人教A版必修第二冊(cè)861直線與直線垂直作業(yè)

課時(shí)作業(yè)（二十八）直線與直線垂直

一'選擇題

1.如圖，在正方體49co—A/iGA中，直線與4G的位

置關(guān)系是（）

答案：D

解析：由于正方體的對(duì)面平行，所以直線8D與4G異面，連

接AC（圖略），那么AC〃AC1,AC-LBD,所以直線與4c垂直，

所以直線BD與4C1異面且垂直.應(yīng)選D.

ABC。-ABC。］中，與直線44］垂直的棱有條（）

A.2B.4C.6D.8

答案：D

解析：在正方體AG中，與441垂直的棱為AN,BiCi,Ci

□Ai,AB,BC,CD,DA,共8條.應(yīng)選D.

3.（多項(xiàng)選擇）如圖是一個(gè)正方體的平面綻開圖，在原正方體中，

給出以下四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）

AAB與CD所在直線垂直

B.CD與EF所在直線平行

C.AB與MN所在直線成60。角

D.MN與EF所在直線異面

答案：CD

解析：畫出原正方體如下圖，連接。N,DM,由圖可知A,B

錯(cuò)誤;

AB//DN,MN=DN=DM,所以為等邊三角形，

所以C中，與MN所在直線成60。角是正確的；明顯D中，

MN與EF所在直線異面是正確的.

綜上，C,D正確.

4.如圖，在直三棱柱ABC—4囪G中，。為A|8|的中點(diǎn)，A8=

BC=2,仍i=l,AC=26,那么異面直線3。與AC所成的角為（）

A.300B.45°C.

答案:C

解析:如圖，取BQ的中點(diǎn)E,連接BE,DE,那么AC〃A]G

//DE,那么NBDE（或其補(bǔ)角）即為異面直線80與AC所成的角.由

條件可知BD=DE=EB=正,所以N8DE=60。，應(yīng)選C.

5.如圖，點(diǎn)P,Q分別是正方體A3CQ—4B1GO]的面對(duì)角線

ADy,3。的中點(diǎn)，那么異面直線尸。和3cl所成的角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案：C

解析：連接AC,DXC.

?.?A8C0-4囚CQ］是正方體，。是8D的中點(diǎn)，...Q是AC的

中點(diǎn)，又尸是的中點(diǎn)，

工PQ//CD\

又BC\"\D\,/.NAQC為異面直線PQ和BG所成的角或其

補(bǔ)角.

VAACZ））為等邊三角形，

...NA0C=6O°.

即異面直線PQ和3cl所成的角為60°.

ABC—A3G中，假設(shè)48=媳8m，那么A8與3c所成的角

的大小是（）

A.60°B.75°C.90°D.105°

答案：C

解析：設(shè)85=1,如圖，延長(zhǎng)CC至Q,使GC2=CG=1,

連接3c2,那么81C2〃3G,所以NA8C2為A31與所成的角（或

其補(bǔ)角），連接AG,由于48=小，8c2=小，AC2=觀，所以AG

=ABl+BiCl,

那么NABiQ=90°.應(yīng)選C.

7.（多項(xiàng)選擇）如圖，三棱柱ABC-A^Q中，底面三角形ABC】

是正三角形，E是8c的中點(diǎn)，那么以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是（）

CG與直線3E相交

B.CG與AE共面

C.4E與BiG是異面直線

D.AE與8G垂直

答案：ACD

解析：由于C￡〃8G且CE=gmG,所以四邊形CE8G為梯

形，CG與必相交，A正確；由幾何圖形可知B錯(cuò)誤，C正確；

AE與B1C,所成的角就是AE與BC所成的角，又￡為8C的中點(diǎn)，

△A3C為正三角形，所以即AE與BiG所成的角為90°,

選項(xiàng)D正確.應(yīng)選ACD.

二'填空題

ABCO-AiPCQi中，點(diǎn)E,一分別是Aid和BC的中點(diǎn),那么

在長(zhǎng)方體全部的棱中和E尸垂直且異面的有條.

答案：2

解析：長(zhǎng)方體全部的棱中和所垂直且異面的有4。，BC,共

2條.

9.如圖，在三棱錐A—3CD中，E,F,G分別是49,BC,AD

的中點(diǎn)，ZGEF=120°,那么8□和AC所成角的度數(shù)為.

