第02講實(shí)數(shù)（8類題型）

第02講實(shí)數(shù)（8類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握實(shí)數(shù)的概念與分類；2.掌握實(shí)數(shù)的大小比較；1.掌握無理數(shù)的概念；2.掌握實(shí)數(shù)的概念與分類3、掌握無理數(shù)的估算；知識點(diǎn)01：實(shí)數(shù)（1）有理數(shù)的定義：任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。（2）無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)。（3）實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。1.實(shí)數(shù)的分類（4）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對應(yīng)的，即每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都是表示一個實(shí)數(shù)。對于數(shù)軸上的任意兩個點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大。2.無理數(shù)的概念無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。人們已經(jīng)證明是一個無限不循環(huán)小數(shù)，它的值為1.4142135623730950488016887242097…，，，，，等都是無理數(shù)?！炯磳W(xué)即練1】1．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）下列說法中，正確的是（）A．無限小數(shù)都是無理數(shù) B．無理數(shù)都是帶有根號的數(shù)C．、都是分?jǐn)?shù) D．實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)和零【答案】D【分析】直接利用相關(guān)實(shí)數(shù)的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：A、無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意；B、無理數(shù)不一定是帶有根號的數(shù)，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意；C、、都是無理數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意；D、實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)．負(fù)實(shí)數(shù)和零，正確，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)知識的考查，掌握相關(guān)概念或性質(zhì)解答即可．【即學(xué)即練2】2．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）下列說法中，錯誤的是（

）A．實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù) B．無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)；C．無理數(shù)都是無限小數(shù) D．無限小數(shù)都是無理數(shù)．【答案】D【分析】有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，根據(jù)概念逐一分析即可．【詳解】解：實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)，原說法正確，故A不符合題意；無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)，原說法正確，故B不符合題意；無理數(shù)都是無限小數(shù)，原說法正確，故C不符合題意；無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)，原說法錯誤，故D符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的分類，無理數(shù)的含義，熟記概念是解本題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)02：實(shí)數(shù)的大小比較1、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值（1）相反數(shù)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)（只有符號不同絕對值相同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。（2）絕對值一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。正數(shù)的絕對值等于它本身；負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；零的絕對值既可以看成是它本身，也可看成它的相反數(shù)。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。（3）倒數(shù)如果ab=1，則a與b互為倒數(shù)，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和1。零沒有倒數(shù)。2、數(shù)軸和實(shí)數(shù)大小比較規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。比較大小時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。【即學(xué)即練3】3．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大小，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，正確，不符合題意；B、∵，∴，∴，∴，即，原式錯誤，符合題意；C、∵，∴，∴，∴，即，正確，不符合題意；D、∵，，且，∴，正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握實(shí)數(shù)大小比較的方法以及無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）下面四個數(shù)中，比1小的正無理數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正數(shù)負(fù)數(shù)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵∴∴∴比1小的正無理數(shù)是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較實(shí)數(shù)是大小，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)負(fù)數(shù)．題型01無理數(shù)考查題型一無理數(shù)1．（2023春·湖南長沙·七年級?？茧A段練習(xí)）在實(shí)數(shù)，0，，，，，中，無理數(shù)的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義逐項(xiàng)對各數(shù)進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：解：是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)；0是整數(shù)，是有理數(shù)；，是整數(shù)，是有理數(shù)；有限小數(shù)，是有理數(shù)；是無限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)；是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)；是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，∴無理數(shù)共有2個．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的定義，無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，熟知無理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．2．（2023春·湖南長沙·七年級?？计谥校┰趯?shí)數(shù)，，0，，，，（每兩個2之間一次多一個1）中，無理數(shù)有個．【答案】3【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：，，在實(shí)數(shù)，，0，，，，（每兩個2之間一次多一個1）中，無理數(shù)有，，，（每兩個2之間一次多一個1），共3個．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．3．（2023春·安徽六安·七年級?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：，，，，，（兩個3之間依次增加一個0）正數(shù)集合：{

