高等數(shù)學(xué)高職教案

PAGEPAGE6第一章初等函數(shù)參考學(xué)時(shí)：4學(xué)時(shí)主要內(nèi)容：函數(shù)的定義，定義域；分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的意義；函數(shù)的基本特性；初等函數(shù)的定義。教學(xué)目的：理解函數(shù)的定義，會(huì)求函數(shù)的定義域；理解分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的意義；掌握函數(shù)的基本特性；理解初等函數(shù)的意義，會(huì)建立函數(shù)關(guān)系式。重點(diǎn)：函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、求定義域、建模。難點(diǎn)：復(fù)和函數(shù)、建模。課題§1-1變量與函數(shù)§1-2初等函數(shù)課時(shí)4課時(shí)教學(xué)目的理解函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的定義；掌握基本初等函數(shù)的特性；會(huì)求函數(shù)的定義域；會(huì)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：①函數(shù)；②復(fù)合函數(shù)；③求定義域；④建模。難點(diǎn)：①復(fù)和函數(shù)；②建模。教學(xué)過程§1.1變量與函數(shù)一、常量與變量1．定義在過程進(jìn)行中始終保持不變的量叫常量；在過程進(jìn)行中可以取不同數(shù)值的量叫變量。常量一般用a，、b、c、α，β……等字母表示；變量一般用x、y、z、u、v、w……等字母表示。二、區(qū)間與鄰域1．區(qū)間區(qū)間是介于兩個(gè)實(shí)數(shù)間的所有實(shí)數(shù)的集合。設(shè)有兩個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)集稱為開區(qū)間，記作（a，b），即（a，b）=數(shù)集閉區(qū)間，記作［a，b］，即[a，b]=，這里a、b為端點(diǎn)，。類似地可定義：[a，b]=（a，b]=稱之為半開半閉區(qū)間.稱b-a為區(qū)間長度，以上區(qū)間長度有限，稱為有限區(qū)間，否則為無限區(qū)間：－∞）＝（a，+∞）=（－∞，b）=（－∞，b）={x|x<b}（－∞，+∞）=}圖示（教材第2頁圖1-1、1-2）探究：有窮區(qū)間與無窮區(qū)間是否都是無限集？2．鄰域設(shè)a，δ>0為兩個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)集｛x||x-a|<δ｝=（a-δ，a+δ）稱為點(diǎn)a的δ鄰域，記為∪（a，δ），即∪（a，δ）＝｛x||x-a|<δ｝.數(shù)集｛x|0<|x-a|<δ｝=（a-δ，0∪（0，a+δ）稱為點(diǎn)a的去心δ鄰域，記作∪０（a，δ）=｛x|0<|x–a|<δ｝.圖示（教材第3頁圖1-3）二、函數(shù)1．函數(shù)的定義（略）函數(shù)一般用f（x），g（x），φ（x）等表示2．函數(shù)的二大要素——定義域、對(duì)應(yīng)法則注：對(duì)應(yīng)法則“f”是確定函數(shù)的的核心要求，對(duì)應(yīng)法則確定了，函數(shù)就確定了，與自變量、因變量的符號(hào)無關(guān)。例如y=2x與u=2t是兩個(gè)相同的函數(shù)。3．函數(shù)的表示法——列表法、圖像法、解析法。4．函數(shù)分類5．分段函數(shù)定義在定義域的不同區(qū)間上函數(shù)的解析表達(dá)式不同的函數(shù)叫分段函數(shù)，例如f（x）探究：分段函數(shù)是一個(gè)還是多個(gè)函數(shù)？6．函數(shù)建模舉例二、函數(shù)的幾種特性1．函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閿?shù)集Ｄ，區(qū)間Ｉ∈Ｄ，若對(duì)于區(qū)間Ｉ內(nèi)任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f（x1）<f（〈x2〉（或f（x1）>f（〈x2〉），則稱函數(shù)f（x）在Ｉ上是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。單調(diào)增加與減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，區(qū)間I叫單調(diào)區(qū)間。2．函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，若對(duì)每一個(gè)，有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x））恒成立，則稱f（x）為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。例如f（x）=，因f（x）=（-=f（x），故f（x）=為偶函數(shù)；再如，f（x）=，因f（-x）=（-=-f（x），故f（x）=為奇函數(shù)；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，圖示（P7圖1-9）注：不能說函數(shù)f（x）非奇則偶，例如f（x）=x+1，既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)。3．周期性設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，若有在一不為零的正常數(shù)T，使得F（x+T）=f（x）成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，其中T為周期。探究：周期函數(shù)f（x）的周期T是否唯一？為什么？答：不唯一；因?yàn)閒（x+2T）=f[（x+T）+T]=f（x+T）=f（x）即f（x+2T）=f（x），故2T也為f（x）的周期，且KT（K>0）也為周期。4．有界性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集IСD，若有在常數(shù)B，使得f（x）≤B（f（x）≥B）對(duì)任意的x∈I都成立，則稱f（x）在I上有上界（下界），且稱B為上界（下界）；若有在常數(shù)M>0，使得|f（x）|≤M對(duì)任意的x∈I都成立，則稱f（x）在I上有界，也稱函數(shù)f（x）為區(qū)間I上的有界函數(shù)，否則即稱為無界函數(shù)。例如f（x）=sinx在（-∞，+∞）內(nèi)是有界函數(shù)，因?yàn)閨sinx|≤1，當(dāng)x∈（-∞，+∞）時(shí)恒成立，但f（x）=在（0，1）內(nèi)是無界的。探究：1．f（x）的上（下）界或界是否唯一？為什么？2．閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)的函數(shù)是否有界？開區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)的函數(shù)是否有界？為什么？若有界，證明之，若無界試舉反例說明。 三、反函數(shù)1．定義（略）2．反函數(shù)存在定理（略）——只作一般了解。3．互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系。Y=f（x）與y=在同一坐標(biāo)系里，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱例題（P9）例6求函數(shù)y=在x[1，+∞]的反函數(shù)解由得x+=而=x-故x=+所以所求的反函數(shù)為Y=+（x≥0）練習(xí)、答疑§1.2初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)1．