答案：60°

解析：依題意知，EG//BD,EF//AC,所以NGE/或其補(bǔ)角即

為異面直線AC與80所成的角，又NGE尸=120。，所以異面直線8D

與AC所成的角為60°.

10.如圖，假設(shè)正四棱柱A3C3—AiBCiA的底面邊長(zhǎng)為2,

高為4,那么異面直線BDi與A4i所成角的正弦值為,異面

直線BD｝與AD所成角的正弦值是.

小V30

答案:

36

解析：由于A4i〃OO],所以NDD]B即為異面直線3D]與A4i

DB

所成的角（或其補(bǔ)角），連接BD,在中，sinNQO]8=^5=

2g_仍

2加3.

'.,AD//BC,：.NOB。即為異面直線BDi與AO所成的角（或其

補(bǔ)角），連接DC,在△。歸。中，二?正四棱柱的底

11

面邊長(zhǎng)為2,高為4,.?.。歸=2冊(cè)，BC=2,。。=2小，DXB=BC

+Z51C2,

DC2y/5J30

AZD）CB=90°,；.sin/DiBC=^=^=M~,

故異面直線BD\與AD所成角的正弦值是42

ABCD-AyB^iDi中，與AR異面且與AD｝所成的角為90。的面

對(duì)角線（面對(duì)角線是指正方體各個(gè)面上的對(duì)角線）共有條.

答案：1

解析：與異面的面對(duì)角線分別為：AG,BCBD,BAl)

C\D,其中只有3c和42所成的角為90。.

三、解答題

的全部棱長(zhǎng)均相等，石是尸C的中點(diǎn)，求異面直線3E

與出所成的角的余弦值.

p

解：連接AC,3。相交于O,連接O￡,

那么。為AC的中點(diǎn)，由于E是尸。的中點(diǎn)，

所以0￡是△出(7的中位線，

那么OE^PA,那么。石與3E所成的角即為異面直線BE與

朋所成的角，

設(shè)四棱錐的棱長(zhǎng)為1，

小

那么=乎，

OE=^PA=^,OB=BE=2，

小,OEr+BE^-OB2

那么COsZOEB-----OAJZ7or-----

ZU匕。6匕

1,32

Z+4~4_^/3

2金落3

13.如下圖，在正方體ABCD-A囚CQi中.

AEB

⑴求4G與BC所成角的大??；

⑵假設(shè)￡,尸分別為AB,A。的中點(diǎn)，求證：EAiG.

(1)解：如下圖，連接AC,ABi.

由六面體A8CD—ABiGQi是正方體知，四邊形44CC為平

行四邊形，

.??AC〃AiG，從而BC與AC所成的角就是4G與3c所成的

角.

在△ABC中，由ABi=AC=3C，可知N8c4=60。，

即4G與8c所成的角為60°.

(2)證明：如下圖，連接3D由⑴知4C〃A￡,

二.AC與跖所成的角就是AiG與￡尸所成的角.

EF是△A3。的中位線，,EF//BD.

又：.AC±EF,.,.EFlAiCj,

14.如下圖，四周體A-BCO中，E,尸分別是AB,CD的中

點(diǎn).假設(shè)BD,AC所成的角為60。，且8D=ACEQ的長(zhǎng)度.

A

解：取8C的中點(diǎn)M,連接ME,MF,如圖.那么M七〃AC,

MF//BD,

:.ME與MF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而

AC,8D所成的角為60。，

A

：.NEMF=60?；?20。.當(dāng)NEM尸=60。時(shí)，EF=ME=

當(dāng)/EMF=120。時(shí)，取石廠的中點(diǎn)N,那么MNLEF,

、行

:.EF=2EN=2EM-sin/EMN=2X1X方=小.

故EF的長(zhǎng)度為1或小.

15.如圖，點(diǎn)P在圓柱OOi的底面。。上，AA^AB,BPLA}P,

AB,AB分別為。O,AOi的直徑,且AB〃A/i.

假設(shè)圓柱OOi的體積V=127t,OA=2,NAOP=120。，答復(fù)以

下問(wèn)題：

(1)求三棱錐A1-APB的體積；

(2)在線段AP上是否存在一點(diǎn)M,使異面直線OM與