電動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)預(yù)備省公開課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

電動(dòng)力學(xué)

數(shù)學(xué)預(yù)備

級(jí)基地班/逸仙班,.3中山大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院黃迺本stshnb@1/52電動(dòng)力學(xué)

數(shù)學(xué)預(yù)備

經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)研究對(duì)象

教學(xué)目標(biāo)教材和主要參考書

課程考評(píng)矢量和張量2/52電動(dòng)力學(xué)

教學(xué)目標(biāo)與考核

經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)研究對(duì)象電動(dòng)力學(xué)是在電磁學(xué)基礎(chǔ)上開設(shè)理論性課程。本課程主要研究電磁場(chǎng)基本規(guī)律及其與物質(zhì)相互作用，以及利用這些規(guī)律定量研究和處理各種電磁問題，包含：

靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)邊值問題

勢(shì)物理效應(yīng)與勢(shì)規(guī)范變換問題

電磁波傳輸與輻射問題

電磁場(chǎng)與帶電粒子相互作用問題

電動(dòng)力學(xué)相對(duì)論不變性、電磁勢(shì)和電磁場(chǎng)相對(duì)論變換，等.3/52電動(dòng)力學(xué)

教學(xué)目標(biāo)與考核

教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)過本課程學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握電磁相互作用基本規(guī)律，以及應(yīng)用這些規(guī)律處理各類電磁系統(tǒng)實(shí)際問題基本理論方法，為深入學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)課程、或從事相關(guān)領(lǐng)域科學(xué)研究打下基礎(chǔ).

主要數(shù)學(xué)工具微積分、線性代數(shù)、矢量與張量分析、數(shù)學(xué)物理方程、級(jí)數(shù),等.4/52電動(dòng)力學(xué)

教學(xué)目標(biāo)與考核

教材和主要參考書教材：郭碩鴻著、黃迺本李志兵林瓊桂修訂《電動(dòng)力學(xué)》（第三版）高等教育出版社，.主要參考書：

[1]黃迺本，方奕忠《電動(dòng)力學(xué)（第三版）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書》，高等教育出版社，.

[2]Jackson.J.D.ClasicalElectrodynamics.3rded.NewYork：Wiley，

1998.或中譯本,高等教育出版社.[3]費(fèi)恩曼物理學(xué)講義，第2卷，上海科技出版社，.[4]朗道等,《場(chǎng)論》人民教育出版社，1959.[5]俞允強(qiáng),《電動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)明教程》，北京大學(xué)出版社，1999.[6]蔡圣善等,《電動(dòng)力學(xué)》（第二版），高等教育出版社，.[7]尹真,《電動(dòng)力學(xué)》（第二版），科學(xué)出版社，.5/52電動(dòng)力學(xué)

教學(xué)目標(biāo)與考核

課程考評(píng)（1）課程論文與平時(shí)訓(xùn)練,占總成績(jī)40%.

課程論文有獨(dú)到看法者加分.

（2）期末閉卷考試，占總成績(jī)

60%.課程論文目標(biāo)：

勉勵(lì)交流討論、廣泛涉獵、擴(kuò)大視野、了解知識(shí)應(yīng)用與學(xué)科前沿發(fā)展動(dòng)態(tài)；培養(yǎng)查閱文件資料、提出和處理問題能力；學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法.6/52課程論文要求論文內(nèi)容：與電動(dòng)力學(xué)相關(guān)各種理論問題，或?qū)嶋H應(yīng)用.論文格式：論文題目作者姓名班級(jí)學(xué)號(hào)

摘要（Abstract）

關(guān)鍵詞（KeyWords）

正文：引言（問題背景與科學(xué)意義）你敘述、論證，或試驗(yàn)和結(jié)果結(jié)語(yǔ)

參考文件[1]作者名，文件題目（或參考書名），期刊名（或出版社），卷/期，頁(yè)碼,年份.[2]……

所列參考文件，必須在正文中提及，并按出現(xiàn)次序，用右上角標(biāo)，如:…

[1],標(biāo)示序號(hào).

