【彩虹中的數(shù)學(xué)問題淺析4200字（論文）】

I彩虹中的數(shù)學(xué)問題淺析目錄TOC\o"1-2"\h\u14801彩虹中的數(shù)學(xué)問題 18701一、問題的提出 18028二、前人的觀察及研究 27497三、彩虹形成的條件 214932四、彩虹中的數(shù)學(xué) 329674（一）彩虹的位置中的數(shù)學(xué) 321881（二）彩虹形狀中的數(shù)學(xué) 51164（三）彩虹顏色中的數(shù)學(xué) 716386五、結(jié)論與展望 710177參考文獻(xiàn) 8摘要：雨后的天空中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)色彩鮮艷的彩虹，它的形成曾使人們感到困擾。從遙遠(yuǎn)的殷商時(shí)代開始，我國就出現(xiàn)了虹的象形文字，之后的各個(gè)朝代，都有對彩虹的描述，包括彩虹的產(chǎn)生、彩虹的位置以及人造彩虹的出現(xiàn)。西方對于彩虹的研究從亞里士多德開始，歷經(jīng)費(fèi)馬、笛卡爾、牛頓等人，通過理論的研究以及實(shí)驗(yàn)的探索大致上解決了有關(guān)彩虹的一些問題，包括彩虹產(chǎn)生的機(jī)理以及彩虹的顏色。隨著時(shí)代的發(fā)展，人們對于彩虹的認(rèn)識(shí)也越來越深刻，彩虹對于人們來說也不再神秘。本文將站在前人研究的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，尋找彩虹之中的數(shù)學(xué)。關(guān)鍵詞：幾何光學(xué)；偏向角；彩虹一、問題的提出“天際彩虹千丈，闌干外、瀉寒玉”。雨過天晴，在和太陽相對的天空中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一道色彩鮮艷的圓弧，弧色外紅內(nèi)紫，有時(shí)候還可以看到兩道圓弧，外面的弧色與內(nèi)弧顏色排布恰好相反，外紫而內(nèi)紅?，F(xiàn)在的人們會(huì)不由自主地欣賞這種大自然饋贈(zèng)的美景。古時(shí)候有人說那是嫦娥在空中歌舞揮舞著的彩帶，也有人說那是信使Iris所鋪設(shè)的連接天地的通道，然而不管是彩帶還是通道，都不過是傳說罷了，沒有任何的科學(xué)依據(jù)，但是其充滿了古人對于美好事物的向往。其實(shí)，上述的情況只是一種常見的自然界的光學(xué)現(xiàn)象——彩虹。那么彩虹究竟是怎樣形成的呢？二、前人的觀察及研究據(jù)史料記載，早在遙遠(yuǎn)的殷商時(shí)代，我國就出現(xiàn)了有關(guān)虹的象形文字。東漢蔡邕在《月令章句》中這樣描述彩虹：“虹見有青赤之色，常依陰云，而晝見于日衙，無云不見，太陰也不見，見輒與日相互，率以日西，見于東方?！边@對彩虹的形成的條件及位置有一定的認(rèn)識(shí)。唐代孔穎達(dá)在《(禮記)注疏》中寫道：“若云薄漏日，日照雨滴則虹生”。沈括的《夢溪筆談》中有寫道，孫彥先云：“虹乃與中日影也，日照雨則有之”。這解釋了彩虹是太陽光在水滴中折射和反射后形成的。中唐詩人張志和在他的著作——《玄真子》一書中這樣描述：“背日噴乎水成霓虹之狀”這就是簡單的人造彩虹。亞里士多德是西方第一個(gè)試圖以科學(xué)的眼光觀察虹的人，他曾指出：彩虹出現(xiàn)在太陽離地平線較低時(shí)，而且彩虹不會(huì)出現(xiàn)在夏日的中午；我們可以看到兩條顏色相反但形狀相似的彩虹，并且外面的那條顏色比較黯淡。