第一章集合與常用邏輯用語

第一章集合與常用邏輯用語 1§1.1集合 1§1.2命題及其關系、充分條件與必要條件 7§1.3簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞 13單元測試卷 18第一章集合與常用邏輯用語§1.1集合1．集合的含義與表示(1)了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系．(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．2．集合間的基本關系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義．3.集合的基本運算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算．從近幾年高考來看，集合的運算考查比較頻繁，新課標強調用韋恩圖表達集合的關系及運算，高考試卷中的相應內容也明顯增加，應引起足夠的重視．1．集合的基本概念(1)我們把研究對象統(tǒng)稱為________，把一些元素組成的總體叫做________．(2)集合中元素的三個特性：______，______，_______.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用數集的符號數集正整數集自然數集整數集有理數集實數集復數集符號3.元素與集合、集合與集合之間的關系(1)元素與集合之間存在兩種關系：如果a是集合A中的元素，就說a________集合A，記作________；如果a不是集合A中的元素，就說a________集合A，記作________．(2)集合與集合之間的關系：表示關系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同__________?A＝B子集A中任意一個元素均為B中的元素________或________真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集?A，B(B≠)結論：集合{a1，a2，…，an}的子集有______個．4．兩個集合A與B之間的運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示若全集為U，則集合A的補集記為________Venn圖表示(陰影部分)意義5.集合的運算(1)①A∩B________A； ②A∩B________B；③A∩A＝________； ④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A.(3)①?U(?UA)＝________；②?UU＝________；③?U＝________；④A∩(?UA)＝____________；⑤A∪(?UA)＝____________；⑥?U(A∩B)＝(?UA)________(?UB)；⑦?U(A∪B)＝(?UA)________(?UB)．(4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B；②A∩B＝A∪B?____________.(5)記有限集合A，B的元素個數為card(A)，card(B)，則：card(A∪B)＝____________________________；card[?U(A∪B)]＝________________________.【自查自糾】1．(1)元素集合(2)確定性互異性無序性(3)列舉法描述法2．N*(N＋)NZQRC3．(1)屬于a∈A不屬于aA(2)A?B且B?AA?BB?AABBA非空集合2n4．A∪BA∩B?UA{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且xA}5．(1)①?②?③A④?⑤＝(2)①?②?③A④A⑤＝(3)①A②?③U④?⑤U⑥∪⑦∩(4)①A?B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(eq\a\vs4\al(2013·重慶))已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，則?U(A∪B)＝()A．{1，3，4} B．{3，4}C．{3} D．{4}解：∵A∪B＝{1，2，3}，∴?U(A∪B)＝{4}．故選D.已知全集U＝R，集合M＝{x|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤2}，則?UM＝()A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x≤－1或x≥3}解：可以解得集合M＝{x|－1≤x≤3}，又知全集是R，所以?UM＝{x|x＜－1或x＞3}，故選C.設集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，則(?RS)∪T＝()A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解：∵?RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，∴(?RS)∪T＝{x|x≤1}．故選C.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，則?UA＝______________．解：因為全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，則?UA＝{x|0<x<1}，故填{x|0<x<1}．設集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數a＝________.解：∵3∈B，a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.故填1.類型一集合的概念(eq\a\vs4\al(2013·河南調考))已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．解：由于－3∈A，故a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－eq\f(3,2).當a＝－1時，A＝{－3，－3，12}，不符合集合中元素的互異性，舍去；當a＝－eq\f(3,2)時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－3，12))滿足題意，故a＝－eq\f(3,2).【評析】對于集合中含有參數的問題，要注意將得到的參數的值代回集合中，對解出的元素進行檢驗，判斷是否滿足集合中元素的互異性．已知全集S＝{1，3，x3－x2－2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果?SA＝{0}，則這樣的實數x是否存在？若存在，求出x；若不存在，說明理由.解：由題意得x3－x2－2x＝0，∴x(x＋1)(x－2)＝0，解得x＝0，或x＝－1，或x＝2.當x＝0時，集合A不滿足元素的互異性，故舍去；當x＝－1或x＝2時，經檢驗滿足條件．∴實數x存在，且x＝－1或x＝2.類型二集合間的關系已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}.(1)若BA，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求實數m的取值范圍；(2)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求實數m的取值范圍；(3)若AB，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求實數m的取值范圍.解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，(1)因為BA，所以，①若B＝?，則m＋1＞2m－1，即m＜2，此時滿足BA；②若B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范圍是(－∞，3]．(2)若A＝B，則必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－6＝－2，,2m－1＝5，))解得m∈?，即不存在實數m使得A＝B.(3)若AB，則依題意應有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＞m－6，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞－5，,m≤4，,m≥3，))故3≤m≤4.所以m的取值范圍為[3，4]．【評析】本例主要考查了集合間的關系，當BA時，B可能為空集很容易被忽視，要注意這一“陷阱”.(1)已知集合A＝{x|x＞1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}.