廣州市2023屆普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)數(shù)學(xué)含答案

第1頁/共1頁秘密★啟用前試卷類型：A2023年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)本試卷共5頁?22小題?滿分150分?考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前?考生務(wù)必川黑色字跡的鋼筆或簽字色將自己的姓名?考生號?試室號?座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡的相應(yīng)位置上，并在答題卡相應(yīng)位置上填涂考生號.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦下凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知集合，則集合的子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.8 D.163.函數(shù)在上的圖像大致為（）A. B.C. D.4.已知為第一象限角.，則（）A. B. C. D.5.“回文”是古今中外都有一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（）A.100個 B.125個 C.225個 D.250個6.已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點任鈾上，過點的且線交于兩點，且，線段的中點為，則直線的斜率的取大值為（）A. B. C. D.17.已知三棱錐四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知均為正實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某校隨機抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.07B.這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60C.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為62D.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為62.510.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（）A.函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱B.函數(shù)在有且僅有2個極值點C.若，則的最小值為D.若，則11.已知函數(shù)，點分別在函數(shù)的圖像上，為坐標(biāo)原點，則下列命題正確的是（）A.若關(guān)于的方程在上無解，則B.存在關(guān)于直線對稱C.若存在關(guān)于軸對稱，則D.若存在滿足，則12.平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動點P滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.點的橫坐標(biāo)的取值范圍是B.的取值范圍是C.面積的最大值為D.的取值范圍是三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量與共線，則__________.14.已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.15.已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若.，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.16.在棱長為1正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面上的動點.且平面，則點的軌跡長為__________.點到直線的距離的最小值為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項和為，且（1）求，并證明數(shù)列等差數(shù)列：（2）若，求正整數(shù)的所有取值.18.記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、.已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，（1）求證：；（2）求平面PAB與平面ABCD交角的正弦值.20.為了拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分：從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分.學(xué)生甲參加答題競賽，每次答對的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.（1）求甲前3次答題得分之和為40分的概率；（2）記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.①寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）：②若，求i的最小值.21.已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.（1）求C的方程；（2）直線：與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.22.已知，函數(shù).（1）若，證明：當(dāng)時，：（2）若函數(shù)存在極小值點，證明：秘密★啟用前試卷類型：A2023年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)本試卷共5頁?22小題?滿分150分?考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前?考生務(wù)必川黑色字跡的鋼筆或簽字色將自己的姓名?考生號?試室號?座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡的相應(yīng)位置上，并在答題卡相應(yīng)位置上填涂考生號.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦下凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)及模，即可計算作答.【詳解】復(fù)數(shù)，則，，所以.故選：A2.已知集合，則集合的子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式，并結(jié)合已知用列舉法表示集合A作答.【詳解】解不等式，得，因此，所以集合的子集個數(shù)為.故選：C3.函數(shù)在上的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由奇偶性排除兩個選項，再取特值即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為，而，且，即函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于原點不對稱，排除選項CD；而當(dāng)時，，排除選項A，選項B符合要求.故選：B4.已知為第一象限角.，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，兩邊平方求出，判斷的正負(fù)并求出，再利用同角公式計算作答.【詳解】因為為第一象限角，，則，，，即，解得，，所以.故選：D5.“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（）A.100個 B.125個 C.225個 D.250個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再由0出現(xiàn)的次數(shù)分類求解作答.【詳解】依題意，五位正整數(shù)中“回文數(shù)”具有：萬位與個位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類辦法：最多1個0，取奇數(shù)字有種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有種，它們排入數(shù)位有種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個數(shù)是個，最少2個0，取奇數(shù)字有種，占萬位和個位，兩個0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個數(shù)是個，由分類加法計算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個.故選：C6.已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點任鈾上，過點的且線交于兩點，且，線段的中點為，則直線的斜率的取大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線C及直線PQ的方程，借助垂直關(guān)系求出拋物線方程及點M的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，拋物線的焦點在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點，弦的中點的縱坐標(biāo)為，則點，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以直線的斜率的取大值為.故選：A7.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A8.已知均為正實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法當(dāng)時，，排除選項A，B，C；再證明選項D成立.【詳解】已知均為正實數(shù)，,當(dāng)時，，滿足成立，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤，對于D，由已知，則，.由則，所以，即，得，，即.下面證明，.設(shè)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以>，即.所以，故D正確，故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某校隨機抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.07B.這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60C.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為62D.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為62.5【答案】AC【解析】【分析】運用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及頻數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)計算公式計算即可.【詳解】對于A項，因為，解得：，故A項正確；對于B項，人，故B項錯誤；對于C項，因為，，，所以第78百分位數(shù)位于之間，設(shè)第78百分位數(shù)為x，則，解得：，故C項正確；對于D項，因為，即：估計該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為，故D項錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（）A.