新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 押題卷練習(xí)第14題 立體幾何綜合（解析版）

立體幾何綜合考點(diǎn)4年考題考情分析立體幾何綜合2023年新高考Ⅰ卷第12題2022年新高考Ⅰ卷第8題2022年新高考Ⅱ卷第11題2021年新高考Ⅰ卷第12題立體幾何會(huì)以單選題、多選題、填空題、解答題4類(lèi)題型進(jìn)行考查，也常在壓軸題位置進(jìn)行考查，難度較難，縱觀近幾年的新高考試題，壓軸題分別考查以正方體為出題背景的相關(guān)幾何體的體積計(jì)算、正四棱錐的外接球及體積范圍、錐體體積的相關(guān)計(jì)算、空間向量的計(jì)算等綜合問(wèn)題，本內(nèi)容是新高考沖刺復(fù)習(xí)的重點(diǎn)復(fù)習(xí)內(nèi)容。可以預(yù)測(cè)2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以立體幾何壓軸內(nèi)容等綜合問(wèn)題展開(kāi)命題．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真題第12題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為SKIPIF1<0的球體B．所有棱長(zhǎng)均為SKIPIF1<0的四面體C．底面直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體D．底面直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)镾KIPIF1<0，即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)镾KIPIF1<0，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過(guò)SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為SKIPIF1<0圓柱，若底面直徑為SKIPIF1<0的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心SKIPIF1<0，與正方體的下底面的切點(diǎn)為SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為SKIPIF1<0，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.2．（2023·新高考Ⅰ卷高考真題第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為SKIPIF1<0，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為SKIPIF1<0，所以球的半徑SKIPIF1<0,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，正四棱錐的體積SKIPIF1<0取最大值，最大值為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四棱錐體積SKIPIF1<0，故該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<03．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題第11題）如圖，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的體積分別為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】直接由體積公式計(jì)算SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0計(jì)算出SKIPIF1<0，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得四邊形SKIPIF1<0為矩形，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真題第12題）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將SKIPIF1<0點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解SKIPIF1<0點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解SKIPIF1<0點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即此時(shí)SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故此時(shí)SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡為線段SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡為線段SKIPIF1<0，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡為線段SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：SKIPIF1<0，所有柱體體積公式：SKIPIF1<0，球體體積公式：SKIPIF1<0球體表面積公式：SKIPIF1<0，圓柱：SKIPIF1<0圓錐：SKIPIF1<0長(zhǎng)方體（正方體、正四棱柱）的體對(duì)角線的公式已知長(zhǎng)寬高求體對(duì)角線：SKIPIF1<0已知共點(diǎn)三面對(duì)角線求體對(duì)角線：SKIPIF1<0棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正四面體的內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0,外接球的半徑為SKIPIF1<0.歐拉定理(歐拉公式)SKIPIF1<0(簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）SKIPIF1<0=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為SKIPIF1<0的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：SKIPIF1<0；（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為SKIPIF1<0，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：SKIPIF1<0.5．空間的線線平行或垂直設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.夾角公式設(shè)SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.6．異面直線所成角SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）為異面直線SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0分別表示異面直線SKIPIF1<0的方向向量）7．直線SKIPIF1<0與平面所成角，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量).8..二面角SKIPIF1<0的平面角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量）.異面直線間的距離SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是兩異面直線，其公垂向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0間的距離).點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0是經(jīng)過(guò)面SKIPIF1<0的一條斜線，SKIPIF1<0）.1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為.【答案】SKIPIF1<0【分析】解法一

連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，確定SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓的圓心，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，利用球的性質(zhì)建立方程求解外接球的半徑，代入球的表面積公式求解即可；解法二連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，建立空間直角坐標(biāo)系，先求出SKIPIF1<0的外接圓圓心SKIPIF1<0，然后計(jì)算出球心的坐標(biāo)，即可求出球的半徑，代入球的表面積公式求解即可.【詳解】解法一

連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓的圓心.取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的外接圓上．連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.設(shè)三棱錐SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.