交課程論文時(shí)間：第十八周.7/52物理學(xué)——

觀察+猜測(cè)+定量描寫自然界各種層次物質(zhì)結(jié)構(gòu)、存在形態(tài)與相互作用規(guī)律,并不停經(jīng)受實(shí)踐檢驗(yàn)基礎(chǔ)科學(xué).…………

假如不了解它語(yǔ)言,沒有些人能夠讀懂宇宙這本書,它語(yǔ)言就是數(shù)學(xué).——Galileo

矢量和張量

8/521.矢量和張量代數(shù)

物理量分類在三維空間轉(zhuǎn)動(dòng)下，物理量按其變換性質(zhì)（見教材P209-212），分為：

0階張量，即標(biāo)量(scalar)，只有30=1個(gè)分量,無(wú)空間取向.如長(zhǎng)度l,時(shí)間t,質(zhì)量m,溫度T,能量E,等.

1階張量，即矢量(vector)，由31=3個(gè)分量組成有序集合,有一定空間取向.如位置矢量,速度,加速度,動(dòng)量,作用力,力矩,角動(dòng)量,電流密度,電偶極矩,磁偶極矩,等.

2階張量(tensor),由32=9個(gè)分量組成有序集合,空間取向比矢量復(fù)雜.如剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,電四極矩,電磁場(chǎng)應(yīng)力張量,等.

能夠定義更高階張量.如3階張量，由33=27個(gè)分量組成有序集合.9/521.矢量和張量代數(shù)

矢量表示書寫——在字母上方加一箭頭，如

.

印刷——用黑體字母表示，如

r,A.

場(chǎng)概念

Maxwell提出“電磁場(chǎng)”（electromagneticfield）概念,是19世紀(jì)物理學(xué)偉大創(chuàng)舉.

現(xiàn)在我們知道,“場(chǎng)”與粒子，是物質(zhì)兩種基本存在形態(tài).10/521.矢量和張量代數(shù)

物理量在空間中分布組成“場(chǎng)”,亦即場(chǎng)量是空間坐標(biāo)（以及時(shí)間）函數(shù).比如:

溫度分布T(x,y,z,t)

——標(biāo)量場(chǎng)

流體速度分布v(x,y,z,t)——矢量場(chǎng)

電磁場(chǎng)兩個(gè)基本場(chǎng)量電場(chǎng)強(qiáng)度E(x,y,z,t),磁感應(yīng)強(qiáng)度B(x,y,z,t)

——都是矢量場(chǎng)能夠用勢(shì)描寫電磁場(chǎng):

標(biāo)勢(shì)（scalarpotential）

(x,y,z,t)——標(biāo)量場(chǎng)

矢勢(shì)

(vectorpotential)A(x,y,z,t

)——矢量場(chǎng)在相對(duì)論四維時(shí)空中：

和A統(tǒng)一為四維協(xié)變矢量.E和B統(tǒng)一為四維協(xié)變張量.

量子理論：電磁場(chǎng)有波粒二象性,電磁場(chǎng)（光子場(chǎng)）由波函數(shù)描述.

光子能量E

=h

,光子動(dòng)量p=h

n/c.11/521.矢量和張量代數(shù)

正交坐標(biāo)系基矢量三維空間正交坐標(biāo)系(如直角坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,柱坐標(biāo)系)基矢量e1,

e2,e3

正交性,可表示為

(1.1)普通矢量A有三個(gè)獨(dú)立分量A1，A2，A3，故可寫成

(1.2)u1u2u3A12/521.矢量和張量代數(shù)

矢量乘積

兩個(gè)矢量標(biāo)積與矢積，三個(gè)矢量混合積與矢積分別滿足

(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)AA×BBABqAcosqBcosqqABCA×B13/521.矢量和張量代數(shù)

并矢量與二階張量

兩個(gè)矢量A和B并置,組成并矢量

(1.7)它有9個(gè)分量AiBj和9個(gè)基ei

ej.普通地u1u2u314/521.矢量和張量代數(shù)

三維空間二階張量也有9個(gè)分量Tij

，它并矢量形式與矩陣(matrix)形式分別為

(1.8)(1.9)u1u2u315/521.矢量和張量代數(shù)

張量跡,是其主對(duì)角線全部元素(分量)之和：

(1.10)trT=0張量,稱為無(wú)跡張量.