冪函數(shù)形如y=xμ（μ為常數(shù)）的函數(shù)叫冪函數(shù)。定義域隨μ值的不同而不同。例如y=x，y=的定義域?yàn)椋?∞，+∞）；y=的定義域?yàn)閇0，+∞）。常見的冪函數(shù)的圖像看教材P12圖1-112．指數(shù)函數(shù)形如y=（a>0，a≠1）的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?∞，+∞）、值域W={y|y>0}，且圖像都過（0，1）點(diǎn)。當(dāng)a>1時(shí)，y=在（-∞，+∞）是單調(diào)增加的，例如y=0<a<1時(shí)y=在（-∞，+∞）是單調(diào)減的，例如y=，其圖像參看教材P12圖1-123．對(duì)數(shù)函數(shù)形如y=（a>0，a≠1）的函數(shù)叫對(duì)數(shù)函數(shù)。其定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)椋?∞，+∞）當(dāng)a>1時(shí)，y=在（0，+∞）上是單調(diào)增的，如y=；當(dāng)0<a<1時(shí)，y=在（0，+∞）上是單調(diào)減的，如y=其圖像參看教材P12圖1-13。4．三角函數(shù)與反三角函數(shù)三角函數(shù)（參閱教材P12）反三角函數(shù)反正弦函數(shù)y=arcsinx，x∈[-1，1]，y∈[+；反余弦函數(shù)y=arccosx，x∈[-1，1]，y∈[0，∏]；反正切函數(shù)y=arctanx，x∈（-∞，+∞），y∈（+；反余切函數(shù)y=arccotx，x∈（-∞，+∞），y∈（0，）；其圖像參閱教材P14圖1-1二、復(fù)合函數(shù)定義設(shè)y是u的函數(shù)y=f（u），而u又是x的函數(shù)u=φ（x），若φ（x）的值域全部或部分落在f（u）的定義域內(nèi)，則變量y通過u就是x的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為由y=f（u）及u=φ（x）復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[φ（x）]其中u稱為中間變量，x為自變量，y為復(fù)合函數(shù)。探究：兩個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合成復(fù)合函數(shù)的條件是什么？注：復(fù)合函數(shù)的中間變量可不止一個(gè)。例題例1指出下列函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)1．由y=，u=復(fù)合而成y=；2．由y=，u=cosv，v=+1復(fù)合而成y=例2指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程（重點(diǎn)也是難點(diǎn)）1．y=y=2.。y=ln解1。Y=是由y=，u=，v=2x-1復(fù)合而成；2．y=ln是由y=lnu，u=，v=1+t，復(fù)合而成，這里u，v，都是中間變量。例3（練習(xí)）例4設(shè)y=求φ（x）解令x+1=t（換元）則x=t-1，故故注：此題是已知復(fù)合函數(shù)求函數(shù)的題目，采用的方法即為換元法，通過此題要學(xué)生掌握此類題的解法，并進(jìn)一步理解函數(shù)的定義。此題型是本節(jié)重點(diǎn)題型。二、初等函數(shù)定義由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和函數(shù)的復(fù)合步驟所構(gòu)成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例如y=，y=等都是初等函數(shù)，而就不是初等函數(shù)。探究：分段函數(shù)是否為初等函數(shù)？舉例說明。練習(xí)及習(xí)題提示 教具多媒體課件、直尺、三角板 作業(yè)Ｐ10習(xí)題１－１2．（1）（3）（5）；4；6；10（1）（3）；11；12 課后分析本節(jié)內(nèi)容多，特別是復(fù)習(xí)內(nèi)容較多，需要學(xué)生課下復(fù)習(xí)鞏固，課堂講授新知識(shí)點(diǎn)與重點(diǎn)、難點(diǎn)，效果較好。 第二章極限與連續(xù)參考學(xué)時(shí)：12學(xué)時(shí)；主要內(nèi)容：數(shù)列、函數(shù)的定義與性質(zhì)；極限的運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限；無窮小與無窮大的定義與性質(zhì)；函數(shù)的連續(xù)性與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)目的：理解極限的定義及極限值與函數(shù)值的關(guān)系；理解極限的運(yùn)算法則、掌握兩個(gè)重要極限，能用運(yùn)算法則及重要極限熟練求函數(shù)的極限；掌握函數(shù)連續(xù)的定義，會(huì)判斷函數(shù)的連續(xù)性及間斷點(diǎn)的類型，會(huì)求間斷點(diǎn)；理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的特性并能應(yīng)用。重點(diǎn)：求極限及判斷函數(shù)的連續(xù)性。難點(diǎn)：分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限的存在性、連續(xù)性的判斷。教案一課題§2-1數(shù)列的極限§2-2函數(shù)的極限課時(shí)3課時(shí)教學(xué)目的理解數(shù)列、函數(shù)的定義；理解收斂數(shù)列的性質(zhì)；理解左右極限的定義及其與極限的關(guān)系；掌握極限值與函數(shù)值的關(guān)系。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1、極限及單側(cè)極限的意義；2、極限與單側(cè)極限的關(guān)系。難點(diǎn)：用極限的定義證明極限。教學(xué)過程§2-1數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念1．復(fù)習(xí)數(shù)列的有關(guān)概念定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)就叫數(shù)列，記作。事實(shí)上，數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)n的一個(gè)整標(biāo)函數(shù)，當(dāng)n依次為1，2，3，…。，n，…。一切整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。問題的提出：對(duì)于數(shù)列，研究當(dāng)n無限增大取值（即n→∞）時(shí)，對(duì)應(yīng)的能否無限的趨向于一個(gè)常數(shù)a？若能，這個(gè)常數(shù)a=？例如：數(shù)列，當(dāng)n→∞時(shí)，與1無限靠近，即→1，此時(shí)就說：當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列的極限為1。注意：上例中有兩句話：第一句是：n→∞第二句是：→1用精確的數(shù)學(xué)語言如何表達(dá)？n→∞，即存在充分大的正數(shù)N，當(dāng)n>N無限取值； →1，即對(duì)>0，存在上述的N，使當(dāng)n>N時(shí)的一切，恒有<ε成立，則常數(shù)a為數(shù)列當(dāng)n→∞時(shí)的極限，記作或，此時(shí)也稱數(shù)列收斂于a，或稱數(shù)列為收斂數(shù)列。