第6章 流體流動微分方程

第六章流體流動微分方程流體流動微分方程是一組微分方程，包括連續(xù)性方程和運(yùn)動方程。連續(xù)性方程是流動流體質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)描述。與第4章中基于控制體建立的質(zhì)量守恒方積方程相對應(yīng)，連續(xù)性方程是基于流場中的點(diǎn)（微元體）所建立的質(zhì)量守恒微分方程。運(yùn)動方程則是流動流體動量守恒的數(shù)學(xué)描述。與第4章中基于控制體建立的動量守恒方程相對應(yīng)，運(yùn)動方程是基于流場中的點(diǎn)（微元體）所建立的動量守恒微分方程，又稱為運(yùn)動微分方程。通過第5章中對典型以為流動問題的分析，已經(jīng)了解了將動量守恒定理應(yīng)用于流場微元體從而建立運(yùn)動微分方程的基本方法和過程。本章將把這一基本方法推廣應(yīng)用于三維情況，建立一般條件下的流體運(yùn)動微分方程。就其目的而言，積分方程反映流動過程中流體總質(zhì)量、總動量和總能量的變化，而本章要建立的流動微分方程，目的在于流場分布的詳細(xì)信息，以揭示宏觀流動現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。第六章流體流動微分方程６.１連續(xù)性方程６.２以應(yīng)力表示的運(yùn)動方程６.３粘性流體運(yùn)動微分方程６.４流體流動微分方程的應(yīng)用6.1.1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程連續(xù)性方程反映流動過程遵循質(zhì)量守恒這一事實(shí)。對于流場中的微元體，質(zhì)量守恒原理可以類似于控制體仿照式（4-9）表述為（6-1）為了獲得（6-1）的數(shù)學(xué)表達(dá)式—連續(xù)性方程，不妨對圖６-１所示的微元體進(jìn)行分析。該微元體取自流場中的任意點(diǎn)Ａ，微元體在x、y、z方向的邊長分別為dx、dy、dz，其六個面兩兩相互平行且分別垂直于x、y、z。流體在Ａ點(diǎn)的密度為ρ，速度為ν，其x、y、z方向的分量分別為

。一般而言，速度ν和密度ρ均為坐標(biāo)x、y、z和時間ｔ的函數(shù)。已知，流體穿越某一表面時的質(zhì)量流量等于質(zhì)量通量與表面積的乘積，而質(zhì)量通量則為流體密度與流體在該表面上的法向速度的乘積，因此考察微元體上的輸入與輸出，首先要確定微元面上的法向速度。如圖６-１所示,對于在流場中任意點(diǎn)Ａ所取的微元體，因?yàn)榕cＡ點(diǎn)相鄰的三個微元面上的流體或流動參數(shù)反映的是Ａ點(diǎn)的參數(shù)，所以在這三個微元面上，流體密度均為ρ（Ａ點(diǎn)密度），且每一個面上流體的三個速度分量都為

（Ａ點(diǎn)速度）。其中，對于dydx微元面，因其與ｘ軸垂直，該微元面上的三個速度分量中，

是法向速度，其產(chǎn)生的法向通量為

，而另為兩個速度分量

則平行于dydz平面，與質(zhì)量輸出輸入無關(guān)（故圖中dydz微元面上的質(zhì)量通量

）。同理，在垂直于y、z方向的微元面dxdz和dxdy上，法向速度分別為

，質(zhì)量通量分別為

，如圖6-1所示。按速度與坐標(biāo)方向一致為正的約定，

、

都是輸入通量。于是將這三個通量分別乘以相應(yīng)的面積dydz、dxdz、dxdy后相加，可得輸入微元體的質(zhì)量流量為相應(yīng)地，當(dāng)流體從與Ａ點(diǎn)不相鄰的、分別垂直于ｘ、ｙ、ｚ方向的三個微元面上流出時，由于分別經(jīng)過dx、dy、dz的距離后其輸出時的質(zhì)量通量將發(fā)生變化，如圖６-１所示所以輸出微元體的質(zhì)量流量為由上述兩項(xiàng)可得兩一方面，對于圖６－１所示的微元體，其瞬間質(zhì)量為ρdxdydz，所以（６-２）（6-3）連續(xù)性方程將式（6-2）和式（6-3）代入微元體質(zhì)量守恒文字表達(dá)式（6-1）可得直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程為或以矢量簡潔表示為（6-4a）（6-4b）其中，

是質(zhì)量通量的ρν的散度，

是矢量算子。由于導(dǎo)出方程（6-4）的過程中沒有對流體和流動狀態(tài)作任何假設(shè)，故該方程對層流和湍流、牛頓流體和非牛頓流體均適用。將方程（6-4a）展開并引用第2章中的隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）概念，可將連續(xù)性方程表示為另一種形式其中，

