2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第2章 圓2.5 直線與圓的位置關(guān)系2.5.2 圓的切線第2課時(shí) 切線的性質(zhì)教案 （新版）湘教版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第2章圓2.5直線與圓的位置關(guān)系2.5.2圓的切線第2課時(shí)切線的性質(zhì)教案（新版）湘教版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第2章圓2.5節(jié)中直線與圓的位置關(guān)系2.5.2小節(jié)——圓的切線第2課時(shí)：切線的性質(zhì)。本節(jié)將深入探討圓的切線定義，切線與半徑的關(guān)系，以及圓的切線方程。教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)緊密聯(lián)系，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中掌握了圓的基本概念、圓的方程、直線與圓的交點(diǎn)以及圓的半徑、直徑等基礎(chǔ)知識(shí)。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生理解切線的幾何性質(zhì)，掌握切線與半徑的垂直關(guān)系，并學(xué)會(huì)推導(dǎo)出圓的切線方程，深化對(duì)圓的性質(zhì)的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的相關(guān)問題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在通過切線性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。學(xué)生將通過探索圓的切線性質(zhì)，發(fā)展空間想象力和幾何直覺，提高對(duì)幾何圖形的分析和解決問題的能力。在邏輯推理方面，學(xué)生將運(yùn)用已知的圓的性質(zhì)和幾何定理，合理解釋切線與半徑的垂直關(guān)系，并能夠邏輯清晰地推導(dǎo)出圓的切線方程，強(qiáng)化演繹推理和邏輯思維。此外，通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生將能把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，將切線性質(zhì)應(yīng)用于解決實(shí)際問題，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識(shí)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：圓的切線性質(zhì)的理解與應(yīng)用，圓的切線方程的推導(dǎo)。

難點(diǎn)：切線與半徑垂直關(guān)系的證明，切線方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

解決辦法：針對(duì)重點(diǎn)，通過直觀的幾何畫板演示和實(shí)際操作，幫助學(xué)生形象理解切線的性質(zhì)，結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化記憶。對(duì)于難點(diǎn)的突破，采用以下策略：

1.分步驟引導(dǎo)：先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓的半徑、直徑性質(zhì)，再過渡到切線與半徑的垂直關(guān)系，逐步推進(jìn)，降低理解難度。

2.小組合作：組織學(xué)生小組討論，共同探討切線垂直關(guān)系的證明方法，激發(fā)學(xué)生的合作探究意識(shí)。

3.實(shí)例講解：通過具體例題，展示切線方程的推導(dǎo)過程，并引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，提高解題能力。

4.變式訓(xùn)練：設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生在解決問題的過程中鞏固知識(shí)，提升應(yīng)用能力。教學(xué)資源1.軟件資源：幾何畫板軟件，數(shù)學(xué)公式編輯器。

2.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備，投影儀，學(xué)生用平板電腦。

3.課程平臺(tái)：學(xué)校網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，用于發(fā)布預(yù)習(xí)資料、課件、課后作業(yè)等。

4.信息化資源：電子教材，教學(xué)視頻，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)圖形演示。

5.教學(xué)手段：PPT課件，實(shí)物模型，小組合作學(xué)習(xí)，課堂提問，課后在線答疑。教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解圓的切線性質(zhì)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)切線性質(zhì)內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)。準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確保教學(xué)過程的順利進(jìn)行。設(shè)計(jì)課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)切線性質(zhì)的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

激發(fā)興趣：

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的直線與圓的位置關(guān)系，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系。提出問題，檢查學(xué)生對(duì)舊知的掌握情況，為學(xué)習(xí)新課打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計(jì)用時(shí)：25分鐘）

知識(shí)講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解圓的切線性質(zhì)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。突出切線與半徑的垂直關(guān)系，強(qiáng)調(diào)切線方程的推導(dǎo)，通過對(duì)比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動(dòng)探究：

設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞切線性質(zhì)問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

總結(jié)歸納：

在新課呈現(xiàn)結(jié)束后，對(duì)切線性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理和總結(jié)。強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)體系。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

設(shè)計(jì)隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對(duì)切線性質(zhì)知識(shí)的掌握情況。鼓勵(lì)學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決問題。

