廣東省實(shí)驗中學(xué)2024屆高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)含答案解析

廣東實(shí)驗中學(xué)2024屆高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)命題：楊晉鵬、張淑華審定：張淑華校對：楊晉鵬本試卷共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卷上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回.第一部分選擇題（共60分）一．單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A．（1，﹣2，1） B．（2，﹣1，2）C． D．3．已知，，則是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件4．人的心臟跳動時，血壓在增加或減少.若某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（單位：），為時間（單位：），則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（

）A．50 B．70 C．90 D．1305．已知是等比數(shù)列的前項和，且存在，使得，，成等差數(shù)列.若對于任意的，滿足，則（

）A． B． C．32 D．166．已知圓臺的上、下底面的圓心分別為，，母線（點(diǎn)位于上底面），且，圓的周長為，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓臺側(cè)面爬行一周到點(diǎn)B，則其爬行的最短路程為（

）A．1 B． C．2 D．7．雙曲線的第三定義是：到兩條相交直線的距離之積是定值的點(diǎn)的軌跡是（兩組）雙曲線.人教A版必修第一冊第92頁上“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)”，經(jīng)探究它的圖象實(shí)際上是以兩條坐標(biāo)軸為漸近線的雙曲線，進(jìn)一步探究可以發(fā)現(xiàn)對勾函數(shù)，的圖象是以直線，為漸近線的雙曲線.現(xiàn)將函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于軸上的雙曲線，則它的離心率是（

）A． B． C． D．8．已知對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二．多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．如圖，質(zhì)點(diǎn)和在單位圓上逆時針作勻速圓周運(yùn)動.若和同時出發(fā)，的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，B的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，則（

）

A．在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為B．在末，扇形的弧長為C．在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合D．面積的最大值為10．一組數(shù)據(jù)滿足，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù).則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（

）A．極差變小 B．平均數(shù)變大 C．方差變小 D．第25百分位數(shù)變小11．已知直線：與直線：，其中，則下列命題正確的是（

）A．若，則或或 B．若，則或C．直線和直線均與圓相切 D．直線和直線的斜率一定都存在12．已知，，則（

）A．當(dāng)時，為奇函數(shù)B．當(dāng)時，存在直線與有6個交點(diǎn)C．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減D．當(dāng)時，在上有且僅有一個零點(diǎn)第二部分非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．某單位為葫蘆島市春節(jié)聯(lián)歡會選送了甲、乙兩個節(jié)目，節(jié)目組決定在原有節(jié)目單中6個節(jié)目的相對順序保持不變的情況下填加甲乙兩個節(jié)目，若甲、乙演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為.（用數(shù)字作答）14．對于數(shù)列，由作通項得到的數(shù)列，稱為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列，已知數(shù)列為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列，且是以1為首項以2為公差的等差數(shù)列，則．15．在三棱錐中，，底面是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，，點(diǎn)到三邊的距離相等，且點(diǎn)在平面上的射影落在內(nèi)，則與平面所成角的正切值為.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點(diǎn)A，B，若，則C的離心率的取值范圍是.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本題10分）如圖，在扇形中，半徑，圓心角.是扇形圓弧上的動點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形，記.(1)將矩形的面積表示成關(guān)于的函數(shù)的形式；(2)求的最大值，及此時的角.18．（本題12分）已知數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，若對于任意的正整數(shù)，恒成立，求及實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（本題12分）如圖，在正三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱上，且，點(diǎn)在線段上，且C，M，P，四點(diǎn)共面.

