線性代數(shù)期中考試（曲師大版教材）

線性代數(shù)期中考試(曲師大版教材)-筆記

?第一章行列式

?一、行列式的概念

?注意方程的解的表示方法，比如：D1/D,這個(gè)在高數(shù)中也會(huì)用到

?行列式有些性質(zhì)和矩陣還不一樣，比如說行列式的換行換列的問題

?P2三階行列式，注意解法

?P，余子式和代數(shù)余子式

?二、行列式的性質(zhì)

?一定要自己證出所有證明

?三、行列式的計(jì)算

?四、

?系數(shù)行列式D!=0,則該方程組有唯一解det()......

.定理2:只有零解行列式!=0;有非零解一＞行列式=0

?第二章矩陣

?一、矩陣的概念

?本質(zhì)：數(shù)表，表示一種線性變換

?方陣

?同型矩陣

?不同型的零矩陣是不相同的

?n階單位矩陣

?n階對(duì)角陣diag()

?P36旋轉(zhuǎn)變換(極坐標(biāo)表示方法)+矩陣在足球比賽中的應(yīng)用

?二、矩陣的運(yùn)算

?兩個(gè)線性變換的乘積實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)映射的復(fù)合

?行向量x列=數(shù)

?歹Ux彳亍=矩陣

?P39~P40Ax=b

?矩陣的乘法：

?結(jié)合律

?方陣的幕和實(shí)數(shù)鬲一樣

?矩陣的線性運(yùn)算

?矩陣的加法（對(duì)同型矩陣來講）

?交換律

?結(jié)合律

?左分配

?右分配

?矩陣的數(shù)量乘法

?數(shù)乘矩陣是每個(gè)元素都乘，數(shù)乘行列式是乘到某一列或者某一行

?分配律

?結(jié)合律

?行列互換》》》轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算律（記得穿脫鞋襪法則）

?行列式的轉(zhuǎn)置還是行列式

=-入=1如1一°7

二。

⑴57y

(2)(A+B)，=A1+B，.

⑶(AA)r=AAT.

(4)(AB)r=BrAT.

(5)BMr=(4B)r；

?方陣A是對(duì)稱矩陣

?P47方陣的行列式的幾何意義

性質(zhì)1:\A\=0Tl

性質(zhì)2:以a=AMI（其中/是〃階方陣）

性質(zhì)3:|/陰=|氏4|=|/|固（其中/和6都是〃階方陣）

推論:\ABC\=\A\\B\\C\（其中A,B,C是〃階方陣）

推論：|4"|=\A\'"（其中力是〃階方陣）

?|AB|=|BA|

④|A*|=IA

⑤為正整數(shù)。

破A可逆，則|A”‘卜工^了

其中除第四個(gè)性質(zhì)外，其他的性質(zhì)很多教材上都給

出了證明，下面就給出性質(zhì)四的證明。

證明：|A*|=IA「（A為n階方陣）

證明：由公式AA*=|A|E,將公式兩邊同取行列式,

由性質(zhì)2,3得|A||A*|=|A「，

①若|A|K1,則|A*|=|A「

②若|A|=0,有兩種情況A=0,A#0。當(dāng)時(shí)A=0,顯

然,A*=0則；|A*|=0

當(dāng)時(shí),下證：

假設(shè)|A*|KO,則A*可逆，因此由公式AA*=|A|

E=0,知，與已知結(jié)論矛盾，因此假設(shè)不成立，|A*|=0。

綜上卜卜0,當(dāng)時(shí)，|A*|=|AI"",當(dāng)時(shí)|A|=0,

IA*I=0.命題得證。

其中A,是行列式|A|的元索a“的代數(shù)余子式.證明當(dāng)|A|*0鼠

證利用行列式的性質(zhì)

“_〃A|,i

a.iA,i+ai2Ai2d------Fa.A,”=

可得

|A|0???0

0IAI-0

利用性質(zhì)5.

