5,0)、，則它的共輒雙曲線

的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率分別是()

(A)(0,5),(B)(0,(C)(0,(D)(0,

答案：A

7.雙曲線2kx2-ky2=l的一焦點(diǎn)是F(0,4),則k等于()

(A)-3/32(B)3/32(C)-3/16

(D)3/16

答案：A

1.方程mx2+ny2+mn=0(m<n<0)所表示的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B

(A)(0,)(B)(0,)(C)(,0)(D)(,0)

2.下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是D

(A)_y2=l和-=1(B)_y2=l和y2-=l

(C)y2-=l和x2-=l(D)-y2=l和-=1

3.與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條

漸近線的距離是(C)

(A)8(B)4(C)2(D)1

4.以為漸近線，一個(gè)焦點(diǎn)是F(0,2)的雙曲線方程為(A)

(A)(B)(C)(D)

5.雙曲線kx?+4y2=4k的離心率小于2,則k的取值范圍是(C)

(A)(-8,o)(B)(-3,0)(C)(-12,0)