人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第一章 1.2.3同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

1.2.3空間幾何體的直觀圖[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖.2.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖．[知識(shí)鏈接]1．一般地，在一個(gè)幾何體的三視圖中，側(cè)視圖與正視圖高一樣；俯視圖與正視圖長(zhǎng)一樣；側(cè)視圖與俯視圖寬一樣．2．畫(huà)三視圖是用平行投影的方法畫(huà)出來(lái)的．3．梯形的面積S＝eq\f(1,2)(a＋b)h(其中a、b為兩底長(zhǎng)，h為高)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．直觀圖的概念(1)定義：把空間圖形(平面圖形和立體圖形的統(tǒng)稱)畫(huà)在平面內(nèi)，使得既富有立體感，又能表達(dá)出主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形叫做直觀圖．(2)說(shuō)明：在立體幾何中，空間幾何體的直觀圖是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形．2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)畫(huà)軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于O′，且使∠x(chóng)′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．(2)畫(huà)線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)取長(zhǎng)度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．3．立體圖形直觀圖的畫(huà)法畫(huà)立體圖形的直觀圖，在畫(huà)軸時(shí)，要多畫(huà)一條與平面x′O′y′垂直的軸O′z′，且平行于O′z′的線段長(zhǎng)度不變．其他同平面圖形的畫(huà)法．要點(diǎn)一畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖例1畫(huà)出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．解畫(huà)法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點(diǎn)畫(huà)C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．規(guī)律方法1.本題巧借等腰梯形的對(duì)稱性建系使“定點(diǎn)”、“畫(huà)圖”簡(jiǎn)便易行．2．在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn)．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過(guò)作平行于坐標(biāo)軸的線段來(lái)完成．跟蹤演練1用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)如圖所示邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖．解(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸．(2)畫(huà)對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.在x′軸上取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′軸上取O′A′＝eq\f(1,2)OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示．要點(diǎn)二由直觀圖還原平面圖形例2如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面圖形的面積為()A.eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C．a(chǎn)2D．2a2答案B解析由直觀圖還原出原圖，如圖，所以S＝a·2eq\r(2)a＝2eq\r(2)a2.規(guī)律方法由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)平行x′軸的線段長(zhǎng)度不變，平行y′軸的線段擴(kuò)大為原來(lái)的2倍；(2)對(duì)于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．跟蹤演練2一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面積為eq\r(2)，則原梯形的面積為()A．2B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4答案D解析如圖，由斜二測(cè)畫(huà)法原理知，原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長(zhǎng)度是一樣的，不一樣的是兩個(gè)梯形的高，原梯形的高OC是直觀圖中O′C′長(zhǎng)度的2倍，O′C′的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形的高的eq\r(2)倍，由此知原梯形的高OC的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形高的2eq\r(2)倍，故其面積是梯形O′A′B′C′面積的2eq\r(2)倍，梯形O′A′B′C′的面積為eq\r(2)，所以原梯形的面積是4.要點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖例3如圖所示，由下列幾何體的三視圖畫(huà)出直觀圖．解(1)畫(huà)軸．畫(huà)x′軸、y′軸和z′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°(或135°)，∠x(chóng)′O′z′＝90°，如圖①所示．(2)畫(huà)底面．按x′軸、y′軸畫(huà)正五邊形的直觀圖ABCDE.(3)畫(huà)側(cè)棱．過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、E分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正視圖的高．(4)成圖，順次連接A′、B′、C′、D′、E′，去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示．規(guī)律方法1.畫(huà)空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出水平放置的平面圖形，再畫(huà)z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可．2．直觀圖畫(huà)法口訣可以總結(jié)為：“一斜、二半、三不變”．跟蹤演練3由如圖所示幾何體的三視圖畫(huà)出直觀圖．解(1)畫(huà)軸．如圖，畫(huà)出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°.(2)畫(huà)底面．作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖△ABC.(3)畫(huà)側(cè)棱．過(guò)A，B，C各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成圖，順次連接A′，B′，C′，并加以整理(擦去輔助線，將遮擋部分用虛線表示)，得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖．1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線段說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．原來(lái)相交的仍相交B．原來(lái)垂直的仍垂直C．原來(lái)平行的仍平行D．原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)答案B解析根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，原來(lái)垂直的未必垂直．2．關(guān)于用斜二測(cè)畫(huà)法得直觀圖，下列說(shuō)法正確的是()A．