由于|A|￥0,所以—

轍么初i岫琢E

三、逆矩陣(A可逆，則A的行列式不等于零)

?性質(zhì)：P55證明方法

(1)A與B的地位是平等的，故A、B兩矩陣互為逆矩陣.也稱A是B的逆矩陣網(wǎng).

(2)單位矩陣E是可逆的，即8=后一1網(wǎng)。

(3)零矩陣是不可逆的,即取不到B.使OB=BO=E網(wǎng)。

(4)如果A可逆,那么A的逆矩陣是唯一的冏。

事實(shí)上，設(shè)B、C都是A的逆矩陣，則有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C冏。

A的逆矩陣記為A-1,即分AB=BA=E,則8=4-1冏。

可逆矩陣還具有以下性質(zhì)[4].

⑴若A可逆，則A-1亦可逆，且(A-1)T=A陰。

(2)若A可逆，則A丁亦可逆，且(A1)-1=(A-1)T圖.

(3)若A、B為同階方陣Fl均可逆，則AB亦可逆，且(AB)"=B-1A-1圖，

性質(zhì)：設(shè)44均為〃階可逆矩陣，數(shù)及o,則

(1)/J可逆，且(力-1尸=/；

(2)%可逆，且“4尸=:川；

(3)可逆，且(/5尸=5-141;

(4)M可逆，且=

?P52可逆矩陣唯一性的證明+逆矩陣的求法

?行列式不等于零就可逆，例12~例15都非常重要

利用逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)及關(guān)系式=1仙1?可伸訐MEry

設(shè)A.B均為"階可逆矩陣

3雄嘀A

平廣4

作為練習(xí).請(qǐng)讀者自行完成這些證明（提示：先用關(guān)系式A，一|A|A

%A為把伴隨矩陣轉(zhuǎn)換為可逆陣，再利用性質(zhì)6、性質(zhì)5驗(yàn)證）.

利用逆矩陣可以解一些線性方程組和矩陣方程?

國14求解線性方程組

?四、分塊矩陣（P61運(yùn)算法則）

?子塊

?分塊列矩陣

?分塊行矩陣

?分塊對(duì)角陣

?分塊上（下）三角形矩陣

?熠廣矩陣

?可逆分塊矩陣的逆矩陣（P65求法）

?五、矩陣的初等變換（注意與矩陣的乘法之間的內(nèi)在聯(lián)系）

?矩陣的初等行變換r

?矩陣的初等列變換c（盡量避免）

?行階梯型矩陣=行最簡(jiǎn)形矩陣（約等于，畢竟行最簡(jiǎn)形矩陣得前邊是E）

?出現(xiàn)0=0,說明是恒等式，解不唯一。未知數(shù)個(gè)數(shù)〉方程個(gè)數(shù)，只會(huì)是無窮多個(gè)解

?出現(xiàn)任意常數(shù)的解的時(shí)候，要把非零行除了第一個(gè)1之外的設(shè)為任意常數(shù)c

?含有矛盾方程0=1，無解

?行最簡(jiǎn)形矩陣稱為

?矩陣之間的等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)

?自反性（自己^自己相等）

?對(duì)稱性（兩個(gè)互相等）

?傳遞性（三個(gè)互相等價(jià)）

?初等矩陣（都是可逆矩陣）

?左行右列

?它們的逆矩陣是同一類形的初等矩陣

?P82求逆矩陣的方法

?六、矩陣的秩（rank）

?矩陣的秩在矩陣的初等變換下是一個(gè)不變量，及其證明過程(反證法)

?A為n階可逆矩陣，因?yàn)锳~E(n),所以r(A)=n

?A為n階不可逆矩陣時(shí)，r(A)<n;A的行列式等于零

?克拉默法則?。?！定理2:只有零解行列式!=0;有非零解-->行列式=0

*

⑤max|R(A),R(B)|\R(A)+R(B),

特別地，當(dāng)B=b為非零列向量時(shí)，有

R(A)<R(A,b)&R(A)+L

⑥R(A+B)^R(A)+R(B).