若BA，求m的取值范圍.解：若BA，當B＝?時，則m＞m＋3，不成立；當B≠?時，則有m＞1，故m的取值范圍為(1，＋∞)．(2)(eq\a\vs4\al(2012·全國大綱))已知集合A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，則()A．AB B．CBC．DC D．AD解：∵正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四邊形，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四邊形，∴CBA，CDA.故選B.類型三集合的運算設集合M＝{y|y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos2x－sin2x))，x∈R}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x||x－\f(1,i)|<\r(2)，i為虛數單位，x∈R))，則M∩N為()A．(0，1)B．(0，1]C．[0，1)D．[0，1]解：y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos2x－sin2x))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos2x))∈[0，1]，所以M＝[0，1]；因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,i)))<eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋i))<eq\r(2)，又因為x∈R，根據復數模的定義，eq\r(x2＋1)<eq\r(2)，即x2<1，所以－1<x<1，從而N＝(－1，1)，所以M∩N＝[0，1)．故選C.【評析】某些基本概念(公式或性質)與集合運算的簡單綜合題是高考考查的熱點題型．本題確定出集合的元素是關鍵，通過集合M考查三角函數的倍角公式和三角函數的性質；通過集合N考查復數的基本性質和模的定義以及簡單不等式的解法．(eq\a\vs4\al(2012·遼寧))已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，則(?UA)∩(?UB)＝()A．{5，8} B．{7，9}C．{0，1，3} D．{2，4，6}解：A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，8}．由集合運算的性質知(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{7，9}．故選B.類型四Venn圖及其應用設M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集為：M－P＝{x|x∈M，且xP}，則M－(M－P)等于()A．P B．M∩PC．M∪P D．M解：作出Venn圖．當M∩P≠?時，由圖知，M－P為圖中的陰影部分，則M－(M－P)顯然是M∩P.當M∩P＝?時，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x?M}＝?＝M∩P.故選B.【評析】這是一道信息遷移題，屬于應用性開放問題．“M－P”是我們不曾學過的集合運算關系，根據其元素的屬性，借助Venn圖將問題簡單化．設全集U是實數集R，M＝{x|x>2}，N＝{x|1<x<3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{x|2<x<3}B．{x|x<3}C．{x|1<x≤2}D．{x|x≤2}解：圖中陰影部分的集合表示?UM與集合N的交集，又?UM＝{x|x≤2}，故可知(?UM)∩N＝{x|1＜x≤2}．故選C.類型五和集合有關的創(chuàng)新試題設S為復數集C的非空子集，若對任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集，下列命題：①集合S＝{a＋bi|a，b為整數，i為虛數單位}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足STC的任意集合T也是封閉集.其中的真命題是________.(寫出所有真命題的序號)解：①對，當a，b為整數時，對任意x，y∈S，x＋y，x－y，xy的實部與虛部均為整數；②對，當x＝y(tǒng)時，0∈S；③錯，當S＝{0}時，是封閉集，但不是無限集；④錯，設S＝{0}T，T＝{0，1}，顯然T不是封閉集．因此，真命題為①②.故填①②.【評析】本題具有高等數學背景，這些新的定義是我們平時學習中很難碰到的．對此，我們可以利用特例和熟知的內容進行分析，看結果是否符合題意，從而得出正確的判斷．總之，化陌生為熟悉，化非常規(guī)為常規(guī)是解決這類問題的基本方法．定義AB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z|z＝xy＋\f(x,y)，x∈A，y∈B))，設A＝{0，2}，B＝{1，2}，則AB中所有元素的和為()A．1 B．3 C ．9 D．18解：當x＝0，y＝1或x＝0，y＝2時，xy＋eq\f(x,y)＝0；當x＝2，y＝1時，xy＋eq\f(x,y)＝4；當x＝2，y＝2時，xy＋eq\f(x,y)＝5，∴AB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z|z＝xy＋\f(x,y)，x∈A，y∈B))＝{0，4，5}，0＋4＋5＝9，故選C.1.解集合問題注意“三化”(1)代表元素“意義化”：代表元素反映了集合中元素的特征.解題時要緊緊抓住代表元素及其屬性，可通過列舉元素，直觀發(fā)現或通過元素特征，求同存異，定性分析.應做到“意義化”，即分清集合的類型(數集、點集、圖形、定義域、值域、方程或不等式的解或解集等).(2)元素組成“具體化”：有些集合中的元素所滿足的條件是可以化簡的，如果先化簡再研究其關系，則可使問題變得簡單明了，易于解決.(3)數形結合“直觀化”：結合數軸、坐標系(包括函數圖象、平面區(qū)域等)及韋恩(Venn)圖可使問題直觀化，更便于求解．2.正難則反原則對于一些比較復雜、比較抽象、條件和結論不明確、難以從正面入手的數學問題，在解題時要調整思路，考慮問題的反面，探求已知與未知的關系，化難為易、化隱為顯，從而解決問題.例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一個不是空集，求a的取值范圍.這個問題的反面即是三個集合全為空集，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－4a＜0，,1－4（2a－1）≤0，\f(5,8)≤a＜3，,a＞4a－9))從而所求a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a＜\f(5,8)或a≥3)).3.兩個集合的交、并、補的運算分別與邏輯聯結詞且、或、非對應，但不能等同和混淆.4.五個關系式AB，A∩B＝A，A∪B＝B，?UB?UA以及A∩(?UB)＝?是兩兩等價的.5.空集與全集是兩個特殊的集合，應了解其含義，解題時要特別注意對含空集情況的分析.1.已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，則()A．MN B．NMC．M∩N＝{2，3} D．M∪N＝{1，4}解：由已知得M∩N＝{2，3}，則C正確，易知A，B，D錯誤．故選C.2．(eq\a\vs4\al(2012·湖南))設集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，則M∩N＝()A．{0} B．{0，1}C．{－1，1} D．{－1，0，1}解：∵N＝{x|0≤x≤1}，M＝{－1，0，1}，∴M∩N＝{0，1}．故選B.3.已知三個集合U，A，B及元素間的關系如圖所示，則(?UA)∩B＝()A．{5，6} B．{3，5，6}C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}解：易知U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5，6}，∴?UA＝{0，4，5，6，7，8}．∴(?UA)∩B＝{5，6}．故選A.4.(eq\a\vs4\al(2013·遼寧))已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，則A∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))解：易知A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<4))，∴A∩B＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2)).