然而亞里士多德并未發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，那就是兩條彩虹帶的之間的那片區(qū)域較為黯淡。之后公元約200年的時(shí)候，才有亞歷山大注意到這個(gè)現(xiàn)象，因此后人就將其觀察到的這種現(xiàn)象稱為“亞歷山大暗帶”。此后1307年歐洲人才明白蘇格蘭上空的雙重彩虹是由于太陽光在水珠中產(chǎn)生了折射和反射，這比孫彥先及沈括他們遲了幾百年。法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬根據(jù)他對光的反射的研究得出了“最小時(shí)間原理”。笛卡爾在1637年以充滿水的玻璃球充當(dāng)大水滴來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得出水對光的折射指數(shù)，用數(shù)學(xué)證明彩虹的主虹和副虹分別是陽光在水珠內(nèi)經(jīng)過一個(gè)反射和兩次反射后再從水珠表面折射出形成的。他精準(zhǔn)地計(jì)算出了彩虹的偏向角，但卻未能解釋彩虹的顏色。直至牛頓通過三棱鏡將太陽光色散之后，通過對電磁波波長的研究指出了彩虹是一道由紅色到紫色的連續(xù)光譜。三、彩虹形成的條件彩虹是光學(xué)中的一種自然現(xiàn)象，是太陽光經(jīng)過水珠后發(fā)生一系列的折射和反射后生成的。因?yàn)樗閷τ诓煌伾墓庥兄煌恼凵渎?，使得太陽光產(chǎn)生了色散。雨過天晴，空氣中充滿了細(xì)小的雨滴，這些雨滴可以看成球狀水珠，如果太陽光以一定的角度射入水珠，將會(huì)在在水珠內(nèi)會(huì)發(fā)生一系列的折射和反射過程，然后從水珠內(nèi)射出，因?yàn)椴煌伾墓獾恼凵渎什煌谑翘柟獗阍谏⒌淖饔孟律闪烁鞣N其他顏色的光，這就是彩虹。以上的彩虹是太陽光在水珠內(nèi)產(chǎn)生兩次折射和一次反射形成的，假若太陽光在水珠內(nèi)產(chǎn)生了兩次折射和兩次反射，然后從水珠射出，這樣形成的彩色光帶我們稱之為副虹，也就是霓虹。彩虹并不是一種常見的光學(xué)現(xiàn)象，只有滿足一定的氣象條件時(shí)，它才會(huì)出現(xiàn)在我們的視線之中。雨后晴朗的天空中，空氣中雨滴多塵少，太陽光以一定的角度射入空氣中的雨滴，觀察者背對著太陽以一定的角度仰視天空，才能夠觀察到美麗的彩虹。彩虹是陽光通過雨滴的反射和折射形成的，因?yàn)橛甑问遣婚g斷下落的，總有后面的雨滴補(bǔ)到之前雨滴的位置，產(chǎn)生相同效果的折射與反射，由于人眼的視覺暫留，前一個(gè)雨滴產(chǎn)生的視覺效果還沒消散又有后面的雨滴補(bǔ)上，所以我們看到的彩虹是連續(xù)不斷的。彩虹的形成后的模樣與空氣中雨滴的大小息息相關(guān)。雨滴愈大，彩虹的顏色便顯得愈發(fā)明亮，彩虹卻顯得愈加狹窄；反之，雨滴愈小，彩虹的顏色便顯得愈發(fā)晦暗，彩虹卻顯得愈加寬闊。但當(dāng)雨滴小到支持不了它對太陽光進(jìn)行色散、反射、折射這一系列過程時(shí)，彩虹便消散不可見了。又因?yàn)椴屎缡恰叭照沼辍毙纬傻?，所以它總是存在與太陽的對面。觀察者只有背對太陽才能觀察到美麗的彩虹！