新人教A版必修一 集合的含義與表示 教案

集合的含義與表示

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

集合的含義與表示B了解集合的含義、元素與集合的“屬少考

于“關(guān)系，能用自然、圖形、集合語言

描述不同的具體問題。

集合的概念A(yù)了解集合的含義。少考

集合中元素的性質(zhì)A了解集合中元素的性質(zhì)。少考

元素和集合的關(guān)系A(chǔ)了解元素與集合的屬于關(guān)系。少考

集合的表示法B能用自然語言、圖形語言、集合語少考

言（列舉法或描述法）描述不同的具

體問題.

常見的數(shù)集及其記法B了解常見數(shù)集及其記法，并能正確少考

使用相應(yīng)集合的符號.

集合的分類A了解集合的分類。少考

空集的概念B在具體情境中，理解空間的含義.少考

知識提要

集合的含義與表示

集合的含義與表示主要包括對集合概念（尤其是對空集）的辨析、判斷元素與集合的關(guān)系以及

常見數(shù)集的記法.

集合的概念

一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成

的集合（set）（或集）.構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素（element）.集合通常用英

語大寫字母A,B,C,…來表示，它們的元素通常用英語小寫字母a,b,c,…來表示.

集合中元素的性質(zhì)

集合中元素的性質(zhì)包括：

?集合中元素的確定性給定集合中的元素必須是確定的，也就是任何一個對象或者在給定集合

中，或者不在給定集合中，二者必居其一.

?集合中元素的互異性給定集合中的元素是互不相同的，也就是說集合中的元素是不可能重

復(fù)出現(xiàn)的.

?集合中元素的無序性集合中的元素不考慮順序，只要構(gòu)成兩個集合的對象是一樣的，就稱

這兩個集合是相同的.

元素和集合的關(guān)系

給定一個集合4任何一個對象a是不是這個集合的元素就確定了.若a是集合4的元素就說a屬

于(belongto)集合A,記作a64；若a不是集合4中的元素，就說a不屬于(notbelongto)集

合4,記作a04.

集合的表示法

集合的表示法包括：

?列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

?描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內(nèi)

先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫

出這個集合中元素所具有的共同特征.如：所有奇數(shù)的集合表示為岳=&eZ|x=2k+

l,kez}.

常見的數(shù)集及其記法

常見的數(shù)集及其記法有：

?全體非負整數(shù)組成的集合稱為自然數(shù)集，記作N；

?全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；

?全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z;

?全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q;

?全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作R.

集合的分類

含有有限個元素的集合稱為有限集，含有無限個元素的集合稱為無限集.我們通常用card(A)

來表示有限集合4中元素的個數(shù).

空集的概念

?空集不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),記為0.

精選例題

集合的含義與表示

1.已知集合M中的元素是(2,-2),2,-2,則集合M中的元素個數(shù)是.

【答案】3

【分析】集合M中的元素為(2,-2),2,-2,其中(2,-2)是一個實數(shù)對，所以共3個.

2.當a滿足時，集合4={x|3x-a<0,xeN+}表示集合{1}.

【答案】3<a46

【分析】由3x-a<0得x<],

故4表示集合{1}時，必須且只需1<三42,解得3<a46.

3.有下歹!J4個結(jié)論：①ae{a}；②0e{0}；③a€0；④a00.其中不正確結(jié)論的序號

是.

【答案】③

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，知①正確；②中集合中的元素是空集，故②正確；由于空

集是不含有任何元素的集合，故③不正確，④正確.

4.設(shè)集合4={%-2,2/+5%,12},若一3GA,貝卜的值是.

【答案】-|

5o已知關(guān)于％的不等式(a久一5)(比2一①<0的解集為M,若3eM且50M時，則實數(shù)a的取

值范圍是.

【答案】l《a<|或9<a425

【分析】由已知條件知牒I袈5?)<》°0.

6.已知集合M={0,1},集合4={%|%=/+2X2,XIEM,i=1,2}.用列舉法表示集合A.

【解】4={0,123}.

7o若xGR,則{3,陽/一2%}中元素%應(yīng)滿足什么條件？

【解】因為，集合的元素具有互異性，

所以久。3且％W/—2%且3W/-2%,

所以％所應(yīng)滿足的條件是％W3且%W0且％豐-1.

8.數(shù)集人滿足條件：10A,若Q6A,則——6A.

l-a

(1)若264則4中至少含有哪些元素？

【解】由2€4,得名e4所以一164

由一1GA,得「一eA,所以;GA;

由;€A,7GA,所以2GA.

