笛卡爾之夢(mèng)與中國(guó)數(shù)學(xué)省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

羅素BertrandRussell1872-1970

純數(shù)學(xué)是這么一門(mén)學(xué)科，在其中我們并不知道我們?cè)谡務(wù)撌裁?，或者我們不知道我們所談?wù)撜呤欠袷钦妗?/52第9講真理與定理

GodelTheorem2/52希爾伯特綱領(lǐng)夢(mèng)想破滅夢(mèng)想與悖論3/52笛卡爾RenéDescartes1596-16501596年3月31日生于法國(guó)圖倫1611月10日Ausonius:Quodvitaesectaboriter在我一生中，我該走哪條路？1650年2月11日在斯德哥爾摩逝世4/52科學(xué)中正確利用理性和追求真理方法論1637年6月8日

《折光學(xué)》《氣象學(xué)》《幾何學(xué)》5/52尋求知識(shí)路徑尋求知識(shí)路徑僅接納自己了解并能夠排除疑問(wèn)東西把大困難拆分成小困難從簡(jiǎn)單到復(fù)雜推理進(jìn)行檢驗(yàn)6/52笛卡爾之夢(mèng)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題（幾何問(wèn)題）代數(shù)問(wèn)題（解析幾何）多項(xiàng)式方程組一元高次方程7/52

笛卡爾夢(mèng)想：將世界數(shù)學(xué)化人類(lèi)全部問(wèn)題，都能夠經(jīng)過(guò)邏輯計(jì)算，理性地、系統(tǒng)地加以處理。數(shù)學(xué)真理=數(shù)學(xué)定理8/52萊布尼茲（德國(guó)）GottfriedLeibniz(1646-1716)

笛卡爾計(jì)劃一個(gè)詳細(xì)實(shí)現(xiàn)方案:將思維演算化、計(jì)算化，以至于能夠計(jì)算機(jī)化。

解析幾何如同一臺(tái)龐大絞肉機(jī)，你把問(wèn)題塞進(jìn)去，只要搖動(dòng)曲柄，就能夠得到答案。9/52沙勒(法國(guó)）MichelChasles1793~1880為幾何大廈添磚加瓦，從此就用不著天才那樣人物了?！稁缀畏椒ㄆ鹪春桶l(fā)展歷史概述》10/5219前后，邏輯悖論出現(xiàn)羅素：日常語(yǔ)言和邏輯中能夠出現(xiàn)悖論剪發(fā)師悖論村中剪發(fā)師只給本村那些不給自己剪發(fā)人剪發(fā)。誰(shuí)給剪發(fā)師剪發(fā)？11/52龐伽萊（法國(guó)）HenriPoincaré（1854-1912）

為了防范狼，羊群已用籬笆圈了起來(lái)，但卻不知道圈里有沒(méi)有狼。12/52數(shù)學(xué)完備性completeness一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完備，那么這個(gè)系統(tǒng)中全部命題都是能夠被證實(shí)，每一個(gè)數(shù)學(xué)真理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)學(xué)定理。

1930年之前:兩個(gè)基本問(wèn)題I每一個(gè)明確數(shù)學(xué)問(wèn)題都應(yīng)該關(guān)聯(lián)一個(gè)明確判斷，或者是給出答案，或者是證實(shí)它不可解。13/52數(shù)學(xué)一致性consistency1930年之前：兩個(gè)基本問(wèn)題II