等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖可能不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形答案B3.如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則它的實(shí)際形狀四邊形ABCD為()A．平行四邊形B．梯形C．菱形D．矩形答案D解析因?yàn)椤螪′A′B′＝45°，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知∠DAB＝90°，又因四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形．4.如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案10解析由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四邊形OPQR的周長(zhǎng)為2×(3＋2)＝10.5.如圖所示的直觀圖△A′O′B′，其平面圖形的面積為_(kāi)_______．答案6解析由直觀圖可知其對(duì)應(yīng)的平面圖形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝6.1.斜二測(cè)畫(huà)法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時(shí)，可根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形．兩者之間關(guān)系為：eq\f(S直,S原)＝eq\f(\r(2),4).2．在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖時(shí)，平行線段仍然平行，所畫(huà)平行線段之比仍然等于它的真實(shí)長(zhǎng)度之比，但所畫(huà)夾角大小不一定是其真實(shí)夾角大?。?、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案C解析在畫(huà)直觀圖時(shí)，∠A′的兩邊依然分別平行于x′軸、y′軸，而∠x(chóng)′O′y′＝45°或135°.2.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，A′B′∥y′軸，則原圖中△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．任意三角形答案B解析∵A′B′∥y′，所以由斜二測(cè)畫(huà)法可知在原圖形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．3．如圖為一平面圖形的直觀圖的大致圖形，則此平面圖形可能是()答案C解析根據(jù)該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個(gè)直角梯形，且在直觀圖中平行于y′軸的邊與底邊垂直．4.如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在原△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是()A．ABB．ADC．BCD．AC答案D解析還原△ABC，即可看出△ABC為直角三角形，故其斜邊AC最長(zhǎng)．5．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①相等的角在直觀圖中對(duì)應(yīng)的角仍然相等；②相等的線段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段仍然相等；③最長(zhǎng)的線段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段仍最長(zhǎng)；④線段的中點(diǎn)在直觀圖中仍然是線段的中點(diǎn)．A．1B．2C．3D．4答案A解析①②③錯(cuò)誤，④正確．6.水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)_______．答案eq\f(5,2)解析將直觀圖△A′B′C′復(fù)原，其平面圖形為Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜邊AB＝5，所以AB邊上的中線長(zhǎng)為eq\f(5,2).7．畫(huà)出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．解(1)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖(1)所示，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，如圖(2)所示．(2)如圖(2)所示，在x′軸上取點(diǎn)B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點(diǎn)D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；過(guò)E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.(3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖．二、能力提升8．如圖，在斜二測(cè)畫(huà)法下，兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()答案C9.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面圖形的面積為_(kāi)_______．答案2＋eq\f(\r(2),2)解析過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝eq\f(\r(2),2)，∴原平面圖形是梯形且上下兩底邊長(zhǎng)分別為1和1＋eq\f(\r(2),2)，高為2，∴原平面圖形的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).10.在如圖直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長(zhǎng)為2cm，則在xOy坐標(biāo)系中原四邊形OABC為_(kāi)_______(填形狀)，面積為_(kāi)_______cm2.答案矩形8解析由題意，結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法可知，四邊形OABC為矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四邊形OABC的面積S＝2×4＝8cm2.11．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCDA′B′C′D′的直觀圖．解畫(huà)法：(1)畫(huà)軸．如圖①，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°.(2)畫(huà)底面．以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN＝2cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1cm.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.(3)畫(huà)側(cè)棱．過(guò)A，B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長(zhǎng)的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正方體的直觀圖，如圖②.三、探究與創(chuàng)新12．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出正六棱柱(底面為正六邊形，側(cè)面為矩形的棱柱)的直觀圖(尺寸自定)．解(1)畫(huà)軸．畫(huà)Ox軸，Oy軸，Oz軸，使∠x(chóng)Oy＝45°(或135°)，∠x(chóng)Oz＝90°，如圖(1)．(2)畫(huà)底面．以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫(huà)出正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫(huà)側(cè)棱．過(guò)A，B，C，D，E，F(xiàn)各點(diǎn)，分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它們都等于側(cè)棱的長(zhǎng)．(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，A′，并擦去