}；負(fù)數(shù)集合：{

}；有理數(shù)集合：{

}；無理數(shù)集合：{

}．【答案】見詳解【分析】根據(jù)正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)以及無理數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：因?yàn)楸?大的數(shù)是正數(shù)，比0小的數(shù)是負(fù)數(shù)，所以正數(shù)集合：，，；所以負(fù)數(shù)集合：，，（兩個3之間依次增加一個0）；因?yàn)橛欣頂?shù)是指整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，且，所以有理數(shù)集合：，，，；因?yàn)闊o理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，所以無理數(shù)集合：，（兩個3之間依次增加一個0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)以及無理數(shù)的定義，正確掌握相關(guān)知識的定義是解題的關(guān)鍵．題型02實(shí)數(shù)概念理解1．（2023春·四川綿陽·七年級統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)π的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得，實(shí)數(shù)π的相反數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)相反數(shù)的求解能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識進(jìn)行求解．2．（2023春·河南濮陽·七年級統(tǒng)考期中）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖：當(dāng)輸入x為81時(shí)，輸出的y的值是．【答案】【分析】據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換器所示，輸入81后取算術(shù)平方根，直到結(jié)果是無理數(shù)時(shí)即是結(jié)果.【詳解】當(dāng)x=81時(shí)，第一次運(yùn)算，因?yàn)?是有理數(shù)，所以第二次運(yùn)算，因?yàn)?是有理數(shù)，所以第三次運(yùn)算，因?yàn)槭菬o理數(shù)，所以輸出故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的運(yùn)算，能夠讀懂題意是解題的關(guān)鍵.3．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)：有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：；正實(shí)數(shù)集合：；負(fù)實(shí)數(shù)集合：．【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類逐一填寫即可．【詳解】解：∵，∴中有理數(shù)集合為：，，，；無理數(shù)集合為：，，，；正實(shí)數(shù)集合為：，，，，；負(fù)實(shí)數(shù)集合為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的分類，實(shí)數(shù)分為有理數(shù)與無理數(shù)，無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)，熟記定義是解本題的關(guān)鍵．題型03實(shí)數(shù)的分類1．（2023春·安徽宣城·七年級校聯(lián)考期中）下列說法中，正確的是（

）A．無理數(shù)包括正無理數(shù)、零和負(fù)無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．實(shí)數(shù)可以分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)兩類 D．正實(shí)數(shù)包括正有理數(shù)和正無理數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類可進(jìn)行求解．【詳解】解：A、無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)，原說法錯誤，故不符合題意；B、無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，原說法錯誤，故不符合題意；C、實(shí)數(shù)可分為正實(shí)數(shù)、零和負(fù)實(shí)數(shù)，原說法錯誤，故不符合題意；D、正實(shí)數(shù)包括正有理數(shù)和正無理數(shù)，說法正確，故符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）在，，0，，，，（兩個2之間依次多一個，中．（1）是有理數(shù)的有．（2）是無理數(shù)的有．（3）是整數(shù)的有．（4）是分?jǐn)?shù)的有．【答案】，0，，，，，（兩個2之間依次多一個0，，【分析】（1）有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)即可得答案；（2）由無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)可得答案；（3）由整數(shù)概念可得答案；（4）根據(jù)分?jǐn)?shù)概念可得答案．【詳解】解：（1）有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，故答案為：，0，，；（2）無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故答案為：，，，（兩個2之間依次多一個1）；（3）整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，故答案為：0，；（4）分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是掌握實(shí)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的概念．3．（2023春·安徽亳州·七年級?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：，，，，，（兩個之間依次增加一個）．正數(shù)集合：