錯(cuò)題訂正：

針對(duì)學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，進(jìn)行及時(shí)訂正和講解。引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

知識(shí)拓展：

介紹與切線性質(zhì)相關(guān)的拓展知識(shí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

情感升華：

結(jié)合切線性質(zhì)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感。鼓勵(lì)學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得和體會(huì)，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計(jì)用時(shí)：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的切線性質(zhì)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)?？隙▽W(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時(shí)間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。知識(shí)點(diǎn)梳理1.圓的切線定義：圓的切線是與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，且該點(diǎn)為切點(diǎn)。

2.圓的切線性質(zhì)：

a.切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。

b.過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等。

3.圓的切線方程：

a.點(diǎn)斜式：已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，切線方程可以表示為y-y0=k(x-x0)。

b.一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C為常數(shù)，且A、B不同時(shí)為0。

4.圓的切線判定：

a.若直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線為圓的切線。

b.若直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則該直線不是圓的切線。

5.圓的切線與半徑的關(guān)系：

a.切線與半徑垂直。

b.過切點(diǎn)的半徑是切線的中垂線。

6.圓的切線在實(shí)際問題中的應(yīng)用：

a.求解與圓相關(guān)的位置關(guān)系問題。

b.求解與圓相關(guān)的長度、面積等問題。

7.圓的切線方程的推導(dǎo)：

a.利用點(diǎn)斜式求解切線方程。

b.利用一般式求解切線方程。

8.圓的切線在實(shí)際問題中的求解步驟：

a.確定切點(diǎn)和切線斜率。

b.根據(jù)切點(diǎn)和切線斜率，寫出切線方程。

c.利用切線方程解決實(shí)際問題。

9.圓的切線與其他幾何知識(shí)的聯(lián)系：

a.與圓的性質(zhì)的聯(lián)系：半徑、直徑、周長、面積等。

b.與直線的性質(zhì)的聯(lián)系：點(diǎn)斜式、一般式、斜率等。

c.與三角函數(shù)的聯(lián)系：在求解切線斜率時(shí)，可能涉及到三角函數(shù)的計(jì)算。

10.常見題型及解題方法：

a.求切線方程。

b.判斷直線是否為圓的切線。

c.求解與切線相關(guān)的長度、面積等問題。

d.利用切線性質(zhì)解決實(shí)際問題。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的圓的切線性質(zhì)和切線方程，完成以下練習(xí)題：

（1）已知圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=25，求過點(diǎn)P(4,-6)的圓C的切線方程。

（2）判斷以下直線是否為圓x2+y2=1的切線，并說明理由：

a.x+y-1=0

b.2x-3y+1=0

（3）已知圓O的半徑為r，直線l與圓O相切，切點(diǎn)為A，且OA垂直于直線l。求證：直線l的斜率為±√3。

2.結(jié)合圓的切線性質(zhì)，解決以下實(shí)際問題：

（1）一塊圓形的草坪，直徑為10米，現(xiàn)要修建一條寬2米的環(huán)形小路，求小路的面積。

（2）在一張坐標(biāo)紙上，有一個(gè)半徑為5的圓，其圓心坐標(biāo)為(3,2)?，F(xiàn)要畫一條通過點(diǎn)P(8,7)的切線，求切線的方程。

作業(yè)反饋：

1.批改作業(yè)時(shí)，注意以下事項(xiàng)：

（1）檢查學(xué)生對(duì)圓的切線性質(zhì)和切線方程的掌握情況。

（2）關(guān)注學(xué)生在解決問題時(shí)是否運(yùn)用了合適的解題方法。

（3）觀察學(xué)生的計(jì)算過程，找出可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤。

2.針對(duì)作業(yè)中存在的問題，給出以下反饋：

（1）若學(xué)生在切線方程的推導(dǎo)過程中出現(xiàn)問題，應(yīng)指導(dǎo)他們回顧教材中關(guān)于切線方程推導(dǎo)的步驟，加強(qiáng)訓(xùn)練。

（2）若學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)出現(xiàn)問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

（3）對(duì)于計(jì)算錯(cuò)誤，幫助學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，指導(dǎo)他們進(jìn)行針對(duì)性的練習(xí)。

3.改進(jìn)建議：

（1）鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中多與同學(xué)交流討論，共同解決問題，提高合作能力。