(1)設(shè)，求的值；(2)若Q為線段的中點(diǎn)，求二面角的大小.20．（本題12分）在2019中國北京世界園藝博覽會期間，某工廠生產(chǎn)三種紀(jì)念品，每一種紀(jì)念品均有精品型和普通型兩種，某一天產(chǎn)量如下表:（單位:個）紀(jì)念品紀(jì)念品紀(jì)念品精品型100150普通型300450600現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取200個，其中種紀(jì)念品有40個.(1)求的值;(2)用分層抽樣的方法在種紀(jì)念品中抽取一個容量為5的樣木，從樣本中任取2個紀(jì)念品，求至少有1個精品型紀(jì)念品的概率;(3)從種精品型紀(jì)念品中抽取5個，其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下：，把這5個數(shù)據(jù)看作一個總體，其均值為10，方差為2，求的值.21．（本題12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)恰好為，點(diǎn)到直線的距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)．記與面積分別為，求的值．22．（本題12分）已知函數(shù).(1)若在上有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若對任意實(shí)數(shù)恒成立，證明：.廣東實(shí)驗中學(xué)2024屆高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)參考答案一、單選題1．A【詳解】因為復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的點(diǎn)是，所以位于第一象限.故選：A2．D【詳解】因為，，所以，，故向量在向量上的投影向量是.故選：D．3．B【詳解】解：對于命題，可得到，但是與9沒有關(guān)系，當(dāng)命題，整理，即得到，故是的必要不充分條件.故選：B.4．B【詳解】由題意得，此人每分鐘心跳的次數(shù)為.故選：B5．D【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以即，即，所以，因為數(shù)列是等比數(shù)列，且，所以，，所以，即，所以（無解）或，即又因為，所以，所以，所以，故選：D.6．B【詳解】將圓臺的側(cè)面沿著母線剪開，展成平面圖形，延長交于點(diǎn)，連接，如圖，顯然弧的長為，弧的長為，設(shè)，則，，則，即，得，于是是的中點(diǎn)，，因此是等邊三角形，有，且與弧相切，則在此側(cè)面展開圖內(nèi)，所以螞蟻爬行的最短路線即線段，.故選：B7．D【詳解】趨向于0時，趨向于0，趨向于正無窮時，趨向于0，則的兩條漸近線分別為，，所以該函數(shù)對應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在，夾角（銳角）的角平分線上，設(shè)且，若，分別是，的傾斜角，故，，故為雙曲線旋轉(zhuǎn)后其中一條漸近線的傾斜角，由，即，整理得，可得（負(fù)值舍去），所以繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于軸上的雙曲線一條漸近線斜率為，故.故選：D.8．A【詳解】令，則，由題意可知：對任意恒成立，且，可得，解得，若，令，則，則在上遞增，可得，即對任意恒成立，則在上遞增，可得，綜上所述：符合題意，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多選題9．BCD【詳解】在末,點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；，扇形的弧長為；設(shè)在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合，則，故在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合；,經(jīng)過s后，可得，面積的可取得最大值.故選:BCD.10．AC【詳解】由于，故，，……，，，A選項，原來的極差為，去掉后，極差為，極差變小，A正確；B選項，原來的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，B錯誤；C選項，原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，C正確；D選項，，從小到大排列，選第3個數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，，故從小到大排列，選擇第3個數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，由于，第25百分位數(shù)變大，D錯誤.故選：AC11．AC【詳解】對于A，直線：與直線：，若，則，即，又，所以，或或，解得或或，正確；對于B，若，則，所以，又，所以或，當(dāng)時，直線：即，直線：即，兩直線重合，不符合題意，舍去；當(dāng)時，直線：即，直線：即，兩直線平行，符合題意；所以，B錯誤；對于C，圓的圓心為，半徑為1，圓心到直線：的距離為，圓心到直線：的距離為，所以直線和直線均與圓相切，正確；對于D，當(dāng)時，直線：化簡為，直線斜率不存在；當(dāng)時，直線：化簡為，直線斜率不存在；D錯誤.故選：AC12．ACD【詳解】當(dāng)時，，可以說是奇函數(shù)，故A正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，與最多一個交點(diǎn)，故B錯誤；因為，所以.對C：在上遞減，需有（）恒成立.當(dāng)時，，又，且當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，.設(shè)，則，由，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為，所以.所以且，即.故C正確；對D：設(shè)，則.因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，又，所以只在有一解，設(shè)為即，所以在上遞增，在上遞減.且，且當(dāng)時，，所以在上有且僅有一個零點(diǎn).故D正確.故選：ACD三、填空題13．42【詳解】由已知甲乙2個節(jié)目不相鄰，排好的6個節(jié)目相對順序不變，即把2個節(jié)目插入6個節(jié)目形成的7個空中，共有種.故答案為：42.14．65【詳解】由題意得，累加得，即，則．故答案為：65.15．.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，因為點(diǎn)到三邊的距離相等，則點(diǎn)到三邊的距離相等又點(diǎn)在平面上的射影落在內(nèi)，所以點(diǎn)為的內(nèi)心.設(shè)的內(nèi)切圓與直角邊，分別相切于，易知四邊形是正方形.因為，且，，所以則的內(nèi)切圓半徑，所以.因為平面，所以為與平面所成的角.因為，所以，所以與平面所成角的正切值為.故答案為：.16．【詳解】設(shè)，，因為點(diǎn)A在第一象限，所以.又A，B均在以線段為直徑的圓上，所以四邊形為矩形，即．因為，所以，即.因為，，所以，即.因為，設(shè)，，則，.對勾函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.當(dāng)時，解得，即，解得；當(dāng)時，解得，即，即，所以.故答案為：.四、解答題（共70分）17．【詳解】（1）在中，，，，，，，（）；（2），，，因為，，當(dāng)，即時，取得最大值.18．【詳解】（1）當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，①，②①②得，∴（）.又滿足上式，∴.（2）∵，∴，∵對于任意的正整數(shù)，恒成立，又易知是增函數(shù)，∴，即.19．【詳解】（1）因為C，M，P，四點(diǎn)共面，所以M，P，三點(diǎn)共線.如圖，取的中點(diǎn)O，連接，因為正三棱柱，所以上下底面為正三角形，所以，可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為x，z軸，過點(diǎn)O且垂直于平面的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

易知，，，，，，.所以，，.所以，由M，P，三點(diǎn)共線，得，解得.（2）由（1）得，結(jié)合得得，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又因為平面的一個法向量為，故，結(jié)合圖可知二面角為銳二面角，則其余弦值為，所以二面角的大小為.20．【詳解】（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的紀(jì)念品數(shù)為現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取200個，其中種紀(jì)念品有40個，則，解得（2）設(shè)所抽取的樣本中有個精品型紀(jì)念品，則，解得所以，容量為5的樣本中，有2個精品型紀(jì)念品，3個普通型紀(jì)念品.因此，至少有1個精品型紀(jì)念品的概率為（3）由題意可得，得由于總體的方差為2，則，可得所以，21．【詳解】（1）設(shè)，則，由線段的中點(diǎn)恰好為，得，所以，整理得，由得直線方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，橢圓的方程為．（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，則．由（1）知，直線的斜率，當(dāng)時，直線的斜率．因為點(diǎn)在橢圓上，所以，兩式相減，整理得，又，所以，直線的斜率為，因為直線的斜率為，所以三點(diǎn)共線，即直線過線段的中點(diǎn)，當(dāng)時，直線也過線