八年級數學下冊-第04講 線段的垂直平分線和角平分線(8類熱點題型講練)（解析版）

第04講線段的垂直平分線和角平分線(8類熱點題型講練)1.理解線段垂直平分線，角平分線的概念；2.掌握線段垂直平分線的性質定理及逆定理；3.能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算；4.能夠利用尺規(guī)作出三角形的垂直平分線和角平分線；5.會證明和運用“三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等”.角平分線的性質定理和判定定理的靈活運用.知識點01線段的垂直平分線知識點02角的平分線題型01線段的垂直平分線的性質【例題】（2023上·江蘇常州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，是的垂直平分線，，D為的中點．(1)求證：(2)若，則【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查線段的垂直平分線，等腰三角形的性質與判定，直角三角形的性質，靈活運用垂直平分線的性質是解題的關鍵．（1）連接，由題意可判定垂直平分，由線段垂直平分線的性質可得，即可證明結論；（2）由等腰三角形的性質可求，由直角三角形的性質可得的度數，即可求得，的度數，進而可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：∵于點D，且D為線段的中點，∴垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【變式訓練】1．（2023下·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，分別垂直平分和，交于，兩點，與相交于點．

(1)若的周長為，求的長；(2)若，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊對等角的性質，三角形的內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握以上知識的應用及整體思想的應用．（）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，，然后求出的周長；（）根據三角形的內角和定理列式求出，再求出，根據等邊對等角可得，，然后利用三角形的內角和定理列式計算即可得解；【詳解】（1）解：∵、分別垂直平分和，∴，，∴的周長，∵的周長為，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴．2．（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，在中，垂直平分，交于點F，于點D，，連接．(1)若平分，求的度數；(2)若的周長為，，求的長．【答案】(1)36°(2)4cm【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質、角平分線、線段垂直平分線、三角形內角和定理等，解答本題的關鍵在于熟練掌握垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等及等腰三角形的性質本題即可求解．【詳解】（1）解：，垂直平分，∴，，∵平分，∴，∵于點D，，∴，∴，根據三角形內角和等于可得，，，．（2）周長，，∴，∴，即，，∴，∴．題型02線段的垂直平分線的判定【例題】如圖，中，，連接為是上一點且．(1)求證：垂直平分．(2)已知求的面積．【詳解】（1）證明：，，∴點A在垂直平分線上，點E在垂直平分線上，垂直平分；（2）解：中，，，，，過點作于，，的面積．【變式訓練】1.如圖，為等邊三角形，，，相交于點E．(1)求證：垂直平分；(2)求的長；(3)若點F為的中點，點P在上，則的最小值為______．（直接寫出結果）．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴垂直平分；（2）解：∵，∴平分，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：連接交于點，連接，∵是的垂直平分線，∴、關于對稱，的最小值為是的中點，故答案為：6．2.如圖，是等邊三角形，是中線，延長至，使．(1)求證：；(2)過點A作，交延長線于點，交于，連接．①若，則．②求證：垂直平分．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，是中線，，，又，，又，，，；（2）解：①∵是等邊三角形，是中線，∴，，根據解析（1）可知，，∴，∵，∴，根據（1）可知，，∴，∵，∴，解得：；故答案為：8；②證明：∵，，為的中線，∴∵，，，，，是等邊三角形，，，垂直平分．【點睛】此題考查等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，線段垂直平分線的判定，直角三角形的性質，利用三角形外角的性質得到是正確解答本題的關鍵．題型03線段的垂直平分線的實際應用【例題】如圖，地面上有三個洞口A、B、C，老鼠可以從任意一個洞口跑出，貓為能同時最省力地顧及到三個洞口（到A、B、C三個點的距離相等），盡快抓到老鼠，應該蹲守在(

)A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高所在直線的交點 D．三條中線的交點【答案】A【詳解】解：∵貓所在的位置到A、B、C三個點的距離相等，∴貓應該蹲守在三邊垂直平分線的交點處；故選A．【變式訓練】1．如圖，某一個城市在一塊空地新建了三個居民小區(qū)，它們分別為，且三個小區(qū)不在同一直線上，要想規(guī)劃一所中學，使這所中學到三個小區(qū)的距離相等．這所中學應建在（

）A．的三條中線的交點 B．三邊的垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【答案】B【詳解】解：根據線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．則學校應建在三條邊的垂直平分線的交點處．故選：B．題型04線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖【例題】如圖，已知在中，．