若數(shù)列沒有極限，則數(shù)列是發(fā)散的或是發(fā)散數(shù)列例如上例即可記為例1證明數(shù)列的極限為0證由于故對(duì)任意的ε>0，要使，只須，即，即可，于是可取，則當(dāng)n>N時(shí)，恒成立即=0例2設(shè)求證=0證明對(duì)>0，因?yàn)?，要使，只須且，故，所以故取，則，當(dāng)n>N時(shí)，就有恒成立，即=0二、數(shù)列極限的幾何意義及收斂數(shù)列的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列極限的幾何意義由于=a＜＝＞對(duì)，存在N（），當(dāng)n>N（）時(shí)，不等式恒成立，因＜＝＞<即當(dāng)n>N時(shí)，數(shù)列中的點(diǎn)，即從第N+1項(xiàng)開始和它以后的一切項(xiàng)都落在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，在外最多有的有限個(gè)點(diǎn)——如圖2-1示結(jié)論：若=a，則的所有點(diǎn)幾乎全部落在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，這就是數(shù)列極限的幾何意義。2．收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（收斂數(shù)列的有界性）若數(shù)列收斂，則一定有界定理2（極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。例3數(shù)列是發(fā)散的，因?yàn)樗鼰o界。例4：討論數(shù)列是發(fā)散的§2-2函數(shù)的極限預(yù)備知識(shí)：自變量的變化趨勢1．自變量x無限的接近某個(gè)定值取值，記作，而又包含⑴x從大于的方向無限靠近取值，記作⑵x從小于的方向無限靠近取值，記作2．自變量x的絕對(duì)值無限增大取值，記作，而包含（1）x取正值無限增大取值，記作（2）x取負(fù)值而絕對(duì)值無限增大取值，記作下面就分別討論自變量在以上兩種變化趨勢下，函數(shù)的變化趨勢，即函數(shù)的極限。一、時(shí)，函數(shù)的極限定義1設(shè)函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù)，若對(duì)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作=A或注：=1\*GB3①定義中要求表示，這說明時(shí)，的極限存在與否與在點(diǎn)有無定義無關(guān)。事實(shí)上，極限=A研究的是自變量x無限靠近（從兩方）取值時(shí)，的變化趨勢表示的是x在點(diǎn)的左右兩旁取值，但。極限=A表示的是在點(diǎn)左右兩旁的函數(shù)值的變化趨勢與點(diǎn)的函數(shù)值無關(guān)。=2\*GB3②不等式等價(jià)于且；而不等式等價(jià)于。于是得函數(shù)極限的幾何意義：對(duì)任意給定的正數(shù)，作兩條直線，若存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域時(shí)，函數(shù)的圖象都位于直線之間。如圖2-2示例1證明（c為常數(shù)）證明由于，由此對(duì)，可任取一正數(shù)，當(dāng)恒有成立，所以例2證明證明這里函數(shù)在x=5處無定義，但函數(shù)當(dāng)x時(shí)的極限與它在x=5處有無定義無關(guān)。事實(shí)上，對(duì)，不等式欲使即時(shí)，成立，所以二、左、右極限定義2若當(dāng)時(shí)，的極限為A，則稱A為當(dāng)時(shí)的右極限，記作=A，或同理可定義左極限定義3時(shí)，則數(shù)A為當(dāng)時(shí)的左極限，記作=A，或。由以上定義及當(dāng)時(shí)函數(shù)極限的定義易得：結(jié)論=A此結(jié)論常用于判斷或討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限是否存在。例3設(shè)=，問x時(shí)，的極限是否存在？解因?yàn)?=x=0==（x-1）=-1，故不存在例4證明不存在證明因?yàn)?，故不存在注：由?、例4可以看出時(shí)，的極限不存在的兩種不同情形。三、時(shí)，函數(shù)的極限定義4設(shè)函數(shù)在充分大時(shí)有意義，A為一常數(shù)，若對(duì)，總存在一正數(shù)X，使得當(dāng)>X時(shí)，不等式恒成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作=A，或A（）。類似地也可定義單側(cè)極限定義5若當(dāng)時(shí)，A，則稱A為當(dāng)時(shí)的極限，記作，或。定義6若當(dāng)時(shí)，A，則稱A為當(dāng)時(shí)的極限，記作，或。不難證明以下結(jié)論：例5證明證對(duì)證明對(duì)，欲使只須即可，故只須取X，則當(dāng)>X時(shí)，就有即四、極限值與函數(shù)值的關(guān)系定理2（保號(hào)性）若，且A>0(或A<0)，則存在的某一鄰域，使當(dāng)x在該鄰域內(nèi)（）取值時(shí)，有>0（或<0）證設(shè)A>0，取正數(shù)，由于的定義，對(duì)這個(gè)取定的正數(shù)，存在一正數(shù)當(dāng)時(shí)，有成立，即，因，故，所以，同理可證A<0的情形。定理3若（或），且，則（或）證反證因，假設(shè)上述結(jié)論不成立，即A<0，那么知存在的某一鄰域，在該鄰域內(nèi)，這與已知矛盾，故同理可證時(shí)，有五、的情形。習(xí)題2-2作業(yè)難點(diǎn)提示（27頁）已知，，問、是否存在？解因，故=1存在，而，即，故不存在。教案二課題§2.3極限的運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限課時(shí)3課時(shí)教學(xué)目的理解并掌握極限的運(yùn)算法則及重要極限，能應(yīng)用法則及重要極限熟練求函數(shù)的極限。重點(diǎn)難點(diǎn)四則運(yùn)算法則，重要極限及應(yīng)用，重要極限的證明。教學(xué)過程復(fù)習(xí)鞏固內(nèi)容:1.函數(shù)極限的定義，左右極限的定義及其關(guān)系2.極限值與函數(shù)值的關(guān)系講授新課§2.3極限的運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限一、極限的四則運(yùn)算的法則定理若Lim=A，Lim=B，則1．Lim[]=AB2．Lim=AB3．Lim=(B0)就xx時(shí)的情形給出1的證明。另外1、2可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形。推論1若Lim=C，Lim=A，則LimC=CLim=CA推論2若Lim=A，則Lim=[Lim]=A定理應(yīng)用舉例例1求（2x5x+6）解原式=2x5x+6=2452+6=4例2求解當(dāng)x2時(shí)，（3+4）=50，利用商法則原式===例3求解當(dāng)x1時(shí)，分子分母極限均為零，故不能直接用商法則，此題是典型的“”的未定式。解決此類題的方法是因式分解消去極限為零的因子——（x-1），于是原式====2例4求解此題屬“”型的極限，通過分子有理化約去極限為0的因子，于是原式===探究：“”型的極限的求法？例5求解因x0時(shí)，分子分母都趨向于無窮大，故不能直接用商法則。此題是典型的“”型的未定式，解決此類題的關(guān)鍵是分子分母同除以分母的x的最高次冪，于是同除以得原式=例6求解此題屬于“”型的極限，于是分子分母同除以得原式=練習(xí)求解原式=總結(jié)：分子分母的極限均為的多項(xiàng)式的“”型的極限=其中，n、m均為正整數(shù)。推廣：上述結(jié)論對(duì)n、m為實(shí)數(shù)時(shí)也成立，且反之亦然。例7求解此題屬“”型的極限，不能直接用差法則求，其方法是：化“”為“”或“”型解決。于是原式===二、兩個(gè)重要極限