單位張量,其并矢量形式與矩陣形式分別是

(1.11)

(1.12)所以(1.1)式中符號(hào)

ij

,實(shí)際上是單位張量分量.

16/521.矢量和張量代數(shù)

對(duì)稱張量與反對(duì)稱張量若Tij=Tji,稱之為對(duì)稱張量，它有6個(gè)獨(dú)立分量.

若對(duì)稱張量跡trT=0

，則它只有5個(gè)獨(dú)立分量.

單位張量是一個(gè)特殊對(duì)稱張量.

若Tij=-Tji稱之為反對(duì)稱張量,因?yàn)門11=T22=T33=0,反對(duì)稱張量只有3個(gè)獨(dú)立分量.

任何張量Tij

均可寫成一個(gè)對(duì)稱張量Sij

與一個(gè)反對(duì)稱張量Aij

之和，即Tij=Sij+Aij，只需使Sij=(Tij+Tji)/2

，Aij=(Tij-Tji)/2

17/521.矢量和張量代數(shù)

二階張量與矢量點(diǎn)乘，結(jié)果降階為矢量.由(1.1)式，有

(1.13)

(1.14)普通地

.

但單位張量與任何矢量點(diǎn)乘，均給出原矢量：

(1.15)18/521.矢量和張量代數(shù)

并矢量與并矢量、或二階張量與二階張量雙點(diǎn)乘，結(jié)果降階為標(biāo)量.

運(yùn)算規(guī)則:先將靠近兩個(gè)矢量點(diǎn)乘，再將另兩個(gè)矢量點(diǎn)乘：

(1.16)19/522.矢量和張量分析（1）算符和2

表示“場(chǎng)”物理量,普通地是空間坐標(biāo)（和時(shí)間）連續(xù)函數(shù)，也可能有間斷點(diǎn)，甚至?xí)衅纥c(diǎn).

溫度T

分布,靜電勢(shì)

分布,都組成標(biāo)量場(chǎng).

電流密度J,電場(chǎng)強(qiáng)度E,磁感應(yīng)強(qiáng)度B,矢勢(shì)A分布,都組成矢量場(chǎng).(讀“del”)是對(duì)場(chǎng)量作空間一階偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算矢量算符.

=

2是二階齊次偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算標(biāo)量算符，即拉普拉斯算符.20/522.矢量和張量分析在直角坐標(biāo)系中，(2.1)

當(dāng)P點(diǎn)位置改變時(shí)，三個(gè)基矢量方向保持不變，即ex,ey,ez

均是常矢量.

xyzP21/522.矢量和張量分析（2）標(biāo)量場(chǎng)梯度(gradientofascalarfield)標(biāo)量場(chǎng)

在某點(diǎn)P梯度

(2.2)是一個(gè)矢量，它在數(shù)值上等于

沿其等值面法向?qū)?shù)，方向沿

增加方向，即

(2.3)

en是等值面法向單位矢量.

比如,靜電勢(shì)

分布是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng),-

=E即變成矢量場(chǎng)——靜電場(chǎng).

xyzP22/522.矢量和張量分析（3）矢量場(chǎng)散度(divergenceofavectorfield)矢量場(chǎng)A經(jīng)過某曲面S通量(flux),定義為

(2.4)其中dS=dSen

是曲面某點(diǎn)P

附近面積元矢量，方向沿曲面在該點(diǎn)法向en.

對(duì)于閉合曲面(closedsurface)，要求:dS方向沿曲面外法向.PP23/522.矢量和張量分析對(duì)于矢量場(chǎng)A中包含任一點(diǎn)P(x,y,z)小體積V,其閉合曲面為S，定義極限

(2.5)為矢量場(chǎng)A

在該點(diǎn)散度,它是標(biāo)量.在直角坐標(biāo)系中

(2.6)

若處處都有

A=0，就稱A為無(wú)散場(chǎng)(solenoidalfield),或無(wú)源場(chǎng),它場(chǎng)線必定是連續(xù)而閉合曲線.比如，磁場(chǎng)B線總是連續(xù)而閉合（遵從磁通連續(xù)性）,故B是無(wú)散場(chǎng),即