⑦R(AB)<min{R(A),R(B)].(見下節(jié)定理7)

⑧若A…B",=O,則R(A)+R(B)&〃.(見下章例

設(shè)43=0,若A為列滿秩矩陣，則B=O.

?在保證運(yùn)算有意義的情況下，一個(gè)矩陣左乘一個(gè)分塊矩陣的某行加到另一行上，或一個(gè)矩陣右

乘一個(gè)分塊矩陣的某列加到另一列上，矩陣的秩不變。>87頁證明

?那個(gè)An換成其他的表示方法也行P88證明

'A川。、

rank??.?=rank(Al)+???+rank(An)

u川AJ

(AC\

rank>rank(A)+rank(B)

?有唯一解也包括只有零解的情況P92證明

定理3“元線性方程組Ax=b

(i)無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b);

(ii)有惟一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=〃；

(iii)有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n.

定理4n元齊次線性方程組Ax=O有非零解的充分必要條件是R(A)〈n.

￡15雕方翻h(huán)Y需械戕觥犍R")=R(A,b).

定理6隹陣方程AX=B有解的充分必要條件是WA)=R(A,B),

定理7設(shè)AB=C，則R(C)《min|R(A),R(B)|.

?克拉默法則！??！對(duì)于n個(gè)方程的n元齊次線性方程組Ax=O，定理2:只有零解—>行列

式!=0;有非零解-->行列式=0

?第三章向量組

?一、向量組及其線性運(yùn)算

?n維行向量，n維列向量，n維零向量P103~P104是運(yùn)用

kn個(gè)有次序的數(shù)，組成的數(shù)組稱為n堆向■,這2數(shù)稱作分量，第i個(gè)數(shù)稱作第i個(gè)分■.由若干個(gè)同堆向量可組成向量組

2、向量組A與系數(shù)kfi雌性組合表示為：

3+&心+

k3a3+?..+kmam

如果：

a丙+%與++...+=b

則夠:向量b可以有向■組X雌表示

3、向■俎B可以由向■圖A&性表示的充要條件是R(A)=R(AB),而兩個(gè)向■阻等價(jià)的條件息R(A)=R(B)=R(A8)

4.雌相關(guān)與雌無關(guān)：如果存在不全為。的數(shù)k1,k2...km,使得

kiai+k2a2++…+心4=°

則稱向■組A?線性相關(guān)的，否則稱為畿性無關(guān).對(duì)于m=2的情況，即只有兩個(gè)向量a1,a2,淺性相關(guān)的幾何意義是二者共法，對(duì)于

m=3的情況，臼震義是3向■共面.判新送性相關(guān)的條件是R小于向量的個(gè)數(shù).

5.線性相關(guān)與方程組，法性相關(guān)的代蚊意義即為齊次雌方程組:Ax=0有非零解,即R(A)小于未知蟻的個(gè)數(shù)

?向量組B可由向量組A表示，則r(B)<=r(A).

?加減數(shù)乘一樣二、矩陣的運(yùn)算

?向量組含有無限多個(gè)向量，在沒有特別說明時(shí)，討論的向量組均為列向量組

向余空何的麻木松皇是n推行向抗域W向星的空網(wǎng)：

Rnr行向早.『=(5,...,/)的Q"：,或列1“避U=：的型

.On.

瓜然行向里寫起來占的空河較少.伸矩陣?yán)鄯ǖ亩x使附則向顯對(duì)稅打更方便.因而名數(shù)忸況下使用到向通.為「節(jié)省空

何.我們。時(shí)把列網(wǎng)抗，成?％產(chǎn)的形式,

超乎時(shí)是n堆歐氏空河中余椎度等r?的線件/空間,也就企必雙足（nd）惟川

以是平面中的在畿、空間中的平面之推廣s大于3寸被稱為-ar平面）?讓拽戶的數(shù)學(xué)假念,不是現(xiàn)實(shí)的物珅喊念.因?yàn)樽?/p>

子空間.所以都平面一定經(jīng)過原點(diǎn).