1.極限收斂的兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1（夾逼定理）設(shè)函數(shù)F（x），G（x），f（x）在的某一鄰域內(nèi)有定義，且滿足（1）F（x）f（x）G（x）（2）F（x）=G（x）=A用“”語言給出證明說明：此準(zhǔn)則中的，換成準(zhǔn)則也成立。準(zhǔn)則2單調(diào)有界數(shù)列必有極限。此準(zhǔn)則證明已超出本書范圍，不予證明。只理解定義會(huì)用。下面利用準(zhǔn)則1證明重要極限證明首先到時(shí)均有意義，因此證明僅就時(shí)證明，即證當(dāng)0<x<時(shí)的情形：在單位圓中，設(shè)x=<AOB(圖示如課本P32)，顯然有即亦即于是因，由夾逼定理得同理可證，于是可得重要極限應(yīng)用舉例例8求解此題屬“”型的極限，但因分子為三角函數(shù)，故不能采取例3及例4的方法，而是采取重要極限。于是原式==1例9求解原式==例10求解令，則，當(dāng)時(shí)，于是原式=總結(jié)：當(dāng)分子分母有三角函數(shù)時(shí)的“”型的極限，須首先考慮用重要極限來求解。重要極限證明略。要理解此極限的特點(diǎn)變型即此極限是解決冪指函數(shù)的“”型的極限的重要極限。應(yīng)用舉例例11求解原式==例12求解原式====練習(xí)1求2求總結(jié)：在求極限時(shí)首先確定極限的類型——和、差、積、商的極限，還是“”、“”、“”及“”型的極限，然后再根據(jù)函數(shù)的類型確定用什么法則或重要極限去求極限。作業(yè)P35習(xí)題2-31、（1）（3）（5）（7）（9）；2、（2）（4）（6）（8）；3、（1）（3）（5）教案三課題§2.4無窮小與無窮大課時(shí)2課時(shí)教學(xué)目的理解無窮小、無窮大的定義；理解無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理；掌握無窮小的性質(zhì)并能應(yīng)用；掌握無窮小的置換原理并能應(yīng)用。重點(diǎn)難點(diǎn)無窮小的定義及性質(zhì)，無窮小階的比較實(shí)重點(diǎn)。利用無窮小的置換原理求極限事難點(diǎn)。教學(xué)過程一、無窮小的定義及其性質(zhì)1．無窮小的意義定義若，則稱為（）時(shí)的無窮小量，簡稱無窮小。例如因=0，故當(dāng)時(shí)，是無窮小。又因，故當(dāng)時(shí)，是無窮小。注意：（1）無窮小量是變量，只不過在變化的過程中其絕對(duì)值無限減??；（2）切不可把很小的常量誤認(rèn)為是無窮小量。2．無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理1=A，其中證明就的情形證明充分性由，且于是=A得證。必要性由，則=0即當(dāng)時(shí)，是無窮小量，所以=亦即其中注：時(shí)的性質(zhì)仿此證明，讓學(xué)生做練習(xí)。3．無窮小的性質(zhì)定理2有限個(gè)無窮小量的和、差、積仍是無窮小量。給出證明——就和、差、積的一種情況，其他情況讓學(xué)生練習(xí)。定理3無窮小量與有界變量的積仍是無窮小量。推論常量與無窮小量的積仍是無窮小量。說明此性質(zhì)常用于求函數(shù)的極限，例如求解因時(shí)；而是有界變量，故是無窮小，所以注意：切不可將認(rèn)為是積的極限。二、無窮小的比較1．無窮小的比較定義2設(shè)（或）時(shí)，、是無窮小，且0。若（1），則稱是比較高階的無窮??；記作=；（2），則稱是比低階的無窮?。唬?）（c0為常數(shù)），則稱與是同階無窮小；（4），則稱與是等價(jià)無窮小，記作。例1當(dāng)時(shí)，比較下列無窮小的階（1）與（2）與解（1）因=（第3節(jié)例10），故與是等價(jià)無窮小。（2）因故當(dāng)時(shí)，是比低階的無窮小。2．無窮小的置換原理定理4設(shè)、、、是同一過程的無窮小，且，，存在，則=證因?yàn)?，由已知?jiǎng)t==說明利用定理4求無窮小的極限時(shí)，要記住一些常用的等價(jià)無窮小，這是此定理使用過程中的難點(diǎn)。常見的等價(jià)無窮小有，時(shí)；。應(yīng)用舉例求解因時(shí)，，故原式=例3求解因時(shí)，，于是原式=三、無窮大量定義3若，則稱是時(shí)的無窮大量，簡稱無窮大。說明：時(shí)為無窮大，即，已經(jīng)說明的極限是不存在的，但為了表述這種特性，我們也說“函數(shù)的極限為無窮大”并記作關(guān)于無窮大還須注意以下兩點(diǎn)：無窮大是變量，只不過在變化過程中其絕對(duì)值無限增大，切不可把絕對(duì)值很大的量誤認(rèn)為是無窮大。四、無窮大與無窮小的關(guān)系定理5當(dāng)時(shí)，若是無窮大，則是無窮小；若是無窮小，且0，則為無窮大。給出證明（略）作業(yè)P40習(xí)題2-42；3；4（1）（3）；5（2）（4）；6（1）（3）教案四課題§2.5函數(shù)的連續(xù)性§2.6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)課時(shí)4課時(shí)教學(xué)目的理解函數(shù)連續(xù)的定義，掌握函數(shù)連續(xù)的重要條件，能用此充要條件判斷函數(shù)的連續(xù)性，會(huì)求間斷點(diǎn)并能判斷其類型，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)并能應(yīng)用。重點(diǎn)難點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的特性及應(yīng)用。判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性。教學(xué)過程§2.5函數(shù)的連續(xù)性一函數(shù)的連續(xù)性1．函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。其中，當(dāng)時(shí)，即，而即亦即，于是有等價(jià)定義2定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。數(shù)在(a，b)內(nèi)連續(xù)的定義定義3函數(shù)在(a，b)任意一點(diǎn)都連續(xù)，就稱在(a，b)內(nèi)連續(xù)。3．右連續(xù)的定義定義4若，則稱在點(diǎn)處右連續(xù)，若，則稱在點(diǎn)處左連續(xù)。4．函數(shù)連續(xù)的充要條件定理1函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)，即根據(jù)連續(xù)的左、右連續(xù)的定義很容易證明此定理，此定理提供了討論或判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否連續(xù)的判定方法。定義5若在(a，b)內(nèi)連續(xù)，且在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)，就稱在上連續(xù)。應(yīng)用舉例例1證明在上是連續(xù)的證設(shè)任意的，當(dāng)有增量時(shí)，=故，而，故所以在x處連續(xù)，又x是內(nèi)任意點(diǎn)，故在內(nèi)連續(xù)。例2討論函數(shù)在x=0點(diǎn)的連續(xù)性。解因，故在處不連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型定義7若函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，就稱在點(diǎn)間斷，且稱點(diǎn)為間斷點(diǎn)。函數(shù)在點(diǎn)有以下三種情況：(1)在點(diǎn)無定義;(2)雖然在點(diǎn)有定義，但不存在;(3)雖然在點(diǎn)有定義，且也存在，但。就可斷定在點(diǎn)間斷。下面舉例說明間斷點(diǎn)的類型例3討論在點(diǎn)的連續(xù)性解固在無定義，故為間斷點(diǎn)。但=2，這樣的間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。因補(bǔ)充定義使，在處就連續(xù)。例4討論函數(shù)在處的連續(xù)性解，故在處不連續(xù)。這樣的間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)，如圖2-7示(課本P46)例5討論在處的連續(xù)性解因在處無意義，故為間斷點(diǎn)。又因，這樣的間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)。例6討論在處連續(xù)性解因時(shí)無意義，故為間斷點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)在-1與+1間震動(dòng)，故為震蕩間斷點(diǎn)?？偵衔覀冇幸韵露x:設(shè)為間斷點(diǎn)，若及都存在，則稱為第一類間斷點(diǎn)，不是第類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)。顯然可去間斷點(diǎn)及跳躍間斷點(diǎn)都為第一類間斷點(diǎn);無窮間斷點(diǎn)及震蕩間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn)。四、初等函數(shù)的連續(xù)性定理2設(shè)、在x點(diǎn)連續(xù)，則，，()，在x點(diǎn)也連續(xù)。定理3若在區(qū)間I上單調(diào)且連續(xù)，則它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上也單調(diào)連續(xù)。定理4設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，而在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，且，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也連續(xù)。由以上定理2——4及前幾節(jié)的有關(guān)結(jié)論可得如下重要結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。此結(jié)論為求一類函數(shù)的極限提供了方便，即若是初等函數(shù)，而為定義域內(nèi)的點(diǎn)，則。如=0例7解原式=例8求解原式=作業(yè)P471．(1)，(3)，(5);2．(2);3．(2)(4)(6);5;6?！?.6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的特性一、最值定理1．最大值，最小值的定義。略2．最值存在定理定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在[a，b]上有最大值和最小值。（如圖2-10示(P48)）說明:定理中的條件是充分條件，閉區(qū)間及連續(xù)函數(shù)缺一不可。如在內(nèi)既無最大值也無最小值;再例如，因在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)x=0，所以在上也無最值。推論：閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)，必在[a，b]上有界。二、介值定理定理2設(shè)在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，，是介于與間的任意值，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得此定理的幾何意義是:連續(xù)曲線與水平直線在[a，b]內(nèi)至少相交與一點(diǎn)，如圖2-12示(課本P49)。定理3(零點(diǎn)存在定理)設(shè)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且<0，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得此定理也叫根的存在定理，即判斷方程的根的存在性定理。例1證明方程在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)根解設(shè)，很顯然在[a,b]上連續(xù)，又，，故由定理3知方程在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)根，使()作業(yè)P491;3;5。第三章導(dǎo)數(shù)與微分參考學(xué)時(shí)14學(xué)時(shí)主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義，左、右導(dǎo)數(shù)的定義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則，反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。函數(shù)的微分。高階導(dǎo)數(shù)。教學(xué)目的理解導(dǎo)數(shù)、左右導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算的法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及求導(dǎo)公式，據(jù)此熟練的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解高階導(dǎo)數(shù)的意義；會(huì)求隱函數(shù)、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，能利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解函數(shù)微分的定義，會(huì)求函數(shù)的微分；會(huì)求高階導(dǎo)數(shù)和n階導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算。難點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義討論抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的存在性、n階導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)。教案一