解法二

連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0.設(shè)三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此球心SKIPIF1<0，故外接球半徑SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求幾何體外接球的半徑，可以根據(jù)題意先畫(huà)出圖形，確定球心的位置，進(jìn)而得到關(guān)于球的半徑的式子，解題時(shí)要注意球心在過(guò)底面外接圓圓心且垂直于底面的直線上，且球心到幾何體各頂點(diǎn)的距離相等.在確定球心的位置后可在直角三角形中表示出球的半徑，此類(lèi)問(wèn)題對(duì)空間想象能力和運(yùn)算求解能力要求較高，難度比較大.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則四面體ABMN的外接球的表面積為．

【答案】SKIPIF1<0【分析】取BN的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接CD，由等腰三角形的性質(zhì)與面面垂直的性質(zhì)定理證SKIPIF1<0平面ABN，由線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，進(jìn)而推出SKIPIF1<0，利用勾股定理的逆定理證SKIPIF1<0，進(jìn)而確定四面體ABMN的外接球的球心與半徑，利用球的表面積公式即可得解.【詳解】如圖，取BN的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接CD，

因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABN，又SKIPIF1<0平面ABN，所以SKIPIF1<0，依題意SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又BN，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共斜邊SKIPIF1<0，所以四面體ABMN的外接球的球心為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且外接球半徑SKIPIF1<0，所以該球的表面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn)；（3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)；（4）正棱錐的外接球的球心在其高上；（5）若三棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是外接球的球心．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某禮品生產(chǎn)廠準(zhǔn)備給如圖所示的八面體形玻璃制品設(shè)計(jì)一個(gè)球形包裝盒．已知該八面體可以看成由一個(gè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的大正四面體截去四個(gè)全等的棱長(zhǎng)均為SKIPIF1<0的小正四面體得到的，且小正四面體的其中一個(gè)頂點(diǎn)為大正四面體的頂點(diǎn)，則該球形包裝盒的半徑的最小值為．（不考慮包裝盒的質(zhì)量、厚度等）【答案】SKIPIF1<0【分析】分析球形包裝盒半徑最小時(shí)球心的位置以及八面體與正四面體SKIPIF1<0外接球之間的關(guān)系，求正四面體SKIPIF1<0的外接球的半徑，求球形包裝盒的半徑的最小值；【詳解】如圖，已知正四面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，在正四面體SKIPIF1<0中截去一個(gè)小正四面體SKIPIF1<0，且正四面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等邊三角形SKIPIF1<0的中心．易知球形包裝盒的半徑的最小值即該八面體外接球的半徑，由對(duì)稱性可知，這個(gè)八面體的外接球的球心與正四面體SKIPIF1<0的外接球的球心重合，且正四面體SKIPIF1<0的外接球球心在線段SKIPIF1<0上．設(shè)正四面體SKIPIF1<0的外接球的球心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)檎拿骟wSKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則正四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為3．因?yàn)榻厝サ男≌拿骟w的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以球形包裝盒的半徑的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于正四面體的外接球的解決問(wèn)題：首先要確定其外接球的球心位置，其次利用正三角形的幾何性質(zhì)以及勾股定理建立方程，最后求出外接球半徑；同時(shí)清晰的作圖也很重要.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為BC，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形SKIPIF1<0內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），若SKIPIF1<0平面AMN，則SKIPIF1<0取最小值時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】先利用面面平行的判定定理證得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而得到點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡，進(jìn)而求得SKIPIF1<0取得最小值時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，再利用三棱錐的體積公式即可得解.【詳解】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)E，SKIPIF1<0的中點(diǎn)F，連接EF，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0平面AMN，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面AMN，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線EF上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值．易知SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0取最小值時(shí)，P為EF的中點(diǎn)，此時(shí)SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是找到利用面面平行求得點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡，從而得解.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，該“四角反棱柱”是由兩個(gè)相互平行且全等的正方形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、連接而成，其側(cè)面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為．【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)幾何體棱長(zhǎng)為4a，計(jì)算出幾何體側(cè)面積，設(shè)上、下正四邊形的中心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)B作SKIPIF1<0于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B為所在棱的中點(diǎn)，得OA即該幾何體外接球的半徑，得外接球表面積，計(jì)算比值即得.【詳解】如圖，由題意可知旋轉(zhuǎn)角度為SKIPIF1<0，設(shè)上、下正四邊形的中心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點(diǎn)O即為外接球的球心，其中點(diǎn)B為所在棱的中點(diǎn)，OA即該幾何體外接球的半徑，設(shè)棱長(zhǎng)為4a，則側(cè)面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)B作SKIPIF1<0于點(diǎn)C，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得四邊形SKIPIF1<0為矩形，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即該“四角反棱柱”外接球的半徑SKIPIF1<0．外接球表面積為SKIPIF1<0，該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】由題意，側(cè)面均為正三角形，所以可知旋轉(zhuǎn)角度為SKIPIF1<0，OA即該幾何體外接球的半徑.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐SKIPIF1<0的母線SKIPIF1<0，側(cè)面積為SKIPIF1<0，則圓錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球半徑為；若正四面體SKIPIF1<0能在圓錐SKIPIF1<0內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體SKIPIF1<0的最大棱長(zhǎng)為．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意可求得底面圓半徑SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，求出軸截面SKIPIF1<0內(nèi)切圓半徑即可得圓錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，再根據(jù)正四面體外接球與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系即可求得最大棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0.【詳解】如圖，在圓錐SKIPIF1<0中，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，底面圓半徑為SKIPIF1<0，

