串講05 統(tǒng)計(jì)（考點(diǎn)串講） (解析版)

串講05統(tǒng)計(jì)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)及?？碱}型二、知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：集中趨勢(shì)與離散程度1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為＝（－），標(biāo)準(zhǔn)差為.3.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為，則稱S2＝eq\f(1,N)為總體方差，S＝eq\r(S2)為總體標(biāo)準(zhǔn)差．如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N).4.樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為，則稱為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．5.方差、標(biāo)準(zhǔn)差特征標(biāo)準(zhǔn)差、方差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。诳坍?huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．但在解決實(shí)際問(wèn)題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．知識(shí)點(diǎn)二：一元線性回歸1一元線性回歸模型用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差，假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無(wú)關(guān)的定值σ2Y=bx+a+e我們稱它為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.2線性回歸方程對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為x1,y1,x2,yb我們將y=bx+a稱為Y備注線性回歸直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x3殘差分析通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)量，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差，殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判定原始數(shù)據(jù)是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的工作稱為殘差分析.通過(guò)觀察殘差圖可以直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假設(shè)，那殘差應(yīng)是均值為0，方差為σ2的隨機(jī)變量的觀測(cè)值4比較模型的擬合效果(i)殘差平方和殘差平方和Q=i=1n(ii)相關(guān)指數(shù)RRR2越大，殘差平方和i=1n四、常考題型探究考點(diǎn)一集中趨勢(shì)與離散程度1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．一個(gè)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不可能是同一個(gè)數(shù)B．統(tǒng)計(jì)中，我們可以用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)C．樣本平均數(shù)既不可能大于也不可能小于這個(gè)樣本中的所有數(shù)據(jù)D．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)【答案】A【解析】用樣本估計(jì)總體情況時(shí)，在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)可能是同一個(gè)數(shù)，例如：數(shù)據(jù)10,11,11,11,11,11,12的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是11，故選：A.2．一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A．14,14B．12,14C．14,15.5 D．12,15.5【答案】A【解析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，則可知其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14.，故選：A.3．已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】D【解析】由題意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a，故選：D.4．我校在科技文化節(jié)活動(dòng)中，8位評(píng)委給某個(gè)節(jié)目的評(píng)分各不相同，去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，剩下的6個(gè)評(píng)分與原始的8個(gè)評(píng)分相比一定不發(fā)生變化的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．眾數(shù)【答案】B【解答】根據(jù)題意，從8個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，得到6個(gè)有效評(píng)分．6個(gè)有效評(píng)分與8個(gè)原始評(píng)分相比，中位數(shù)一定不發(fā)生變化，故選：B．5．在一次科技作品制作比賽中，某小組六件作品的成績(jī)（單位：分）分別是：7，10，9，8，7，9，對(duì)這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．平均數(shù)是8 B．中位數(shù)8.5 C．眾數(shù)是8 D．極差是4【答案】B【解答】A．平均數(shù)為＝，故本選項(xiàng)不合題意；B．中位數(shù)為＝8.5，故本選項(xiàng)符合題意；C．眾數(shù)是7和9，故本選項(xiàng)不合題意；D．極差為10﹣7＝3，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．6．兩年前，某校七（1）班的學(xué)生平均年齡為13歲，方差為4，若學(xué)生沒(méi)有變動(dòng)，則今年升為九（1）班的學(xué)生年齡中（）A．平均年齡為13歲，方差改變B．平均年齡為15歲，方差不變C．平均年齡為15歲，方差改變D．平均年齡不變，方差不變【答案】B【解析】由題意知七年級(jí)（1）班全體學(xué)生的人數(shù)沒(méi)有變化，而每位同學(xué)的年齡都增加了2歲，∴今年升為九（1）班的學(xué)生的平均年齡增加2歲，即15歲，又∵學(xué)生的年齡波動(dòng)幅度沒(méi)有變化，∴今年升為九（1）班的學(xué)生年齡的方差不變，仍然為4，故選：B．7．一組數(shù)據(jù)23，27，20，18，x，12，它們的中位數(shù)是21，則x=___________，已知一個(gè)樣本－1，0，2，x，3，它們的平均數(shù)是2，則這個(gè)樣本的方差為s2＝_______．【答案】