故選D.5.(eq\a\vs4\al(2013·山東))已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數是()A．1 B．3 C．5D．9解：由題意知，x－y＝0，－1，－2，1，2.所以B中元素個數為5，故選C.6.(eq\a\vs4\al(2013·上海))設常數a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，則a的取值范圍為()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解：當a＞1時，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，當且僅當a－1≤1時，A∪B＝R，故1＜a≤2；當a＝1時，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，滿足題意；當a＜1時，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，又∵a－1≤a，∴A∪B＝R，故a＜1滿足題意，綜上知a∈(－∞，2]．故選B.7.已知集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2x≤1}，則A∪B＝______.解：∵A＝{x|lgx≤0}＝(0，1]，B＝{x|2x≤1}＝(－∞，0]，∴A∪B＝(－∞，1]．故填(－∞，1]．8.設集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(1－x)>1))，N＝{x|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤2}，則N∩(?RM)＝______________.解：集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(1－x)>1))＝(1，＋∞)，N＝{x|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤2}＝[－1，3]，N∩(?RM)＝[－1，1]．故填[－1，1]．9．記關于x的不等式eq\f(x－a,x＋1)＜0的解集為P，不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤1的解集為Q.(1)若a＝3，求P；(2)若QP，求正數a的取值范圍.解：(1)由eq\f(x－3,x＋1)＜0，得P＝{x|－1＜x＜3}．(2)∵Q＝{x|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤1}＝{x|0≤x≤2}，∴由a＞0，得P＝{x|－1＜x＜a}，又QP，∴a＞2，即a的取值范圍是(2，＋∞)．10．已知全集U＝R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(6,x＋1)≥1))，集合B＝{x|x2－2x－m＜0}.(1)當m＝3時，求A∩(?UB)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求m的值.解：∵eq\f(6,x＋1)≥1eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,6≥x＋1))－1＜x≤5，∴A＝{x|－1＜x≤5}．(1)當m＝3時，B＝{x|－1＜x＜3}，∴?UB＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(?UB)＝{x|3≤x≤5}．(2)由A∩B＝{x|－1＜x＜4}可知x＝4是方程x2－2x－m＝0的一個根，∴42－2×4－m＝0，∴m＝8；x＝－1可能是方程x2－2x－m＝0的另一根，∴(－1)2－2×(－1)－m＝0，∴m＝3.當m＝8時，B＝{x|－2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜4}符合題意；當m＝3時，B＝{x|－1＜x＜3}，A∩B＝{x|－1＜x＜3}不合題意．綜上知，m＝8.11.已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}.(1)若AB，求a的取值范圍；(2)若A∩B＝?，求a的取值范圍；(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的值.解：∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，∴A＝{x|2<x<4}．(1)當a＝0時，B＝?，不合要求．當a>0時，B＝{x|a<x<3a}，應滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a≥4))eq\f(4,3)≤a≤2，當a<0時，B＝{x|3a<x<a}，應滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≤2，,a≥4，))解集為?.∴當eq\f(4,3)≤a≤2時，AB.(2)要滿足A∩B＝?，當a>0時，B＝{x|a<x<3a}，a≥4或3a≤2，∴0<a≤eq\f(2,3)或a≥4.當a<0時，顯然A∩B＝?.∴a<0時成立．驗證知當a＝0時也成立．綜上所述，a≤eq\f(2,3)或a≥4時，A∩B＝?.(3)要滿足A∩B＝{x|3<x<4}，顯然當a＝3時成立，∵此時B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，故所求a的值為3.設集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若BA，求實數a的取值范圍.解：易知A＝{0，－4}，所以BA分以下三種情況：①當B＝?時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1；②當?≠BA時，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時B＝{0}滿足題意；③當B＝A時，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，由根與系數之間的關系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＞0，,－2（a＋1）＝－4，,a2－1＝0.))解得a＝1.綜上所述，a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≤－1或a＝1)).

§1.2命題及其關系、充分條件與必要條件1.理解命題的概念.2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題，否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.本節(jié)內容多以選擇題與填空題的形式出現，是高考熱點內容之一，一般以高中數學知識為載體，考查學生的邏輯推理能力，掌握本節(jié)內容的關鍵是深刻理解相關概念.1.命題的概念(1)一般地，在數學中，我們把用語言、符號或式子表達的，可以__________的陳述句叫做命題，其中__________的語句叫做真命題，____________的語句叫做假命題.(2)在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，我們稱這兩個命題為____________.(3)在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，這樣的兩個命題稱為________________.(4)在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題稱為________________.(5)一般地，設“若p，則q”為原命題，那么______________________就叫做原命題的逆命題；______________________就叫做原命題的否命題；__________________就叫做原命題的逆否命題.2.四種命題的相互關系(1)四種命題的相互關系圖(請你補全)(2)真假關系①兩個命題互為逆否命題，它們具有________的真假性，即等價；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性________.3.充分條件和必要條件(1)如果pq，則稱p是q的________，q是p的_________.(2)如果________，且________，那么稱p是q的充分必要條件，簡稱p是q的__________，記作________.(3)如果pq，但qeq\a\vs4\al()p，那么稱p是q的______________條件.(4)如果________，但________，那么稱p是q的必要不充分條件.