因?yàn)閭?cè)面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正四面體SKIPIF1<0如圖所示，

則正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，體對(duì)角線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，所以棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0．取軸截面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即圓錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0．因?yàn)檎拿骟wSKIPIF1<0能在圓錐SKIPIF1<0內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以正四面體SKIPIF1<0的最大棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解正四面體外接球（內(nèi)切球）問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造正方體求出外接球半徑，也可直接利用結(jié)論：棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正四面體的外接球半徑為SKIPIF1<0，內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0.7．（2024·云南昆明·一模）已知球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，正四棱錐SKIPIF1<0的所有頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，則該正四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】由球的表面積計(jì)算出球的半徑，設(shè)出該正四棱錐底面邊長(zhǎng)及高，由球的半徑可得底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，求出該正四棱錐體積的表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)計(jì)算即可得.【詳解】由SKIPIF1<0，故該球半徑SKIPIF1<0，設(shè)正四棱錐SKIPIF1<0底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有極大值SKIPIF1<0，即該正四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于得出體積的表達(dá)式后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性后可得最值.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩互相垂直，SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為.【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，表示出三棱錐SKIPIF1<0的體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出體積取最大值時(shí)x的值，從而確定棱錐的各棱長(zhǎng)，再根據(jù)等體積法，即可求得答案.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0兩兩互相垂直，可得三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取到最大值，此時(shí)三棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值，設(shè)此時(shí)三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球的半徑為r，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三棱錐體積最大時(shí)，其內(nèi)切球的半徑問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是求出當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)棱錐的棱長(zhǎng)，從而再根據(jù)棱錐的等體積法求解.9．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知正四棱錐SKIPIF1<0的頂點(diǎn)均在球SKIPIF1<0的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球SKIPIF1<0體積的最小值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】由底面外接圓的半徑、正四棱錐的高以及外接球的半徑的關(guān)系，結(jié)合已知條件可得SKIPIF1<0，故只需求出外接球半徑的最小值即可.【詳解】設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如圖，球心在正四棱錐內(nèi)時(shí)，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（*）.