；質(zhì)數(shù)集合：

；有理數(shù)集合：

；無理數(shù)集合：

．【答案】正數(shù)集合：；負(fù)數(shù)集合：；有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類，逐一判斷即可解答．【詳解】解：正數(shù)集合：；負(fù)數(shù)集合：；有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵，實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)、零和負(fù)實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)分為正有理數(shù)和正無理數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)分為負(fù)有理數(shù)和負(fù)無理數(shù)．題型04實(shí)數(shù)的性質(zhì)1．（2023春·遼寧朝陽·七年級?？计谥校┤绻堑南喾磾?shù)，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：∵是的相反數(shù)，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義、實(shí)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北孝感·七年級校考期中）(1)在數(shù)軸上離原點(diǎn)距離是的點(diǎn)表示的數(shù)是；(2)若，則的值是；(3)的相反數(shù)是．【答案】或/或/【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，即可求解；（2）根據(jù)平方根的定義解方程，即可求解；（3）根據(jù)相反數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：（1）在數(shù)軸上離原點(diǎn)距離是的點(diǎn)表示的數(shù)是；故答案為：．（2）∴，解得：或，故答案為：或．（3）的相反數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，平方根的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級單元測試）如圖，在3×3的方格中，有一陰影正方形，設(shè)每一個小方格的邊長為1個單位．請解決下面的問題．（1）陰影正方形的面積是________？（可利用割補(bǔ)法求面積）（2）陰影正方形的邊長是________？（3）陰影正方形的邊長介于哪兩個整數(shù)之間？請說明理由．【答案】（1）5；（2）；（3）2與3兩個整數(shù)之間，見解析【分析】（1）通過割補(bǔ)法即可求出陰影正方形的面積；（2）根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)實(shí)數(shù)的估算即可求解．【詳解】（1）陰影正方形的面積是3×34×=5故答案為：5；（2）設(shè)陰影正方形的邊長為x，則x2=5∴x=（舍去）故答案為：；（3）∵∴∴陰影正方形的邊長介于2與3兩個整數(shù)之間．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算能力和不規(guī)則圖形的面積的求解方法：割補(bǔ)法．通過觀察可知陰影部分的面積是5個小正方形的面積和．會利用估算的方法比較無理數(shù)的大?。}型05實(shí)數(shù)與數(shù)軸1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，數(shù)軸上，，、兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是與和，則點(diǎn)所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的距離，再求出點(diǎn)所表示的數(shù)【詳解】解∶設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)是，∵、兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是與和，∴，∵，點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，∴，∴∴點(diǎn)所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離．掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？计谥校┤鐖D，在數(shù)軸上方有4個方格（每一方格的邊長為1個單位），連接，，，得到一個正方形，點(diǎn)A落在數(shù)軸上，用圓規(guī)在點(diǎn)A左側(cè)的數(shù)軸上取一點(diǎn)E，使，若點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，則點(diǎn)E表示的數(shù)是．【答案】【分析】先求出正方形的面積，再由算術(shù)平方根的定義求出，由點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，可得E點(diǎn)表示的數(shù)．【詳解】解：∵正方形的面積，∴，∴點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，∵，∴E點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根的意義，結(jié)合數(shù)軸的特點(diǎn)求解是關(guān)鍵．3．（2023春·湖北恩施·七年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的小正方形邊長與數(shù)軸的單位長度都是1．(1)圖1中的陰影部分為正方形，它的面積是________；(2)請利用（1）的解答，在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)；并簡潔地說明理由．(3)如圖2，請你利用正方形網(wǎng)格，設(shè)計(jì)一個面積方案，在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)，并簡潔地說明理由．【答案】(1)10(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)割補(bǔ)法求出正方形的面積即可；（2）根據(jù)正方形的面積求出正方形的邊長為，然后在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)，然后再找出的中點(diǎn)即可；（3）先在網(wǎng)格中畫出面積為5的正方形，得出的長度，然后再在數(shù)軸上截取，即可得出答案．【詳解】（1）解：圖1中的陰影部分面積為：；故答案為：10．（2）解：∵圖1中的正方形面積為10，∴它的邊長為，在數(shù)軸取，則點(diǎn)表示的數(shù)分別為，，的中點(diǎn)表示的數(shù)為．（3）解：如圖，的陰影部分為正方形，面積為5；所以，其邊長為，在數(shù)軸上截?。〝?shù)軸的1個單位長度），則點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無理數(shù)，正方形網(wǎng)格中求面積，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)．題型06實(shí)數(shù)的大小比較1．（2023秋·廣東惠州·七年級階段練習(xí)）下列各數(shù)大小比較，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于兩個負(fù)數(shù)比較大小，則比較它們的絕對值，絕對值大的反而小，含有括號的先去括號，然后再比較大小，由此即可解決問題．【詳解】解：A、，，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，，故本選項(xiàng)符合題意；C、，，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，比較兩數(shù)的大小首先應(yīng)通過化簡去掉它們的絕對值符號和括號，如果比較的兩數(shù)為負(fù)數(shù)則先比較它們的絕對值大小，絕對值大的反而?。?．（2023春·四川成都·九年級?？茧A段練習(xí)）比較大小（選填“＞”、“＝”、“＜”）．【答案】【分析】先將比較和大小，轉(zhuǎn)換成比較和5的大小，然后再比較無理數(shù)大小即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴只需比較和5的大小即可，∵，，∴，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)大小比較，掌握無理數(shù)大小比較的方法是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）小紅想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為，他不知道能否裁得出來，正在發(fā)愁，這時(shí)小明同學(xué)見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片．”(1)長方形紙片的長和寬分別是多少厘米？(2)你是否同意小明同學(xué)的說法？說明理由．【答案】(1)長方形紙片的長是，寬是(2)不同意，理由見解析【分析】（1）設(shè)長方形紙片的長為，則寬為，根據(jù)長方形的面積為列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)，得出長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長，即可得出不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片．【詳解】（1）解：設(shè)長方形紙片的長為，則寬為，依題意得：，，，，，，答：長方形紙片的長是，寬是．（2）解：不同意小明同學(xué)的說法．理由：，，，長方形紙片的長大于，正方形紙片的邊長為．長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，應(yīng)用平方根解方程，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，求出長方形的長和寬．題型07無理數(shù)的估算1．（2023春·浙江嘉興·七年級校考開學(xué)考試）數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)應(yīng)在（