章節(jié)名稱

導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)目的與要求

1．理解導(dǎo)數(shù)定義2．會(huì)用定義求簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)3．可導(dǎo)與連續(xù)定義

教學(xué)內(nèi)容

1．引例2．導(dǎo)數(shù)定義3．求導(dǎo)舉例4．幾何意義5．可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義難點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系作業(yè)P76——1,5,7教具與掛圖參考書《高等數(shù)學(xué)》高職用教材

教學(xué)過程（組織與方法）

啟發(fā)式、討論式等。課時(shí)2課時(shí)第三章一元函數(shù)微分學(xué)（Infinitesimalcalculusofasinglevariable）第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念（Conceptionofderivative）一、引例（Introductoryexamples）例1變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度已知，求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度解瞬時(shí)速度反映了路程對(duì)時(shí)間變化快慢的程度，故稱為在的變化率例2曲線的切線斜率（1）割線MN的斜率（2）切線MT的斜率切線斜率反映了曲線在點(diǎn)升降的快慢程度，故也稱斜率為曲線在處的變化率二、導(dǎo)數(shù)的定義（Definitionofderivative）1。定義設(shè)在某鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作、或、2。

注意★

函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)也稱為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)自變量的變化率★

若不存在，稱在點(diǎn)處不可導(dǎo)，若，稱導(dǎo)數(shù)為無窮大，記作★

導(dǎo)數(shù)定義也可寫成3．

在內(nèi)可導(dǎo)的定義及導(dǎo)函數(shù)的定義

如果在內(nèi)可導(dǎo)，可確定一個(gè)新函數(shù)，稱為的導(dǎo)函數(shù)，記作＝＝＝＝且有＝三、求導(dǎo)數(shù)舉例（Examplesforderivation）步驟：（1）求（2）算比值（3）取極限＝例例求導(dǎo)公式：記住：例例

四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（Geometricalmeaningofderivative）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：例1求曲線在點(diǎn)處切線和法線方程解切線法線五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（Relationbetweenderivablepropertyandcontinuityatsamepoint）1．定理在點(diǎn)處可導(dǎo)在點(diǎn)處連續(xù)證明＝ ＝＋ ＝＋逆命題不成立！例2在處連續(xù)嗎？可導(dǎo)嗎？解因＝，故連續(xù)。又＝不存在，故不可導(dǎo)2．稱、為左、右導(dǎo)數(shù)，記作：、可導(dǎo)左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等教案二

課題第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)內(nèi)容1.函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則2.