?二、向量組的線性相關(guān)性

線性相關(guān)

向量a4共線。三不全為零的徽I內(nèi)使得^1。+&2戶=0

向量a,B，7共面=三不全為零的數(shù)片,k2,A3使得Ra+k2fi+&3y=0

向量a/不共線=若〃0+&#=0,貝此=&=0

向量a4,y不共面=若占a+AzA+A/=0,貝此=抬=&3=。

?聯(lián)想函數(shù)的收斂性發(fā)散性的性質(zhì)

定義3向量組%%,...,4（sNl）稱為繾餞螭，如果

存在不全為零的數(shù),七，…，￡，使得

&1%+k2a2+...+ksas=0

否則稱線性無關(guān),即

若A1%+k2a2+...+ksas=0,則占="=…=.=0

*一個(gè)向量a=0線性相關(guān)，而a#嗝線性無關(guān)

★兩個(gè)向量線性相關(guān)它們對(duì)應(yīng)分量成比例

★如果向量組中有零向量，則向量組一定線性相關(guān).

?克拉默法則?。?！定理2:只有零解一〉行列式!=0;有非零解一〉行列式=0只有零解，說

明向量組線性無關(guān)，可以作為其坐標(biāo)系

定理1:向量組％,。2，???,&$（§22）線性相關(guān)=

存在一個(gè)向量是其余向量的線性組合

或可被其他向量線性表出體）.

?P109-P111證明及應(yīng)用F1:概念法（所給向量組不具體且不易求出它的秩F2:秩法（所給

向量組是具體的）

，定理6

向量組名,出，???，%）線性相關(guān)U>它所構(gòu)成的

矩陣A=,a2的秩小于向量個(gè)數(shù)機(jī)；

向量組線性無關(guān)U>K（A）=m.

推論1〃個(gè)n維向量線性無關(guān)ol外,“2，…，%拄0

推論2當(dāng)機(jī)>〃時(shí),，篦個(gè)n維向量線性相關(guān)

特別地：〃+1個(gè)《維向量線性相關(guān)

?三、向量組的秩

?極大無關(guān)組

?極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)就是向量組A（那個(gè)大的組）的秩

*規(guī)定只含零向量的向量組的秩為0.

*向量組與它的極大無關(guān)組等價(jià)

*向量組的極大無關(guān)組T不是惟一的.

但每一個(gè)極大無關(guān)組中含向量的個(gè)數(shù)相等

?部分向量組總可由整體向量組表示（"極大”的含義）

?部分向量組的秩<=整體向量組的秩

?秩為r的向量組中至多有r個(gè)線性無關(guān)的向量

?n維單位坐標(biāo)向量

*

定理7向量組與它的任意一個(gè)

極大線性無關(guān)組等價(jià)

定理8設(shè)向量組R的秩為r,向量組S的秩為s,

若向量組R能由向量組S線性表示，貝！Jr<s.

?重要！?。?/p>

總結(jié)：求極大線性無關(guān)組及向量的線性表示的

方法

方法1:矩陣的初等行變換法

(1)以向量組中的向量為列向量作矩陣

(2)對(duì)矩陣作初等行變換，化為行階梯形(行最簡(jiǎn)形)

(3)取每行第一個(gè)非零元所在的列，即為所求

方法2:錄選法

(1)在向量組中選一個(gè)非零向量％

(2)再選一個(gè)與名的對(duì)應(yīng)分量不成比例的向量%

(3)再選一個(gè)不能由%線性表出的向量女..

?r(A,B)<=r(A)+r(B)

R(A-hB)<R(A)+(B).

R(AB)<min散(A),R(5)}.