）A．與0之間 B．0與1之間 C．1與2之間 D．2與3之間【答案】B【分析】先根據(jù)無理數(shù)的估算方法估算出，繼而得到，由此可得．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，即，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，熟知無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級校聯(lián)考期中）規(guī)定用符號表示一個實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如：，，按此規(guī)定的值為．【答案】5【分析】先估算出，從而即可得到答案．【詳解】解：，，即，，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，估算出是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·黑龍江雞西·七年級期中）數(shù)學(xué)活動課上，張老師說：“是無理數(shù)，無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，同學(xué)們，你能把的小數(shù)部分全部寫出來嗎？”大家議論紛紛，晶晶同學(xué)說：“要把它的小數(shù)部分全部寫出來是非常難的，但我們可以用表示它的小數(shù)部分．”張老師說：“晶晶同學(xué)的說法是正確的，因?yàn)?，所以，所以的整?shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．”亮亮說：“既然如此，因?yàn)椋缘男?shù)部分就是了．”張老師說：“亮亮真的很聰明．”接著，張老師出示了一道練習(xí)題：“已知，其中x是一個整數(shù)，且，請你求出的值”．請同樣聰明的你給出正確答案．【答案】19【分析】根據(jù)，得出，求出，，代入求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，其中x是一個整數(shù)，且，∴為的整數(shù)部分，為小數(shù)部分，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出，．題型08無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算1．（2023春·重慶江北·九年級?？茧A段練習(xí)）估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．6和7之間 B．5和6之間 C．4和5之間 D．3和4之間【答案】B【分析】先估算出的范圍，再得到的范圍，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴估計(jì)的值應(yīng)在5和6之間，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·吉林·七年級統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，m在兩個相鄰整數(shù)之間，則這兩個相鄰整數(shù)的和為．【答案】13【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義由得出，確定這兩個相鄰整數(shù)即可得出答案．【詳解】即這兩個相鄰整數(shù)的和為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大?。豪盟阈g(shù)平方根對無理數(shù)的大小進(jìn)行估算．3．（2023春·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下面的文字，解答問題：我們知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請解答：(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______．(2)已知的小數(shù)部分是x，的小數(shù)部分是y，若，求m的值．【答案】(1)5；(2)或【分析】（1）估算出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間后即可求得答案；（2）估算出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間后再結(jié)合已知條件分別求得，的值，然后求得的值，再利用平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，的整數(shù)部分是5，小數(shù)部分是的，故答案為：5；；（2），，，，，，，，，則或，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查估算無理數(shù)的大小及平方根，（2）中估算出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間后再結(jié)合已知條件分別求得，的值是解題的關(guān)鍵．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023秋·陜西榆林·八年級?？茧A段練習(xí)）下面各數(shù)中是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：A、，是有理數(shù)，故不符合題意；B、是有理數(shù)，故不符合題意；C、是有理數(shù)，故不符合題意；D、是無理數(shù)，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如果，那么實(shí)數(shù)x的值是（