21-5

所以a中至少含有元素2,支-1.

(2)4能否為單元素集合(只含有一個元素的集合)？若能，求出集合4若不能，說明理由.

【解】設(shè)4為單元素集合，則a=士，即a?-a+l=0,該方程無實數(shù)解.

所以A不能是單元素集合.’“

2

90已知集合4={%GR|ax—3%+2=0,aWR}.

(1)若“是空集，求a的取值范圍；

【解】若/=0,方程a/一3%+2=0無解，

則aW0且4=(-3)2-4-a-2<0,

解得a>

o

(2)若4中至多只有一個元素，求a的取值范圍.

【解】若4中至多只有一個元素，

則方程a/-3%+2=0滿足，

aW0且4=(-3)2—4-a-2<0,或a=0,

解得Q>，或a=0.

10.用適當方法表示下列集合:

⑴方程底方+1y-2|=0的解集;

【解】由算術(shù)平方根及絕對值的意義，可知「乙二。

解得卜=一支

ly=2.

因此該方程的解集為{(-Q)}.

(2)由二次函數(shù)y=3/+1圖象上所有點組成的集合.

【解】首先此集合應(yīng)是點集，是二次函數(shù)y=3%2+1圖象上的所有點,

故用描述法可表示為{(居y)Iy=3x2+l,xeR).

集合的概念

nn+1

loAn={x\2<x<2,x=3m,mGN},若|4九I表示集合“九中元素的個數(shù)，則I&I

=，I&I+14I+1“3I"I---H^101=-

【答案】11；682

【分析】當幾=5時,2、<3m<26,

所以甘<血<3即11(血(21,

911n

所以I41=11-由于2n不能整除3,—=682

所以當21<<2]1時，符合條件的小的值共有682個，

所以I41+141+141+-+Mio1=682.

2.集合相等：只有構(gòu)成兩個集合的元素是的，才說這兩個集合是相等的.

【答案】一樣

3。在“①高一數(shù)學(xué)課本中的難題；②所有的正三角形；③方程/+2=0的實數(shù)解”中，能夠

表示成集合的是.

【答案】②③

4o當a、b滿足時，集合4=(x\ax+2=b}=R；

當a、b滿足時，集合4={無|a無+2=b}=0.

【答案】a=0,b=2,a=0,b02

【分析】無的方程ax+2=b可化為ax=b-2,

由4={%|a%+2=b}=R知a=0,b=2;

由4={%|ax+2=b}=0知,a=0,b豐2.

5o設(shè)[%]表示不超過％的最大整數(shù)，集合4={yIy=[%]+[2x]+[3x]+[4x],0<%<10}

中的元素個數(shù)為個.

【答案】61

【分析】設(shè)％=[%]+E[0,1).

當a60，)時，/(x)=10[%]；

當a6達)時，f(x[=io[x]+1;

當aG時/(%)=10W+2；

3，|)時，/W=10[x]+4；

當a6

當a6時，f(x)=10[x]+5;

當aG*1)時，/(x)=10[x]+6.

所以在0<x<10時,㈤=0,1,2,3,…,9,由上知〃無)可以取6x1060,若田=10,則/(無)

只取1個值，故集合4中共有61個不同元素.

6o若集合4={x|%2+(a-l)x+b=0}中僅有一個元素a,求a、b的值.

-I)2-4b=0,

【解】由題意,解得《:

+(a—l)a+b=0,b=9

7o2008年奧運會中國代表團中，參加過上屆奧運會的運動員組成一個集合;

【解】正確.因為滿足集合中元素的確定性與互異性.

8。由5,6,7組成的集合與由7,6,5組成的集合是同一個集合.

【解】正確.集合中的元素相同.

9.已知集合?/1={%|mx2—2%+3=0,m6R}.

(1)若4是空集，求小的取值范圍；

【解】:4是空集，

方程--2比+3=。無實數(shù)根，

m0,且4=(—2)2—3x4m=4—12m<0,解得m>

即m的取值范圍為Im>|J.

(2)若4中只有一個元素，求利的值；

【解】?；4中只有一個元素，

方程一2尤+3=0只有一個實數(shù)根.

若m=0,方程為-2u+3=0,解得x=|,此時4={|};

若m豐0,則4=0,即4—12m=0,解得m

m=0或m

(3)若A中至多普一個元素，求加的取值范圍.

【解】4中至多有一個元素包含4中只有一個元素和4是空集兩種情況，

由(1)(2)可知m的取值范圍為{m|m=0或m》|j.