(5)如果________，且________，那么稱p是q的既不充分也不必要條件.【自查自糾】1.(1)判斷真假判斷為真判斷為假(2)互逆命題(3)互否命題(4)互為逆否命題(5)若q，則p若綈p，則綈q若綈q，則綈p2.(1)(2)①相同②沒有關系3.(1)充分條件必要條件(2)pqqp充要條件pq(3)充分不必要(4)peq\a\vs4\al()qqp(5)peq\a\vs4\al()qqeq\a\vs4\al()p下列語句為命題的是()A．對角線相等的四邊形B．a＜5C．x2－x＋1＝0D．有一個內角是90°的三角形是直角三角形解：只有選項D是可以判斷真假的陳述句，故選D.(eq\a\vs4\al(2013·福建))已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“AB”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解：“a＝3”“AB”，反之，ABa＝2或3.故選A.(eq\a\vs4\al(2012·湖南))命題“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是()A．若α≠eq\f(π,4)，tanα≠1 B．若α＝eq\f(π,4)，tanα≠1C．若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)D．若tanα≠1，則α＝eq\f(π,4)解：“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)”.故選C.已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是________________.解：∵“＝”的否定為“≠”，“≥”的否定為“<”，∴命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是“若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3”.故填若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3.已知下列四個命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數”的逆命題；②“面積相等的三角形全等”的否命題；③“若m≤1，則方程x2－2x＋m＝0有實根”的逆否命題；④“若A∩B＝B，則AB”的逆否命題.其中真命題的是_________(填寫對應序號即可).解：對于①，“若xy＝1，則x，y互為倒數”的逆命題是“若x，y互為倒數，則xy＝1”為真命題；對于②，“面積相等的三角形全等”的否命題是“面積不等的三角形不全等”為真命題；對于③，“若m≤1，則方程x2－2x＋m＝0有實根”的逆否命題的真值即為原命題的真值，當m≤1時，Δ＝4－4m≥0，∴方程x2－2x＋m＝0有實根，原命題為真，故③為真；對于④，“若A∩B＝B，則AB”的逆否命題的真值即為原命題的真值，由于A∩B＝BBA，故原命題為假，故④為假．故填①②③.類型一四種命題及其相互關系寫出下列命題的逆命題、否命題及逆否命題，并分別判斷四種命題的真假：(1)末位數字是0的多位數一定是5的倍數；(2)在△ABC中，若AB＞AC，則∠C＞∠B；(3)若x2－2x－3＞0，則x＜－1或x＞3.解：(1)原命題：若一個多位數的末位數字是0，則它是5的倍數．逆命題：若一個多位數是5的倍數，則它的末位數字是0.否命題：若一個多位數的末位數字不是0，則它不是5的倍數．逆否命題：若一個多位數不是5的倍數，則它的末位數字不是0.這里，原命題與逆否命題為真命題，逆命題與否命題是假命題．(2)逆命題：在△ABC中，若∠C＞∠B，則AB＞AC.否命題：在△ABC中，若AB≤AC，則∠C≤∠B.逆否命題：在△ABC中，若∠C≤∠B，則AB≤AC.這里，四種命題都是真命題．(3)逆命題：若x＜－1或x＞3，則x2－2x－3＞0.否命題：若x2－2x－3≤0，則－1≤x≤3.逆否命題：若－1≤x≤3，則x2－2x－3≤0.這里，四種命題都是真命題．【評析】寫出一個命題的逆命題、否命題和逆否命題，關鍵是找出原命題的條件p與結論q，將原命題寫成“若p，則q”的形式．在(2)中，原命題有大前提“在△ABC中”，在寫出它的逆命題、否命題和逆否命題時，應當保留這個大前提．(3)中“x＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”.寫出下列命題的否定形式和否命題：(1)若xy＝0，則x，y中至少有一個為零；(2)若a＋b＝0，則a，b中最多有一個大于零；(3)若四邊形是平行四邊形，則其相鄰兩個內角相等；(4)有理數都能寫成分數.解：(1)否定形式：若xy＝0，則x，y都不為零．否命題：若xy≠0，則x，y都不為零．(2)否定形式：若a＋b＝0，則a，b都大于零．否命題：若a＋b≠0，則a，b都大于零．(3)否定形式：若四邊形是平行四邊形，則它的相鄰內角不都相等．否命題：若四邊形不是平行四邊形，則它的相鄰內角不都相等．(4)否定形式：有理數不都能寫成分數．否命題：非有理數不都能寫成分數．類型二定義法判定充要條件在△ABC中，設p：eq\f(a,sinB)＝eq\f(b,sinC)＝eq\f(c,sinA)；q：△ABC是正三角形，那么p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解：若p成立，即eq\f(a,sinB)＝eq\f(b,sinC)＝eq\f(c,sinA)，由正弦定理可得eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)＝eq\f(c,a)＝k.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝kb，,b＝kc，a＝b＝c.,c＝ka))則q：△ABC是正三角形成立．反之，若a＝b＝c，∠A＝∠B＝∠C＝60°，則eq\f(a,sinB)＝eq\f(b,sinC)＝eq\f(c,sinA).因此pq且qp，即p是q的充要條件．故選C.【評析】判斷p是q成立的什么條件，就是根據充分條件與必要條件的定義，判斷“若p，則q”與“若q，則p”是否成立，若只有一個成立，則p是q的充分不必要條件或必要不充分條件，若兩個命題同時成立，則p是q的充要條件．(eq\a\vs4\al(2013·福建))設點P(x，y)，則“x＝2且y＝－1”是“點P在直線l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解：因為點P(2，－1)滿足直線l的方程，所以它在直線l上，反之不能推出點P的坐標必為(2，－1)，故選A.類型三集合法判定充要條件“sinα＝eq\f(1,2)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解：令A＝{α|p(α)}，B＝{α|q(α)}，則可得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|sinα＝\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|cos2α＝\f(1,2)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|1－2sin2α＝\f(1,2)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|sinα＝±\f(1,2))).顯然，AB，所以p是q的充分不必要條件．故選A.【評析】利用集合的觀點來判斷充要條件的問題，就是把命題p，q與集合的特征性質結合起來，即p，q是集合A，B的特征性質，A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，再由集合A，B之間的關系就可以得到命題p，q之間的關系．這里用數形結合的思想方法，能使問題的解答直觀、簡捷．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解：設A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）|\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,y≥2))))，B＝{(x，y)|x2＋y2≥4}，通過畫草圖可知AB，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分而不必要條件，故選A.注：此題也可采用定義法來判斷．類型四充要條件的證明與探求數列{an}的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B是常數)是數列{an}是等差數列的什么條件？解：當n＞1時，an＝Sn－Sn－1＝2An＋B－A；當n＝1時，a1＝S1＝A＋B適合an＝2An＋B－A.所以an＝2An＋B－A，顯然{an}是等差數列，故充分性成立．