新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練10.3 平面向量的應(yīng)用（提升版）（解析版）

10.3平面向量的應(yīng)用（精講）（提升版）考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一在幾何中的運(yùn)用【例1-1】（2022·四川省峨眉）若平面四邊形ABCD滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以四邊形ABCD為平行四邊形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.故選：B【例1-2】（2022·上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】證明見解析.【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【例1-3】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知H為SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．由H為△ABC的垂心，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．同理有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．【例1-4】（2022·云南）已知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則AC邊的中線的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理由SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,不符合三角形內(nèi)角和定理，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，負(fù)值舍去，即SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0故選：C【一隅三反】1．（2022·云南師大附中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則AD的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0M為BC邊上靠近C的三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·河南·南陽中學(xué)）直角三角形ABC中，斜邊BC長(zhǎng)為a，A是線段PE的中點(diǎn)，PE長(zhǎng)為2a，當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)锳是線段PE的中點(diǎn)，PE長(zhǎng)為2a，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大的值為SKIPIF1<0.故選：A.考點(diǎn)二三角形的四心【例2-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））數(shù)學(xué)家歐拉于SKIPIF1<0年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0分別為任意SKIPIF1<0的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，D正確.故選：D.【例2-2】（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則SKIPIF1<0的最小值為-1C．若SKIPIF1<0為銳角三角形且外心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡經(jīng)過SKIPIF1<0的外心【答案】ACD【解析】A：如下圖，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為垂心，易知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知：SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正確；B：構(gòu)建以SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，錯(cuò)誤；C：由題設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共線，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正確；D：由題設(shè)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的軌跡經(jīng)過SKIPIF1<0的外心，正確.故選：ACD【一隅三反】1．（2022農(nóng)安月考）SKIPIF1<0為平面上的一定點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的軌跡一定過SKIPIF1<0的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0方向上的單位向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0方向上的單位向量，

則SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的方向?yàn)椤螧AC的平分線SKIPIF1<0的方向.

又λ∈(0，＋∞)，所以λ(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)的方向與SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的方向相同.

而SKIPIF1<0，

所以點(diǎn)P在SKIPIF1<0上移動(dòng)，所以點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.

故選：D2．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知SKIPIF1<0是平面內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】C【解析】由題意知，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心.故選：C3．（2022·全國(guó)·）平面內(nèi)SKIPIF1<0及一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心【答案】B【解析】由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，同理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)心.故選:B.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）對(duì)于給定的SKIPIF1<0，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若A、P、Q三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對(duì)于A：給定的SKIPIF1<0，其外心為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A不正確；對(duì)于B：因?yàn)镾KIPIF1<0為給定的SKIPIF1<0的垂心，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0,故B正確；對(duì)于C：因?yàn)橹匦臑镚，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D：由于點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的平分線上，SKIPIF1<0為單位向量，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線對(duì)應(yīng)向量共線，所以存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，故D正確．故選：BCD．考點(diǎn)三三角形的面積比【例3-1】（2022·天津五十七中模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)M是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比為________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，并且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【例3-2】（2022·重慶）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積比為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心根據(jù)重心的性質(zhì)可得，點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離是點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離的SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比為________．【答案】SKIPIF1<0【解析】分別取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2．（2022北京朝陽）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，同理SKIPIF1<0也為SKIPIF1<0中點(diǎn)，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面積為平行四邊形SKIPIF1<0面積的SKIPIF1<0，又∵平行四邊形SKIPIF1<0的面為SKIPIF1<0面積的SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0．3（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)部一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比為________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，如圖所示，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比為SKIPIF1<0.4．（2022·江西）已知點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】7【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0考點(diǎn)四平面向量的綜合運(yùn)用【例4-1】（2022·昌吉模擬）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點(diǎn)E在弧CD上，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．－1 B．1 C．－3 D．3【答案】C【解析】以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸的正方形建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.故答案為：C【例4-2】（2022·眉山模擬）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡(jiǎn)易側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點(diǎn)O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．28m B．20m C．31m D．22m【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：D【一隅三反】1．（2022·湖北模擬）設(shè)A、B為圓SKIPIF1<0上的兩動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB=120o，P為直線l：3x–4y–15=0上一動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】設(shè)C是AB中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即C在以原點(diǎn)為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：C．2．（2022·衡陽二模）設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊，已知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0的面積為1，則SKIPIF1<0等于（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．-2【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由正弦定理可得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由余弦定理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面積為1，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：B3．（2021·深圳模擬）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，SKIPIF1<0的最大值為（）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】C【解析】騎行過程中，SKIPIF1<0相對(duì)不動(dòng)，只有SKIPIF1<0點(diǎn)繞SKIPIF1<0點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)．如圖，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值36．故答案為：C．4．（2022·宜春模擬）設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)，過SKIPIF1<0的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，該橢圓的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由橢圓的定義可得：SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入化簡(jiǎn)有：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：D.5．（2022·商洛模擬）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在雙曲線C的左?右支上，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線C的漸近線斜率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由雙曲線定義及勾股定理得|AF2|?m=2a，6m?|BF2|=2a，|AF2|2整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由cosSKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：C10.3平面向量的應(yīng)用（精練）（提升版）題組一題組一平面向量在幾何中的運(yùn)用1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0邊上的中線長(zhǎng)為（

）A．49 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，根據(jù)余弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0邊上的中線長(zhǎng)為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.2（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若線段CD上存在唯一的點(diǎn)E滿足SKIPIF1<0，則線段CD的長(zhǎng)的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】

如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為x軸和y軸正方向建立直角坐標(biāo)系.則SKIPIF1<0,設(shè)DE的長(zhǎng)為x，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由題意知：SKIPIF1<0，且點(diǎn)E存在于CD上且唯一，知CD的長(zhǎng)的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：B.3．（2022·云南）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，以SKIPIF1<0點(diǎn)為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.4（2022·全國(guó)·信陽高中）已知四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一如圖，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：C.解法二：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.5（2022·湖南張家界）如圖，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故選：C.6．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成夾角的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0②與③聯(lián)立可得SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0①④聯(lián)立可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取等號(hào)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成夾角的最大值是SKIPIF1<0，7（2022·湖南·周南中學(xué)）已知邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，點(diǎn)F為BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】由題意知：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點(diǎn)為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0故選：C.8．（2022·江蘇·無錫市教育科學(xué)研究院）點(diǎn)SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正三角形SKIPIF1<0的三條邊上任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨假設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，如下圖示，所以，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<09．（2022·上海市晉元高級(jí)中學(xué)）“燕山雪花大如席”，北京冬奧會(huì)開幕式將傳統(tǒng)詩(shī)歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們?cè)俅晤I(lǐng)略了中國(guó)悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力.順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊ABCDEF.若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)與SKIPIF1<0點(diǎn)重合時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影最大，此時(shí)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)與SKIPIF1<0點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,取得的最小值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．10．（2021·湖南）已知平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖以SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題組二題組二三角形的四心1．（2022·湖南湘潭·高三開學(xué)考試）在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】A【解析】如圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0.故選：A2．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)SKIPIF1<0及一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0所以點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0垂心，選D.3．（2021·湖南·懷化市第三中學(xué)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)為三角形的A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【答案】D【解析】在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分別取點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，作菱形SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平分線.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的平分線上..同理證得SKIPIF1<0在其它兩角的平分線上，由此求得SKIPIF1<0是三角形的內(nèi)心.，故選D.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大值為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外心可知，SKIPIF1<0是三邊中垂線交點(diǎn)，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.根據(jù)題意知，SKIPIF1<0