是速度矢量ν的散度；

是密度ρ隨體導(dǎo)數(shù)，按第2章中隨體導(dǎo)數(shù)的定義有或（6-5a）（6-5b）不可壓縮流體的連續(xù)性方程對于不可壓縮流體，因密度ρ=const，所以連續(xù)性方程簡化為或（6-6a）（6-6b）在物理意義上，速度的散度表示為單位體積的流量在單位時間內(nèi)的體積增量，通常稱為體變形率．對于不可壓縮流體，不管其體積形狀如何變化，其體積的大小不會變，故體變形率為零，即

。也正是這一特點(diǎn)，對于不可壓縮流體，無論是為穩(wěn)態(tài)流動還是非穩(wěn)態(tài)流動，其連續(xù)性方程都是一樣的。不可壓縮流體的連續(xù)性方程不僅形式簡單，而且應(yīng)用廣泛，因?yàn)楣こ虒?shí)際中除了經(jīng)常遇到不可壓縮流體外，不少可壓縮流體的流動亦可常密度流體處理。由連續(xù)性方程(6-6)可知，對于不可壓縮流體沿ｘ方向的一維流動，，其連續(xù)性方程就是。這正是第５章中分析不可壓縮流體一維流動時曾經(jīng)用到的條件。6.1.2柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程在工程實(shí)際中，除了直角坐標(biāo)系外，出于描述的方便還經(jīng)常采用柱坐標(biāo)（如圓管流動問題）和球坐標(biāo)（如球體繞流問題）。在此不加推導(dǎo)地寫出這兩種坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程，以供使用。圖6－2對于以ｒ?yàn)閺较蜃鴺?biāo)、θ為周向坐標(biāo)、ｚ為軸向坐標(biāo)的柱坐標(biāo)體系見圖6－2（a），其連續(xù)性方程為（6-7）其中，

分別為r、θ、z坐標(biāo)方向的速度分量。特別地，對于不可壓縮流體，柱坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程可簡化為（6-8）在球坐標(biāo)體系中，若以ｒ?yàn)閺较蜃鴺?biāo)、θ為周向坐標(biāo)、ψ為經(jīng)向坐標(biāo)，見圖6-2（b），則連續(xù)性方程為需要指出：任何流體的連續(xù)運(yùn)動，都必須首先滿足相應(yīng)的連續(xù)性方程，所以連續(xù)性方程是流體流動微分方程最基本的方程之一。（6-9）其中，

分別為ｒ、θ、φ坐標(biāo)方向的速度分量。６.２以應(yīng)力表示的運(yùn)動方程運(yùn)動方程是基于流場中的點(diǎn)（微元體）所建立的動量守恒方程，又稱為運(yùn)動微分方程。所謂以應(yīng)力表示的運(yùn)動微分方程就是直接根據(jù)動量守恒定律得到的含流體應(yīng)力的微分方程，這就相當(dāng)于第５章分析一維流動問題時所得到的關(guān)于切應(yīng)力的微分方程。針對微元體應(yīng)用動量守恒原理時，由于微元體是在確定的空間點(diǎn)來考察流體流動時所取得一個體積為dxdydz的流場空間，具有類似于控制體的性質(zhì)，因而其動量守恒原理可仿照式（4-10）表述為在三維流動條件下，該方程各項(xiàng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式遠(yuǎn)比一維時復(fù)雜，因此將分小節(jié)分別討論。（6-10）６.２.１作用于微元體上的力體積力是由于外力場（如重力場、離心力場、電磁場等）的作用在微元體整個體積上所產(chǎn)生的力又稱為徹體力。由于體積力的大小與流體的質(zhì)量成正比，故又稱質(zhì)量力。如6-3所示，若微元體中單位質(zhì)量流體的體積力在x、y、z方向的分量分別為

，則按作用區(qū)域的不同，作用于微元體上的力分為體積力和表面力兩類。（1）體積力特別地，如果流體只受重力場作用（通常情況如此），且重力加速度ｇ的方向與ｚ軸正方向相反，則有

。可以，重力場條件下很容易確定單位體積力或其分量。（2）表面力表面力就是作用于流體表面的力。在此處主要指微元體表面上受到應(yīng)力。如圖（6-3）所示，在微元體任何一個表面上，不管總應(yīng)力的方向如何，總可以按坐標(biāo)方向?qū)⑵浞纸獬梢粋€正應(yīng)力σ（或稱法向應(yīng)力）和兩個切應(yīng)力τ。對于圖6-3中的微元體，在鄰近Ａ點(diǎn)并分別垂直于x、y、z方向的三個微元面上，正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為應(yīng)力下坐標(biāo)的意義每個應(yīng)力都有兩個下標(biāo)，第一個下標(biāo)表示應(yīng)力作用面的法線方向，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。例如，表示垂直于ｙ軸的表面上沿ｘ方向作用的切應(yīng)力，