四、彩虹中的數(shù)學(xué)（一）彩虹的位置中的數(shù)學(xué)進(jìn)入水珠后的太陽光經(jīng)過一系列折射以及內(nèi)反射過程后從水珠內(nèi)射出，只要滿足在最小偏向角處即可形成彩虹。這樣我們便能看到眾多的彩虹。但是，一般來說實(shí)際情況是人們最多只能觀察到兩條顏色排布相反的彩虹：一條是經(jīng)過兩次折射和一次內(nèi)反射后形生成的彩虹，稱之為主虹；另一條是經(jīng)過兩次折射和兩次內(nèi)反射后生成的彩虹，也就是副虹——俗稱霓虹。這里本文先來討論主虹的位置。查閱資料可知，主虹形成過程中不同光產(chǎn)生的角度如下：表4.1主虹形成過程中不同光產(chǎn)生的角度光的類別折射率IRΘmin與光軸夾角紅光1.33259.47°40.29°137.78°42.22°紫光1.34158.95°39.71°139.06°40.94°太陽光4/359.39°40.20°137.98°42.02°可見，對于主虹來說，出射的光線集中于與光軸線夾角為41°到42°。一般取水對太陽光的折射率為，此時(shí)出射光線與主光軸之間的夾角為42°。圖4.1對日點(diǎn)位置按照觀察者所處的位置，將正對太陽的反方向的所在記為對日點(diǎn)，如圖3.1所示，形成彩虹的太陽光的入射光線與出射光線之間夾角為上文計(jì)算所得的42°，人眼看到的光線與對日點(diǎn)之間的夾角也為42°，于是，只要從與對日點(diǎn)方向夾角為42°的任何一個(gè)方向觀察，都能觀察到美麗的彩虹。因此，我們所說的彩虹就是以對日點(diǎn)和人眼連線組成的一個(gè)角半徑為42°的圓錐曲面。也就是說，只要是這個(gè)圓錐曲面上的任何一滴雨滴，都是形成主虹的重要組成部分。如圖4.1所示，彩虹一般是在太陽在地平線以上的時(shí)候被觀察到的，那么其相應(yīng)的對日點(diǎn)應(yīng)該在地平線以下。從圖4.1中也可以看出，太陽越高，彩虹越低，太陽越低，彩虹越高。這也解釋了為什么中午很難看到彩虹，確實(shí)實(shí)際觀察到的情況就是這樣的。以我國為例，上午九點(diǎn)到下午三點(diǎn)之間很少由彩虹出現(xiàn)，因?yàn)榇藭r(shí)太陽所處地理位置過高，一般來說，早晨和傍晚更容易觀察到美麗的彩虹。若太陽光與地面平行，則觀察彩虹的仰角約為42°。以相同的視角射向眼睛的光束，必然在一個(gè)圓錐面上。因而，假設(shè)把人眼作為頂點(diǎn)，做一條中軸線，其平行于太陽光的方向，且經(jīng)過人眼。所有與中軸線呈42°夾角的出射光線將圍繞中軸線形成一個(gè)圓錐面。假使太陽光與地面不平行，如圖4.1所示，圍繞中軸線產(chǎn)生的圓錐的下部分隱藏在地勢下方。所以，我們一般只能看到彩虹的一部分圓弧。但是，我們在高山或者飛機(jī)上時(shí)，就有可能看到完整的圓形彩虹。圖4.2圓形彩虹（二）彩虹形狀中的數(shù)學(xué)假使將人眼看成一個(gè)圓形鏡頭，一大束分散的光線照過來，人眼所能捕捉到的光線其實(shí)僅僅只有照到鏡頭上的極少的部分。如果要觀察到全部的光線，不能平行照射，要將這些光線匯聚到一起。假設(shè)人眼為圓錐的頂點(diǎn)，彩虹作為圓錐的底面，我們要看到彩虹，彩虹的出射光線便要沿著圓錐的側(cè)面匯聚到人眼（如圖4.3所示）。從圖中4.3中也可以看出，用長度去衡量彩虹是沒有意義的。這時(shí)候就引入了角半徑這個(gè)指標(biāo)，它是用來形容彩虹的最恰當(dāng)?shù)膮?shù)。