?從n階行列式D中任取k行與k歹U,由這k行和k列交點(diǎn)處的數(shù)構(gòu)成的k階行列式稱為D的

k,K階主子式就是。

定義：在〃?x〃矩陣/中，任意選取〃行才列

(k<min{/n,〃}),

矩陣共有個(gè)人階子式.

［由于初等變換不改變矩陣的秩，因此「階矩陣(%)”,的秩為入從而A的，

?階子式det(”“)/O.這說明，如果r(A)=r,則A有一個(gè).階子式不為零:

/反三如果A行一個(gè)上以干式不為零，不妨設(shè)det(%)#0.利用上節(jié)中

磅易證山皿二電而A的列向量組的秩)r,故

有r(A)>r.一一一~7'~~'

1綜合N述討論,便有結(jié)論：

期d的秩為r的充要條件是A有一個(gè)廠階子式不為零，且所有r+1

|好隨睡在)全為零.

?四、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

?解向量=解

?同一個(gè)方程組的所有解向量的集合=解向量組

?齊次線性方程組的解向量具有線性：

(1)若x=4,x=&為Ax=O的解，貝IJ

x=&+$

也是Ax=0的解.

(2)若x=《為Ax=0的解，a為實(shí)數(shù)，貝IJ

*=g也是Ax=0的解.

?方程組有無窮解的時(shí)候才有基礎(chǔ)解系

1.基礎(chǔ)解系的定義

%,〃2，A雙稱為齊次線性方程組Ax=毗基礎(chǔ)

解系，如果

⑴如〃2，A,是Ax=0的一組線性無關(guān)的解；

⑵4x=O的任一解都可由如〃2,A線性表

出.

?定理5:n元齊次線性方程組Ax=0的解向量組的秩為n-r(A).

?P121重要方法+解題過程取自由未知數(shù)的時(shí)候還是除了第一個(gè)非零行的1之外的

?基礎(chǔ)解系不唯一，但是等價(jià)，所得解集都相同

?P124例17教你怎么反推

?若秩相同，那么三個(gè)n元齊次線性方程組同解

?P127例21非常重要

例3證明R(A,A)=K(A).

證設(shè)A為機(jī)x〃矩陣,x為〃維列向量.

若x滿足=0,則有A7(Ax)=0,即

(A,A)X=0;

若x滿足(A“)x=0,則/(1A)x=0,即

(Ax)'(Ax)=0,從而推知4x=0.

綜上可知方程組位=0與(A7A)x=0同解,

因此R(ArA)=R(A).

1.非齊次線性方程組解的性質(zhì)

(1)阻=小及X：=小都南X=6的解，則*=_

小為對(duì)應(yīng)的齊次方程Ax=0的解.

⑵設(shè)r=〃是方程Ar=〃的解,x=4是方程

Av=0的解，則x+〃仍是方程Ax=b的解.

根據(jù)定理6,我們有求n元非齊次線性方程組Ax=/)的通解的方法:

(1)對(duì)增廣矩陣(4")作初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣(N.b)；

(2)寫出同解方程組&=6,并確定自由未知數(shù)；

(3)令自由未知數(shù)途為零,求得一個(gè)解粵條喻?什/個(gè)“

(4)求出Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系寫《，…《一,，其中r=r(A)；

(5)寫出Ax=。的通解.

B=N+Q&+0242H.r,

其中Cl,C2,…,以一,為任意常數(shù)，

在定理6中，廠(A)=NA,b)=rg〃,〃元非齊次線性方程組Ax=6的通

解與Ax=0的通解相差一個(gè)特解生隹雉.公二紇鯽形過圾士迪生：

嬰受過原點(diǎn),木。的血形顯&Ax=0的圖形造皿〃平座血泡,這

兩個(gè)圖形是一樣的，只是位置不同一.—一

見習(xí)題26.按上面的分析，如果非齊次線性方程組Ax0與4工="都有

解.那么它們同解的充要條件是「小力)

(A1[A】bi

r(Ai)=r(A)=r=r.

