廣東省深圳市南山區(qū)2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁南山區(qū)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高三數(shù)學(xué)試題2023.1注意事項：1.本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.3.作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)答案的選項涂黑.4.非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準使用鉛筆和涂改液.5.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合中元素范圍，再根據(jù)交集的概念可得答案.【詳解】，故選：C.2.命題“存在無理數(shù)，使得是有理數(shù)”的否定為（）A.任意一個無理數(shù)，都不是有理數(shù) B.存在無理數(shù)，使得不是有理數(shù)C.任意一個無理數(shù)，都是有理數(shù) D.不存在無理數(shù)，使得是有理數(shù)【答案】A【解析】【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題來得答案.【詳解】根據(jù)特稱命題否定是全稱命題得命題“存在無理數(shù)，使得是有理數(shù)”的否定為“任意一個無理數(shù)，都不是有理數(shù)”故選：A.3.若的展開式的各項系數(shù)和為8，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】直接令計算可得答案.【詳解】令得，解得故選：C.4.已知隨機變量的分布列如下：12若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)期望公式及概率和為1列方程求解.【詳解】由已知得解得故選：B.5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，利用其單調(diào)性來比較大小.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選：D.6.在三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感，假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)之比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，則此人是流感患者的概率為（）A.0.032 B.0.048 C.0.05 D.0.15【答案】B【解析】【分析】由題意可知，分別求出此人來自三個地區(qū)的概率，再利用條件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.【詳解】設(shè)事件為“此人流感患者”，事件分別表示此人來自三個地區(qū)，由已知可得，，由全概率公式得故選：B7.若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則下列結(jié)論正確的為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)在上為奇函數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到最小值與最大值的和為0，推導(dǎo)出.【詳解】，由題意得：，故，關(guān)于原點對稱，且，故為奇函數(shù)，則，A正確，D錯誤；故一定異號，所以，BC錯誤.故選：A8.已知交于點的直線，相互垂直，且均與橢圓相切，若為的上頂點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由條件聯(lián)立直線與橢圓方程，得到點的軌跡是圓，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)橢圓的切線斜率存在時，設(shè)，且過與橢圓相切的直線方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去可得，所以，即，設(shè)為方程的兩個根，由兩切線相互垂直，所以，所以，即，所以，當(dāng)橢圓切線斜率不存在時，此時，，也滿足上式，所以，其軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又因為A為橢圓上頂點，所以，當(dāng)點位于圓的上頂點時，，當(dāng)點位于圓的下頂點時，，所以，故選:D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（）A.是純虛數(shù) B.對應(yīng)的點位于第二象限C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.【詳解】對于A：，其實部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；對于B：，其在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第四象限，B錯誤；對于C：，則，C錯誤；對于D：，則，D正確.故選：AD.10.下列等式能夠成立的為（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦余弦公式及倍角公式逐一計算判斷.【詳解】對于A：，A錯誤；對于B：，B正確；對于C：，C正確；對于D：，D錯誤.故選：BC.11.在平面直角坐標系中，已知點在雙曲線的右支上運動，平行四邊形的頂點，分別在的兩條漸近線上，則下列結(jié)論正確的為（）A.直線，的斜率之積為 B.的離心率為2C.的最小值為 D.四邊形的面積可能為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意可得：雙曲線為等軸雙曲線，即可得到離心率為，漸近線方程為，設(shè)點的坐標，根據(jù)漸近線互相垂直可得：平行四邊形為矩形，利用點到直線的距離公式和基本不等式進而進行判斷即可.【詳解】由題意可知：雙曲線為等軸雙曲線，則離心率為，故選項錯誤；由方程可知：雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)點在漸近線上，點在漸近線上.因為漸近線互相垂直，由題意可知：平行四邊形為矩形，則，，所以直線，的斜率之積為，故選項正確；設(shè)點，由題意知：為矩形，則，由點到直線的距離公式可得：，，則當(dāng)且僅當(dāng)，也即為雙曲線右頂點時取等，所以的最小值為，故選項正確；由選項的分析可知：，因為四邊形為矩形，所以，故選項錯誤，故選：.12.如圖，正方體的棱長為2，若點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的為（）A.直線可能與平面相交B.三棱錐與三棱錐的體積之和為定值C.當(dāng)時，與平面所成角最大D.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，三棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【解析】【分析】A.利用面面平行的性質(zhì)定理，判斷A；B.利用等體積轉(zhuǎn)化，可判斷B；C.利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面角的定義，即可判斷C；D.首先確定點的位置，再利用球的性質(zhì)，以及空間向量的距離公式，確定球心坐標，即可確定外接球的半徑，即可判斷D.【詳解】A.如圖，，且平面，平面，所以平面，同理平面，且平面，平面，且，所以平面平面，且平面，所以平面，故A錯誤；B.如圖，過點作于點，于點，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面，平面，，.故B正確；C.因為平面，平面，所以，且，且，平面，平面，所以平面，且平面，所以，即，點是的中點，此時線段最短，又因為，且平面，平面，所以平面，即上任何一個點到平面的距離相等，設(shè)為，設(shè)與平面所成角為，，,當(dāng)時，線段最短，所以此時最大，所以最大，故C正確；D.的周長為，為定值，即最小時，的周長最小，如圖，將平面展成與平面同一平面，當(dāng)點共線時，此時最小，作，垂足為，，解得：，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，,，連結(jié)，平面，且經(jīng)過的中心，所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心，則,即，解得：，，所以外接球的表面積，故D正確.