這里能夠獲得一個(gè)奇妙的現(xiàn)象——兩個(gè)觀察者在相鄰的地點(diǎn)觀察彩虹，然而他們觀察到的彩虹卻是不一樣的，也就是說，每個(gè)人都有“自己的彩虹”。圖4.3人眼觀察的彩虹因?yàn)椴屎缡翘柟馔ㄟ^雨點(diǎn)折射一反射一折射過來的光線產(chǎn)生的，所以我們看到的彩虹實(shí)際上是由那些與我們形成虹角的雨點(diǎn)組成的。這里假設(shè)人眼的所處的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖4.4所示的坐標(biāo)系：圖4.4彩虹形狀的數(shù)學(xué)解釋xoy平面與太陽光線方向平行。設(shè)B(x,b,z)為彩虹上的任意一點(diǎn)，A（x,o,z）為經(jīng)過B的太陽光線與xoz平面的交點(diǎn)，連接OA,OB,AB。則OAB為直角三角形，其中∠A=90°∠ABO即為前文所求的入射光線與光軸的夾角42°，記則： （4.1）所以彩虹的方程是： （4.2）從彩虹的方程表達(dá)式（4.2）中可以直觀的看出，彩虹就是一個(gè)圓形的結(jié)構(gòu)。（三）彩虹顏色中的數(shù)學(xué)現(xiàn)在流行的說法是彩虹是由赤橙紅綠青藍(lán)紫這七種顏色構(gòu)成的，其實(shí)不然，彩虹是經(jīng)過水滴折射后產(chǎn)生的連續(xù)可見光譜。彩虹就是太陽光色散后產(chǎn)生的現(xiàn)象，雨后的天空中的充滿了太陽光色散的介質(zhì)——雨滴。這些雨滴將太陽光色散成人眼可以觀察到的可見光——波長在400納米到700納米之間的電磁波，但是這些可見光只是占據(jù)了整個(gè)電磁波譜的極小的一部分。圖4.5可見光光譜由于不同顏色的光的波長不同，導(dǎo)致水對于不同顏色的光的折射率也不盡相同。相對于水對紅色光的折射率而言，水對于紫色光的折射率要顯得更大一些。對于主虹而言，不同顏色的光經(jīng)過水珠折射后與光軸形成的夾角也不同，其中紅光為42.22°，紫光為40.94°，因此，紅光在上，紫光在下。五、結(jié)論與展望本畢業(yè)論文站在前人研究的基礎(chǔ)上，通過對幾何光學(xué)原理進(jìn)行分析，根據(jù)費(fèi)馬原理推導(dǎo)了光的反射定律以及光的折射定律，以此為基礎(chǔ)證明了最小偏向角的存在，建立了計(jì)算最小偏向角的公式。通過對這些基本原理、定律的推導(dǎo)證明進(jìn)一步闡述了彩虹形成的過程，包括彩虹在天空出現(xiàn)的位置及其形狀、色彩的分布、副虹以及亞歷山大暗帶的形成過程。但是本畢業(yè)論文也只是單純地從理論角度出發(fā)分析了彩虹的成因，并沒有深入研究針對彩虹現(xiàn)象所衍生出來的其他情況。相信隨著時(shí)代的發(fā)展、理論知識(shí)的不斷更新以及人們對于彩虹現(xiàn)象研究的進(jìn)一步深入，越來越多的關(guān)于彩虹的奧秘將會(huì)呈現(xiàn)在人們面前。以后的研究的目標(biāo)也不會(huì)單純地放在研究彩虹本身上，而將會(huì)著力于彩虹現(xiàn)象所衍生出來的各類科學(xué)。參考文獻(xiàn)[1]韓峰.虹現(xiàn)象的物理解釋[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào)，2010(30):28~32[2]M.Minnaert,TheNatureofLight＆ColorintheOpenAir,NewYork,Dover,(1954).174.177[3]劉景麟，