人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第一章 1.3.1同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

1．3空間幾何體的表面積與體積1．3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，掌握柱、錐、臺(tái)體的表面積的求法.2.了解柱、錐、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．[知識(shí)鏈接]1．棱柱的側(cè)面形狀是平行四邊形；棱錐的側(cè)面形狀是三角形；棱臺(tái)的側(cè)面形狀是梯形．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面形狀是圓．3．三角形的面積S＝eq\f(1,2)ah(其中a為底，h為高)，圓的面積S＝πr2(其中r為半徑)，扇形的面積公式S＝eq\f(1,2)lr(l為扇形的弧長(zhǎng)，r為扇形的半徑)．4．長(zhǎng)方體的體積V＝abc(其中a，b，c為長(zhǎng)、寬、高)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．多面體的表面積多面體的表面積就是各個(gè)面的面積的和，也就是展開(kāi)圖的面積．2．旋轉(zhuǎn)體的表面積名稱(chēng)圖形公式圓柱底面積：S底＝2πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πrl＋2πr2續(xù)表圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πrl＋πr2圓臺(tái)上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)3.體積公式(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh.(3)臺(tái)體：臺(tái)體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.要點(diǎn)一空間幾何體的表面積例1如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積．解以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓臺(tái)，其上底半徑是4cm，下底半徑是16cm，母線DC＝eq\r(52＋16－42)＝13(cm)．∴該幾何體的表面積為π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．規(guī)律方法1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面上，因此準(zhǔn)確把握軸截面中的相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體表面積的關(guān)鍵．2．棱錐及棱臺(tái)的表面積計(jì)算常借助斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長(zhǎng)等構(gòu)成的直角三角形(或梯形)求解．跟蹤演練1如圖，已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC，求它的表面積．解先求△SBC的面積，過(guò)點(diǎn)S作SD⊥BC，交BC于點(diǎn)D.因?yàn)锽C＝a，SD＝eq\r(SB2－BD2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)a.所以S△SBC＝eq\f(1,2)BC·SD＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2.因此，四面體SABC的表面積S＝4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2.要點(diǎn)二空間幾何體的體積例2如圖，三棱臺(tái)ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1ABC，三棱錐BA1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比．解設(shè)棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VCA1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺(tái)＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VBA1B1C＝V臺(tái)－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.規(guī)律方法求幾何體體積的常用方法跟蹤演練2如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.解在三棱錐A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)·eq\r(2)a·d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.∴A到平面A1BD的距離為eq\f(\r(3),3)a.要點(diǎn)三與三視圖有關(guān)的表面積、體積問(wèn)題例3一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3)D．8,8答案B解析由正視圖得出四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高，進(jìn)而求出側(cè)面積與體積．由正視圖知：四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，四棱錐的高為2，∴V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).四棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，底為2，高為eq\r(5)，∴S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5).規(guī)律方法1.解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)在直觀圖中求出計(jì)算體積所需要的數(shù)據(jù)．2．若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時(shí)，依據(jù)需要先將幾何體分割分別求解，最后求和．跟蹤演練3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．答案16π－16解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16π；正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為16π－16.1．已知長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1∶2∶3，對(duì)角線的長(zhǎng)是2eq\r(14)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是()A．6B．12C．24D．48答案D解析設(shè)長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為x、2x、3x，又對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(14)，則x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2eq\r(14))2，解得x＝2.∴三條棱長(zhǎng)分別為2、4、6.∴V長(zhǎng)方體＝2×4×6＝48.2．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為eq\r(2)的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()A.eq\f(\r(3),2)B．1C.eq\f(\r(2)＋1,2)D.eq\r(2)答案D解析根據(jù)正方體的俯視圖及側(cè)視圖特征想象出其正視圖后求面積．由于該正方體的俯視圖是面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為eq\r(2)的矩形，因此該幾何體的正視圖是一個(gè)長(zhǎng)為eq\r(2)，寬為1的矩形，其面積為eq\r(2).3.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積為()A．12πB．18πC．24πD．36π答案C解析由三視圖知該幾何體為圓錐，底面半徑r＝3，母線l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故選C.4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.答案eq\f(20π,3)解析根據(jù)三視圖知，該幾何體上部是一個(gè)底面直徑為4m，高為2m的圓錐，下部是一個(gè)底面直徑為2m，高為4m的圓柱．故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)π×22×2＋π×12×4＝eq\f(20π,3)(m3)．5．一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比為_(kāi)_______．答案eq\f(1＋2π,2π)解析設(shè)底面半徑為r，側(cè)面積＝4π2r2，表面積為＝2πr2＋4π2r2，其比為eq\f(1＋2π,2π).1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開(kāi)圖的面積，因此弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及側(cè)面展開(kāi)圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵．2．計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．3．在幾何體的體積計(jì)算中，注意體會(huì)“分割思想”、“補(bǔ)體思想”及“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4πB．3πC．2πD．π答案C解析底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C.2．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是3和4，母線長(zhǎng)為6，則其表面積等于()A．72B．42πC．67πD．72π答案C解析S圓臺(tái)表＝S圓臺(tái)側(cè)＋S上底＋S下底＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π.3．如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐D1ACD的體積是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1答案A解析三棱錐D1ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).4．某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3答案B解析該幾何體為一個(gè)組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長(zhǎng)方體，如圖所示．V＝V三棱柱＋V長(zhǎng)方體＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．1答案B解析如圖，三棱錐的底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，有一條側(cè)棱和底面垂直，且其長(zhǎng)度為2，故三棱錐的高為2，故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)，故選B.6．一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的軸截面分別是邊長(zhǎng)為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之比為_(kāi)_______．答案2∶1解析S圓柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋2π·eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圓錐＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1.7．如圖是某幾何體的三視圖．(1)畫(huà)出它的直觀圖(不要求寫(xiě)畫(huà)法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積和體積．解(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，它的下部是一個(gè)圓柱(底面半徑為1，高為2)，它的上部是一個(gè)圓錐(底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，高為eq\r(3))，所以所求表面積為S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，體積為V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝2π＋eq\f(\r(3),3)π.二、能力提升8．體積為52的圓臺(tái)，一個(gè)底面積是另一個(gè)底面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積是()A．54B．54πC．58D．58π答案A解析設(shè)上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設(shè)圓臺(tái)高為h1，則52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圓錐的高為h，由相似知識(shí)得知eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h(huán)1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圓錐＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(560,3)B.eq\f(580,3)C．200D．240答案C解析先將三視圖還原為空間幾何體，再根據(jù)體積公式求解．由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為8，高為4，故面積為S＝eq\f(2＋8×4,2)＝20.又棱柱的高為10，所以體積V＝Sh＝20×10＝200.10．一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．答案12解析設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.11．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形、高為4、頂點(diǎn)在底面的投影是矩形中心的四棱錐VABCD.(1)V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64.(2)該四棱錐的兩個(gè)側(cè)面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h1＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2)＝4eq\r(2)，另兩個(gè)側(cè)面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2)＝5.因此S側(cè)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×4\r(2)＋\f(1,2)×8×5))＝40＋2