表示垂直于ｙ軸的表面上沿ｚ方向作用的切應(yīng)力，

則表示垂直于ｙ軸表面正應(yīng)力，等等。關(guān)于應(yīng)力的正負(fù)，通常規(guī)定：若應(yīng)力所在平面的外法線與坐標(biāo)軸正向一致，則指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力為正，反之為負(fù)；若應(yīng)力所在平面的外法線與坐標(biāo)軸正向相反，則指向坐標(biāo)軸負(fù)向的應(yīng)力為正，反之為負(fù)?？梢詤⒁妶D（６-３），其中所示的正應(yīng)力和切應(yīng)力均為正方向。對于正向力（法向應(yīng)力），這種規(guī)定與“拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)”的約定是一致的。應(yīng)力正負(fù)的規(guī)定應(yīng)力狀態(tài)及切應(yīng)力互等定理上述Ａ點(diǎn)處三個微元面上的９個應(yīng)力，代表了流場中某一點(diǎn)Ａ的應(yīng)力狀態(tài)，也就是說，粘性流場中任意一點(diǎn)的應(yīng)力有９個分量，包括３個正應(yīng)力分量和６個切應(yīng)力分量?？梢宰C明，在６個切應(yīng)力分量中，互換下標(biāo)的每一對切應(yīng)力相等的，即切應(yīng)力互等定理（6-12）所以，流場中任一點(diǎn)的9個應(yīng)力分量中，只有6個分量是獨(dú)立的。微元體表面力的總力分量為簡明起見，從ｙ方向視圖來觀察微元體個表面上ｘ和ｚ方向的應(yīng)力分量，如圖６－４所示。若以Ａ點(diǎn)相鄰表面上的應(yīng)力為基準(zhǔn)，則與Ａ點(diǎn)不相鄰的表面上的應(yīng)力將產(chǎn)生一個隨距離變化的增量。例如在Ａ處且垂直于ｚ方向的微元面上的正應(yīng)力為

，則在距離dz的平行面上的正應(yīng)力就為

。由此并根據(jù)上述關(guān)于應(yīng)力下標(biāo)和方向的規(guī)定，不難標(biāo)出微元體個表面上ｘ和ｚ方向的正應(yīng)力和切應(yīng)力，如圖６-４所示。

于是，將各表面上ｘ方向的應(yīng)力與相應(yīng)的微元面積的dydz、dxdz或dxdy相乘，然后將ｘ軸正方向的各表面力與ｘ軸負(fù)方向的各表面力相減可得６.２.２動量流量及動量變化率動量通量與動量流量

已知，動量流量＝質(zhì)量流量×流體速度；類似地則有，動量通量＝質(zhì)量通量×流體速度。動量通量表示單位時間、單位面積輸入輸出的動量，單位為

。在確定了動量通量以后，就可將其與流通面積相乘得到動量流量，即“動量流量＝動量通量×流通面積”，這與“質(zhì)量流量＝質(zhì)量通量×流通面積”是類似的。例如，在圖６-５所示的微元體dxdz面上時，就會同時帶入x、y、z方向的動量，且根據(jù)上述動量通量的定義x、y、z方向動量在該微元面上的輸入通量就分別為

、

,而x、y、z方向動量在該微元面上的輸入流量則分別為輸入輸出微元體的動量流量現(xiàn)以圖６-５所示的微元體為對象，考察流體ｘ方向動量在微元體表面的輸入輸出。由圖６-１已知，在Ａ點(diǎn)處且分別垂直于ｘ、ｙ、ｚ方向的三個微元面上，流體進(jìn)入微元體時的質(zhì)量通量分別為。由于這三個微元面上都有x方向的分速度

，所以，根據(jù)，“動量通量=質(zhì)量通量×流體速度”的定義，流體x方向動量在這三個微元面上的輸入通量就分別為

（注：圖6-5中標(biāo)注的是動量輸入或輸出方向，而動量或其通量本身的方向均指向ｘ方向，即分速度

的方向）。將這三個動量通量乘以相應(yīng)的面積后相加，可得微元體上ｘ方向動量的輸入流量為相應(yīng)的，當(dāng)流體從與Ａ點(diǎn)不相鄰的三個微元面上流出時，考慮到動量通量的變化，（如圖６-５所示），可得微元體上ｘ方向動量的輸出流量為于是，有上述ｘ方向動量的輸出流量與輸入流量相減得到（6-14a）同理，分別考察y方向和z方向的動量在微元體表面上的輸出與輸入可得（6-14b）（6-14c）微元體內(nèi)的動量變化率在圖６-5所示的微元體內(nèi)，流體的瞬時質(zhì)量為ρdxdydz，所以微元體內(nèi)流體在x、y、z方向的瞬時動量分別為