2A.2A?bz

這進(jìn)一步說明了非齊次線性方程組的解與系數(shù)矩陣的秩及增廣矩陣的秩之間

的關(guān)系.

求出方程組（I）的解.然后代人方程組（）求小

解法1n對(duì)方程

組（17通圖A?b）作初等行變換化為行最筒形矩陣：

1236r.+r,x（—1）1235

(A.b)]

]a40—1a—3—2

0—32

2artx(-l)102Q—32

—1a—3—2013-a2

可見r（A）=r（A,b）=2,故方程組（I）有解，并有同解方程組

Jxj=(3—2a)x34-2,

[x2=(a—3)X34-2.

得方程組（#19一個(gè)解（2,2,備三~在對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組

尸1=（3—2a）x3,

}x2=（cz—3）X3

中，令了3=1，得方程組（I）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系

（3—2a,a-3,l）T.于是方程組（I）的通解為

%”[2]（3-2a

x?=24-ca—3,

?xj（Oj1

其中c為任意常數(shù).由胞意知,它也是方程組（]]）的通解故（2,2,0尹與

（3—2—3,2分別總方程組（II）的解及方程組（|1）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程

組的解?從而有

2+2〃=4,

4+2配=6,

3—2a+6（。-3）+c=0,

2（3-2a）+62（a-3）+c+l=0,

解得a=2,6=1,c=2.

標(biāo)法多容易看出，方程組（D的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩都是2,S

此》W小有解.又方程組（D和方程組（口）同解.故它們的聯(lián)立方程期里k

矩陣的秩與增廣矩陣的秩也是2.對(duì)聯(lián)立方程組的增廣矩陣作初等行變換：

fl23611236

r：4-TjX(—1)

11a4r3+八X(—1)0-1a—3-2

14c4r?+r〔X(—2)0b—2c—3—2

〔2b2c+16J

062—4c—5—6

則右端矩陣的第2,3,4行的元素對(duì)應(yīng)成比例.即

—1_a—3_-2

6ZZ2-^Z3~~'=^2,力

--3-2

|舊一==g，

解得a=2,b=1,c=2,

例23設(shè)4元非齊次線性方程組Ax=b有3個(gè)解+，&2，*，其中

亭=(2,3,4,5)T,￡+爸=(1，2,3.4)「，

且NA）3,束該線性方程組的通解.

解已知方程組人工=5的一個(gè)解卻，要求它的通解，根據(jù)定理6.需求出

齊次線性方程組Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系.Ax=0是4元的，且NA）=3,根

i定理5,Ax=0的基礎(chǔ)解系所句量的個(gè)Ax=0

壬意一個(gè)非零解都是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

2卻一（最+金）=（摹一蒞）+（亭一益）=（3,4,5,6）1

是Ax=O的一個(gè)解，而且是一個(gè)非零解.因此它是Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

所以方程組Ax=b

其中c為任意常數(shù).

?第四章向量空間與線性變換

?一、向量空間

?判斷是否為向量空間：

1、任意取V的兩個(gè)向量a,6則a+BwV,這叫V對(duì)加法封閉。

2、任意取V的一個(gè)向量a,及一個(gè)實(shí)數(shù)k.則kaeV,這叫V對(duì)數(shù)乘封閉。

一個(gè)集合對(duì)于某個(gè)運(yùn)算封閉，就是，運(yùn)算的結(jié)果，不會(huì)跑到這個(gè)集合的外面去.

若V為三維幾何空間中全體向量（有向線段）構(gòu)成的集合，P為實(shí)數(shù)域R,則V關(guān)于向量加法（即平行四邊

形法則）和數(shù)與向量的乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。

若V為數(shù)域P上全體mxn矩陣組成的集合Mmn（P）,V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數(shù)與矩

陣的乘法，則Mmn（P）是數(shù)域P上的線性空間.V中向量就是mxn矩陣.