22

6【解析】（2）根據(jù)題意和中位數(shù)的定義，21是最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，∵16，18，20都比中位數(shù)21小，∴x排在20后面，∵20與23的平均數(shù)大于21，∴x排在23前面，∴該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：12，18，20，x，23，27，∴，解得，故答案為：22；（2）∵樣本－1，0，2，x，3的平均數(shù)是2，∴，解得，∴故答案為：6．8．已知一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．極差是5 B．眾數(shù)是8 C．中位數(shù)是9 D．方差是2.8【答案】C【解析】一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，，解得，這組數(shù)據(jù)為：5，8，8，9，10，極差為10-5=5，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；眾數(shù)是8，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；中位數(shù)是8，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；方差=，D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選C．9．李老師為了了解學(xué)生暑期在家的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了20名學(xué)生某一天的閱讀小時(shí)數(shù)，具體情況統(tǒng)計(jì)如表：閱讀時(shí)間（小時(shí)）22.533.54學(xué)生人數(shù)（名）12863則關(guān)于這20名學(xué)生閱讀小時(shí)數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A．中位數(shù)是3 B．平均數(shù)是3.3 C．眾數(shù)是8 D．極差是7【答案】A【解答】A、隨機(jī)調(diào)查了20名學(xué)生，所以中位數(shù)是第10個(gè)和第11個(gè)學(xué)生的閱讀小時(shí)數(shù)，都是3，故中位數(shù)是3，所以此選項(xiàng)符合題意；B、均數(shù)＝＝3.2，所以此選項(xiàng)不合題意；C、由統(tǒng)計(jì)表得：眾數(shù)為3，不是8，所以此選項(xiàng)不合題意；D、極差是4﹣2＝2，所以此選項(xiàng)不合題意；故選：A．10.已知一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案B解析eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s＝eq\r(\f(1,5)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32)))＝eq\r(2)11．若樣本x1，x2，x3，?，xn的平均數(shù)為8，方差為4，則對(duì)于樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，xn﹣3，下列結(jié)論正確的是（）A．平均數(shù)為8，方差為1 B．平均數(shù)為5，方差為1 C．中位數(shù)變小，方差不變 D．眾數(shù)不變，方差為4【答案】C【解析】∵樣本x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為8，方差為4，∴樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均數(shù)為5，方差為4，眾數(shù)和中位數(shù)變小，故選：C．12．一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算公式為，則這組數(shù)據(jù)的方差是．【答案】【解析】平均數(shù)為：，故方差是：，故答案為：．13．如果有一組數(shù)據(jù)-2，0，1，3，的極差是6，那么的值是．【答案】4或-3【解析】∵3-（-2）=5，一組數(shù)據(jù)-2，0，1，3，x的極差是6，∴當(dāng)x為最大值時(shí)，x-（-2）=6，解得x=4；當(dāng)x是最小值時(shí)，3-x=6，解得：x=-3．故答案為：4或-3．考點(diǎn)二一元線性回歸14．由變量與相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，根據(jù)樣本中心滿足線性回歸方程，則（

）A．45 B．51 C．67 D．63【答案】B【解析】由題意得，因?yàn)榫€性回歸方程為，所以，故選：B.15．我國(guó)西北某地區(qū)開(kāi)展改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)對(duì)近5年投入的沙漠治理經(jīng)費(fèi)x（億元）和沙漠治理面積y（萬(wàn)畝）的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示．治理經(jīng)費(fèi)x/億元34567治理面積y/萬(wàn)畝1012111220根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)?，因回歸方程過(guò)定點(diǎn)，將其代入，得，解得，故選：C16．根據(jù)變量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如表），求得關(guān)于的線性回歸方程為，則表中的值為（

）2456830405070A．60 B．55 C．50 D．45【答案】A【解析】由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，，因?yàn)榛貧w直線方程過(guò)樣本中心，，解得，故選：A.17．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下，則y與x的線性回歸方程表示的直線必過(guò)點(diǎn)（

）x0123y1246A． B． C． D．【答案】B【解析】，．則樣本中心為，故選：B.18．在下列所示的四個(gè)圖中，兩個(gè)變量間具有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】由散點(diǎn)圖可得答案.【詳解】對(duì)于A，散點(diǎn)落在某條曲線上，兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系；對(duì)于B，散點(diǎn)落在某條直線附近，這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；對(duì)于C，散點(diǎn)落在某條曲線附近，這兩個(gè)變量具有非線性相關(guān)關(guān)系；對(duì)于D，散點(diǎn)雜亂無(wú)章，無(wú)規(guī)律可言，這兩個(gè)變量無(wú)相關(guān)性，不具有相關(guān)關(guān)系．故選：B．19．某市物價(jià)部門對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品的一天銷售量及其售價(jià)進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：售價(jià)（元）99.510.511銷售量（件）11865已知銷售量與售價(jià)之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是，且，則其中的______，樣本中心為_(kāi)_____．【答案】

10

【詳解】解：因?yàn)榛貧w直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心，，，所以，整理得．又，得方程組，解得，進(jìn)而得，所以，樣本中心為．故答案為：10；20．某城市2017年到2021年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示，據(jù)此估計(jì)2022年該城市人口總數(shù)______(單位十萬(wàn)).（參考數(shù)據(jù)和公式：，）年份（年）01234人口數(shù)（十萬(wàn)）5781