（2）建議學(xué)生多做類似的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)，提高解題能力。

（3）針對(duì)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，制定個(gè)性化的輔導(dǎo)計(jì)劃，幫助他們克服困難，提高學(xué)習(xí)效果。典型例題講解例題1：

已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，求過點(diǎn)P(4,-1)的圓C的切線方程。

解答：

由圓的切線性質(zhì)，切線與半徑垂直，設(shè)切點(diǎn)為A，則AP為半徑，斜率為k的直線l通過點(diǎn)P，則直線l的斜率為-1/k。

由點(diǎn)斜式可得直線l的方程為y+1=-1/k(x-4)。

將圓C的方程代入直線l的方程中，得到：

(x-1)2+(-1/k(x-4)+2)2=9。

解得k=2/3或k=-3/2。

因此，切線方程為y+1=-3/2(x-4)或y+1=2/3(x-4)，

整理得3x+2y-11=0或2x-3y-5=0。

例題2：

判斷直線2x+3y-1=0是否為圓x2+y2=4的切線。

解答：

圓的半徑為r=2，圓心到直線的距離d=|2*0+3*0-1|/√(22+32)=1/√13。

因?yàn)閐<r，所以直線2x+3y-1=0不是圓x2+y2=4的切線。

例題3：

已知圓O的半徑為3，直線l與圓O相切，切點(diǎn)為A，且OA垂直于直線l。求直線l的斜率。

解答：

由切線性質(zhì)知，直線l的斜率k滿足k2+1=0。

解得k=±√3。

因?yàn)镺A垂直于直線l，所以直線l的斜率為±√3。

例題4：

一塊圓形的草坪，直徑為10米，現(xiàn)要修建一條寬2米的環(huán)形小路，求小路的面積。

解答：

內(nèi)圓半徑r=直徑/2=10/2=5米。

外圓半徑R=r+小路寬度=5+2=7米。

小路面積S=π(R2-r2)=π(72-52)=π(49-25)=π(24)≈75.4平方米。

例題5：

在一張坐標(biāo)紙上，有一個(gè)半徑為5的圓，其圓心坐標(biāo)為(3,2)?，F(xiàn)要畫一條通過點(diǎn)P(8,7)的切線，求切線的方程。

解答：

設(shè)切線方程為y-7=k(x-8)。

圓心到切線的距離d=|k*3-2-7|/√(k2+1)=5。

解得k=12/5或k=-3/4。

因此，切線方程為y-7=12/5(x-8)或y-7=-3/4(x-8)，

整理得12x-5y-17=0或3x+4y-44=0。內(nèi)容邏輯關(guān)系①圓的切線定義：圓的切線是與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，且該點(diǎn)為切點(diǎn)。

②圓的切線性質(zhì)：

-切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。

-過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等。

③圓的切線方程：

-點(diǎn)斜式：已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，切線方程可以表示為y-y0=k(x-x0)。

-一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C為常數(shù)，且A、B不同時(shí)為0。

④圓的切線判定：

-若直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線為圓的切線。

-若直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則該直線不是圓的切線。

⑤圓的切線與半徑的關(guān)系：

-切線與半徑垂直。

-過切點(diǎn)的半徑是切線的中垂線。

⑥圓的切線在實(shí)際問題中的應(yīng)用：

-求解與圓相關(guān)的位置關(guān)系問題。

-求解與圓相關(guān)的長度、面積等問題。

⑦圓的切線方程的推導(dǎo)：

-利用點(diǎn)斜式求解切線方程。

-利用一般式求解切線方程。

⑧圓的切線在實(shí)際問題中的求解步驟：

-確定切點(diǎn)和切線斜率。

-根據(jù)切點(diǎn)和切線斜率，寫出切線方程。

-利用切線方程解決實(shí)際問題。

⑨圓的切線與其他幾何知識(shí)的聯(lián)系：

-與圓的性質(zhì)的聯(lián)系：半徑、直徑、周長、面積等。

-與直線的性質(zhì)的聯(lián)系：點(diǎn)斜式、一般式、斜率等。

-與三角函數(shù)的聯(lián)系：在求解切線斜率時(shí)，可能涉及到三角函數(shù)的計(jì)算。

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