函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱B.函數(shù)在有且僅有2個極值點C.若，則的最小值為D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)圖象的對稱性求出，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項分析、計算判斷作答.【詳解】依題意，，即，而，則，，對于A，因為，于是函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，A正確；對于B，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上有且只有兩個極值點，所以函數(shù)在有且僅有2個極值點，B正確；對于C，因為，又，因此中一個為函數(shù)的最大值點，另一個為其最小值點，又函數(shù)的周期為，所以的最小值為，C錯誤；對于D，依題意，，則，因此，D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，點分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標(biāo)原點，則下列命題正確的是（）A.若關(guān)于的方程在上無解，則B.存在關(guān)于直線對稱C.若存在關(guān)于軸對稱，則D.若存在滿足，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出方程在上有解的a范圍判斷A；設(shè)出點的坐標(biāo)，由方程有解判斷B；設(shè)出點的坐標(biāo)，建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的值域判斷CD作答.【詳解】函數(shù)，對于A，方程在上有解，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，因此關(guān)于的方程在上無解，則或，A錯誤；對于B，設(shè)點，依題意，點Q關(guān)于直線對稱點在函數(shù)的圖象上，即關(guān)于t的方程有解，即有解，此時，令函數(shù)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，它們的取值集合分別為，因此函數(shù)的值域為，又，于是在有解，所以存在關(guān)于直線對稱，B正確；對于C，設(shè)點，則點P關(guān)于y軸對稱點在函數(shù)的圖象上，即，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，恒有，因此，C正確；對于D，令，由得，顯然，且，，令，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，即有，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，D正確.故選：BCD12.平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動點P滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.點的橫坐標(biāo)的取值范圍是B.的取值范圍是C.面積的最大值為D.的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】設(shè)出點P的坐標(biāo)，列出方程并化簡整理，放縮解不等式判斷A；利用幾何意義并結(jié)合求函數(shù)值域判斷B；利用三角形面積公式計算判斷C；取點計算判斷D作答.【詳解】設(shè)點，依題意，，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解不等式得：，即點的橫坐標(biāo)的取值范圍是，A錯誤；對于B，，則，顯然，因此，B正確；對于C，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，點P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對于D，因為點在動點P的軌跡上，當(dāng)點P為此點時，，D錯誤.故選：BC【點睛】易錯點睛：求解軌跡方程問題，設(shè)出動點坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡整理求解，還應(yīng)特別注意：補上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量與共線，則__________.【答案】.【解析】【分析】運用平面向量共線及向量的模的坐標(biāo)計算公式求解即可.【詳解】由題意知，又因為，所以，所以，所以，所以，所以.故答案為：.14.已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.【答案】【解析】【分析】分析可知是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得，然后利用裂項相消法可求得的值.【詳解】因為數(shù)列是正奇數(shù)列，對于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，，則，因此，.故答案為：.15.已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若.，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)探討單調(diào)性，求解不等式作答.【詳解】令函數(shù)，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：16.在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面上的動點.且平面，則點的軌跡長為__________.點到直線的距離的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出平面截正方體所得截面，再確定點的軌跡，計算長度即可；再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點到直線的距離作答.【詳解】在正方體中，連接，如圖，對角面矩形，因為點分別是棱的中點，則，而，即平面截正方體所得截面為梯形，顯然過點與平面平行的平面交平面、平面分別于，因此，連，平面、平面與平面分別交于，，因此，而，即四邊形為平行四邊形，于是，即點M為的中點，同理為中點，，因為動點始終滿足平面，于是平面，又在側(cè)面上，所以點的軌跡是線段，軌跡長為；以點D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，令，則有，，于是點到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以點到直線的距離的最小值為.故答案為：；【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項和為，且（1）求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列：（2）若，求正整數(shù)的所有取值.【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)證明為定值即可；（2）先根據(jù)（1）求出，再利用錯位相減法求出，從而可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【小問1詳解】由，得，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，兩式相減得，即，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得，所以，，，兩式相減得，所以，則，由，得，即，令，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，由，，則當(dāng)時，，所以若，正整數(shù)的所有取值為.18.記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、.已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡可證得結(jié)論成立；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可得出，結(jié)合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面積.【小問1詳解】因為，則，即，由正弦定理可得，因此，.【小問2詳解】因為，由正弦定理可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，，可得，即，所以，，則，，所以，，則為銳角，且，因此，.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，（1）求證：；（2）求平面PAB與平面ABCD交角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連接，可證明，，進而可證平面，則結(jié)論成立；（2）過做平面，過做于，則為平面PAB與平面所成角，根據(jù)題中所給條件計算，的長，求出正切值，進而求出正弦值.【小問1詳解】取中點，連接，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，即，因為，所以；因為△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，所以；，所以平面，平面，所以.【小問2詳解】過做平面，過做于，則為平面PAB與平面所成角，由（1）可知：平面，平面，所以平面平面，平面平面，則直線，由題意可知，，又，所以，在直角三角形中，，所以，，過做于，則，在中，，，則，，所以，所以，，則.20.為了拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分：從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分.學(xué)生甲參加答題競賽，每次答對的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.（1）求甲前3次答題得分之和為40分的概率；（2）記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.①寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）：②若，求i的最小值.【答案】（1）；（2）①，，且；②5.【解析】【分析】（1）甲甲前3次答題得分之和為40分的事件是甲前3次答題中恰答對一次的事件，再利用相互獨立事件概率的乘法公式計算作答.（2）①求出，再分析、寫出與滿足的等量關(guān)系式作答；②利用構(gòu)造法求出的通項，列出不等式并結(jié)合單調(diào)性作答.【小問1詳解】甲前3次答題得分之和為40分的事件是：甲前3次答題中僅只答對一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率.【小問2詳解】①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，則，甲第2次答題得40分、20分、10分的概率分別為，則，顯然，，甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，因此第次答對題所得分?jǐn)?shù)為，答錯題所得分?jǐn)?shù)為10分，其概率分別為，于是甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以與滿足的等量關(guān)系式是：，，且；②由①知，，當(dāng)時，，而，因此數(shù)列以為首項，為公比的等比數(shù)列，，于是，由得：，顯然