，于是有６.２.３以應(yīng)力表示的運(yùn)動方程前面已經(jīng)導(dǎo)出微元體動量守恒式（6-10）中各項(xiàng)文字的數(shù)學(xué)表達(dá)式。由于動量守恒式對各坐標(biāo)方向均成立，將分方向把有關(guān)各項(xiàng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式代入式（6-10），從而建立ｘ、ｙ、ｚ方向的運(yùn)動方程。首先，將ｘ方向的體積力[式（6-11a）]、表面力[式（6-13a）]、動量流量[式（6-14a）]、動量變化率[式（6-15a）]代入微元體動量守恒表達(dá)式（6-10），可得x方向運(yùn)動方程的初步形式為（6-16）方程（6-16）左邊展開后可表達(dá)為根據(jù)6.1節(jié)的連續(xù)性方程（6-4）可知所以x方向的運(yùn)動方程簡化為（6-17a）同理可得y、z方向的運(yùn)動方程分別為（6-17b）（6-17c）

式（6-17）就是以應(yīng)力表示的粘性流體的運(yùn)動方程。無論是牛頓流體還是非牛頓流體、是層流流體還是湍流流體，該方程均適用。方程的物理意義以方程（6-17a）為例，由第2章可知，方程左邊的括號項(xiàng)是分速度νx的隨體導(dǎo)數(shù)

，即任意時刻考察Ａ點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度分量

；由式（6-11）和式（6-13）可知，方程右邊分別表示作用與單位流體體積上的表面力和體積力的ｘ分量，其合力作Ｆx表示。很明顯，該方程可以簡略地表示為：

，這就是以單位體積的流體質(zhì)量為基準(zhǔn)的牛頓第二定律

在ｘ方向的分量式。相應(yīng)的，ｙ和ｚ方向的運(yùn)動方程表示的就是牛頓第二定律在ｙ和ｚ方向上的分量式。值得指出的是，在方程組（6-17）中，即使將密度ρ和體積力ｆ看成是已知的，方程中仍然有９個未知量：３個速度分量和６個獨(dú)立的應(yīng)力分量，但該方程組加上連續(xù)性方程只有４個方程，所以方程組是不封閉的。因此，要求解這個方程組，尚需要能將未知量關(guān)聯(lián)起來的補(bǔ)充方程。６.３粘性流體運(yùn)動微分方程以應(yīng)力表示的運(yùn)動方程需要補(bǔ)充方程才能求解，與第５章分析一維流動問題時需要引入補(bǔ)充方程才能由切應(yīng)力方程得到速度微分方程有些相似。在一維流動分析中，所引入的補(bǔ)充方程是牛頓剪切定律。在本章中也類似，所要引入的是廣義的牛頓剪切定律——牛頓流體本構(gòu)方程。本節(jié)的目的就是引入牛頓流體本構(gòu)方程，將應(yīng)力從運(yùn)動方程（6-17）中消去，得到由速度分量和壓力表示的粘性流體運(yùn)動微分方程——耐維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。６.３.１牛頓流體的本構(gòu)方程（1）基本假設(shè)對于以應(yīng)力表示的運(yùn)動方程，要建立補(bǔ)充方程首先應(yīng)該尋求運(yùn)動方程中的未知量即流體應(yīng)力與速度變化之間的內(nèi)在聯(lián)系。流體之所以流動是因?yàn)槭艿郊羟袘?yīng)力的作用，同時，由于粘性的存在，流體對剪切應(yīng)力要產(chǎn)生抵抗，這中抵抗以應(yīng)力的形式表現(xiàn)出來，這與固體受到應(yīng)力時要產(chǎn)生的應(yīng)力是類似的。但與固體應(yīng)力不一樣的是，流體的應(yīng)力不是與應(yīng)變的大小而是與應(yīng)變的速率（即單位間內(nèi)的應(yīng)變）直接相關(guān)的。

流體力學(xué)中，稱單位時間的應(yīng)變?yōu)樽冃嗡俾?，包括形變速率?/p>

、角變形率如

和體變形率

等（見第7章）。因此，建立補(bǔ)充方程的關(guān)鍵歸結(jié)為尋求一般情況下流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系。為了找到這種關(guān)系，斯托克斯（Stokes）提出了三種假設(shè)。①應(yīng)力與變形速率呈線性關(guān)系。該假設(shè)得到牛頓剪切定律的啟示，既然以為流動中