(1)用尺規(guī)作邊的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)邊的垂直平分線分別交于點D、E，連接，若的周長是10，求．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；；（2）解：∵是邊的垂直平分線，∴，∵，∴，∵的周長是10，∴．∴．【變式訓練】1．某公司招收職工的試卷中有道題：如圖，有三條兩兩相交的公路，為便于及時進行監(jiān)控，防止違章，這個監(jiān)控儀器應安裝在什么位置可以使離三個路口的交叉點的距離相等你能找到這個監(jiān)控安裝的位置嗎？（尺規(guī)作圖，不寫過程，保留作圖痕跡）【詳解】解：如圖，點P這個監(jiān)控安裝的位置．．2．如圖，已知點、點以及直線．(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線上求作一點，使．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）；(2)在（1）中所作的圖中，連接，若，過點作于點，過點作于點．求證：【詳解】（1）解：點如圖所示，；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∴，，∴．題型05角平分線的性質定理【例題】（2023上·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）已知：如圖平分，，垂足分別為E、F，且．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)22【分析】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，本題中求證和是解題的關鍵．（1）先證明，再根據即可證明；（2）先求出，再根據即可證明，進而可求出的長．【詳解】（1）平分，于，于，，，，在和中，，；（2）∵，，∴．∵，∴．在和中，，，∴，∴．【變式訓練】1．（2023上·遼寧營口·八年級?？茧A段練習）如圖，，點E是的中點．平分．

(1)求證：是的平分線；(2)已知，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，角平分線的性質定理；（1）根據角平分線的性質得出，根據中點定義得出，從而得出，證明，得出，即可證明結論；（2）證明，得出，，根據，得出，，求出，根據，得出即可．【詳解】（1）證明：過點E作于點F，如圖所示：

∵，∴，∵是的平分線，∴，∵點E是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的平分線；（2）解：∵，，∴，∴，，∵，∴，，∴，即，∵，∴．2．（2023上·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）如圖，的角平分線與的垂直平分線相交于點D，，，，垂足分別為E、F．(1)求證：；(2)若，則的周長______．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點到相等兩端的距離相等是解題的關鍵．（1）連接，根據線段垂直平分線的性質和角平分線性質得出，，證明，即可得出結論；（2）證明，可得，然后求出的周長為，計算即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵D在的中垂線上，∴，∵，，平分，∴，，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，由（1）可知，∴的周長為：，故答案為：．題型06角平分線的判定定理【例題】如圖，，兩點分別在射線，上，點在的內部且，，，垂足分別為，，且．(1)求證：平分；(2)如果，，求的長．【詳解】（1）證明：由題意得：，，，在和中，，，，，，平分．（2）在和中，，，，設，，，，，，．【變式訓練】1．如圖，于E，于F，若．

(1)求證：平分；(2)寫出與之間的等量關系，并說明理由．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴與均為直角三角形，∵在與中，∵，∴∴，∴平分；（2）解：，理由如下：∵，平分，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，∴．2．如圖，P是上一點，于點D，于點E．F，G分別是上的點．．

(1)求證：是的平分線；(2)若，，．求的長．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴，∵于點D，于點E，∴：是的平分線（2）解：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵，∴．題型07角平分線性質的實際應用【例題】三條公路將三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是（

）A．三條高的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點【答案】C【詳解】解：在這個區(qū)域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，根據角平分線的性質，集貿市場應建在的角平分線的交點處，故選：C．【變式訓練】1．如圖是三條兩兩相交的筆直公路，某物流公司現要修建一個貨物中轉站，使它到三條公路的距離相等，這個貨物中轉站可選的位置有（

）

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【詳解】解：如圖所示，

分別作直線交點處的角平分線，根據角平分線的性質，可得點共個點，故選：．題型08作角平分線（尺規(guī)作圖）【例題】已知：如圖，在中，，．

(1)求作的平分線，交于點P．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，求的角度？【詳解】（1）解：以點為圓心，適當長為半徑畫弧交，于兩點，再分別以兩點為圓心，適當長為半徑畫弧交于一點，連接點與該點所在直線交于點P，如圖所示：即為所求；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，∵平分，∴．【變式訓練】1．如圖所示，某縣計劃在張村、李村之間建一座定點醫(yī)療站P，張、李兩村坐落在兩相交公路內（如圖所示）．醫(yī)療站必須滿足下列條件：①使其到兩公路距離相等；②到張、李兩村的距離也相等．請你通過作圖確定點P的位置．【詳解】解：如圖所示，點P即為所要求作的點．一、單選題1．（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，交于點．若，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的知識點是垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、含角的直角三角形的性質，解題關鍵是利用垂直平分線的性質添加輔助線構造等腰三角形．連接，根據垂直平分線性質可得，則等腰三角形中，可推得直角三角形中，，又因為含角的直角三角形中，較短直角邊是斜邊的一半，故．【詳解】連接，