10?已知關(guān)于％的方程aM+bx+c=0(a0),當a、b、c滿足什么條件時,解集分別為空

集、含一個元素的集合、含兩個元素的集合？

【解】當02—4ac<0時，方程的解集為空集；

當廣―4ac=0時，方程的解集含一個元素；

當戶—4ac>0時，方程的解集含兩個元素.

集合中元素的性質(zhì)

1?已知集合4={a+2,2。2+a},若364則a的值是.

【答案】-|

2。由下列對象組成的集體屬于集合的是(填序號).

①不超過n的正整數(shù)；

②本班中成績好的同學(xué)；

③高一數(shù)學(xué)課本中所有的簡單題；

④平方后等于自身的數(shù).

【答案】①④

3.已知集合M含有三個元素1,2,小,則％的值為

【答案】x豐±1,且光豐+V2

【分析】根據(jù)元素的互異性知/71,且/42,

所以xH±l,且xH±四.

4o已知工€{12/},則實數(shù)％的值為.

【答案】0或2

【分析】當％=1時，1與％2相同，與集合元素的互異性矛盾;

當％=2時,x2=4,符合題意；

當％=久2時,％=1(舍去)或第=0,

經(jīng)檢驗，x=0時符合題意，

所以％的值為0或2.

2

5.已知集合M={a-3,2a-lfa-4},且一3GM,則實數(shù)。的取值所組成的集合是

【答案】{0,1}

【分析】若。一3=-3,貝!ja=0符合題意；

若2a—1=-3,則a=-1,此時2a-1=M-1=—3,M不是三元集,舍去;

若小—4=—3,則a=±1,舍去a=-1.

60設(shè)A為實數(shù)集，且滿足條件：若aW4則——W/(aHl).

i-cL

求證：

(1)若2WA,貝！M中必還有另外兩個元素；

【解】若aW4,則一一€力.

l-a

又2eA,所以三=-1

因為一1e4,所以一下=；e4

因為；6A,所以一I=2GA.

21-5

所以4中另外兩個元素為-1,右

(2)集合4不可能是單元素集.

【解】若4為單元素集，則a=小,

即小—。+1=o,方程無解.

所以a#4，4不可能為單元素集.

7o已知集合4={x|ax?+2%+1=0,aeR,xeR},

(1)若4=。，求a的取值范圍；

【答案】a〉l.

【解】因為4=0，所以方程a/+2%+1=0無實根.

當a40時，4<0,解得a>1；

當Q=0時，％=-稱不符合題意.

所以Q>1.

(2)若/中只有一個元素，求a的值；

【答案】。=0或。=1時，4中只有一個元素.

【解】/中只有一個元素等價于方程a/+2%+1=0只有一解或有兩相同實根.

若QW0,則4=0,解得a=1,此時％=—1.

若a=0,則％=—|.

所以。=0或a=1時，Z中只有一個元素.

(3)若Z中至多有一個元素，求a的取值范圍.

【答案】當或a=0時，/中至多有一個元素.

【解】4中至多有一個元素等價于方程a-+2工+1=。至多有一解或有兩相同實根.所

以

4"0,或a：。

laW0.

解得

a>1或a=0.

所以當a>1或a=0時，4中至多有一個元素.

8。設(shè)xeR,集合4中含有三個元素，分別為3,x,x2-2x.

(1)求元素x滿足的條件；

X43,(X3,tx豐3,

【解】由集合元素的特性，需滿足卜2—2久43,即卜2—2%一3/0,解得，3且X4—1,

'%2-2無力招&2_3生中0,QH3且x40,

所以xH—1,且生豐0,且x牛3.

(2)若一2€A,求實數(shù)》.

【解】若一2=%，則一2尤=8,符合集合的定義；若一2=無2-2無，即比2一2%+2=0,

因為4=4—8<0,故方程無解，所以x=—2.

9o已知集合A={為6R|a為2+2%+i=o,aeR}.若A中元素至多只有一個，求實數(shù)a的取值

范圍.

【解】(i)a=0時，原方程為2x+1=0=x=-5符合題意；

(ii)a豐0時，方程a/+2x+1=。為一元二次方程，依題意4=4-4a<0=>a>l.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是a>1或a=0.

1。.已知關(guān)于％的不等式等<0的解集為M.

(1)當a=4時，求集合M；

【解】當a=4時，不等式化成寫<0,

解得％<且％W0.

4

故M={x|久<|,且x豐oj.

(2)當3CM且5cM時，求實數(shù)a的取值范圍.