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.

隱含數(shù)的求導(dǎo)法則4.

反函數(shù)的求導(dǎo)法則重點(diǎn)求導(dǎo)法則難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)作業(yè)P87——2，3。教具與掛圖參考書《高等數(shù)學(xué)》高職用教材教學(xué)過程（組織與方法）啟發(fā)式、討論式。

課時(shí)6課時(shí)第二節(jié)

函數(shù)的求導(dǎo)法則（Derivativerules）一、函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則（Derivativerulesforadditionsubtractionmultiplicationanddivision）1。

定理：設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo)，則（1）函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且；（2）函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且；（3）函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且2.

特別推廣；記憶例1求例2，求例3求例4求練習(xí)求例5求練習(xí)求例6求二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（Derivationrulesforcompoundfunction）1。

定理設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且2。

推廣例7求例8求例9求例10，求例11,求例12求例13求三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（Derivativeoffunctionshownbyequation）1．隱函數(shù)由方程所確定的y是x的函數(shù)關(guān)系為隱函數(shù)。2．隱函數(shù)的求導(dǎo)——舉例說明例14求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解由求導(dǎo)得則例15求曲線在點(diǎn)（處的切線方程例16證明類似有例17證明類似有3。

反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)單調(diào)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且則它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且例18證明，（證明設(shè)，則即特別地：例19設(shè)，求解等式兩邊取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)，即對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（Derivativeofelementaryfunction）

1.

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式★

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2。函數(shù)和差積商的求導(dǎo)法則★

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3.

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則★

要求熟練掌握以上求導(dǎo)公式及法則教案三

課題

第三節(jié)函數(shù)的微分

教學(xué)目的

1.

理解微分概念、會(huì)求微分2.

用微分進(jìn)行近似計(jì)算

教學(xué)內(nèi)容

1.微分的概念及其幾何意義2.公式與運(yùn)算法則3.由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用重點(diǎn)微分的概念難點(diǎn)近似計(jì)算中應(yīng)用作業(yè)P98－1，2，7教具與掛圖參考書《高等數(shù)學(xué)》高職用教材教學(xué)過程（組織與方法）啟發(fā)式、討論式教學(xué)課時(shí)2課時(shí)第三節(jié)

函數(shù)的微分（Function’sdifferential）一、微分的概念及其幾何意義（Conceptionandgeometricalmeaningofdifferential）1、

引例邊長的正方形受熱后邊長，問此薄片的面積改變了多少？解如圖示2。函數(shù)在點(diǎn)可微的

定義設(shè)在某鄰域內(nèi)有定義，若可表示為＝，稱在點(diǎn)處可微，并稱為在點(diǎn)處的微分記作：3?？晌⑴c可導(dǎo)的關(guān)系

定理可導(dǎo)可微，且，即dy=例1求在處的微分解4.。函數(shù)在內(nèi)可微的定義及函數(shù)的微分：函數(shù)的微分例2求的微分解＝5．微分的幾何意義：為切線上縱坐標(biāo)的增量，如圖示：二、微分公式與微分運(yùn)算法則（Formulaofdifferentialandtheoperationn’sruleofdifferential）1。

基本初等函數(shù)的微分公式★

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2。函數(shù)和差積商的微分法則★

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3。

復(fù)合函數(shù)的微分法則：一階微分形式不變性例3已知，求解三、由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)Derivativeoffunctionshownbyparametricequation）1．設(shè)t為參數(shù)確定了是的函數(shù)，則例4求由確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用（Applicationofdifferentialinapproximatecalculation）例5一電線是截面半徑，長的圓柱體，為提高導(dǎo)電性能，鍍一層厚度為的純銅，問大約需要多少克銅？（銅密度）解，＝，＝例6計(jì)算的近似值解由于故，設(shè)，取，所以，學(xué)生練習(xí)

教案四章節(jié)名稱第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的與要求1。理解高階導(dǎo)數(shù)概念2。會(huì)求高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容1。顯函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)2。隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)3。由參數(shù)方程表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)重點(diǎn)高階導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)作業(yè)P38——3，5教具與掛圖參考書《高等數(shù)學(xué)》高職用教材教學(xué)過程（組織與方法）講練結(jié)合課時(shí)4課時(shí)第四節(jié)

高階導(dǎo)數(shù)（Higher-orderderivative）一、函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)（Functionshigher-orderderivative）1。的二階導(dǎo)數(shù)，，2．的高階導(dǎo)數(shù)或者，，例1已知，求解例2已知，求解例3已知，求例4已知求二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（Thesecondorderderivativeofconcealedfunction）例5求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解三、

由參數(shù)方程表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（Thesecondorderderivativeoffunctionshownbyparametricfunction）