是的垂直平分線，，，又，，，則在直角三角形中，．故選：C．2．（2023上·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，射線是的平分線，，，若點Q是射線上一動點，則線段的長度不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，垂線段最短的性質，熟記性質是解題的關鍵．過點D作于E，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，再根據垂線段最短解答．【詳解】解：如圖，過點D作于E，是的角平分線，，，由垂線段最短可得，，．故選：A．3．（2023上·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）在聯(lián)合會上，有、、三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當的位置是在的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊中垂線的交點 D．三邊上高的交點【答案】C【分析】本題考查線段垂直平分線的性質定理的逆定理，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵，利用要使游戲公平，凳子就需要放在到、、三名選手距離相等的位置即可得到答案．【詳解】解：由題可得：要使游戲公平，凳子就需要放在到、、三名選手距離相等的位置，則凳子所在的位置是的外接圓圓心，∵三角形外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點，∴凳子的位置應該放在三邊中垂線的交點．故選：C．4．（2023上·山東·九年級專題練習）如圖，在中，，，直線垂直平分，分別交于點D，交于點E，連接，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內角和定理，根據，直線垂直平分，，得到，，結合，得到，結合計算即可．【詳解】解：∵，直線垂直平分，垂足為D，∴，，∵，∴，∵∴，∴故選B．5．（2023上·浙江金華·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于，交的延長線于，于，下列結論：①；②；③平分；④；正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由角平分線的性質可知①正確；由題意可知，故此可知，，從而可證明②正確；若平分，則，與矛盾，可得③錯誤；連接、，然后證明，從而得到，，從而證明④．【詳解】解：∵平分，，，∴，∴①正確；∵，平分，∴，∵，，∴，同理：，∴，∴②正確；∵，∴若平分，則，與矛盾，∴③錯誤；如圖所示：連接、，∵是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵中，，中，，∴，∴，∴④正確；綜上可知，正確的有①②④，故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線的性質、線段垂直平分線的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等，有一定難度，能夠綜合運用上述知識點是解題的關鍵．二、填空題6．（2023上·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習）如圖，的垂直平分線分別交于點D和點E，連接，則的度數是．【答案】/80度【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質．根據線段垂直平分線的性質可得，從而得到，再根據三角形外角的性質可得，然后根據等腰三角形的性質可得，即可求解．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：7．（2023上·遼寧鞍山·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，平分，，，則點D到的距離是．【答案】3【分析】此題考查了角平分線的性質定理，熟記角平分線上的點到角的兩邊距離相等是解題的關鍵．過點D作于點H，先求出，由角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，即可得到點到的距離．【詳解】解：過點D作于點H，∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴點到的距離是3，故答案為：3．8．（2023上·遼寧大連·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的為半徑畫弧，兩弧交于點，，作直線，交于點，連接，若的周長為，，則的周長為．【答案】【分析】本題考查垂直平分線畫圖及性質，三角形周長公式．根據題意可知是直線的垂直平分線，利用垂直平分線可知，再利用三角形周長公式進行邊的轉化即可得到本題答案．【詳解】解：∵分別以點和點為圓心，大于的為半徑畫弧，兩弧交于點，，作直線，交于點，連接，∴是直線的垂直平分線，∴，∵若的周長為12，∴，∴，∵，∴的周長為：，故答案為：．9．（2023上·浙江寧波·八年級校考階段練習）從一個角的頂點出發(fā)的兩條射線，如果把這個角分成三個相等的角，則這兩條射線就叫這個角的三等分線．如圖，在中，點是與三等分線的交點，若，則的度數是．【答案】50【分析】本題考查了角的等分線計算，正確理解定義是解題的關鍵．設，，根據三等分線的性質，角的平分線的判定，三角形內角和定理計算即可．【詳解】設，，∵點是與三等分線的交點，∴，，∵，，∴，∴，∴，如圖，過點N作于G，于E，于F，∵點是與三等分線的交點，∴平分，平分，∴，∴，∴平分，∴，故答案為：50．10．（2023上·河北廊坊·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知在中，，點，分別在邊，上，于，，．（1）若，則；（2）已知，，則的長是．【答案】6【分析】本題考查了角平分線的判定與性質、三角形全等的判定與性質、三角形內角和定理，熟練掌握以上知識點，證明三角形全等是解此題的關鍵．（1）先證明得到平分，由三角形內角和定理計算出，即可得到答案；（2）先計算出，證明得到，最后由即可得到答案．【詳解】解：（1），，，在和中，，，，平分，，，，，，故答案為：；（2），，，在和中，，，，，故答案為：6．三、解答題11．（2023上·河南南陽·八年級校考階段練習）如圖，在中，邊的垂直平分線分別交于點E、F，連接，作于點D，且D為的中點．(1)試說明：；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查的是三角形內角和定理，三角形外角的性質，線段垂直平分線的性質．（1）根據等腰三角形的判定得出，根據垂直平分線的性質得出，等量代換即可得出結論；（2）根據等邊對等角得出，再根據三角形的外角的性質得出，再根據等邊對等角得出，根據三角形內角和定理得出，進而得出答案．【詳解】（1）∵D為的中點，∴，∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．12．（2023上·河南周口·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知中，按下列要求作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法）．(1)作邊的垂直平分線，交于點E，交于點F；(2)連接；(3)作的平分線，交于點G．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了作線段的垂直平分線，作角平分線，掌握基本作圖是解題的關鍵．根據題意作邊的垂直平分線，交于點，交于點，連結，作的平分線，交于．【詳解】（1）解：如圖，（2）解：如圖，（3）解：如圖，13．（2023上·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，D是上一點，于點F，連接，垂直平分．