【解】由3CM,得若<0,

即3a-5<0,

所以a<|.

當5￡M時，a<1.

所以當5%M時，a》1.

所以aE[i,g.

元素和集合的關(guān)系

1。已知集合4={xIa%3+/一X=0},若集合4是單元素集，則實數(shù)a的取值范圍

為.

【答案】{a|a<—[}

【分析】因為ax?+%2—%=0,所以％(a/+%—1)=0,所以％=0或a/+%—1=0,

因為集合/是單元素集，所以關(guān)于％的方程a/+%—1=0沒有實數(shù)根，所以4=l+4a<0,解

得a<—即實數(shù)a的取值范圍為{a|a<—1}.

2a已知集合4={(x,y)|x+y=1},若(a,4)eA,則。=.

【答案】-3

3?已知a41時，集合4={%la《為《2-研中有且只有三個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍

是?

【答案】{aI—1<a<0}

【分析】由a《l,貝吃—a21,所以1必在集合4中.若區(qū)間端點均為整數(shù)，則a=0,集

合4中有0,1,2三個整數(shù)，所以a=0符合題意；若區(qū)間端點不為整數(shù)，則區(qū)間長度應(yīng)滿足2<2-

2a<4,解得—l<a<0,此時，集合A中有0,1,2三個整數(shù)，所以一1<a<0符合題意.綜上a

的取值范圍是{a|-1<a<0}.

4.元素與集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法

如果________的元素，

元素與屬于就說。屬于集合4aeAa屬于集合4

集合的

關(guān)系

如果________的元素，

不屬于

就說。不屬于集合力aiAa不屬于集合4

【答案】Q是集合4a不是集合A

5o集合4={x|*eZ,xeN},則它的元素是.

【答案】L2,4,5,7

6.已知集合S=…，》3）,集合TU{（%,y）|%WS,y￡S,%Wy},且滿足：VaP

ctjGS（i,j=1,2,3,…，弭iwj）,@嗎）GT與（町右）GT恰有一個成立.對于T定義詢（見力）=

{1b）^3rji

1

0%'a）GT%Q）=的）+4T（。力a2）H----FdT（aitai_1）+cci+1）+—F

dT^ai，cxn）（i=1,2,3,…，zi）.

若n=4,（如a2）,（a3,a2）,（a2,a4）GT,求4（%）的值及》（。4）的最大值?

【解】因為（。1，。2）,（。3,。2）,（。2.。4）￡T,

所以。1）=0，47（。2，。3）=0,4?。ā?，。4）=1,

故/式的）=L

因為（3。4）ET,

所以日7（614，。2）=。,

所以1T（。4）=。1）+。2）+。?。ā?1。3）＜1+0+1=2.

所以當Q，。4），（。4,。3），（。4,由）W7時，

心（。4）取得最大值2.

7o設(shè)集合Z={%|%=a+y[2b,a,bEN*},解方程%2+%—8—5V2=0,x6A.

【解】％=a+y[2b,a,bGN*,則

2

（a++（a+—8—5V^=0,

由a,bEN*,則

（a2+人2+a—8=0,....①

12ab4-b—5=0.....②

由CD，b=2&+]eN*,故a=2,b=1.

a，b值代置D，滿足方程._

故滿足要求的原方程的解為2+V2.

8.已知數(shù)集M滿足條件：若a6M,則戶6M（a4±l,a大0）.

1—CL

（1）設(shè)26M,試把由此確定的M的其他元素全部求出來，并指出這時M中共有多少個元素;

【解】若26M,則分=—36M,則

1—21—（—3）2

1+（二）11+-

則一=則T=2eM,

i-V）3'

以后循環(huán)，于是M={2,—3,—],才共4個元素.

（2）自己設(shè)計一個數(shù)屬于M,再把由此確定的M的其他元素全部求出來；

【解】取a=36M,仿上得M={3,—2,一另}.

（3）比較（1）與（2）的結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？試寫出你的發(fā)現(xiàn),并大膽嘗試如何給出證明.

【解】比較（1）與（2）的結(jié)論，猜想集合M中只含4個元素，且兩兩互為負倒數(shù)，猜想證明

如下：

由aWM,則^—eM（a40,aH±1）.

1J+a

由*eM,則有Ti=一工€”,

1-CL1---1-aCL

a-1

則1一+0^=則一11=

1-（F）a+lr-—

以后重復(fù)以上過程，故”中只含有4個元素，即M={a，m，-^霍力

9.已知集合S是元素為正整數(shù)的非空集合，同時滿足”若xes,則孩es”.