與變形速率

呈線性關(guān)系，于是可設(shè)想一般情況下也有這樣的關(guān)系。②應(yīng)力與變形速率的關(guān)系各向同性。該假設(shè)認(rèn)為，既然常見流體的物理性質(zhì)都是各向同性的，于是可以設(shè)想應(yīng)力與變形速率的關(guān)系也具有各向同性的性質(zhì)。③靜止流場中，切應(yīng)力為零，各正向應(yīng)力均等于靜壓力，即σxx│v=0＝σyy│v=0＝σzz│v=0＝-ｐ。該假設(shè)是根據(jù)靜止流體不能承受切應(yīng)力，而流動流體又不能承受拉應(yīng)力而做出的。（2）牛頓流體的本構(gòu)方程在上述假設(shè)條件下，既可推導(dǎo)出一般情況下流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系。在此略過復(fù)雜的推導(dǎo)過程，直接給出這一關(guān)系——牛頓流體的本構(gòu)方程（3）本構(gòu)方程的討論牛頓流體的本構(gòu)方程除了在其建立流動微分方程中所具有的重要價值外、對本構(gòu)方程本身的解析亦可增進(jìn)對流動過程中流體變形速率、應(yīng)力、壓力等有關(guān)概念的理解。正應(yīng)力與線變形率有本構(gòu)方程可見，流體正應(yīng)力與三個速度偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)，即

，他們分別是x、y、z方向的速度沿自身方向的變化率，其意義是單位時間內(nèi)流體在x、y、z方向的線應(yīng)變，稱為線變形率；這三個線變形率之和即速度散度則表示單位時間內(nèi)流體的體積應(yīng)變，稱為體變形率。流體正應(yīng)力與線變形率相關(guān)這一性質(zhì)，與虎克定律中固體正應(yīng)力與其線應(yīng)變相關(guān)是類似的。線變形率與流體流動很顯然，從流體流動的角度看，線變形率

的正負(fù)反映了流體沿ｘ方向的流動是加速還是減速，若

則意味著流體在ｘ方向做等速流動或沒有流動，對于道理也一樣；而體變形率

的正負(fù)則反映了流動過程中流體體積是增加還是減少，若

則意味著流動過程中流體體積不變，不可壓縮流體的流動就屬這種情況。正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力有本構(gòu)方程可見，流體正應(yīng)力可視為由兩部分構(gòu)成：一部分是流體壓力ｐ，另一部分則是流體變形速率所產(chǎn)生的附加粘性正應(yīng)力。以

為例，如果用表示其附加粘性正應(yīng)力。

可表示為其中為了說明附加粘性正應(yīng)力的產(chǎn)生和意義，不妨考察流體只沿ｘ方向流動的情況。此時，，所以由此可見，附加粘性正應(yīng)力的產(chǎn)生是速度沿流動方向的變化所導(dǎo)致的。加速時

，所以

；減速時，

，所以

。物理意義上，因?yàn)榧铀俣韧较蛞磺耙缓髢闪黧w質(zhì)點(diǎn)將處于分離趨勢，流體線的變形為拉伸變形，故由此產(chǎn)生的附加粘性正應(yīng)力為拉應(yīng)力；反之，減速時同方向一前一后兩流體質(zhì)點(diǎn)將處于擠壓趨勢，流體線的變形為壓縮變形，故由此產(chǎn)生的附加粘性正應(yīng)力為壓應(yīng)力。特別地，如果該流動是等速的，即

則必然有(注：在4.5節(jié)中所說的流體克服粘性力做功的功率，指的就是流體克服控制面上附加粘性正應(yīng)力和切應(yīng)力τ做功的功率。其中談到在等速流動中的管道截面上不存在表面粘性力的做功問題，正是基于等速流動時)。

正應(yīng)力與壓力由于粘性正應(yīng)力的存在，流動流體的壓力在數(shù)值上一般不等于正應(yīng)力值。比如，對于附加粘性正應(yīng)力，則相應(yīng)有

。但是，如果將本構(gòu)方程（6-18）中的三個關(guān)系式相加則可得到這說明，雖然流動流體的三個正應(yīng)力在數(shù)值上一般不等于壓力值，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等的。特別的，對于不可壓縮流體的一維流動，設(shè)流動沿x方向，則因?yàn)?/p>

，且根據(jù)連續(xù)性方程又有

，所以有（6-19）這說明不可壓縮流體做一維流動時，正應(yīng)力與壓力的關(guān)系與流體靜止情況相同，即流體中三個方向正應(yīng)力的大小都分別與壓力相等。這正是第5章分析一維流動時在微元體表面上直接標(biāo)出壓力ｐ作為法向表面力的原因。（6-20）切應(yīng)力與角變形率在切應(yīng)力關(guān)系中，也有三個變形速率，將它們分別除以２可得這個變形速率分別是流體在x-y、y-z、z-x平面內(nèi)的角變形率，即單位時間內(nèi)兩流體線夾角的相對變化率（見第7章）?？梢娗袘?yīng)力是與其角應(yīng)變相關(guān)是類似的。特別的，對于x-y平面內(nèi)沿ｘ方向的一維不可壓縮穩(wěn)態(tài)流動，因