）．A． B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的意義求解即可．【詳解】解：∵，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值．掌握絕對值是指一個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）在6，，0，，，（每相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次增加1）這些數(shù)中，無理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：在6，，0，，，（每相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次增加1）這些數(shù)中，無理數(shù)有，（每相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次增加1），共2個．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，，（每兩個8之間依次多1個0）等形式．4．（2023春·安徽滁州·七年級校考期中）若一個正方形的面積是，則它的邊長最接近（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方形的面積公式和估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【詳解】解：∵正方形的面積是，∴它的邊長是．∵，∴，又，∴，即這個正方形的邊長最接近，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，運(yùn)用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023春·福建莆田·七年級校聯(lián)考期中）的相反數(shù)是.【答案】【分析】只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的定義作答即可.【詳解】解：的相反數(shù)是；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)和相反數(shù)的定義，明確相反數(shù)的概念是關(guān)鍵.6．（2023春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期中）寫出大于且小于的一個整數(shù)．【答案】（答案不唯一）【分析】，，據(jù)此即可求得答案．【詳解】根據(jù)，，可知大于且小于．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的比較，牢記平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·甘肅隴南·七年級?？茧A段練習(xí)）若的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．【答案】【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算方法即可求解．【詳解】解：∵，∴，即的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)的估算，掌握二次根式性質(zhì)的化簡是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·上海浦東新·七年級?？计谥校┤绻麑?shí)數(shù)b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于，那么．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)即可求解．【詳解】∵實(shí)數(shù)b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟知數(shù)軸的特點(diǎn)．9．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）將下列數(shù)的序號填入對應(yīng)的橫線上．①；；③0；④2022；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩；(1)負(fù)整數(shù)集合：{…}；(2)正分?jǐn)?shù)集合：{…}；(3)非正數(shù)集合：{…}；(4)有理數(shù)集合：{…}．【答案】(1)⑩(2)②⑤⑦⑧(3)①③⑥⑩(4)①②③④⑤⑦⑧⑩【分析】分別根據(jù)有理數(shù)的概念和分類進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】（1）解：負(fù)整數(shù)集合：{}，故答案為：⑩；（2）解：正分?jǐn)?shù)集合：；；；}，故答案為：②⑤⑦⑧；（3）解：非正數(shù)：{；0；；}，故答案為：①③⑥⑩；（4）解：有理數(shù)集合：{；；0；2022；；；；}，故答案為：①②③④⑤⑦⑧⑩．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的概念，熟練掌握實(shí)數(shù)的概念和分類，并能區(qū)分各種數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·廣西南寧·七年級校考期中）閱讀理解：∵，即．∴∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為．解決問題：已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分．（1）求的值；（2）求的平方根，提示：．（3）若c是立方根等于本身的數(shù)，且的倒數(shù)是2，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大，可得的值；（2）根據(jù)開平方運(yùn)算，可得平方根；（3）先根據(jù)題意求出，再代入的值即可求解．【詳解】解：，∴，∴，，；，的平方根是：．是立方根等于本身的數(shù)，且，∵d的倒數(shù)是2，由得，，．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，利用被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大得出是解題關(guān)鍵．B能力提升1（2023春·四川涼山·七年級?？茧A段練習(xí)）估算的值在（

）之間A．2與3 B．3與4 C．4與5 D．5與6【答案】D【分析】利用“夾逼法”解答．【詳解】解：∵，∴．∴，即的值在5與6之間．故選：D．【點(diǎn)睛】考查了估算無理數(shù)的大?。銦o理數(shù)大小要用逼近法．2．（2023秋·福建漳州·八年級?？茧A段練習(xí)）在，，，，，，，…（相鄰兩個3之間的個數(shù)逐次加1）中，無理數(shù)的個數(shù)有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，逐一判斷即可解答．【詳解】解：，屬于有理數(shù)，，，也屬于有理數(shù)，，，…（相鄰兩個3之間的個數(shù)逐次加1），屬于無理數(shù)，共有3個，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)，算術(shù)平方根，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，判斷實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖可知，，，A、，錯誤；B、，錯誤；C、，錯誤；D、，正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小關(guān)系．正確的識圖，掌握數(shù)軸上的數(shù)從左到右依次增大，是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·甘肅慶陽·七年級?？计谥校┫铝姓f法正確的個數(shù)是（

）①實(shí)數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)和零；②平方根和立方根都等于它本身的數(shù)為0和1；③不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)；④兩個無理數(shù)的和是無理數(shù)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①根據(jù)實(shí)數(shù)的分類，可得答案；②根據(jù)平方根、立方根，可得答案；③根據(jù)有理數(shù)的定義，可得答案；④根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案．【詳解】解：①實(shí)數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)，故①錯誤；②平方根和立方根都等于它本身的數(shù)為0，故②錯誤；③有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故③錯誤；④兩個無理數(shù)的和是可能是無理數(shù)、可能是有理數(shù)，故④錯誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的分類不能重復(fù)、不能遺漏，無理數(shù)的運(yùn)算可能是無理數(shù)、可能是有理數(shù)．5．（2023秋·四川成都·八年級?？奸_學(xué)考試）比較大小：.【答案】【分析】先化簡，進(jìn)而比較大小，即可求解．【詳解】解：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，得出是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，為兩個連續(xù)的整數(shù)，且，則．【答案】11【分析】利用夾逼法確定，可得，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，∴，∴，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算，掌握夾逼法求解的方法是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）實(shí)數(shù)0（填、或）；的相反數(shù)是，絕對值是．【答案】//【分析】估算的范圍即可判斷，再直接利用相反數(shù)、絕對值的性質(zhì)分別分析得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，的相反數(shù)是，絕對值是，故答案為：，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023春·湖北孝感·七年級校考期中）(1)在數(shù)軸上離原點(diǎn)距離是的點(diǎn)表示的數(shù)是；(2)若，則的值是；(3)的相反數(shù)是．【答案】或/或/【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，即可求解；（2）根據(jù)平方根的定義解方程，即可求解；（3）根據(jù)相反數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：（1）在數(shù)軸上離原點(diǎn)距離是的點(diǎn)表示的數(shù)是；故答案為：．（2）∴，解得：或，故答案為：或．（3）的相反數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，平方根的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·安徽六安·七年級校考階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：，，，，，（兩個3之間依次增加一個0）正數(shù)集合：{