（1）如果集合S是單元素集,求集合S;

【解】若xes,則至es,如果集合s是單元素集，貝卜=竺.

XX

所以比2=16,所以x=±4.而集合S的元素為正整數(shù)，

所以x=4,即5={4}.

（2）集合S最多含有多少個元素？求出這個集合S.

【解】設(shè)xes,則至es.

X

因為集合S的元素為正整數(shù)，所以居-6N+，

所以x只可能取1,2,4,8,16.

若1CS,則166S；若26S,則86S.

而由（1）知，如果集合S是單元素集，則集合5={4},

故集合S最多含有5個元素，這個集合是S={1,2,4,8,16}.

lOo已知集合A={xIax2+2%+1=0,aER,%ER}.

(1)若/中只有一個元素，求a的取值范圍；

【解】因為方程a-+2%+1=0只有一個解，

若a=0,則％=-|；

若aW0,則4=0,解得a=1,此時％=—1.

所以。=0或a=1時，Z中只有一個元素.

(2)若4中至少有一個元素，求a的取值范圍.

【解】①4中只有一個元素時，。=0或。=1.

②A中有兩個元素時，

解得a<1且aW0.

綜上知4中至少有一個元素，Q的取值范圍為a<1.

集合的表示法

io集合{L1,|[,…}可用描述法表示為.

【答案】{x|x=：,neN*}

2。方程比2一5x+6=0的解集可表示為_______；方程組腎+資=蕓的解集可表示

--------(3%-2y=U

為—.

【答案】{2,3};{(2,3)}

3o集合{無|8<尤<12,x€N}用列舉法可表示為.

【答案】{9,10,11}

4.用列舉法表示不等式組{:+>2%-]的整數(shù)解的集合：.

【答案】{-1,0,1,2}

5o已知/={-2,—1,0,1},B={y\y=\x\,xEA},則8=.

【答案】{0,1,2}

6o用列舉法表示下列集合:

(1)A=[xE7,\-2<%<6}；

【解】4={-2,—1,0,1,2,3,4,5}.

(2)B={y\y=-x+4,xEN,yEN)；

【解】B={4,321,0}.

(3)C={xeN|^GN).

【解】C=[0,6,8).

7o用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?/p>

(1)方程比(/+2%+1)=。的解集；

【解】因為方程無(/+2x+1)=0的解為。和一1,

所以解集為{0,—1}；

(2)在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；

【解】{x|x=2n+1,且x<1000,rieN}；

(3)不等式x-2>6的解的集合；

【解】{%Ix>8}；

(4)大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合.

【解】{1,2,3,4,5,6}.

8。用列舉法表示下列集合A：

A={(x,y)|x+y=2,xeN,yeN)；

A=[x\xeN,^ez].

【解】A=[(x,y)|x+y=2,xeN,yeN}={(0,2),(1,1),(2,0)).

A={xIxeN,￡ez}={0,1,2,15,6,9).

9o用另一種方法表示下列集合：

(1){-3,-1,1,3,5);

【解】{幻光=2k—1,/ceZ,且一14k43}.

(2)已知M={2,3},P=((x,y)\xeM,y&M},寫出集合P；

【解】P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)).

【解】{尤=鬻,neN*}.

10o已知全集U={0,123,4,5,6},集合4={%6N|l<x<4},B={%eRIx2-3x+2=0},

(1)用列舉法表示集合4與8;

【解】/4={xGN|l<x<4}={2,3,4},B={xGR|x2-3x+2=0]={1,2},

所以用列舉法表示集合4與B為：A={2,3,4},B={1,2}.

(2)求4CB及Cu(4UB).

【解】由(1)可得：4CB={2},4UB={1,2,3,4),

又因為U={0,1,2,3,456},所以CuQ4UB)=[0,5,6).

常見的數(shù)集及其記法

io已知集合a={x|—1<%c1},則力nz—

【答案】{-1,0,1)

2。用列舉法表示下列集合：

(1)4={%6N||x|<2]=;

(2)B={xeZ||x|<2]=；

(3)C-{(x,y)|x2+y2=4,xeZ,yGZ)=.

【答案】(1){0,1,2}；(2){-2,—1,0,1,2}；

(3){(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2)}

【分析】(1)因為|xl42,所以一24久42,

又因為X6N,所以x=0,l,2,故4={0,1,2}.

(2)因為|x|42,所以一24％42,

又因為XCZ,所以久=一2,-1,0,1,2,故8={-2,—1,0,1,2}.