，所以

僅為ｙ的函數(shù)，于是本構(gòu)方程的切應(yīng)力關(guān)系式簡化為：

，即牛頓剪切公式。牛頓流體本構(gòu)方程反映了流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，這與固體力學(xué)中反映應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的虎克定律是對應(yīng)的，故牛頓流體本構(gòu)方程可看成是流體力學(xué)中的虎克定律。６.３.２流體運(yùn)動微分方程

——Navier-Stokes方程將上述流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系——牛頓流體本構(gòu)方程（6-18）代入以應(yīng)力表示的運(yùn)動方程（6-17），即可得到由速度分量和壓力表示的粘性流體運(yùn)動微分方程——耐維-斯托克斯方程（Navier-Stokesequations，簡稱N-S方程）↓

N-S方程是現(xiàn)代流體力學(xué)的主干方程，幾乎所有有關(guān)粘性流體流動問題的分析研究工作都是以該方程為基礎(chǔ)的。

N-S方程對流體的密度、粘度、可壓縮性未作限制。但由于引入了牛頓流體的本構(gòu)方程，故該方程只適用于牛頓流體，對于非牛頓流體，可以采用以應(yīng)力表示的運(yùn)動方程。特別的，如果在N-S方程中令μ=0，即可得到理想流體的運(yùn)動方程——?dú)W拉方程。如果在N-S方程中所有速度項(xiàng)為零，即得到流體靜力學(xué)方程。為了應(yīng)用上的方便，在此給出常見條件下N-S方程的表達(dá)式。(1)常粘度下的N-S方程對于等溫或溫度變化較小的流動，可將粘度視為常數(shù)，即μ=const,相應(yīng)的N-S方程為或?qū)懗墒噶啃问綖?2)不可壓縮流體的N-S方程其中，

，為運(yùn)動粘度；

稱為拉普拉斯算子。對于不可壓縮流體ρ=const，且如果認(rèn)為流動等溫或溫度變化較小，將粘度時為常數(shù)，則相應(yīng)的N-S方程為（6-23）或簡寫成矢量形式為（6-25）由于通常遇到的流動問題按不可壓縮和常粘度問題處理，所以為使用方便，特在此將常粘度條件下不可壓縮流體的N-S方程寫為展開形式（6-26）該方程的矢量形式以及方程各項(xiàng)的意義如下（6-27）非定常項(xiàng)定常流動為0靜止流場為0

對流項(xiàng)靜止流場為0蠕變流時≈0單位質(zhì)量流體的體積力單位質(zhì)量流體的壓力差擴(kuò)散項(xiàng)（粘性力項(xiàng)）對靜止或理想流體為0高速非邊界層問題≈0６.３.３柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系中的Ｎ-Ｓ方程

在工程實(shí)際中，有時采用柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)描述問題比采用直角坐標(biāo)更為方便，比如，對于常見的圓管內(nèi)的流動，最適用的顯然是柱坐標(biāo)系統(tǒng)。為此，將不加推導(dǎo)地寫出這兩種坐標(biāo)系下常密度和常粘度流體的運(yùn)動微分方程和牛頓流體本構(gòu)方程。（1）柱坐標(biāo)系中的Ｎ-Ｓ方程和牛頓流體本構(gòu)方程

Ｎ-Ｓ方程對于以r為徑向坐標(biāo)、θ為周向坐標(biāo)、z為軸向坐標(biāo)的柱坐標(biāo)體系[見圖6-2(a)]，其粘性流體運(yùn)動微分方程在r、θ、z方向的分量式為（ρ=const，μ=const）（6-33）θ方向r方向z方向其中，

分別為r、θ、z坐標(biāo)方向的速度分量。此外，r方向分量式中的和θ方向分量式中的分別是單位質(zhì)量的流體受到的離心力和哥氏力（Corilisforce）。這兩個力是由直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到柱坐標(biāo)時自動產(chǎn)生的，在分析流體所受的體積力時不要再人為地加上該力。牛頓流體本構(gòu)方程本構(gòu)方程用于流體應(yīng)力的分析與計(jì)算（6-34）其中：（2）球坐標(biāo)系中的Ｎ-Ｓ方程和牛頓流體本構(gòu)方程

Ｎ-Ｓ方程在球坐標(biāo)體系中，若以r為徑向坐標(biāo)、θ為周向坐標(biāo)、φ為經(jīng)向坐標(biāo)[見圖6-2（b）]，則運(yùn)動微分方程在r、θ、φ方向的分量式為（ρ=const，μ=const）r方向θ方向z方向（6-35）其中，