一致性（相容性、無(wú)矛盾、協(xié)調(diào)性）假如說(shuō)一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)是一致，不可能得出0≠0結(jié)果。不能出現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)中一個(gè)命題與它否定命題都是正確，即不能出現(xiàn)悖論。14/52假如一個(gè)系統(tǒng)是不一致，則能夠按照我們喜好來(lái)證實(shí)一個(gè)論斷是真，或者假，那樣話，我們知識(shí)就不會(huì)建立在一個(gè)可靠基礎(chǔ)之上了。15/52羅素:我是教皇假如我們認(rèn)可2+2=5，則有2=3或者2=1因?yàn)榻袒屎土_素是兩個(gè)人，且2=1于是1=2所以，羅素就是教皇。16/52夢(mèng)想與悖論夢(mèng)想破滅希爾伯特綱領(lǐng)17/5219巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)希爾伯特23問(wèn)題第二個(gè)問(wèn)題“算術(shù)公理一致性”數(shù)學(xué)推理可靠性：只要按照數(shù)學(xué)推理規(guī)則，就不應(yīng)該得出相互矛盾陳說(shuō)。希爾伯特：一致性是任何類(lèi)型公理化系統(tǒng)必要條件18/52為何希爾伯特要操心這么事情呢？2+2=5真能夠發(fā)生嗎？三角形內(nèi)角和≠180o嗎？19/52幾何原本

1482年威尼斯20/52羅巴切夫斯基（俄國(guó)）NikolaiLobachevski（1792-1856）波約（匈牙利）JanosBolyai（1802-1860）存在著完全一致、關(guān)于點(diǎn)和線數(shù)學(xué)系統(tǒng)，他們不一樣于歐幾里得系統(tǒng)。三角形內(nèi)角和能夠大于180o橢圓幾何三角形內(nèi)角和能夠小于180o雙曲幾何21/52三種幾何平面雙曲(馬鞍）橢圓（球）1條平行線許多平行線沒(méi)有平行線=180o<180o>180o平面宇宙開(kāi)放宇宙封閉宇宙冷寂冷寂大擠壓歐幾里得羅巴切夫斯基黎曼22/52希爾伯特DavidHilbert1862年1月23日生于哥尼斯堡1943年2月14日死于哥廷根希爾伯特綱領(lǐng)建立動(dòng)機(jī)羅素悖論產(chǎn)生原因：自然陳說(shuō)中語(yǔ)義含糊性鏟除悖論：為全部數(shù)學(xué)構(gòu)建一個(gè)純句法、實(shí)質(zhì)上“無(wú)意義”框架，在其中能夠談?wù)摂?shù)學(xué)真或假。23/52將每一個(gè)數(shù)學(xué)真理都形式化，從而永遠(yuǎn)排除在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論陳說(shuō)可能性。也不會(huì)產(chǎn)生不可判定命題。形式系統(tǒng)：形式化了公理系統(tǒng)。系統(tǒng)中符號(hào)與符號(hào)串（公式）完全不含意義。24/52形式系統(tǒng)公式：按照一定形式規(guī)則排列符號(hào)串公理：一個(gè)公式推理規(guī)則：由有限個(gè)確定公式（規(guī)則假設(shè)）得到某一個(gè)確定公式（規(guī)則結(jié)論）定理：公理；若規(guī)則假設(shè)是定理，其結(jié)論也是形式系統(tǒng)公式是否定理，能夠機(jī)械地驗(yàn)證25/52希爾伯特綱領(lǐng)第一步，建立形式系統(tǒng)第二步，考慮數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)將數(shù)學(xué)對(duì)象與形式系統(tǒng)中符號(hào)、公式相匹配，用不含意義形式語(yǔ)言來(lái)解釋含有意義數(shù)學(xué)對(duì)象。

26/52不使用那些有爭(zhēng)議推論19～1930年希爾伯特、阿克曼、伯奈斯、馮諾伊曼元數(shù)學(xué)（或稱證實(shí)論）用矛盾去證實(shí)存在超限歸納實(shí)無(wú)窮集非斷言性定義選擇公理存在性證實(shí)也必須是結(jié)構(gòu)性元數(shù)學(xué)證實(shí)概念與方法是有限性27/52希爾伯特（1928年）：利用這種新數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—人們完全能夠稱之為證實(shí)理論，我將能夠處理世界上全部基礎(chǔ)問(wèn)題。全部有意義敘述都將被證實(shí)或證偽，那樣就不存在懸而未決命題了。28/52希爾伯特夢(mèng)想結(jié)構(gòu)一個(gè)形式系統(tǒng)，它既是完備，又是一致。在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)真理與形式系統(tǒng)定理之間建立一個(gè)完美一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。把整個(gè)數(shù)學(xué)真理全部形式化，以預(yù)防悖論跨越自然語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言界限而侵入純潔數(shù)學(xué)世界。29/52定理陳說(shuō)證實(shí)機(jī)器結(jié)果：真\假希爾伯特形式系統(tǒng)證實(shí)機(jī)器30/52希爾伯特191928年9月波倫亞國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題”（四個(gè)問(wèn)題）基本問(wèn)題：可否證實(shí)每一個(gè)真數(shù)學(xué)陳說(shuō)。31/52夢(mèng)想與悖論希爾伯特綱領(lǐng)夢(mèng)想破滅32/52哥德?tīng)?/p>