}；負(fù)數(shù)集合：{

}；有理數(shù)集合：{

}；無理數(shù)集合：{

}．【答案】見詳解【分析】根據(jù)正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)以及無理數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：因?yàn)楸?大的數(shù)是正數(shù)，比0小的數(shù)是負(fù)數(shù)，所以正數(shù)集合：，，；所以負(fù)數(shù)集合：，，（兩個3之間依次增加一個0）；因?yàn)橛欣頂?shù)是指整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，且，所以有理數(shù)集合：，，，；因?yàn)闊o理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，所以無理數(shù)集合：，（兩個3之間依次增加一個0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)以及無理數(shù)的定義，正確掌握相關(guān)知識的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·四川涼山·七年級?？茧A段練習(xí)）我們知道，于是我們說：“的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分則為”．(1)的整數(shù)部分為_______，小數(shù)部分可以表示為______；(2)已知的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先估算出的取值范圍，再確定的整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）先估算出和的取值范圍，再確定a與b的值，最后代入代數(shù)式計(jì)算即可；【詳解】（1）解：，，的整數(shù)部分是1，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為，故答案為：2，；（2）解：，，的整數(shù)部分是1，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為，，的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為，．【點(diǎn)睛】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，熟知估算無理數(shù)大小要用逼近法是解答此題的關(guān)鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·江蘇無錫·七年級宜興市樹人中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．0是最小的自然數(shù)，最大的負(fù)數(shù)是B．有理數(shù)分為正有理數(shù)及負(fù)有理數(shù)C．所有的有理數(shù)和無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示D．兩個有理數(shù)的和一定大于每個加數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)、有理數(shù)的定義、實(shí)數(shù)與數(shù)軸、有理數(shù)的加法運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、0是最小的自然數(shù)，最大的負(fù)整數(shù)是，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、有理數(shù)分為正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、因?yàn)閷?shí)數(shù)與數(shù)軸是一一對應(yīng)的，所以所有的有理數(shù)和無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，則此項(xiàng)正確，符合題意；D、兩個有理數(shù)的和不一定大于每個加數(shù)，如，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)數(shù)、有理數(shù)的定義、實(shí)數(shù)與數(shù)軸、有理數(shù)的加法，熟記各定義和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）與最接近的整數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)平方運(yùn)算，先估算出的值，即可解答．【詳解】解：，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡后為（

）A．7 B． C． D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)圖示，可得，據(jù)此判斷出，的正負(fù)，再根據(jù)算術(shù)平方根的含義和求法，求出化簡后的結(jié)果即可．【詳解】解：根據(jù)圖示，可得，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的含義和求法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當(dāng)數(shù)軸正方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．4．（2023春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中）根據(jù)表中的信息判斷，下列語句正確的是（）n25616A．＝16B．C．只有3個正整數(shù)n滿足＜＜D．【答案】C【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及算術(shù)平方根的概念分析判斷．【詳解】解：由表格可得：，，故選項(xiàng)A不符合題意；由表格可得：，，故選項(xiàng)B不符合題意；由表格可得，，只有3個正整數(shù)滿足，分別是263；264；265，故選項(xiàng)C符合題意；由題意可得：，，故選項(xiàng)D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查求一個數(shù)的算術(shù)平方根和無理數(shù)的估算，理解算術(shù)平方根的概念是解題基礎(chǔ)．5．（2023春·福建福州·七年級福建師大附中?？计谀┐笥谛∮诘恼麛?shù)是