(3)因為/+y2=4,xez,yeZ,

所以x=—2,y=0,x=2,y=0,x=0,y=2,x=0,y=—2,

故C={(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2)}.

3。常用數(shù)集及表示符號:

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號

【答案】N,N*或N+，Z,Q,R

4o有下列關(guān)系：

①打R；②

③|-3匠N*；@|-V3|eQ.

其中正確關(guān)系的個數(shù)為.

【答案】2

【分析】顯然,CR,①正確;魚任（2,②正確；|—3|=3eN*,|—B|=g《Q,故③④不正

確.

5.設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a,beP,都有a+b、a—b、ab、"P（除

b

數(shù)6豐0）則稱P是一個數(shù)域,例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，有下列命題：

①數(shù)域必含有0,1兩個數(shù)；

②整數(shù)集是數(shù)域；

③若有理數(shù)集QUM,則數(shù)集M必為數(shù)域；

④數(shù)域必為無限集.

其中正確的命題的序號是.（把你認為正確的命題的序號都填上）

【答案】①④

【分析】若aCP,"0,則a-a=0CP,?=1CP,故①正確；

1ez,2ez,但：ez,故②不正確；

設(shè)知=（214/},則一e=0-魚0"，故③不正確；

若a。。,aEP,則a+a=2a￡P(guān),a+2a=3a6夕,…，顯然P為無限集.

集合的分類

lo指出下列集合哪些是有限集，哪些是無限集.

（1）一年內(nèi)四個季節(jié)組成的集合;

【解】因為一年內(nèi)四個季節(jié)為春、夏、秋、冬，所以是有限集?

(2)方程/-7%+10=。的實數(shù)解組成的集合；

【解】因為方程——7久+10=0的解為％=2或x=5,故為有限集?

(3)不等式3x+5>0的解集.

【解】因為3x+5>0的解集為{xIx>-|卜有無數(shù)個實數(shù)符合條件，故解集為無限集?

空集的概念

1.下列四個集合：①{0};②{xeR|/+2=0}；③|x,y)I{：=［力；④{xllx|<0}.其

中空集的個數(shù)為.

【答案】3

2.集合M={x\x2+2x-a=0},若0呈M,則實數(shù)a的范圍是.

【答案】

3o空集

(1)定義：的集合叫做空集.

(2)用符號表示為:.

(3)規(guī)定：空集是任何集合的.

【答案】(1)不含任何元素;(2)0；(3)子集

4,方程1+x-2=0的全體實數(shù)解組成的集合為.

【答案】0

5o己知集合M=(x|2m<x<m+1},且M=0,則實數(shù)m的取值范圍是.

【答案】1

【分析】因為M=0,所以2m》?n+l,所以m》1.

6a已知集合4={xIx2-ax+a2-19=0},B=(x]x2—5x+6=0},C={x\x2+2x—

8=0}.

(1)若求實數(shù)a的值；

【解】因為4nB=4UB,所以4=B,

于是2,3是方程/-a為+a2-19=0的兩個根，

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，仁：：=*解得a=5.

(2x3=。-19,

(2)若0wAn8/nc=0,求實數(shù)Q的值.

【解】由0W/CIB,71nc=0,得3E4,204-404

由3G4得32-3a+a2-19=0,解得a=5或a=-2.

當a=5時,/={2,3},與204矛盾；

當。二一2時，A={3,-5],符合題意.

綜上,a=-2.

7o已知集合/={%|-2<%<5},8={x|汽>2或％V—4),C={%|2a<%<a+3},

若G4nB)nc=c,試確定實數(shù)a的取值范圍.

【解】由題意得/A^={%I2<%<5].

因為(AnB)nc=C,

所以cuQ4nB).

當c=0時，有2a>a+3,解得a>3；

a+345

當C工。時，由CU04n8)可得12a<a+3,解得1<a<2.

、2<2a

所以1<a<2或a>3,

即實數(shù)a的取值范圍為{aI14a42或a》3}.

8。設(shè)集合4={x層42T<4},B={x\x2—3mx+2m2—m—1<0}.

(1)當xeZ時，求A的非空真子集的個數(shù)；

【解】由已知，得

A={x|—2<x<5},

B={x|(x—m+1)(%—2m-1)<0}.

由xez,得4={-2,—1,0,1,2,3,4,5},即4中含有8個元素.

因此,4的非空真子集數(shù)為28-2=254.

(2)若8=0,求m的取值范圍；

【解】根據(jù)題意，只有當m-1=2m+1,即m=-2時,B=0.