分別為r、θ、φ坐標(biāo)方向的速度分量；算子為牛頓流體本構(gòu)方程本構(gòu)方程用于流體應(yīng)力的分析與計(jì)算（6-36）６.４流體流動微分方程的應(yīng)用６.４.１Ｎ－Ｓ方程應(yīng)用概述有連續(xù)性方程和Ｎ-Ｓ方程構(gòu)成的微分方程組是粘性流體流動遵守質(zhì)量守恒和動量守恒原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，具有較普遍的適應(yīng)性。靜力學(xué)方程和理想流體的運(yùn)動方程僅是其特例。封閉性Ｎ-Ｓ方程與連續(xù)性方程構(gòu)成的微分方程組共有四個方程，涉及4個流動參數(shù)即

和壓力ｐ，所以方程組是封閉的，理論上是可以求解的。但要考慮流體參數(shù)ρ和μ變化的情況，應(yīng)將有關(guān)物性變化的關(guān)系作為補(bǔ)充方程。比如對于理想氣體的流動，氣體狀態(tài)方程即為補(bǔ)充方程。應(yīng)用條件Ｎ-Ｓ方程由于引入了牛頓流體本構(gòu)方程，故只適用于牛頓流體。對于非牛頓流體，可采用以應(yīng)力表示的運(yùn)動方程。又由于本構(gòu)方程是以層流條件為背景的，所以原則上Ｎ-Ｓ方程只適用于層流流動。對于湍流流動，一般認(rèn)為非穩(wěn)態(tài)的Ｎ-Ｓ方程對湍流的瞬時運(yùn)動仍然是適用的，但湍流的瞬時運(yùn)動具有高度的隨機(jī)性，要追蹤這種隨機(jī)運(yùn)動是十分困難的。因此通常將湍流流場中的流動參數(shù)φ分解成隨機(jī)運(yùn)動時均值φ和隨機(jī)脈動值

，即

，但

的引入又導(dǎo)致運(yùn)動方程不封閉，從而使得人們力圖通過各種推理和假設(shè)尋求φ和φ＇的關(guān)系，以建立使方程封閉的補(bǔ)充方程，即湍流模型問題（見第９章）。方程的求解

雖然Ｎ-Ｓ方程對于層流流動是封閉的，但目前為止還沒有人得到一般形式的Ｎ-Ｓ方程的普遍解。不過，對于工程實(shí)際問題由于總有特殊性使方程得到簡化，從而有可能獲得準(zhǔn)確或近似的分析解。因此，流動微分方程的應(yīng)用求解，關(guān)鍵是根據(jù)問題特點(diǎn)對一般形式的運(yùn)動方程進(jìn)行簡化，獲得針對具體問題的微分方程或方程組，并同時提出相關(guān)的初始條件和邊界條件。初始條件是非穩(wěn)態(tài)問題所要求的，因?yàn)榕c時間相關(guān)的問題必須以某一時刻的流動條件（即初始條件）為參照；而對于邊界條件，其基本處理類型及處理方法已在5.1節(jié)中討論過，此處不再贅述。至于簡化后得到的運(yùn)動方程，有的可能求不出解析解，或許只能得到近似解或通過數(shù)值計(jì)算方法獲得離散解（見第12章）。下面將舉例說明流動微分方程的應(yīng)用求解過程。例6-1

圓管內(nèi)的一維穩(wěn)態(tài)流動分析不可壓縮流體在水平圓管內(nèi)做一維穩(wěn)態(tài)層流流動。試寫出該條件下的連續(xù)性方程和運(yùn)動微分方程，并證明管道截面上任意一點(diǎn)的總勢能[p/ρ+g（rsinθ）]和軸向壓力梯度

為常數(shù)。如圖6-6所示，由于只受到重力場的作用，所以管道截面上任意一點(diǎn)處r、θ、z方向單位質(zhì)量流體的體積力為

解參照圖6-6的柱坐標(biāo)體系，根據(jù)不可壓縮流體一維穩(wěn)態(tài)層流的條件及圓管的對稱性有將上述條件代入柱坐標(biāo)系的連續(xù)性方程（6-8）和運(yùn)動微分方程（6-33）可得首先，有r和θ方向的運(yùn)動方程可知，p*只能是z的函數(shù)，所以在軸向位置確定的管道截面上必然有(其中，

)其中，g（rsinθ）是以管道中心線水平面為參照、相對高度為（rsinθ）的單位體積流量的重力位能。該式表明，雖然管道截面上各點(diǎn)的壓力ｐ是變化的，但各點(diǎn)的總勢能［p/ρ+g（rsinθ）］是相等的。在第四章討論粘性不可壓縮流體穩(wěn)態(tài)流動的伯努利方程時，就曾經(jīng)不加證明地引用了這一結(jié)論。其次，由于p*僅是z的函數(shù)，而由連續(xù)性方程和圓管對稱條件（即