球心在正四棱錐外時(shí)，亦能得到（*）式.又正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，代入（*）式可得SKIPIF1<0.通過(guò)對(duì)關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0求導(dǎo)，即SKIPIF1<0，易得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0.從而，球SKIPIF1<0的體積的最小值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先得到SKIPIF1<0，從而通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得外接球半徑的最小值即可順利得解.10．（2024·全國(guó)·一模）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0體積的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】如圖，作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)線面垂直的判定定理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，進(jìn)而四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)求出SKIPIF1<0即可求解.【詳解】如圖，作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為矩形.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)F，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的體積，解題關(guān)鍵是證明線面垂直和利用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.本題中證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，表示出四面體的體積為SKIPIF1<0，得到所要求的量．11．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖是一個(gè)球形圍墻燈，該燈的底座可以近似看作正四棱臺(tái).球形燈與底座剛好相切，切點(diǎn)為正四棱臺(tái)上底面中心，且球形燈內(nèi)切于底座四棱臺(tái)的外接球.若正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為4，下底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則球形燈半徑SKIPIF1<0與正四棱臺(tái)外接球半徑SKIPIF1<0的比值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)正四棱臺(tái)SKIPIF1<0上底面與下底面中心分別為SKIPIF1<0，則正四棱臺(tái)的外接球球心為SKIPIF1<0及球形燈的圓心SKIPIF1<0均在直線SKIPIF1<0上.由幾何關(guān)系，求出SKIPIF1<0，求出R的值，再根據(jù)SKIPIF1<0求出r的值，即可得到比值.【詳解】如圖所示，設(shè)正四棱臺(tái)SKIPIF1<0上底面與下底面中心分別為SKIPIF1<0,作截面SKIPIF1<0，則正四棱臺(tái)外接球球心SKIPIF1<0及球形燈的圓心SKIPIF1<0均在直線SKIPIF1<0上，作SKIPIF1<0于H.因?yàn)檎睦馀_(tái)的上底面邊長(zhǎng)為4，下底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.由圖可知，在圓SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是作出相關(guān)圖形，利用勾股定理等得到相關(guān)方程，從而解出兩個(gè)半徑長(zhǎng).12．（2024·山東日照·一模）已知正四棱錐SKIPIF1<0的所有棱長(zhǎng)都為2；點(diǎn)E在側(cè)棱SC上，過(guò)點(diǎn)E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形H，則H的邊數(shù)至多為，H的面積的最大值為．【答案】5SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】數(shù)形結(jié)合，作平面與平面SKIPIF1<0平行，即可解決；令SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示相關(guān)長(zhǎng)度，整理得SKIPIF1<0，結(jié)合二次函數(shù)即可解決.【詳解】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根據(jù)平面的基本性質(zhì)，作平面與平面SKIPIF1<0平行，如圖至多為五邊形.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可知：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，S取最大值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)平面的性質(zhì)分析截面的形狀，結(jié)合幾何知識(shí)求相應(yīng)的長(zhǎng)度和面積，進(jìn)而分析求解.13．（2024·山東菏澤·一模）如圖，在正四棱臺(tái)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，該棱臺(tái)體積SKIPIF1<0，則該棱臺(tái)外接球的表面積為．

【答案】SKIPIF1<0【分析】作出輔助線，找到球心的位置，求出外接球半徑，得到外接球表面積.【詳解】連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則外接球球心在直線SKIPIF1<0上，設(shè)球心為SKIPIF1<0，如圖所示，則SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，因?yàn)檎睦馀_(tái)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)四棱臺(tái)的高為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故半徑SKIPIF1<0，故該棱臺(tái)外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑14．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，記平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/0.5SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用平面基本事實(shí)作出直線SKIPIF1<0，進(jìn)而求出SKIPIF1<0；利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合等角定理，再利用和角的正切計(jì)算即得.【詳解】在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，延長(zhǎng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0延長(zhǎng)線交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0即為直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0