?若V是向量空間，那么V一定含有零向量

?零向量不屬于一個(gè)解集的情況可能是非齊次線性方程組無零解

?證兩個(gè)向量空間等價(jià)：L1含于L2同時(shí)L2含于L1

?r維向量空間。注意向量空間中的向量的維數(shù)得看向量本身的未知數(shù)個(gè)數(shù)

把向量組形式的平而坐標(biāo)系或空間坐標(biāo)系推廣到向股空間就有下列

概念.-

定義2設(shè)V為向鼠空間，如果「?jìng)€(gè)向fit時(shí),或，…?￡，6k且滿足

（1）向處組￡1,6：、&線性無關(guān)；

（2）V中任意向量都可以由密,M，…，彩線性表示，

則稱向量組6為向量空間V的一個(gè)次，稱為向量空間V的里契,

并稱U為7?維向?空間.四小#

■耿晶及零空間只含一個(gè)通量,它矍有基,它的維數(shù)為2

乙“把向量空間v看作向量疝'下行的基就是向前的極大無關(guān)組。v的

維院是向量組的秩.

例如.是向量空間K={CZ,?T|NWR）的一個(gè)基,因此V是1

維向量空間.又如，

與=（0,1,（）,???,0尸,0,1），

是向量空間―二（o?x!???-.x,）TIeR）的一個(gè)基，因此匕是

”一1維向量空回._編k*運(yùn)_______________

,人由于向量組a,m,二,％與由它生成的向'能間

1口=（工=尢01+人出+…小?…4￡R）

等價(jià),因此向量組團(tuán)，a.…，明的極大無關(guān)組是1，的基，向量組供，小?…，

%的秩就是L的維數(shù).

?子空間

?坐標(biāo)向量

?單位坐標(biāo)向量組為基——自然基

?證明一個(gè)向量組是向量空間的一個(gè)基：證明構(gòu)成的向量線性無關(guān)即可。用克拉默法則?。?！定

理2:只有零解-->行列式!=0;有非零解-->行列式=0只有零解,說明向量組線性無關(guān)，

可以作為其坐標(biāo)系

?求向量在基下的坐標(biāo):P141

?過渡矩陣：https:〃blog.csdn.net/bless2015/article/detaik/106296420（秩都是一樣的）

?新舊坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換公式P142!!!!!

的坐標(biāo)之間的關(guān)系?一人廿

例7巳知向量空間V的兩個(gè)基

1[2

】，5及同

14

求由基小心到基A/的過渡矩陣P及坐標(biāo)變換公式.

即得與AX==6同解的矩陣方程

10]-7-2

01X=21

0oj00,

由此可得過渡矩陣

I21

于是從新坐標(biāo)到舊坐標(biāo)的坐標(biāo)變換式為

毗?

,t[在實(shí)際應(yīng)用中.為了使函數(shù).方程的衣達(dá)式更簡(jiǎn)單?更.干處，,府府而

「換工。坐林系）.這時(shí)就要用到坐標(biāo)變換公式一

?在基坐標(biāo)下的坐標(biāo)變換公式

?二、歐式空間

?內(nèi)積

144線性代數(shù)茂亦°

⑴[a][”]；就在,浦區(qū)

⑵A?.p：A[a/J]?於一

「；；；“‘%；；："'；時(shí)第號(hào)成立?二圾”一鑄初

其中黑黑3稱l向M7的內(nèi)機(jī)定義了內(nèi)根的向麻響

段力歐幾里得（Euclid）空間,海稱歐氏空間?

