八年級數(shù)學(xué)下冊-第02講 等邊三角形的性質(zhì)與判定 (4類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第02講等邊三角形的性質(zhì)與判定(4類熱點(diǎn)題型講練)1.經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，逐步掌握綜合法證明的方法，發(fā)展推理能力；2.經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；3.在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能力.知識點(diǎn)01等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個內(nèi)角等于；（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.知識點(diǎn)02等邊三角形的判定（1）等邊三角形的判定方法1：（定義法：從邊看）有三條邊相等的三角形是等邊三角形；（2）等邊三角形的判定方法2：（從角看）三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）等邊三角形的判定方法3：（從邊、角看）有一個內(nèi)角等于的等腰三角形是等邊三角形.題型01等邊三角形的性質(zhì)【例題】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級呼市四中?？计谥校┤鐖D，是等邊三角形的中線，，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形的中線，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（2022下·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D，在中，D，E是的三等分點(diǎn)，且是等邊三角形，則．【答案】/120度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：是的三等分點(diǎn)，且是等邊三角形，，，，．故答案為：．2．（2023上·河北滄州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，和均為等邊三角形，點(diǎn)分別在上．（1）若，則度；（2）是否與全等？．（填“是”或“否”）【答案】88是【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用三角形全等的判定和性質(zhì)解答即可．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計算即可．(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，運(yùn)用三角形全等的判定可以證明．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形，∴∠B=∠C=∠EFD=60°，∵，∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=32°，∴，故答案為：88．（2）∵和均為等邊三角形，∴∠B=∠C=∠EFD=60°，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：是．題型02等邊三角形的判定【例題】（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接．若，求證：是等邊三角形．【答案】詳見解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定，根據(jù)有一角是的等腰三角形是等邊三角形即可求證．【詳解】證明：，為等腰三角形，又，，是等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)在的外部，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，若，，．

(1)求證：；(2)若，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)是等邊三角形．理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等邊三角形的判定等知識．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)，判定，即可得到．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，可得，進(jìn)而得出，可得是等邊三角形．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（2）是等邊三角形．理由：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．2．（2023上·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，D為邊上一點(diǎn)，的延長線交的延長線于F，且，．

(1)求證：是等腰三角形；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r，是等邊三角形？請證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時，是等邊三角形，證明見解析【分析】（1）先根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證明，再由對頂角相等得到，由垂線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可證明是等腰三角形；（2）根據(jù)（1）所求，只需要滿足即可，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到的度數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：當(dāng)時，是等邊三角形，證明如下：∵，，∴，∵，∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，證明是解題的關(guān)鍵．題型03等邊三角形的判定和性質(zhì)【例題】（2023上·山東淄博·八年級?？计谥校┤鐖D，已知和均是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若與交于點(diǎn)N，與交于點(diǎn)，連接，求證：為等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)已知條件證明即可得證；（2）證明，再證明可得，進(jìn)而證明為等邊三角形；【詳解】（1）證明：和均是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，；（2）證明：由（1）得，，由（1）得，，即，在和中，，，，又，為等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·安徽蕪湖·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在等邊中，點(diǎn)在內(nèi)，，且，．(1)試判定的形狀，并說明理由；(2)判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析；(2)，理由見解析．【分析】本題考查的是等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到是等邊三角形；（2）證明，即可．【詳解】（1）解：是等邊三角形．理由：是等邊三角形，．又，，，，是等邊三角形．（2）解：．理由：由（1）知是等邊三角形，，．，．在和中，，．2．（2023上·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)部，，，點(diǎn)E在外部，．(1)求的度數(shù)；(2)判斷的形狀并加以證明；(3)連接，若，求的長．【答案】(1)(2)是等邊三角形，證明見解析(3)【分析】（1）首先證明是等邊三角形，推出，再證明，推出即可解決問題．（2）只要證明得到即可證明是等邊三角形；（3）首先證明是含有30度角的直角三角形，求出的長，進(jìn)而利用勾股定理求出的長，則由等邊三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：，，是等邊三角形，∴，在和中，，，，．（2）解：是等邊三角形，證明如下：，，在和中，，，，，是等邊三角形．（3）解：如圖所示，連接，∵是等邊三角形，∴，，，，∵，即，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．題型04含30°角的直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系【例題】（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點(diǎn)E，使．(1)求證：；(2)過點(diǎn)D作垂直于，垂足為F，若，求的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）等邊三角形三線合一，得到，等邊對等角結(jié)合三角形的外角，推出，進(jìn)而得到，即可；（2）易得是含30度角的直角三角形，進(jìn)而得到，中線得到，求出的長，即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，是中線，∴，．∵，∴．又∵，∴．∴．∴．（2）∵，∴∴在中，．∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟練掌握三線合一，等邊對等角，等角對等邊，以及30度的角所對的直角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則．【答案】4【分析】本題考查含角的直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由三角形外角的性質(zhì)推出，由含角的直角三角形得到．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：4．2．（2023上·重慶渝中·八年級重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┮阎喝鐖D，在等邊中，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC延長線上，連接，使得．(1)如圖1：求證：；(2)如圖2，取的中點(diǎn)F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，求證：．【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解(3)證明過程見詳解【分析】本題主要考查三角形的綜合，主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造．（1）作，證明，可得，再證即可求證；（2）構(gòu)造得出，再判定即可求解；（3）根據(jù)含角的性質(zhì)求出，的值，再用即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，作，∴，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴，∵，∴，在，中，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，∴，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在，中，，∴，∴，由（1）可知，，∴，在，中，，∴，∴；（3）證明：由（2）可知，，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，∴，即．一、單選題1．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，平分，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形邊角之間的關(guān)系．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，再由平分，可得出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是等邊三角形，，∴．又∵平分，，故選：B．2．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題意知，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，故選：C．3．（2023上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正中，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作于F，交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)平角定義求解即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵于F，交于點(diǎn)E，∴，∴，∴，故選：B．4．（2023上·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)，在射線上，且，．則的長為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，故選：A．5．（2023上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在等邊三角形中，D，E分別在邊，上，且，與交于點(diǎn)F，，垂足為點(diǎn)G.下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，判定①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，求出，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出，判定②正確；求出，，，判定不是等腰三角形；求出，再求出，然后根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，然后判斷④．【詳解】解：∵等邊，∴，，∵，∴，∴，故①正確；∴，∴，在中，，故②正確；∵，，∴，∴不是等腰三角形，故③錯誤；∵，，∴，∴，∴，故④正確，綜上所述，正確的有①②④．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023上·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎冗吶切蔚闹荛L為18，則邊長為．【答案】6【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的三邊相等，除以3即可．【詳解】∵等邊三角形的三邊相等，∴邊長為，故答案為：6．7．（2023上·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，那么．若P是邊上一動點(diǎn)，連接，則的長的取值范圍為．【答案】6【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，由直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出AB的長，即可解決問題．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴AP的長的取值范圍是．故答案為：．8．（2023上·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）；（2）若，，則的長為．【答案】/30度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含的直角三角形、等腰三角形的判定等知識點(diǎn)．掌握相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．由等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合垂直的定義即可求解；設(shè)，由已知可得等邊三角形的邊長為，根據(jù)含的直角三角形建立方程，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，，故答案為：；設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖所示，，，，，，設(shè)，則，在中，，，，，在中，，即，解得：，．故答案為：．9．（2023上·吉林長春·八年級吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥校﹥蓚€大小不同的等邊三角形三角板按圖所示擺放．將兩個三角板抽象成如圖所示的和，點(diǎn)依次在同一條直線上，連接．若，，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，，得到，據(jù)此可依據(jù)“”判定和全等，從而得出，，然后過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，利用勾股定理可求出的長，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，過點(diǎn)作，垂足為，∵是等邊三角形，∴,，在中，,，由勾股定理得：，∴點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：．10．（2023上·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖1是由四片大小一樣的門扇連接成的折疊門，該門的軌道裝在天花板上，圖2是其示意圖．已知軌道，在推拉合頁或時，滾輪，在軌道上移動，已知每小片門扇寬度均相等()．門完全關(guān)上時，門扇恰好貼合整條軌道．剛開始門扇疊合在左邊，第一次向右拉開門扇，位置如圖2時，，，此時門被關(guān)上部分的長是；接著繼續(xù)向右拉門扇，位置如圖3時，，，相比第一次，門又拉伸了．