反之，若{an}是等差數列，則有Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d(d為公差)，即Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.設A＝eq\f(d,2)，B＝a1－eq\f(d,2)，即得Sn＝An2＋Bn，因此，必要性成立．所以Sn＝An2＋Bn(A，B是常數)是數列{an}是等差數列的充要條件．【評析】在證明與探求充要條件時，容易出現如下錯誤：①張冠李戴，證明過程中把充分性與必要性搞反了；②證明充分性或必要性時，沒有把“p”(或“q”)分別作為條件，推出“q”(或“p”)．設n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數根的充要條件是n＝__________.解：x＝eq\f(4±\r(16－4n),2)＝2±eq\r(4－n)，因為x是整數，即2±eq\r(4－n)為整數，所以eq\r(4－n)為整數，且n≤4，又因為n∈N＋，取n＝1，2，3，4，驗證可知n＝3，4符合題意；反之，n＝3，4時，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數根．故填3或4.類型五充要條件的應用設p：實數x滿足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，q：實數x滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8＞0.))若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.解：p是q的必要不充分條件，即qp，peq\a\vs4\al()q.設A＝{x|p(x)}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＞0}＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|q(x)}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8＞0))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2＜x≤3))，則BA，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜2，,3a＞3))1＜a＜2，又當a＝2時也滿足BA.∴1＜a≤2.所以實數a的取值范圍是(1，2]．【評析】此題和變式5難度都不大，但“拐彎抹角”，易于出錯．應注意：①充分運用充要條件的定義；②條理清晰，細心作答；③借助數軸，準確運算．設p：實數x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：實數x滿足x2＋2x－8>0且綈p是綈q的必要不充分條件，求a的取值范圍.解：設A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a}，B＝{x|x2＋2x－8>0}＝{x|x<－4或x>2}．∵p是q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件，∴AB.∴a≤－4或3a≥2.又a<0，∴a的取值范圍是(－∞，－4]．1.命題及命題真假的判斷(1)判斷一個語句是否為命題，就是要看它是否具備“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個條件.只有這兩個條件都具備的語句才是命題.(2)判斷一個命題的真假，首先要分清命題的條件和結論，只有將條件與結論分清，才有可能正確地判斷其真假.2.四種命題的相互關系及應用(1)在判斷四種命題之間的關系時，首先要注意分清命題的條件與結論，再比較每個命題的條件與結論之間的關系.要注意四種命題關系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應地有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”.(2)當一個命題有大前提而要寫其他三種命題時，必須保留大前提，也就是大前提不動；對于由多個并列條件組成的命題，在寫其他三種命題時，應把其中一個(或幾個)作為大前提.(3)判斷命題的真假，如果不易直接判斷，可應用互為逆否命題的等價性來判斷：原命題與逆否命題等價，逆命題與否命題等價.(4)分清“否命題”與“命題的否定”的區(qū)別.“否命題”與“命題的否定”是兩個不同的概念，“否命題”是對原命題既否定其條件，又否定其結論，而“命題的否定”是否定原命題，只否定命題的結論.3.充要條件的判斷方法(1)定義法：分三步進行，第一步，分清條件與結論；第二步，判斷pq及qp的真假；第三步，下結論.(2)等價法：將命題轉化為另一個等價且容易判斷真假的命題.一般地，這類問題由幾個充分必要條件混雜在一起，可以畫出關系圖，運用邏輯推理判斷真假.(3)集合法：寫出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之間的包含關系加以判斷：①若AB，則p是q的充分條件；②若AB，則p是q的充分不必要條件；③若BA，則p是q的必要條件；④若BA，則p是q的必要不充分條件；⑤若A＝B，則p是q的充要條件；⑥若AB且BA，則p是q的既不充分也不必要條件.1.命題“若一個數是負數，則它的平方是正數”的逆命題是()A．“若一個數是負數，則它的平方不是正數”B．“若一個數的平方是正數，則它是負數”C．“若一個數不是負數，則它的平方不是正數”D．“若一個數的平方不是正數，則它不是負數”解：根據互為逆命題的概念，結論與條件互換位置，易得答案．故選B.2.若a∈R，則“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件解：當a＝2時，(a－1)(a－2)＝0；反之，若(a－1)(a－2)＝0，則a可以為1.故選A.3．(eq\a\vs4\al(2013·上海))錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()A．充分條件 B．必要條件C．充分必要條件D．既非充分也非必要條件解：條件p：貨便宜，q：貨不好．“便宜沒好貨”可以表示成“若p，則q”，所以它的逆否命題“若綈q，則綈p”，即“好貨不便宜”成立，因此“不便宜”是“好貨”的必要條件．故選B.4.(eq\a\vs4\al(2013·北京))“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解：φ＝π曲線y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x過坐標原點，反之，曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點時，φ還可以取其他值．故選A.5.(eq\a\vs4\al(2013·山東))給定兩個命題p，q，若p是q的必要而不充分條件，則p是q的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解：因為p是q的必要而不充分條件，可得q是p的必要而不充分條件，從而得出p是q的充分而不必要條件，故選A.6.(eq\a\vs4\al(2013·上海春季高考))已知a，b，c∈R，“b2－4ac<0”是“函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸上方”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解：當b2－4ac＜0時，若a＜0，則f(x)的圖象在x軸的下方，充分性不成立；反之，當f(x)的圖象在x軸的上方，則b2－4ac＜0或a＝b＝0，c＞0，必要性不成立．故選D.7.(eq\a\vs4\al(2012·山東改編))設a＞0且a≠1，則“函數f(x)＝ax在R上是減函數”是“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”的______________條件.解：由“函數f(x)＝ax在R上是減函數”知0＜a＜1；∵y＝x3在R上為增函數，2－a＞0，∴g(x)＝(2－a)x3在R上為增函數；反之，若a＜20＜a＜1.故填充分不必要．8.已知a，b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題：p1：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))>1θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))；p2：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))>1θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))；p3：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))>1θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；p4：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))>1θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).