B=0P24/522.矢量和張量分析高斯定理(Gausstheorem)

對(duì)任意閉合曲面S及其包圍體積V，下述積分變換定理成立

(2.7)由此推知，若A是無(wú)散場(chǎng)，即處處有

A=0,則A場(chǎng)經(jīng)過任何閉合曲面S

凈通量均為零.比如磁場(chǎng)B.P25/522.矢量和張量分析（4）矢量場(chǎng)旋度(curlofavectorfield)矢量場(chǎng)A沿閉合路徑(closedcontour)積分稱為A沿L環(huán)量(circulateon).其中dl

是路徑L線元矢量.若對(duì)任意閉合路徑L，都有

(2.8)則A稱為保守場(chǎng)（conservativefield）.L26/522.矢量和張量分析當(dāng)閉合路徑L所圍成面積元

S是某點(diǎn)P無(wú)限小鄰域，我們約定：路徑積分繞行方向即dl方向，與其所圍成面積元矢量

S

=

Sen

法向en成右手螺旋關(guān)系.并定義極限

(2.9)為矢量場(chǎng)A

在P點(diǎn)旋度

A

在en方向分量.

在直角坐標(biāo)系中

(2.10)它是矢量.LP

27/522.矢量和張量分析假如全部點(diǎn)上都有

A=0

稱A為無(wú)旋場(chǎng)(irrotationalfield).比如,靜電場(chǎng)E就是無(wú)旋場(chǎng),即處處有

E=0.

斯托克斯定理(stokestheorem)對(duì)任意閉合路徑L所圍曲面S，下述積分變換成立

(2.11)LSAdl28/522.矢量和張量分析（5）矢量場(chǎng)幾個(gè)定理

標(biāo)量場(chǎng)梯度必為無(wú)旋場(chǎng)：

(2.12)【證】對(duì)任意標(biāo)量場(chǎng)

梯度取旋度，可得

,29/522.矢量和張量分析逆定理：無(wú)旋場(chǎng)必可表示成某一標(biāo)量場(chǎng)梯度，即若

A=0,必可令A(yù)=

比如,靜電場(chǎng)強(qiáng)度E,可用標(biāo)勢(shì)

負(fù)梯度描寫:E=-

.

矢量場(chǎng)旋度必為無(wú)散場(chǎng)：

(2.13)【證】逆定理：無(wú)散場(chǎng)必可表成另一矢量場(chǎng)旋度，即若

B=0,必可令B=

A比如,磁感應(yīng)強(qiáng)度B，就可用矢勢(shì)A旋度描寫.30/522.矢量和張量分析（6）算符運(yùn)算標(biāo)量函數(shù)

梯度

是矢量,矢量函數(shù)f散度

f

是標(biāo)量，旋度

f

是矢量，而

f

是二階張量：

(2.14)

若

和

是標(biāo)量函數(shù)，f

和g是矢量函數(shù)，有

(2.15)(2.16)

(2.17)

(2.18)31/52(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)上述運(yùn)算,無(wú)須采取化成份量方法進(jìn)行，只要抓住算符

微分作用及其矢量性質(zhì)，便可快捷準(zhǔn)確地寫出結(jié)果.

當(dāng)

作用于兩個(gè)函數(shù)乘積（或兩個(gè)函數(shù)之和）時(shí),表示它對(duì)每一個(gè)函數(shù)都要作微分運(yùn)算,能夠先考慮

對(duì)第一個(gè)量作用，并將這個(gè)量記為

下標(biāo)，以示算符只對(duì)此量執(zhí)行微分運(yùn)算，第二個(gè)量則視為常數(shù)，再考慮

對(duì)第二個(gè)量作用，此時(shí)亦將第二個(gè)量記為

下標(biāo)，第一個(gè)量則視為常數(shù).必須注意是，算符

不能與其微分運(yùn)算對(duì)象掉換次序.2.矢量和張量分析32/52

比如(2.16)式，

(

f)是對(duì)矢量

f

求散度，故運(yùn)算結(jié)果每一項(xiàng)都必須是標(biāo)量，我們有又如(2.20)式,(

f

g)是對(duì)標(biāo)量f

g

求梯度，結(jié)果每一項(xiàng)都必須是矢量，先把它寫成再依據(jù)三矢量矢積公式(1.6)式，但結(jié)果中必須表達(dá)

f

對(duì)f微分作用，以及

g

對(duì)g

微分作用，故有右方所得結(jié)果中,第二項(xiàng)實(shí)際上是g

f

，第四項(xiàng)是f

g.