【答案】【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，先判定與是兩個全等的等邊三角形，從而求出與，從而得到，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足為，則垂足出與的中點(diǎn)，先證明，從而得到，再根據(jù)得出，運(yùn)用勾股定理列方程求出與，繼而得解，掌握一線三直角的全等模型和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，門完全關(guān)上時，門扇恰好貼合整條軌道，∴，∵，，∴，∴與是兩個全等的等邊三角形，∴，∴，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足為，即

由題意可知：，∵，，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，即，，解得：，∴，，∴，∴，∴相比第一次，門拉伸的長度為：，故答案為：；．三、解答題11．（2023上·陜西延安·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．(1)若，求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)是等邊三角形，理由見解析【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分的定義得出，再根據(jù)等角對等邊得出，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)三線合一得出，再根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，平分，，，，；（2）是等邊三角形，理由：，，，在中，，，，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（2023上·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，將等邊放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在線段上，與分別交邊于點(diǎn)H、G，其中．

(1)證明：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用三角形的外角性質(zhì)求得，再利用等邊對等角可證得；（2）過點(diǎn)F作于，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)F作于，

∵，∴，∴，又∵，∴由三線合一得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·山東日照·八年級?？计谥校┤鐖D,為等邊三角形,,相交于點(diǎn),于,,．(1)求證:;(2)求的度數(shù);(3)求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì),等邊三角形性質(zhì),含30°角的直角三角形三邊關(guān)系．（1）根據(jù)證明即可,（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出,繼而得到本題答案,（3）根據(jù)含角的直角三角形三邊關(guān)系即可得到本題答案．【詳解】（1）解:證明:∵為等邊三角形,∴,,在和中,,∴,（2）解:由（1）知,∴,,∴,故答案為:．（3）解:∵,,∴,∴,∴．14．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，分別是上的點(diǎn)，連接和相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，若分別為的中點(diǎn)，求證：(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，求的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】本題考查了三角形綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)角對的直角邊是斜邊的一半即可證明；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理即可證明；（3）連接，由，可得、、、四點(diǎn)共圓，即有，再用30度角所對的邊等于斜邊的一半求解即可．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，∴，，∴，在中，，，∴，∵，∴，即．（2）證明：∵為等邊三角形,∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．（3）連接，如圖，是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，在中，，，15．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，連接、，．(1)求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，，且平分，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，得到，由