其中真命題的是____________.解：p1：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))>1a2＋2a·b＋b2>11＋2cosθ＋1>1cosθ>－eq\f(1,2)θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))).p4：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))>1a2－2a·b＋b2>11－2cosθ＋1>1cosθ<eq\f(1,2)θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).故填p1，p4.9．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a＞0).若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.解：p：x2－8x－20≤0－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0(a＞0)1－a≤x≤1＋a.∵pq，qp，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x≤10)){x|1－a≤x≤1＋a}，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＜－2，,1＋a＞10，,a＞0))解得a＞9.又當a＝9時，也滿足條件．因此，所求實數a的取值范圍為[9，＋∞)．10.已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的必要非充分條件，求實數m的取值范圍.解：p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))＞2，即x＜－2，或x＞10，取A＝{x|x＜－2，或x＞10}，q：x2－2x＋1－m2＞0，解得x＜1－m，或x＞1＋m，取B＝{x|x＜1－m，或x＞1＋m}，∵p是q的必要非充分條件，∴BA，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＜－2，,1＋m＞10，))解得m＞9.當m＝9時，B＝{x|x＜-8或x＞10}也滿足條件，所以實數m的取值范圍為{m|m≥9}．11.求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件.解：(1)當a＝0時，方程為一元一次方程，其根為x＝－eq\f(1,2)，符合題目要求；(2)當a≠0時，方程為一元二次方程，它有實根的充要條件是判別式Δ≥0，即4－4a≥0，從而a≤1.①設方程ax2＋2x＋1＝0的兩實根為x1，x2，則由韋達定理得x1＋x2＝－eq\f(2,a)，x1x2＝eq\f(1,a).因而方程ax2＋2x＋1＝0恰有一個負實根的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,\f(1,a)＜0，))得a＜0.②方程ax2＋2x＋1＝0有兩個負實根的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,－\f(2,a)＜0，,\f(1,a)＞0.))即0＜a≤1.綜上，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件是a≤1.已知集合M＝{(x，y)|y2＝2x}，N＝{(x，y)|(x－a)2＋y2＝9}，求M∩N≠?的充要條件.解：易知M∩N≠?的充要條件是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,（x－a）2＋y2＝9))至少有一組實數解，且x≥0，即x2＋2(1－a)x＋a2－9＝0至少有一個非負根．由Δ≥0得a≤5，在此前提下，接下來若正向思考，則情形較繁，因此考慮至少有一個非負根的反面即有兩個負根(只有一種情況)的情形，易知充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－2（1－a）＜0，,a2－9＞0))解得a＜－3，從而所求充要條件為－3≤a≤5.

§1.3簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞1.了解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義.2.(1)理解全稱量詞和存在量詞的意義；(2)能正確地對含一個量詞的命題進行否定.本節(jié)內容一般以選擇、填空的形式出現，難度不大.1.命題中的“或”“且”“非”稱為___________.2.全稱量詞“所有的”“任意一個”“每一個”等短語在邏輯中通常叫做____________，通常用符號“________”表示.含有全稱量詞的命題稱為____________，全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為：?x∈M，p(x).3.存在量詞“存在一個”“至少有一個”等短語在邏輯中通常叫做______________，通常用符號“________”表示.含有存在量詞的命題稱為______________，特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符號簡記為：?x0∈M，p(x0).注：特稱命題在有的教材上也稱為存在性命題．4.含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)因此，全稱命題的否定是________命題；特稱命題的否定是________命題.5.命題p∧q，p∨q，p的真假判斷(真值表)注：“p∧q”“p∨q”“p”統(tǒng)稱為復合命題，構成復合命題的p命題，q命題稱為簡單命題．pqp∧qp∨qp真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假⑩??【自查自糾】1.邏輯聯結詞2.全稱量詞?全稱命題3.存在量詞?特稱命題4.?x0∈M，p(x0)?x∈M，p(x)特稱全稱5.①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真⑩假?假?真(eq\a\vs4\al(2013·重慶))命題：“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為()A．對任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0解：全稱命題的否定是特稱命題，D表述正確．故選D.下列命題中的假命題是()A．?x∈R，2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2解：對于B選項，x＝1時，(x－1)2＝0，故選B.命題p：不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)))＞eq\f(x,x－1)的解集為{x|0＜x＜1}，命題q：“A＝B”是“sinA＝sinB”成立的必要非充分條件，則()A．p真q假 B．p且q為真C．p或q為假 D．p假q真解：∵p為真，q為假，故p或q為真，p且q為假，故選A.命題“對任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是__________________________.解：由定義知命題的否定為“存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3”.故填存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3.已知命題p1：函數y＝2x－2-x在R上為增函數；p2：函數y＝2x＋2-x在R上為減函數.則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，是真命題的是.解：p1是真命題，則p1為假命題；p2是假命題，則p2為真命題；∴q1：p1∨p2是真命題，q2：p1∧p2是假命題，∴q3：(p1)∨p2為假命題，q4：p1∧(p2)為真命題．∴真命題是q1，q4.故填q1，q4.類型一含有邏輯聯結詞的命題及其真假判斷指出下列命題的構成形式，并對該命題進行分解，然后判斷其真假.