(3)若求m的取值范圍.

【解】當B=0,即7n=—2時，8=0G4;

當根<—2時，B=(2m+l,m—1).若BG4,則必須

/2T?I+1》一2,

tm-145,

解得-1《租《6,這與mV-2矛盾，所以租的值不存在；

當機>一2時，B=(m-Um+1).若BG4則必須

r?7i—1》一2,

1.2m4-1<5,

解得一1<m<2.

綜上,m的取值范圍是[-1,2]U{-2}.

9o已知集合4={x|3<x<7],B={%|2<x<10},C—{x\x<a].

(1)求4UB,S)ClB

【解】因為A={xI3<x<7},所以C/l={久I久<3或x>7}

又因為B={xI2<x<10},所以4UB=(%|2<%<10},(C“A)C\B={x\2<x<

3或7《久<10}

(2)若4CC70,求a的取值范圍

【解】因為C={%Ix<a}且APC*0,所以a>3.

課后練習(xí)

1.用列舉法表示集合：4={%IWEZ,%CZ}=.

2,若集合4={x,xy,xy—1},其中％GZ,yGZ且yH0,若0G力，則4中元素之和是.

3o已知集合A={%WN|言EN},用列舉法表示集合4為.

4.不等式組，t+J的整數(shù)解的集合為________.

11+%>2%—1,一

5.已知集合4={1,2,3,4,5},B={(x,y)\xEA,yEA,x-yEA),則B中所含元素的個數(shù)

為.

6.方程,一2x—3=0的解集與集合4相等,若集合4中的元素是a,b,則a+b=.

7o對于集合4={3,6,9},若aGA則9—a64那么a的值是.

8o己知集合4={(x,y)Iy=2x+1},B={(x,y)\y=x+3],aGA^.aeB,則a

為.

9o設(shè)2、B為兩個實數(shù)集，定義集合幺+B={%|x=Xi+%2，/64與e8},若2=

{1,2,3},B={2,3},則4+B中元素的個數(shù)為.

10o由實數(shù)x,-x,|x|,>/溟，-&5'所組成的集合最多含有個元素.

llo集合中元素的特性：、、.

12.下列語句：①0與{0}表示同一集合;②由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{2,3,1}；③方

程(x—1產(chǎn)(比+2)=0的所有解的集合可表示為{1,1,—2}；④集合{劃1(尤<8}是有限集.其

中正確的是(把所有正確語句的序號都填上).

13o已知數(shù)集{0,1,1g行中有三個元素，那么x的取值范圍為.

14o由1-2a,3-2a,2可組成一個含有3個元素的集合，則實數(shù)a的取值范圍用集合可表示

為.

15。設(shè)P,Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q={a+b|aeP,6eQ}.若「={0,2,5},Q=

{1,2,6},則P+Q中元素的個數(shù)是.

16.已知集合力含有三個元素1,0,x,^x2EA,則實數(shù)x=.

17.A=[a,b},B={0,1},若A=B,則a,b的值為,______.

18o用符號國"或填空:

(1)若4=2,則―/4：-2A-,

⑵若B={x|2/_%_1=0},則一：_______B；-2B.

19o集合力={xGR||%-2|<5}中的最小整數(shù)為.

200對集合4與B,若Z—B={x|比64且當集合4={xIx48,xeN*},集合B=

{x|x(x-2)(久—5)(%-6)=0}時，則4—B=.

21.若—36{m—1,3m,m2+1},則m.

22.設(shè)集合A={-1,0,1},B={0,1,2},若。={x|xe4且尤0B},則C=.

23=集合M={m\m=2n-l,neN*,m<60}的元素個數(shù)是，這些元素的和

為.

24.已知集合4=&eR|a/_3x+2=0,a€R},若4中元素至多有1個，則a的取值范圍

是?

25?設(shè)集合M={(x,j0|x=(y+3)?|y—1|+(y+3),-14y43},若(a,b)eM且對M中的

其它元素(c,d),總有c>a,則。=.

26o用列舉法表示集合{%eZ||x|+x=0,且x>-5}為.

27o若力={-2,2,3,4}>B={x\x^t2,tEA),用列舉法表示B為.

28o列舉法

把集合的元素________出來，并用花括號"{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

29.能被3整除的正整數(shù)的集合，用描述法可表示為.

30o若集合/={%GZ|—2<%<2],B={y\y=x2+2000,%G/},則用列舉法表示集合

B=.