(1)求證：是的平分線；(2)若的周長為18，的面積為24，，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質，角平分線的判定定理，熟知垂直平分線的性質是解題的關鍵．（1）根據垂直平分線的性質得到，然后利用角平分線的判定定理即可證明結論；（2）首先求出，然后根據等面積法進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，又∵，，∴是的平分線；（2）解：∵的周長為18，，∴，又∵，∴，∴∴．14．（2023上·四川南充·八年級四川省南充高級中學?？茧A段練習）如圖，中，D為的中點，交的平分線于E，，交于F，，交的延長線于G．(1)試問：與的大小如何？證明你的結論．(2)若，試求的長．【答案】(1)，證明見解析(2)7【分析】本題考查角平分線的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質：（1）連接、，利用角平分線的性質和垂直平分線的性質可得、，然后借助“”證明，由全等三角形的性質可證明；（2）先證，推出，結合（1）中結論，可得，求出，進而可求出的長．【詳解】（1）解：，證明如下：如圖，連接、，平分，，，，D為的中點，，垂直平分，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，由（1）知，，，．15．（2023上·北京·八年級期末）在中，，的垂直平分線交于N，交的延長線于M，度．(1)求的度數；(2)若將的度數改為80°，其余條件不變，再求的大??；(3)你發(fā)現了怎樣的規(guī)律？試證明；(4)將（1）中的改為鈍角，（3）中的規(guī)律仍成立嗎？若不成立，應怎樣修改．【答案】(1)20°(2)40°(3)等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊相交所成的銳角等于頂角的一半，見解析(4)成立【分析】本題考查等腰三角形的性質，垂直平分線的性質．（1）等邊對等角求出的度數，利用三角形的內角和定理求出的度數即可；（2）同（1），進行求解即可；（3）同法（1）求出的度數即可；（4）同法，即可得出結果．【詳解】（1）解：∵，度，∴，∵為的垂直平分線，∴，∴；（2）∵，度，∴，∵為的垂直平分線，∴，∴；（3）等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊相交所成的銳角等于頂角的一半，理由如下：∵，∴，∵為的垂直平分線，∴，∴；（4）成立，當為鈍角時，如圖：∵，∴，∵為的垂直平分線，∴，∴；故成立．16．（2023上·四川內江·八年級四川省內江市第二中學?？茧A段練習）如圖，在中，分別垂直平分和，交于兩點，與相交于點．(1)若，則的度數為；(2)若，則的度數為；（用含的代數式表示）(3)連接，的周長為，的周長為，求的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、三角形內角和定理及等腰三角形的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）由三角形內角和定理得出，由線段垂直平分線的性質可得，，由等邊對等角可得，，最后根據進行計算即可；（2）由線段垂直平分線的性質可得，，由等邊對等角可得，，根據三角形內角和定理可得，再由對頂角相等結合三角形內角和定理進行計算即可得出答案；（3）由線段垂直平分線的性質可得，，由的周長為，可得出，再由的周長為得出，再由線段垂直平分線的性質可得，，從而得到，即可得