(1)矩形的對角線相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍數；(4)10是2和5的倍數；(5)2是4和6的約數；(6)2是4和6的公約數.解：(1)是“p∧q”形式的命題．其中p：矩形的對角線相等，q：矩形的對角線垂直．該命題為假命題．(2)是“p∨q”形式的命題．其中p：3＞3，q：3＝3.該命題是真命題．(3)是“p∨q”形式的命題．其中p：10是2的倍數，q：10是5的倍數．該命題是真命題．(4)是“p∧q”形式的命題．其中p：10是2的倍數，q：10是5的倍數．該命題是真命題．(5)是“p∧q”形式的命題．其中p：2是4的約數，q：2是6的約數．該命題是真命題．(6)既不是“p∨q”命題，也不是“p∧q”命題，是一個簡單命題．這個命題的等價命題是：4和6的公約數是2.按公約數的定義，該命題是：給出4和6，2是它們的公約數，即給出判斷．該命題是真命題．【評析】正確理解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義是解題的關鍵．在解具體問題時，不但要看命題中是否含有邏輯聯結詞，而且要看命題的內容結構是否具有邏輯聯結詞的含義，如本例中的第(6)小題．分別寫出由下列各組命題構成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命題，并判斷其真假.(1)p：3是9的約數，q：3是18的約數；(2)p：菱形的對角線一定相等，q：菱形的對角線互相垂直；(3)p：π是有理數，q：π是無理數.解：(1)p或q：3是9或18的約數，是真命題；p且q：3是9的約數且是18的約數，真命題；非p：3不是9的約數，假命題．(2)p或q：菱形的對角線一定相等或互相垂直，真命題；p且q：菱形的對角線一定相等且互相垂直，假命題；非p：菱形的對角線不一定相等，真命題．(3)p或q：π是有理數或無理數，真命題；p且q：π是有理數且是無理數，假命題；非p：π不是有理數，真命題．類型二含有邏輯聯結詞命題的綜合問題已知p：函數y＝x2＋mx＋1在(-1，＋∞)內單調遞增，q：函數y＝4x2＋4(m-2)x＋1大于零恒成立.若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍.解：設p，q都為真．則由p：函數y＝x2＋mx＋1在(-1，＋∞)內單調遞增-eq\f(m,2)≤-1，解得m≥2.由q：函數y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立Δ＝[4(m-2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵p或q為真，p且q為假，∴p，q中一個為假，另一個為真．(1)當p真，q假時，根據命題與集合之間的對應關系，得p真時，m≥2，q假時，m≤1或m≥3.∴p真q假時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≤1或m≥3))?m≥3.(2)當p假，q真時，根據命題與集合之間的對應關系，得p假時，m＜2，q真時，1＜m＜3.∴p假q真時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜2，,1＜m＜3))?1＜m＜2.綜合(1)(2)可得，m的取值范圍為(1，2)∪[3，＋∞)．【評析】由“p或q”為真，“p且q”為假判斷出p和q一真一假后，再根據命題與集合之間的對應關系求m的范圍．邏輯聯結詞與集合的運算具有一致性，邏輯聯結詞中“且”“或”“非”恰好分別對應集合運算的“交”“并”“補”.已知p：x2＋mx＋1＝0有兩個不等負根，q：方程4x2＋4(m-2)x＋1＝0無實根.(1)當m為何值時，p或q為真？(2)當m為何值時，p且q為真？解：若p為真，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4＞0，,x1＋x2＝－m＜0，,x1x2＝1＞0))(x1，x2為方程x2＋mx＋1＝0的兩個實根)，解得m＞2.若q為真，則Δ＝16(m-2)2-16＜0，解得1＜m＜3.(1)若p或q為真，則p，q至少有一個為真．∴若p或q為真時，m的取值范圍是(1，＋∞)．(2)若p且q為真，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞2，,1＜m＜3))2＜m＜3.故當m∈(2，3)時，p且q為真．類型三全稱命題與特稱命題的否定寫出下列命題的否定，并判斷命題否定的真假.(1)p1：?x∈{x|x是無理數}，x2是無理數；(2)p2：至少有一個整數，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：?x∈{x|x∈Z}，log2x＞0.解：(1)綈p1：?x∈{x|x是無理數}，x2不是無理數，是真命題．(2)綈p2：所有的整數，都不能被2整除或不能被5整除，是假命題．(3)綈p3：?x∈{x|x∈Z}，log2x≤0，是假命題．【評析】命題的否定，是對該命題的結論進行否定，根據判斷對象是部分和全體，分為特稱命題和全稱命題．否定的原則是：否定全稱是特稱，否定特稱是全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定．(eq\a\vs4\al(2012·湖北))命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是()A．任意一個有理數，它的平方是有理數B．任意一個無理數，它的平方不是有理數C．存在一個有理數，它的平方是有理數D．存在一個無理數，它的平方不是有理數解：根據特稱命題的否定是全稱命題，需先將“存在”改為“任意”，然后否定結論，故該命題的否定為“任意一個無理數，它的平方不是有理數”.故選B.1.含有邏輯聯結詞命題真假性的判斷判斷一個含有邏輯聯結詞命題的真假性，應先對該命題進行分解，判斷出構成它的簡單命題的真假，再根據真值表進行判斷.2.全稱命題與特稱命題真假性的判斷(1)要判斷全稱命題是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題.(2)要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，至少能找一個x＝x0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題.3.一些常用的正面敘述的詞語及它們的否定詞語表：正面詞語等于(＝)大于(＞)小于(＜)是都是否定詞語不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的一定否定詞語至少有兩個一個也沒有某個某些不一定1.“a和b都不是偶數”的否定形式是()A．a和b至少有一個是偶數B．a和b至多有一個是偶數C．a是偶數，b不是偶數D．a和b都是偶數解：“a和b都不是偶數”的否定形式是“a和b至少有一個是偶數”.故選A.2.(eq\a\vs4\al(2012·山東))設命題p：函數y＝sin2x的最小正周期為eq\f(π,2)；命題q：函數y＝cosx的圖象關于直線x＝eq\f(π,2)對稱.則下列判斷正確的是()A．p為真 B．綈q為假C．p∧q為假 D．p∨q為真解：y＝sin2x的最小正周期T＝π，很明顯命題p是一個假命題．y＝cosx函數的圖象關于x＝kπ(k∈Z)對稱，所以命題q也是假命題．則p∧q為假，故選C.3.已知命題p：?x∈R，x2-x＋eq\f(1,4)≥0，則命題p的否定綈p是()A．?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0B．?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≤0C．?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0D．?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0解：命題p是全稱命題，則命題p的否定綈p是特稱命題，注意結論應該進行否定，其否定形式是?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0.故選A.4．已知命題p：?x∈R，使得x＋eq\f(1,x)<2；命題q：?x∈R，x2＋x＋1>0，下列命題為真的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC.p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)解：對于命題p：當x＝－1時，x＋eq\f(1,x)＝－2＜2，所以命題p是真命題，則綈p是假命題；對于q，Δ＝1－4＝－3＜0，所以不等式x2＋x＋1＞0的解集為R，所以命題q是真命題，則綈q是假命題，所以p∧q為真命題．故選A.5.