）又知速度

僅是r的函數(shù)，所以由微分方程理論，z方向運(yùn)動方程兩邊必然為常數(shù)，即這就是第5章中分析一維不可壓縮穩(wěn)態(tài)層流問題時取流動方向壓力梯度為常數(shù)的原由。此外，由連續(xù)性方程可知，管道各截面各點(diǎn)的流速在z方向都是不變的，這說明一維不可壓縮穩(wěn)態(tài)層流流動必然是充分發(fā)展的。而且，本題條件下，由連續(xù)性方程和牛頓本構(gòu)方程還可得到，即一維不可壓縮穩(wěn)態(tài)層流流動中各點(diǎn)的正應(yīng)力值大小與壓力相等。因此取微元體分析一維不可壓縮穩(wěn)態(tài)層流問題時，微元面上的法向力可直接以壓力標(biāo)注，第五章中也正是這樣做的。最后，關(guān)于ｚ方向運(yùn)動方程的積分以及速度和切應(yīng)力的分布結(jié)果，5.3.1節(jié)已討論過，這里不再贅述。例6-2

相互轉(zhuǎn)動的同心圓筒間的切向流動分析兩同心圓筒如圖6-7所示，圓筒軸向長度為Ｌ，外筒半徑為Ｒ，以角速度ω轉(zhuǎn)動；內(nèi)筒半徑為kＲ,k<1;不可壓縮流體在外筒帶動下穩(wěn)態(tài)流動，這種運(yùn)動形式常見于滾動軸承等結(jié)構(gòu)。由于間隙較小，且流體黏度較高，故可將流動視為沿切向的一維層流流動。設(shè)重力影響和端部效應(yīng)可以忽略，試確定管壁間流體的速度分布、切應(yīng)力的分布和轉(zhuǎn)動外筒所需的力矩。解參照圖6-7的柱坐標(biāo)系，根據(jù)不可壓縮流體一維穩(wěn)態(tài)層流的條件及流動與z無關(guān)的特點(diǎn)有將上述條件代入柱坐標(biāo)系的連續(xù)性方程（6-8）和運(yùn)動微分方程（6-33）可得由連續(xù)性方程和流動與z無關(guān)的條件可知，速度僅是r的函數(shù)。于是積分θ方向的運(yùn)動方程并由邊界條件

可得速度分布為根據(jù)速度分布及柱坐標(biāo)下的牛頓本構(gòu)方程（6-34）得切應(yīng)力分布為于是得到流體受到的力矩即轉(zhuǎn)動外筒所需的力矩為此外，本題條件下，由于壓力也只是ｒ的函數(shù)，所以積分ｒ方向的運(yùn)動方程可得到壓力的徑向分布為其中，是r=R處的壓力。討論：在這種內(nèi)筒固定外筒轉(zhuǎn)動的系統(tǒng)中，因?yàn)閱挝惑w積流體受到的離心力指向外壁方向，而壓力的推動力卻是指向內(nèi)壁（因?yàn)閜沿r的方向增加），所以流體質(zhì)點(diǎn)內(nèi)層運(yùn)動要受到離心力的阻抗，向外層有要受到壓力差的阻抗，從而使得流體的切向運(yùn)動非常穩(wěn)定。在這種條件下，流動由層流過渡到湍流的雷諾數(shù)與ｋ值有關(guān)，但不是單調(diào)關(guān)系，比如從k=0.98降低到0.95時，雷諾數(shù)Re將從大于100000降低到50000；但當(dāng)k=0.95降到0.9時，過渡雷諾數(shù)Re又將增大到70000。對于另一種情況，即內(nèi)筒轉(zhuǎn)動外筒固定的情況，由于離心力與壓力推動力均指向外壁，兩種因素都促進(jìn)流體向外層運(yùn)動，所以使得流體沿切向的層流流動難以保持穩(wěn)定。在這種情況下，流動由層流過渡到湍流的雷諾數(shù)。由此可得k=0.98、0.95、0.9時，過渡雷諾數(shù)Re分別為14600、3694、1306?？梢?，遠(yuǎn)低于內(nèi)筒固定外筒轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的過渡雷諾數(shù)。例6-3

突然啟動平板引起的流動問題一無限大的平板沉浸在年度為μ、密度為ρ的靜止流體中，如圖6-8所示。在t=0時刻，平板突然開始以恒定速度Ｕ沿ｘ方向運(yùn)動，從而帶動流體沿ｘ方向作一維非穩(wěn)態(tài)流動。流動限于x-