2.矢量和張量分析33/522.矢量和張量分析（7）積分變換（高斯定理）(2.23)(2.24)

（斯托克斯定理）(2.25)（格林公式）(2.26)（格林公式）(2.27)34/523.d函數(shù)

一維d函數(shù)定義為

(3.1)

當(dāng)(3.2)主要性質(zhì)：

(x-x′

)

為偶函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).

又,若函數(shù)f(x)

在x=x′

附近連續(xù)，有，當(dāng)(3.3)這一性質(zhì)由中值定理能夠證實(shí).x

xab35/523.d函數(shù)

三維d函數(shù)定義為

(3.4)

，當(dāng)x′在V內(nèi)(3.5)所以，位于x′

單位點(diǎn)電荷(q=+1單位)密度可表示為

(3.3)式可推廣到三維情形，若函數(shù)f(x)

在x=x′

附近連續(xù)，便有，當(dāng)x′在V內(nèi)(3.6)x

yxzxV36/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系

當(dāng)坐標(biāo)(x,y,z)改變時(shí),三個(gè)基矢ex,ey

,

ez

方向保持不變.

慣用微分運(yùn)算表示式為

(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)

37/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系

曲線正交坐標(biāo)系

任一點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y,z),也可用曲線正交坐標(biāo)系描述，沿三個(gè)坐標(biāo)(u1,u2,u3)

增加方向基矢量e1

,e2

,

e3

相互正交.伴隨P點(diǎn)坐標(biāo)改變，普通地三個(gè)基矢量取向?qū)?huì)改變.

無(wú)限小線元矢量dl

、坐標(biāo)ui標(biāo)度系數(shù)hi,以及微分算符分別為(4.5)(4.6)yzxP38/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系

(4.7)(4.8)yzxP39/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系

三個(gè)基矢量

e1=er,

e2=e

,e3=e

方向均與坐標(biāo)q和f

相關(guān)，而與r

無(wú)關(guān).與直角坐標(biāo)系基矢變換為

(4.9)

yzxqfr40/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系

(4.10)坐標(biāo)變換為，，(4.11)yzxqfr41/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系慣用微分運(yùn)算表示式為

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)42/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系

立體角元dW、球面積元dSr

與體積元dV分別為

(4.16)(4.17)(4.18)yzxrqfdqdf43/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系

三個(gè)基矢量e1=er,

e2=e

,e3=ez,er和e

方向均與坐標(biāo)f相關(guān),ez則為常矢量.與直角坐標(biāo)系基矢變換為

(4.19)yzxfrdfz44/524.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系

(4.20)坐標(biāo)變換為

(4.21)yzxfrdfz45/52慣用微分運(yùn)算表示式為(4.22)(4.23)

(4.24)

(4.25)體積元為

(4.26)4.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系46/525.例題例1．設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z函數(shù)，證實(shí)：

(1)(2)(3)【證】對(duì)于

f(u)

，注意到

f/

u=df/du

，有在直角坐標(biāo)系中,將矢量A寫成份量形式，便可證實(shí)(2)式和(3)式.47/52

例2．從源點(diǎn)（即電荷電流分布點(diǎn)）x

到場(chǎng)點(diǎn)x

距離r和矢徑r分別為對(duì)源變數(shù)x

和場(chǎng)變數(shù)x

求微商算符分別為證實(shí)以下結(jié)果，并體會(huì)算符

與

′

關(guān)系：

yxzxr

x

5.例題48/525.例題(單位矢量)(1)(2)(3)(單位張量)(4)

(5)

(當(dāng)r

0)(6)