需器w是—的子空間嚏r具有相同的內(nèi)積,則稱

鬲鼻間w是歐氏空間V的子空間.61

例8對(duì)向量空間IV中向量

一行叫

定義

a.p;apm4,“?〃，十…

容易臉證它滿跑庾的四個(gè)受吩這個(gè)內(nèi)積稱為R耍三蕈）在弓!_在

準(zhǔn)內(nèi)色后.W日舉一個(gè)歐氏空間二

贏定義一口-

a/「五山"卜"〃：，八+…+及川?瓦，此＞0，i=l，2,??,,”，

則易知它也是向Ma與P的?個(gè)內(nèi)積.

可見.在向量空間中引入內(nèi)枳的方法有很多?若不特別說明,R的內(nèi)圾

◎北拈標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)月上在解析幾何中.向量a（田，處.右）與。=《瓦，也?&》的數(shù)

鼠枳是

a,fia>6j+atbt+dj63.

不難看出，也的如準(zhǔn)內(nèi)積是篡委

在定義5的（2）中,令2=0,有[0甲]=0,再由（1）知[人0[=0,即零向

h「j任意向他的內(nèi)積都是零.

按定義工對(duì)于內(nèi)積S^a.?E（P（!的運(yùn)算.叢以像至頂舞般那

iwuiiiu

L…J?-?>-l

例如、/

點(diǎn)右]。■小。丁陽二[a，a]+2[a.p]b[.fl.fi\；

\J「?/3AL2《]=25.》|]+3「/.用4[a?-6m打.

?施瓦茨不等式

,滿廠唾---m-----三---___三__二第四章⑹向■叫空間與《姣同性復(fù)麻授|145

，；，

這個(gè)”式在數(shù)學(xué)蔡藍(lán)儒篇1m給它?布]

/片。時(shí)?5,例=0,結(jié)論顯融立-------------

當(dāng)一WQ時(shí).作向量a十7.慶R,由內(nèi)積的定義知

[a+zp.a+^Jj-La.a]+2[a./?]r+Lp.p]（;^o.

需要注意的是,【小則〉0.那明實(shí)系數(shù)方程[小可產(chǎn)+200/-a.a|=。

至多有一個(gè)實(shí)位故而請(qǐng)”問雪.

4=4[a/」-l&a]。/]＜。，

從而有

民型空型燭____

在歐氏空間R"中，野及短不等式為I卞{

{axb\+。2公+”,+44）2〈（理+,；+2+屋）（瓦+^^，

艮要把例8中的"/及S”]代入（6）式即可也到這不等式?

n，，『PM工人（6）式即可得到

面用內(nèi)積來定義向最的長(zhǎng)度.J：1等式.

譽(yù)6對(duì)歐氏空間…向".巫巫3^記作

J?W

長(zhǎng)度為1的向!ft稱為單位向JT

向tft的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)，

塊質(zhì)1設(shè)V是一個(gè)歐氏空間，則對(duì)任意的a.pei'和久wR.有加八色切

lall^O；當(dāng)且僅當(dāng)a。時(shí).aJ；

（2）齊次性flAaU|A||a!|；以;刁生，也

（3）三角不等式la十+融M篷也

-證（1）?（2）是顯然的.這里權(quán)證（3）.一、

||<1+。1'0［。+。?。+內(nèi)=［。?。］七2［1?￡|+3辦

利用施瓦茨不等式IS,內(nèi)有

|］aRplT4|al|：+.2MI|』AII例一（Ha“+0用廣.

即la,川，?af，

u1就可以進(jìn)一步定亙即禹慨念一以及11〃度飛t的幾何：?jiǎn)?從

一二可篙空間推廣為商維幾何空阿?

這里不作討論.

而把二.

?向量的夾角。若向量們兩兩正交，則他們線性無關(guān)（也可以用來求平面的法向量）

1）在內(nèi)中向量a與夕的夾角

a4>=wccos喜&

同⑼

2）在一般歐氏空間中推廣（4）的形式，首先

應(yīng)證明不等式:

?內(nèi)積就是投影向量！?。。。。。?/p>

JZI+N,=O,

I為+x3=0.

解這個(gè)方程組得基礎(chǔ)解系（1,

f