下列命題中為真命題的是()A．?x∈R，sinx＋cosx＝1.5B．?x∈(0，π)，sinx＞cosxC．?x∈R，x2＋x＝－1D．?x∈(0，＋∞)，ex＞1＋x解：A：sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)＜1.5，故A錯；B：x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))時，sinx＞cosx，x＝eq\f(π,4)時，sinx＝cosx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時，cosx＞sinx，故B錯；C：?x∈R，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，∴x2＋x＞－1，故C錯．故選D.6.由命題“存在x∈R，使e|x-1|－m≤0”是假命題，得m的取值范圍是(－∞，a)，則實數a的取值是()A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．1 D．2解：由題意知，“對任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命題，分離變量得m＜e|x－1|對任意x∈R成立，則有m＜(e|x－1|)min＝1.從而得m的取值范圍是(－∞，1)．則a＝1，故選C.7.給出下列結論：①命題“若綈p，則q”的逆否命題是“若p，則綈q”；②命題“?n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是“?n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；③命題“?x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋3＜0”.其中結論正確的是________.解：由于逆否命題是把原命題否定了的結論作條件，否定了的條件作結論得到的命題，故①不正確；特稱命題的否定是全稱命題，故②正確；雖然全稱命題的否定是特稱命題，但對結論的否定錯誤，故③不正確．所以只有②正確，故填②.8．命題“?x∈R，x2＋ax－4a<0”為假命題，是“－16≤a≤0”的________________條件.解：∵“?x∈R，x2＋ax－4a<0”為假命題“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”為真命題Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故為充要條件．故填充要．9．指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，寫出它們的否定形式，并判斷否定形式的真假.(1)若a＞0且a≠1，則對任意實數x，ax＞0；(2)對任意實數x1，x2，若x1＜x2，則tanx1＜tanx2；(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；(4)?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋1＜0.解：(1)全稱命題，其否定形式為：若a>0且a≠1，則?x∈R，ax≤0，顯然該命題為假命題．(2)全稱命題，其否定形式為：?x1，x2∈R，且x1＜x2，使tanx1≥tanx2，該命題為真命題．例如取x1＝0，x2＝π，有x1＜x2，但tanx1＝tanx2＝0，又當x1＝0，x2＝eq\f(2π,3)時，有x1＜x2，但tan0＝0，taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，所以tanx1＞tanx2.(3)特稱命題，其否定形式為：?T∈R，|sin(x＋T)|≠|sinx|，該命題是假命題．因為原命題為真命題．例如T0＝π時，有|sin(x＋π)|＝|sinx|.(4)特稱命題，其否定形式為?x∈R，x2＋1≥0.因為x∈R時，x2≥0，∴x2＋1≥1＞0，所以為真命題．10.已知p：x∈R，f(x)＝|x－2|＋|x|＞m恒成立；q：g(x)＝log(5m－2)x在(0，＋∞)內為單調增函數.當p，q有且僅有一個為真命題時，求m的取值范圍.解：當p為真時，因為x∈R時，f(x)＝|x－2|＋|x|≥|(x－2)－x|＝2，所以m＜2.當q為真時，因為g(x)＝log(5m－2)x在(0，＋∞)內為單調增函數，所以，5m－2＞1解得m＞eq\f(3,5).從而(1)當p真q假時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜2，,m≤\f(3,5)))m≤eq\f(3,5)；(2)當p假q真時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m＞\f(3,5)))m≥2.綜合(1)(2)可得m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,5)))∪[2，＋∞)．11.已知a>0，設命題p：函數y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2－x＋\f(1,16)a))的定義域為R；命題q：當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時，函數y＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,a)恒成立，如果命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求a的取值范圍.解：由a＞0，命題p：函數y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2－x＋\f(1,16)a))的定義域為R可知，Δ＝1－eq\f(a2,4)＜0，解得a＞2.所以命題p為真時，a＞2.對于命題q：當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時，函數y＝x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,a)恒成立，即函數y＝x＋eq\f(1,x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))的最小值ymin＞eq\f(1,a)，因為ymin＝2，所以eq\f(1,a)＜2，又a＞0，所以a＞eq\f(1,2).所以命題q為真時，a＞eq\f(1,2).因為命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，所以命題p與q中一個是真命題，一個是假命題．當p真q假時，可得a∈?；當p假q真時，可得eq\f(1,2)＜a≤2.綜上所述，a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).已知m∈R，命題p：對任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命題q：存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立.(1)若p為真命題，求m的取值范圍；(2)當a＝1，若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍.解：(1)∵對任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.因此，若p為真命題時，m的取值范圍是[1，2]．(2)∵a＝1，且存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立，∴m≤1，命題q為真時，m≤1.∵p且q為假，p或q為真，∴p，q中一個是真命題，一個是假命題．當p真q假時，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤m≤2，,m＞1，))解得1＜m≤2；當p假q真時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜1或m＞2，,m≤1，))即m＜1.綜上所述，m的取值范圍為(－∞，1)∪(1，2]．

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.(eq\a\vs4\al(2012·重慶))命題“若p則q”的逆命題是()A．若q則p B．若綈p則綈qC．若綈q則綈p D．若p則綈q解：根據原命題與逆命題的關系可得：“若p則q”的逆命題是“若q則p”，故選A.2.已知全集U，集合ABU，則有()A．A∩B＝B B．A∪B＝AC．(?UA)∩(?UB)＝?UBD．(?UA)∪(?UB)＝?UB解：由ABU知A∩B＝A，A∪B＝B，(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝?UB，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)＝?UA.故選C.