例6求由確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解＝＝

第四章中值定理及其應(yīng)用參考學(xué)時(shí)12學(xué)時(shí)主要內(nèi)容中值定理的意義及其應(yīng)用;洛必達(dá)法則及其應(yīng)用;泰勒公式及麥克勞林公式及展開式;函數(shù)單調(diào)性的判別法,函數(shù)極值、最值的求解;曲線凹凸的判定,拐點(diǎn)的判定及求解,曲線的漸近線。教學(xué)目的理解并掌握羅爾,拉格朗日中值定理,理解柯西中值定理,能應(yīng)用定理解決有關(guān)問題,掌握洛必達(dá)法則,能熟練求出未定式的極限;掌握函數(shù)的單調(diào)性,極值的判定方法,能根據(jù)方法判定單調(diào)性并能求極值,最值及應(yīng)用題;會(huì)判定曲線的凹凸,會(huì)求拐點(diǎn)及漸近線.重點(diǎn)與難點(diǎn)1中值定理及應(yīng)用洛必達(dá)法則及求未定式的極限函數(shù)單調(diào)性,凹凸性的判定及極值,最值,拐點(diǎn)的求解教案一課題§4-1中值定理及其應(yīng)用§4-2洛必達(dá)法則課時(shí)4學(xué)時(shí)教學(xué)目的掌握中值定理,并能應(yīng)用解決有關(guān)問題;掌握洛必達(dá)法則;會(huì)求未定式的極限重點(diǎn)難點(diǎn)羅爾,拉格朗日中值定理的應(yīng)用；求未定式的極限既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。教學(xué)過程§4-1中值定理一、羅爾定理定理1若函數(shù)在（1）閉區(qū)間上連續(xù)；（2）開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證因在上連續(xù)，故存在最大，小值M，m；下面分兩種情況證明（1）M=m時(shí)，在上必為常數(shù)，因此，故對(duì)任意的，均有成立；（2）時(shí)，因，所以M和m至少有一個(gè)不在端點(diǎn)處取得，不妨設(shè)，且設(shè)，因在點(diǎn)取得最大值M，故無論為正或負(fù)，恒有當(dāng)時(shí)故，當(dāng)時(shí)故由條件（2）知存在，故即注：羅爾定理的幾何意義，參考課本圖4-1進(jìn)行解釋。應(yīng)用舉例例1已知，不求導(dǎo)說明方程有幾個(gè)實(shí)根？解因在上連續(xù)且可導(dǎo)，且由羅爾定理知在內(nèi)至少各存在一個(gè)使得，，，，，即為方程的三個(gè)根，又f(x)為四次多項(xiàng)式，故為三次方程有且僅有三個(gè)根。二、拉格朗日中值定理定理2若函數(shù)滿足在（1）閉區(qū)間上連續(xù)；（2）開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（1）證構(gòu)造函數(shù)，設(shè)易驗(yàn)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，即滿足羅爾定理的條件，于是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得即探究：為什么x說明:1.拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例,在定理2中令即得定理12．設(shè)在設(shè)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則由定理存在，使得或（2）公式（2）稱為有限增量公式，而公式（1）稱為拉格朗日公式。推論若在內(nèi)滿足，則（c為常數(shù)）應(yīng)用舉例例2．證明不等式證設(shè)，不妨設(shè)，則在顯然連續(xù)可導(dǎo)，于是由拉格朗日中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得即故（因）即例3證明不等式證設(shè),顯然當(dāng)時(shí)，滿足拉格朗日中值定理，于是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（）即因所以，即三、柯西中值定理定理3設(shè)滿足在（1）閉區(qū)間上連續(xù)；（2）開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（）（3）證構(gòu)造函數(shù)由已知易驗(yàn)滿足鑼爾定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即亦即（）探究：1。為什么設(shè)？2．證明（3）式可不可以用拉格朗日中值定理證明？為什么？例3設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明存在，使得證設(shè)，顯然在上連續(xù)可導(dǎo)，又，由柯西中值定理知存在一點(diǎn)，使得即亦即練習(xí)作業(yè)提示（課本91頁8、9題）作業(yè)91頁1；2；4；5；6；7§4-2洛必達(dá)法則一、“”及“”的極限定理1（洛必達(dá)法則）設(shè)（1）（2）在的去心臨域內(nèi)可導(dǎo)，且（3）（或）則證略例1求解此題屬“”型的極限，由洛必達(dá)法則得原式=例2求解由洛必達(dá)法則有原式===1說明：1。定理1中的，當(dāng)時(shí)仍是“”型，，若仍滿足洛必達(dá)法則的條件，可繼續(xù)適用定理。2．定理中換成定理同樣成立。3．定理中存在，是存在的充分而不必要條件。即若不存在，不能說明不存在。定理2（型的極限）設(shè)（1）在的去心臨域內(nèi)有定義，且（2），存在且；（3）（或），則（或）證明略此定理中的換成同樣也成立。例3求解原式例4求解原式綜合性習(xí)題例5解此題雖屬型，但不能用洛必達(dá)法則求解。事實(shí)上原式二、其他未定式對(duì)型，型，型，型，型的未定式，通常將他們化為或型后再適用洛必達(dá)法則求解。例6求解此題屬型，因，于是原式例7求（）解因?qū)傩?，所以原式?求解此題屬型，因，于是原式練習(xí)（1）求，（2）求作業(yè)課本97頁習(xí)題4-21（1）（3）（5）（7）（9）；2（2）（4）；3；4。教案二§4.3泰勒公式（選學(xué)，2課時(shí)）教案三課題§6-4函數(shù)的單調(diào)性與極值§6-5曲線的凹凸學(xué)時(shí)6學(xué)時(shí)教學(xué)目的掌握單調(diào)性極值的判定方法，根據(jù)判定方法能熟練求出單調(diào)區(qū)間與極值，會(huì)求函數(shù)的最值；掌握曲線凹凸性的判定方法，會(huì)求凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)及漸近線。重點(diǎn)難點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性、極值、拐點(diǎn)、最值是重點(diǎn)。最優(yōu)化問題是難點(diǎn)教學(xué)過程§4．4函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法定理1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在上單調(diào)增（或減）的充要條件是（或）證充分性下面就在上遞增的情況證明。設(shè)，則由拉格朗日中值定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得因，故，又，所以即在上單調(diào)增必要性（由§4.1定理1證明即得結(jié)論）例1求的單調(diào)區(qū)間解的定義域?yàn)椋至畹民v點(diǎn)。及把分為三個(gè)單調(diào)區(qū)間，，當(dāng)時(shí)，，故為單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，故為單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)，，故為單調(diào)增區(qū)間。例2證明證明設(shè)，因，，所以當(dāng)時(shí)從而知在上是單調(diào)增，又在上連續(xù)，且，所以當(dāng)時(shí)即，亦即（）二、函數(shù)的極值定義極值的定義（略）p103定理2（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且為極值點(diǎn)，則證明（略）補(bǔ)充說明：若在點(diǎn)取得極值，則點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在。結(jié)論：若點(diǎn)為極值點(diǎn)，則為駐點(diǎn)或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。但反之不然。于是有以下定理：定理3（第一充分條件判定定理）設(shè)函數(shù)在的臨域內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，是臨界點(diǎn)。