31o用列舉法表示集合A=[y\y=應(yīng)凹+％eR且％w胃,kGz]=.

csinxIcosxl2)--------------

32o式子言+白+號+高的所有可能取值組成的集合為

lai\b\\a2\\y/-b\------------

33o已知集合時={%61\1I8—xeN},則M中元素的個數(shù)是.

34o用符號e與《填空：

(1).0N*；V3Z；0N；(-1)°N*；V3+2Q；

(2).3{2,3};3{(2,3)};(2,3){(2,3)}；(3,2){(2,3)}.

(3).若a?=3,貝！jaR,若a?=—1,貝！|aR.

35.對于自然數(shù)集N,若a6N,bGN,則a+bN,abN.

36o已知集合4={a6Z|忌6N},則用列舉法表示4=.

37.已知P={%|2<x<eN,keR},若集合P中恰有3個元素，則實數(shù)k的取值范圍

是.

38.已知集合4={x\y=x2+3],B=(y\y=x2+3},C={(x,y)\y=x2+3},它們?nèi)齻€集

合相等嗎？試說明理由.

39.選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)由方程則/—9=0的所有實數(shù)根組成的集合；

(2)由小于8的所有素數(shù)組成的集合；

(3)一次函數(shù)y=x+3與y=-7.x+6的圖象的交點組成的集合；

(4)不等式4x-3<5的解集.

40o已知集合4={0,1,2},集合8={(x,y)|xCe+yC4},其中(x,y)是有序數(shù)對,

求集合B中元素的個數(shù).

41.集合P=(x\y=x2+2行與集合Q={y\y=x2+2行與集合M={(x,y)\y=x2+2行表

示的是同一個集合嗎？

42.設(shè)y=x2+ax+b,A={x\y=x}={a},M={(a,b)},求M.

43.指出下列集合中的元素，并指出是有限集還是無限集.

①方程/=1的解;②平行四邊形的全體；③平面內(nèi)與一定點。的距離等于定長r(r>0)的點

的全體；④方程V2x-1+|3y+3|=0的解集.

44?集合M滿足條件：若a￡M,則產(chǎn)￡M(a4±1且a40)，已知3eM,試把由此確定的

集合M的所有元素求出來.

450判斷下列說法是否正確？并說明理由.

(1)參加2010年廣州亞運會的所有國家構(gòu)成一個集合；

(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；

(3)1,0.5,|彳組成的集合含有四個元素；

(4)高一(三)班個子高的同學(xué)構(gòu)成一個集合.

46o已知數(shù)集A={alfa2,???an)(o4%Va2V…V冊,九》3)具有性質(zhì)P：對任意的

<i<;<n),a；+at,%-七兩數(shù)中至少有一個屬于A.

(1)分別判斷數(shù)集{0,1,3}與{0,2,4,6}是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(2)證明：的=0,且a2+。3+…+ctn——ctn；

(3)證明：n=5時，成等差數(shù)列.

47o設(shè)集合/中有且僅有三個元素1,x,肝一x,求工所滿足的條件.

48o已知集合4={1,%,/一%},8={1,2,%},若集合/與集合B相等,求％的值.

2

49.已知集合/={1,3,行，B={ltx},設(shè)全集為U,若BU(Cu3)=4求QB.

50o已知數(shù)集4={的,劭，…，利}(1<ar<a2<???<an,n>2)具有性質(zhì)P:對任意的

i,j(l&ri),七為與攵兩數(shù)中至少有一個屬于4

⑴分別判斷數(shù)集{1,3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(2)證明：%=1，且占魯:”1=a二

(3)證明:當n=5時，卬。2，&3，。4，。5成等比數(shù)列.

51o已知集合4含有a—2,2a2+5a,12三個元素，且一364求a的值.

52o設(shè)由可表示為兩整數(shù)的平方差的整數(shù)組成的集合為

(1)求證：所有奇數(shù)都屬于M；

(2)為使偶數(shù)2teM,t應(yīng)滿足什么條件？

(3)求證：屬于M的兩個整數(shù)之積屬于M.

53.設(shè)S為數(shù)集，并且滿足：(1)1SS；(2)若aeS,則」-eS.求證：若mCS,則1一三WS.

1-am

54.數(shù)集M滿足條件：若a￡M,則尹￡M(a1,且aH0),已知3GM,試把由此確定的M中

1-Q

的元素求出來.

55.已知集合4={x|(a2-l)x2+(a+l)x+1=0,xER}中僅有一個元素，求a的值.

56?設(shè)4={2,3,a2+2a-3},B={Ia+3|,2},已知5e4且52B,求a的值.