2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)層級二專題四立體幾何第一講空間幾何體學(xué)案理含解析

PAGE專題四立體幾何第一講空間幾何體1．(2024·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析：選A由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖，故選A．2．(2024·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2解析：選B先畫出圓柱的直觀圖，依據(jù)題圖的三視圖可知點M，N的位置如圖①所示．①②圓柱的側(cè)面綻開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝eq\f(1,4)×16＝4，OM＝2，∴|MN|＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B．3．(一題多解)(2024·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π解析：選B解法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－eq\f(1,2)×π×32×6＝63π.解法二：依題意，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等價于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V＝π×32×7＝63π，故選B．4．(2024·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)解析：選B設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，所以圓柱的體積V＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4)，故選B．5．(2024·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D．eq\r(6)π解析：選D設(shè)PA＝PB＝PC＝2a，則EF＝a，F(xiàn)C＝eq\r(3)，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝eq\f(a2＋3－a2－2a2,2a\r(3－a2))＝eq\f(3－4a2,2a\r(3－a2)).在△AEC中，cos∠AEC＝eq\f(a2＋3－a2－4,2a\r(3－a2))＝eq\f(－1,2a\r(3－a2)).∵∠PEC與∠AEC互補(bǔ)，∴3－4a2＝1，解得a＝eq\f(\r(2),2)，故PA＝PB＝PC＝eq\r(2).又∵AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直徑2R＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(6)，∴R＝eq\f(\r(6),2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π.故選D．6．(一題多解)(2024·全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態(tài)多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖①)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖②是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面，其棱長為________．①②解析：先求面數(shù)，有如下兩種解法．解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個面，中間部分有8個面，下部分有9個面，共有2×9＋8＝26(個)面．解法二：一般地，對于凸多面體，頂點數(shù)(V)＋面數(shù)(F)－棱數(shù)(E)＝2(歐拉公式)．由圖形知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點數(shù)為24，故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱長.作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長為x，則正八邊形的邊長即為半正多面體的棱長．連接AF，過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝HM＝GN＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，即eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1.解得x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.答案：26eq\r(2)－1明考情1．“立體幾何”在高考中一般會以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點、線、面位置關(guān)系(特殊是平行與垂直)．2．考查一個小題時，本小題一般會出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第10～16題的位置上，本小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計算量上，但仍是對基礎(chǔ)學(xué)問、基本公式的考查．考點一空間幾何體的三視圖|析典例|【例】(1)(2024·山西八校聯(lián)考)將正方體(如圖1)截去三個三棱錐后，得到如圖2所示的幾何體，側(cè)視圖的視線方向如圖2所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則從該幾何體的全部頂點中任取兩個頂點，它們之間距離的最大值為()A．eq\r(3) B．eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)[解析](1)將圖2中的幾何體放到正方體中如圖所示，從側(cè)視圖的視線方向視察，易知該幾何體的側(cè)視圖為選項D中的圖形，故選D．(2)由三視圖知，該幾何體是一個四棱柱，記為四棱柱ABCD－A1B1C1D1，將其放在如圖所示的長方體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，四棱柱的高為1，連接AC1，視察圖形可知，幾何體中兩頂點間距離的最大值為AC1的長，即eq\r(22＋12＋12)＝eq\r(6).故選B．[答案](1)D(2)B|規(guī)律方法|由三視圖確定幾何體的步驟|練題點|1．(2024·福州適應(yīng)性測試)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()解析：選D由俯視圖和正視圖可知，該幾何體可看成是由一個半圓錐和一個三棱錐組合而成的，且三棱錐的一個面恰為半圓錐的最大軸截面，故相應(yīng)的側(cè)視圖可以為選項D．2.(2024·長春市其次次質(zhì)量監(jiān)測)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線條畫出的是一個三棱錐的三視圖，則該三棱錐中最長棱的長度為()A．2 B．eq\r(5)C．2eq\r(2) D．