附：證明平面，因為平面，平面，所以，又因為，且，平面，平面，所以平面,平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱錐是正三棱錐，所以經(jīng)過的中心.故選：BCD【點睛】思路點睛：本題考查空間幾何的綜合應(yīng)用，難點是第四個選項的判斷，充分利用數(shù)形結(jié)合和空間向量的綜合應(yīng)用，解決三棱錐外接球的球心問題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，若，則______.【答案】【解析】【分析】先利用求出，再利用模的坐標公式計算即可.【詳解】，解得，，故答案為：.14.已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可得，再計算的范圍即可求解.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以的最小值為，故答案為：.15.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法為：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，將圖①，圖②，圖③，圖④中的圖形周長依次記為，，，，則______.【答案】##【解析】【分析】觀察圖形可知是首項為，公比為的等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.【詳解】通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，從第二個圖形開始，每一個圖形的周長都在前一個圖形周長的基礎(chǔ)上增加了其周長的，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即因此.故答案為：16.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，將方程的根轉(zhuǎn)換為函數(shù)零點問題，討論函數(shù)單調(diào)性從而確定函數(shù)的變化趨勢，結(jié)合零點存在定理，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，，則，令得，所以，令，，所以在單調(diào)遞增，則，于是可得，當(dāng)時，方程在無解，即恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，所以此時方程在區(qū)間上無零點，不符合題意；當(dāng)時，方程在根為或（舍），當(dāng)，當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以，又，，設(shè)，，所以恒成立，則上單調(diào)遞增，故，則，且當(dāng)時，，即，故，使得，即方程在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)根綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進行判斷，屬于中等題.解決本題的關(guān)鍵是，如果方程在某區(qū)間上有且只有一個根，可根據(jù)函數(shù)的零點存在定理進行解答，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性時要分類討論.當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞增，結(jié)合特殊值，得不符合題意，當(dāng)時，得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，判斷，，的符號，結(jié)合零點存在定理可得的范圍.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，記的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用計算整理得，再利用等比數(shù)列的通項公式求解即可；（2）將變形為，利用裂項相消法求，進一步觀察證明不等式.【小問1詳解】①，當(dāng)時，②，①-②得，即，又當(dāng)時，，解得，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，；【小問2詳解】由（1）得，，因為，18.某學(xué)校有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人.為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，按照性別采用分層抽樣的方法抽取100人進行體質(zhì)測試.其中男生有50人測試成績?yōu)閮?yōu)良，其余非優(yōu)良；女生有10人測試成績?yōu)榉莾?yōu)良，其余優(yōu)良.（1）請完成下表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷全校學(xué)生體質(zhì)測試的優(yōu)良率與性別有關(guān).性別體質(zhì)測試合計優(yōu)良非優(yōu)良男生女生合計（2）100米短跑為體質(zhì)測試的項目之一，已知男生該項成績（單位：秒）的均值為14，方差為1.6；女生該項成績的均值為16，方差為4.2，求樣本中所有學(xué)生100米短跑成績的均值和方差.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：【答案】（1）根據(jù)小概率事件的獨立性檢驗，不可以認為全校學(xué)生體質(zhì)測試的優(yōu)良率與性別有關(guān).（2）均值；方差【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由獨立性檢驗的計算公式，代入計算即可判斷；（2）根據(jù)題意，可得男生，女生的人數(shù)，結(jié)合均值方差的性質(zhì)，代入計算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】性別體質(zhì)測試合計優(yōu)良非優(yōu)良男生501060女生301040合計80200100，根據(jù)小概率事件的獨立性檢驗，不可以推斷全校學(xué)生體質(zhì)測試的優(yōu)良率與性別有關(guān).【小問2詳解】男生人數(shù)，女生人數(shù)，則設(shè)男生的成績?yōu)榕某煽優(yōu)樗跃禐?，所以，所以樣本中所有學(xué)生100米短跑成績的方差為19.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，平面平面，，且為的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，且，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知證明，即可得到，又通過即可證明，即可證明答案；（2）設(shè)，，先通過已知與勾股定理求出，建立空間直角坐標系，即可通過二面角的向量求法求出答案.【小問1詳解】證明：側(cè)面為矩形，，，、，且，，，，且平面平面，，，；【小問2詳解】設(shè)，，由題意可得，，，為的中點，，，解得，即，，根據(jù)第一問與題意可得：，，，則以C為原點，以，，分別為x，y，z軸的正方向建立如圖空間直角坐標系，則，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，由題意可得平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，且由圖得為銳角，則.20.在中，，，為邊上一點.（1）若，求的值；（2）若，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在、中分別利用正弦定理，結(jié)合已知條件可求得的值；（2）由平面向量的線性運算可得出，利用平面向量的數(shù)量積運算可得出的值，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角形的面積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：在中，由正弦定理可得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因此，.【小問2詳解】解：因為，則，即，，所以，，即，即，解得，，故為鈍角，所以，，故.21.已知直線與拋物線交于，兩點，且與軸交于點，過點，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動點在上.（1）當(dāng)，且為線段的中點時，證明：；（2）記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點,連接.利用幾何法，分別證明出,為的角平分線，即