（1）若從的左臨域漸增地通過到的右臨域取值時(shí)，的符號(hào)由正變負(fù)，則在點(diǎn)取得最大值，點(diǎn)為極大值點(diǎn)。（2）若從的左臨域漸增地通過到的右臨域取值時(shí)，的符號(hào)由負(fù)變正，則在點(diǎn)取得最小值，點(diǎn)為極小值點(diǎn)。（3）若從的左臨域漸增地通過到的右臨域取值時(shí)，不變號(hào)，則在點(diǎn)不取得極值，點(diǎn)不是極值點(diǎn)。證情形（1）由定理1知條件（1）相當(dāng)于函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增，而在內(nèi)單調(diào)減，由連續(xù)與極值的定義知為極大值，為極大值點(diǎn)。情形（2）（3）同理證明由此定理可得利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟：（1）求出的點(diǎn)及不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分為若干個(gè)單調(diào)區(qū)間。(1)用定理1判斷在單調(diào)區(qū)間的單調(diào)性，即的符號(hào)。(2)利用結(jié)論根據(jù)定理3判斷出極值點(diǎn)，求出相應(yīng)的極值。例3求函數(shù)的極值。解因的定義域?yàn)椋旨戳畹民v點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)不存在，所以把分為三個(gè)區(qū)間，函數(shù)的增減性及極值的情況列表如下x 01+不存在0+極大值極小值由上表知在處取得極大值=0，在處取得最小值定理4（第二充分條件判定法）設(shè)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)且，那么(1)當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得極大值。(2)當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得極小值。例4求的極值解因令得，及不可導(dǎo)點(diǎn)，由于，故由第二充分條件判定定理得在處取得極大值，但在處不能由第二充分條件判定法判斷，只能第一充分條件判別法去判定。因當(dāng)，，而當(dāng)時(shí)，所以在處取得極小值為。三、函數(shù)的最大值與最小值例5求在上的最大值與最小值解因令得駐點(diǎn)為一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，而端點(diǎn)為及，故將這四點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，比較知在上的最大值為，最小值為。例6——應(yīng)用題（最優(yōu)化問題舉例）在坐標(biāo)平面上通過已知點(diǎn)引一直線，要使它在兩坐標(biāo)軸上的截距為正，且兩截距之和為最小，求這條直線的方程。解由題義所求直線方程為，則令得縱截距令得橫截距設(shè)兩截距之和為，則令得唯一駐點(diǎn)，由實(shí)際意義知的最小值一定存在，所以即為的最小值點(diǎn)，故所求直線為注：實(shí)際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以判定可導(dǎo)函數(shù)確有最大值或最小值，而且一定在定義域區(qū)間內(nèi)部取得，這時(shí)如果在定義域區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)，那末不必討論是不是極值，就可以判定為最大值或最小值。作業(yè)課本108頁1（1）（3）（5）（7）；2；4（1）（3）；7；8?！?-5曲線的凹凸一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)1．定義若曲線弧位于其上每一點(diǎn)處切線的上方，則稱該曲線弧是凹的；若曲線弧位于其上每一點(diǎn)處切線的下方，則稱該曲線弧是凸的。由圖4-8可見，對(duì)凹弧，切線的斜率隨x的增大而增大，即是單調(diào)增加的；對(duì)凸弧，切線的斜率隨x的增大而減小，即是單調(diào)減少的。因此可由的單調(diào)性判定的凹凸性，而的單調(diào)性，可由的正負(fù)確定。2．凹凸曲線的判斷法定理1設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)（1）當(dāng)時(shí)，曲線是凹的；（2）當(dāng)時(shí)，曲線是凸的。3．拐點(diǎn)的定義：曲線上凹凸曲線的分界點(diǎn)4．拐點(diǎn)的判定法定理2設(shè)函數(shù)在的某臨域內(nèi)連續(xù)，在及內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且或不存在。（1）若在的兩側(cè)具有相反的符號(hào)，則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)。(2)若在的兩側(cè)保持同一符號(hào)，則點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)。由以上定理及定義得判斷曲線凹凸及求拐點(diǎn)的方法步驟：（1）求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；（2）求使及不存在的所有點(diǎn)，這些點(diǎn)把定義域分為若干個(gè)區(qū)間；（3）判斷在各小區(qū)間的的符號(hào)，從而求出凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。例1判斷曲線的凹凸性，并求拐點(diǎn)。解令得，且當(dāng)時(shí)不存在。這兩點(diǎn)把定義域分成。列表討論如下：X00+不存在+凸拐點(diǎn)凹凹所以的凸區(qū)間為，凹區(qū)間為，拐點(diǎn)為。二、曲線的漸近線1.。水平漸近線：若或，則稱直線為曲線的水平漸近線；2.。鉛直漸近線：若，則稱為曲線的鉛直漸近線；3．斜漸近線：若，則稱直線（）為曲線的斜漸近線，其中例1求曲線的漸近線解因，故為曲線的水平漸近線；又因，故為此曲線的鉛直漸近線。因，此曲線無斜漸近線。練習(xí)求曲線的漸近線作業(yè)習(xí)題4-5p113-1141；2（1）（3）；3；4。第五章不定積分參考學(xué)時(shí)12學(xué)時(shí)主要內(nèi)容原函數(shù)與不定積分的概念，積分基本公式。不定積分的運(yùn)算法——直接積分法、換元積分法、分步積分法等積分法。幾種可以積出的函數(shù)類。重點(diǎn)不定積分的積分法。難點(diǎn)換元積分法及分步積分法。課題§5.1不定積分的概念與性質(zhì)；§5.2換元積分法（一）課時(shí)4學(xué)時(shí)教學(xué)目的理解不定積分的意義，掌握其性質(zhì)；掌握積分基本公式，能用直接積分法、湊微分法求有關(guān)的不定積分。重點(diǎn)難點(diǎn)不定積分；積分基本公式；積分法是重點(diǎn)。湊微分法是難點(diǎn)。教案一§5.1不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分1．定義設(shè)=，則稱F（X）為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù)。例如因又因又以上現(xiàn)象我2．原函數(shù)結(jié)構(gòu)問題定理證3。不定積分的意義定義有定義知例1求解因例2求解當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，；故當(dāng)x≠0時(shí)例3二、不定積分的性質(zhì)?；ツ嫘再|(zhì)2．線性運(yùn)算性質(zhì)對(duì)性質(zhì)1與2給出證明。三、積分基本公式，直接積分法1．積分基本公式課本118-119頁，在講公式時(shí)，要有簡單的證明，要在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上，盡快掌握。2．應(yīng)用舉例例4求下列不定積分解例5求下列積分解例6求下列不定積分解課后作業(yè)——課本121頁1；2、⑴⑶…..(19);3?！?.2換元積分法一、第一類換元積分法（湊微分法）定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，而可導(dǎo)，則有換原公式事實(shí)上因所以例1求解例2求解例3求下列積分（1）（2）解（1）原式=（2）原式=例4求下列不定積分（?。?）（3）（4）（5）（6）解（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=（5）原式=（6）原式=練習(xí)求下列不定積分（1）（2）（3）（4）作業(yè)習(xí)題5-2p1271(1)(3);2(2)(4)(6)(8)(1