3解析：選D由三視圖知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，該三棱錐中最長棱為AB，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(22＋12＋22)＝3，故選D．考點二空間幾何體的表面積與體積|析典例|【例】(1)(2024·肇慶二模)已知圓錐的底面半徑是1，且它的側(cè)面綻開圖是半圓，則該圓錐的表面積是()A．2π B．3πC．4π D．5π(2)(創(chuàng)新題)(2024·長春模擬)《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何？芻甍：底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1)，那么該芻甍的體積為()A．4 B．5C．6 D．12(3)(2024·安徽江南十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為()A．4π＋16＋4eq\r(3) B．5π＋16＋4eq\r(3)C．4π＋16＋2eq\r(3) D．5π＋16＋2eq\r(3)[解析](1)設(shè)圓錐的母線長為l，由圓錐的底面半徑是r＝1，側(cè)面綻開圖是半圓，則πl(wèi)＝2πr＝2π·1，解得l＝2；所以該圓錐的表面積為S＝πrl＋πr2＝π×1×2＋π×12＝3π.(2)如圖，由三視圖可還原得幾何體ABCDEF，過E，F(xiàn)分別作垂直于底面的截面EGH和FMN，將原幾何體折分成兩個底面積為3，高為1的四棱錐和一個底面積為eq\f(3,2)，高為2的三棱柱，所以VABCDEF＝2V四棱錐E－ADHG＋V三棱柱EHG－FNM＝2×eq\f(1,3)×3×1＋eq\f(3,2)×2＝5，故選B．(3)由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱的組合體，三棱柱的兩個側(cè)面面積之和為2×4×2＝16，兩個底面面積之和為2×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝2eq\r(3)；半圓柱的側(cè)面積為π×1×4＝4π，兩個底面面積之和為2×eq\f(1,2)×π×12＝π，所以幾何體的表面積為5π＋16＋2eq\r(3)，故選D．[答案](1)B(2)B(3)D|規(guī)律方法|1．求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要動身點．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差得幾何體的表面積．2．求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：干脆依據(jù)相關(guān)的體積公式計算．(2)等積法：依據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更簡單，或是求出一些體積比等．(3)割補(bǔ)法：把不能干脆計算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計算體積的幾何體．|練題點|1.(2024·合肥市高三調(diào)研)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積等于()A．48＋8π B．48＋4πC．64＋8π D．64＋4π解析：選D由三視圖可知，該幾何體是一個半球和一個直四棱柱的組合體，故依據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知，該幾何體的表面積為4×4×2－π×22＋4×2×4＋eq\f(1,2)×4π×22＝64＋4π，故選D．2．(2024·廣東六校第一次聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，計量單位為cm，它的體積是()A．eq\f(27\r(3),2)cm3 B．eq\f(9,2)cm3C．eq\f(9\r(3),2)cm3 D．eq\f(27,2)cm3解析：選C由三視圖可知，該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐S－ABCD，則其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋4)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),2)(cm3)，故選C．考點三與球有關(guān)的切、接問題|析典例|【例】(1)(一題多解)(2024·廣西柳州模擬)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球OA．eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C．eq\f(13,2) D．3eq\r(10)(2)(2024·山西八校聯(lián)考)已知一個球的表面上有A，B，C三個點，且AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，若球心到平面ABC的距離為1，則該球的表面積為()A．20π B．15πC．10π D．5π[解析](1)解法一：(干脆法)如圖，作出直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球O由題意，直三棱柱的底面ABC是直角三角形，所以底面△ABC外接圓的圓心是BC的中點E，底面△A1B1C1外接圓的圓心是B1C1的中點E由球的截面的性質(zhì)可得直三棱柱外接球的球心O就是線段EE1的中點．連接OA，AE.在△ABC中，AC⊥AB，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(32＋42)＝5，所以EA＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2).又OE＝eq\f(1,2)AA1＝eq\f(1,2)×12＝6，由球的截面的性質(zhì)可得OE⊥平面ABC，所以O(shè)A＝eq\r(EA2＋OE2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).即直三棱柱外接球的半徑為eq\f(13,2).故選C．解法二：(補(bǔ)形法)如圖，將直三棱柱ABC－A1B1C1的底面補(bǔ)成矩形，得到長方體ABDC－A1B1D1C1.明顯，直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球就是長方體ABDC－A1B1D而長方體ABDC－A1B1D1C1的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，連接AD1則AD1＝eq\r(32＋42＋122)＝13，所以直三棱柱外接球的半徑為eq\f(13,2).(2)設(shè)球心為O，△ABC的中心為O′，因為AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，所以AO′＝eq\f(2,3)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝2，因為球心到平面ABC的距離為1，所以O(shè)O′＝1，所以O(shè)A＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，故該球的表面積S＝4π×OA2＝20π.故選A．[答案](1)C(2)A|規(guī)律方法|解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解