2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)測試專題強化練十三含解析

PAGE專題強化練(十三)1．設(shè)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，若橢圓E的離心率為eq\f(1,2)，△ABF2的周長為16.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C，D，設(shè)弦AB，CD的中點分別為M，N.證明：O，M，N三點共線．(1)解：由題意知，4a＝16，a＝4.又因為e＝eq\f(1,2)，所以c＝2，b＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)證明：當直線AB、CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，中點M，N在x軸上，O，M，N三點共線；當直線AB，CD的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，且設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．則eq\f(xeq\o\al(2,1),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),12)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),12)＝1，相減得eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),16)＝－eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),12)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(3,4)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y0,x0)＝－eq\f(3,4)，即k·kOM＝－eq\f(3,4)，所以kOM＝－eq\f(3,4k).同理可得kON＝－eq\f(3,4k)，所以kOM＝kON，所以O(shè)，M，N三點共線．2．(2024·哈爾濱三中月考)已知過圓C1：x2＋y2＝1上一點Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))的切線，交坐標軸于A、B兩點，且A、B恰好分別為橢圓C2：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上頂點和右頂點．(1)求橢圓C2的方程；(2)已知P為橢圓的左頂點，過點P作直線PM、PN分別交橢圓于M、N兩點，若直線MN過定點Q(－1，0)，求證：PM⊥PN.(1)解：直線lOE的方程為y＝eq\r(3)x，則直線lAB的斜率kAB＝－eq\f(\r(3),3).所以lAB：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(2\r(3),3)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，B(2，0)，橢圓方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\f(4,3))＝1.(2)證明：①當kMN不存在時，M(－1，1)，N(－1，－1)，因為eq\o(PM,\s\up14(→))·eq\o(PN,\s\up14(→))＝(1，1)·(1，－1)＝0，所以eq\o(PM,\s\up14(→))⊥eq\o(PN,\s\up14(→)).②當kMN存在時，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝k(x＋1)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,\f(x2,4)＋\f(y2,\f(4,3))＝1，,))得：(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－4＝0.所以x1＋x2＝－eq\f(6k2,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－4,1＋3k2)，又已知左頂點P為(－2，0)，eq\o(PM,\s\up14(→))·eq\o(PN,\s\up14(→))＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2，又y1y2＝k(x1＋1)k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq\f(－3k2,1＋3k2)，所以eq\o(PM,\s\up14(→))·eq\o(PN,\s\up14(→))＝eq\f(3k2－4,1＋3k2)－eq\f(12k2,1＋3k2)＋4＋eq\f(－3k2,1＋3k2)＝eq\f(3k2－4－12k2＋4＋12k2－3k2,1＋3k2)＝0，所以eq\o(PM,\s\up14(→))⊥eq\o(PN,\s\up14(→)).綜上PM⊥PN得證．3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F2(3，0)，離心率為e.(1)若e＝eq\f(\r(3),2)，求橢圓的方程；(2)設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A、B兩點，M、N分別為線段≤eq\f(\r(3),2)，求k的取值范圍．解：(1)由題意得c＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2eq\r(3).又因為a2＝b2＋c2，所以b2＝3，所以橢圓的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝kx，))得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq\f(－a2b2,b2＋a2k2)，依題意，OM⊥ON，易知，四邊形OMF2N為平行四邊形，所以AF2⊥BF2.因為eq\o(F2A,\s\up14(→))＝(x1－3，y1)，eq\o(F2B,\s\up14(→))＝(x2－3，y2)，所以eq\o(F2A,\s\up14(→))·eq\o(F2B,\s\up14(→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.＝－1－eq\f(81,a4－18a2).因為eq\f(\r(2),2)<e≤eq\f(\r(3),2)，所以2eq\r(3)≤a<3eq\r(2)，12≤a2<18.所以k2≥eq\f(1,8)，即k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，＋∞)).4．(2024·沈陽二中模擬)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦點與拋物線C2：y2＝8eq\r(2)x的焦點F重合，且橢圓C1的右頂點P到F的距離為3－2eq\r(2).(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C1交于A，B兩點，且滿意PA⊥PB，求△PAB面積的最大值．解：(1)設(shè)橢圓C1的半焦距為c，依題意，可得a>b，且F(2eq\r(2)，0)，c＝2eq\r(2)，a－c＝3－2eq\r(2)?a＝3，b＝1，所以橢圓C1的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)依題意，可設(shè)直線PA，PB的斜率存在且不為零，不妨設(shè)直線PA：y＝k(x－3)，則直線PB：y＝－eq\f(1,k)(x－3)，聯(lián)立：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－3），,\f(x2,9)＋y2＝1，))得(1＋9k2)x2－54k2x＋(81k2－9)＝0，則|PA|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6,1＋9k2).同理可得：|PB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\f(6,1＋9·\f(1,k2))＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6k,9＋k2)，所以△PAB的面積為：S＝eq\f(1,2)|PA||