KurtGodel(1906-1978)194月28日出生于捷克布爾諾Brno

1924年入維也納大學(xué)，理論物理1929年獲奧地利國(guó)籍，完成博士論文1931年不完備性定剪發(fā)表1940年定居普林斯頓1948年加入美國(guó)國(guó)籍1978年1月14日在普林斯頓逝世33/52哥德?tīng)柡退改讣案绺?，約1934/52哥德?tīng)柡桶Ⅶ炖盏陆Y(jié)婚照維也納一九三八年9月30日35/52哥德?tīng)柵c愛(ài)因斯坦，普林斯頓一九五零年8月36/5237/52羅素與懷特海：《數(shù)學(xué)原理》JohnKemeny：這是一本“被每個(gè)哲學(xué)家所討論，而實(shí)際上又無(wú)人讀過(guò)名著。”38/52符號(hào)哥德?tīng)枖?shù)意義～1非∨2或3假如……那么……4存在=5等于06零s7……直接后繼（8標(biāo)點(diǎn)符號(hào)）9標(biāo)點(diǎn)符號(hào)基本邏輯符號(hào)哥德?tīng)柵鋽?shù)（簡(jiǎn)化本）39/52邏輯公式：存在著一個(gè)數(shù)x，它是數(shù)y直接后繼。x、y：數(shù)值變?cè)?用大于10素?cái)?shù)來(lái)表示。令x=11、y=13。40/52x=11、y=13[8，4，11，9，8，11，5，7，13，9]符號(hào)哥德?tīng)枖?shù)意義～1非∨2或3假如……那么……4存在=5等于06零s7……直接后繼（8標(biāo)點(diǎn)符號(hào)）9標(biāo)點(diǎn)符號(hào)41/52[8，4，11，9，8，11，5，7，13，9]42/52萊布尼茲、希爾伯特

用數(shù)來(lái)表示概念或詞句應(yīng)用“哥德?tīng)柵鋽?shù)法”使語(yǔ)法算術(shù)化《數(shù)學(xué)原理》中每一條陳說(shuō)，都能夠安排一個(gè)唯一數(shù)與之對(duì)應(yīng)。43/52說(shuō)謊者悖論（Liar’sparadox）避開(kāi)難以捉摸真與假概念用“可證性”概念代替“真”利用哥德?tīng)柧幋a方案，能夠編碼上述論斷經(jīng)過(guò)46條推理，得到這條陳說(shuō)，稱為哥德?tīng)柧銰這個(gè)句子是錯(cuò)這個(gè)陳說(shuō)是不可證44/52假如哥德?tīng)栮愓f(shuō)G是可證因?yàn)镚是真，依據(jù)論斷，它不可證在這個(gè)系統(tǒng)中，陳說(shuō)G和它否定都成立這個(gè)陳說(shuō)G是不可證所以，這個(gè)系統(tǒng)是不一致45/52假如哥德?tīng)栮愓f(shuō)G是不可證這個(gè)系統(tǒng)是不完備因?yàn)殛愓f(shuō)G是真，不過(guò)卻不可證這個(gè)陳說(shuō)G是不可證46/52哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?對(duì)于算術(shù)任何一致形式化系統(tǒng)，都存在著一個(gè)命題G，在這個(gè)系統(tǒng)中不可證實(shí)。1931：“論《數(shù)