人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊學案：5 2 1 基本初等函數(shù)的導數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1§5.2導數(shù)的運算5．2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)學習目標1.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求簡單函數(shù)的導數(shù)．導語同學們，前面我們學習了求簡單函數(shù)的導函數(shù)，回想我們一共學習了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)這四類基本初等函數(shù)，而對于大家所熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)并不是基本初等函數(shù)，而是冪函數(shù)的線性組合，那么對于這四類基本初等函數(shù)的導函數(shù)是否存在呢，今天讓我們一探究竟．一、基本初等函數(shù)的求導公式問題1回顧之前所學，你學過哪些基本初等函數(shù)？〖提示〗冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)．問題2如何求常函數(shù)f(x)＝c的導數(shù)？〖提示〗因為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\f(c－c,Δx)＝0，所以f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))0＝0，即(c)′＝0.我們通過同樣的方法容易得到幾個常見的冪函數(shù)的導數(shù)：f(x)＝x?f′(x)＝1＝1x1－1；f(x)＝x2?f′(x)＝2x＝2x2－1；f(x)＝x3?f′(x)＝3x2＝3x3－1；f(x)＝eq\f(1,x)＝x－1?f′(x)＝－x－2＝－x－1－1；f(x)＝eq\r(x)＝?f′(x)＝.通過觀察上面幾個式子，我們發(fā)現(xiàn)了這幾個冪函數(shù)的規(guī)律，即(xα)′＝αxα－1.知識梳理基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)注意點：對于根式f(x)＝eq\r(n,xm)，要先轉(zhuǎn)化為f(x)＝，所以f′(x)＝.例1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝lgx；(4)y＝eq\f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解(1)y′＝0.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln

eq\f(1,3)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln3.(3)y′＝eq\f(1,xln10).(4)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝，∴y′＝＝eq\f(3,2)eq\r(x).(5)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.反思感悟(1)若所求函數(shù)符合導數(shù)公式，則直接利用公式求導．(2)若給出的函數(shù)〖解析〗式不符合基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，則通過恒等變換對〖解析〗式進行化簡或變形后求導．(3)要特別注意“eq\f(1,x)與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導數(shù)區(qū)別．跟蹤訓練1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝2021；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.解(1)因為y＝2021，所以y′＝(2021)′＝0.(2)因為y＝eq\f(1,\r(3,x2))＝，所以y′＝.(3)因為y＝4x，所以y′＝4xln4.(4)因為y＝log3x，所以y′＝eq\f(1,xln3).二、導數(shù)公式的應用例2某城市近10年間房價年均上漲率為10%，房價p(單位：萬元)與時間t(單位：年)有如下函數(shù)關系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個年頭，房價上漲的速度大約是多少(精確到0.01萬元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)解由題意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)，所以在第5個年頭，該市房價上漲的速度大約是0.15萬元/年．反思感悟由導數(shù)的定義可知，導數(shù)是瞬時變化率，所以求某個量的變化速度，就是求相關函數(shù)在某點處的導數(shù)．跟蹤訓練2從時刻t＝0開始的t(s)內(nèi)，通過某導體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒時的電流強度(單位：安)．解由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒時的電流強度分別是－sin5安，－sin7安．三、利用導數(shù)研究曲線的切線方程例3已知曲線y＝lnx，點P(e,1)是曲線上一點，求曲線在點P處的切線方程．解∵y′＝eq\f(1,x)，∴k＝y(tǒng)′|x＝e＝eq\f(1,e)，∴切線方程為y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.延伸探究1．已知y＝kx＋1是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝.〖答案〗eq\f(1,e2)〖解析〗設切點坐標為(x0，y0)，由題意得＝eq\f(1,x0)＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝lnx0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝eq\f(1,e2).2．求曲線y＝lnx過點O(0,0)的切線方程．解∵O(0,0)不在曲線y＝lnx上．∴設切點為Q(x0，y0)，則切線的斜率k＝eq\f(1,x0).又切線的斜率k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(lnx0,x0)，∴eq\f(lnx0,x0)＝eq\f(1,x0)，即x0＝e，∴Q(e,1)，∴k＝eq\f(1,e)，∴切線方程為y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.反思感悟(1)利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況①若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù)；②若已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解．(2)求過點P與曲線相切的直線方程的三個步驟跟蹤訓練3(1)函數(shù)y＝x3在點(2,8)處的切線方程為()A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16〖答案〗A〖解析〗因為y′＝3x2，當x＝2時，y′＝12，故切線的斜率為12，切線方程為y＝12x－16.(2)已知曲線y＝lnx的一條切線方程為x－y＋c＝0，則c的值為．〖答案〗－1〖解析〗設切點為(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝eq\f(1,x).因為曲線y＝lnx在x＝x0處的切線方程為x－y＋c＝0，其斜率為1.所以＝eq\f(1,x0)＝1，即x0＝1，所以切點為(1,0)．所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.1．知識清單：(1)常用函數(shù)的導數(shù)．(2)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及應用．(3)利用導數(shù)研究曲線的切線方程．2．方法歸納：方程思想、待定系數(shù)法．3．常見誤區(qū)：不化簡成基本初等函數(shù)．1．(多選)下列選項正確的是()A．y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)B．y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C．y＝2x，則y′＝2xln2D．y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2)〖答案〗BCD〖解析〗對于A，y′＝0，故A錯；對于B，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故B正確；顯然C，D正確．2．一質(zhì)點的運動方程為s＝cost，則t＝1時質(zhì)點的瞬時速度為()A．2cos1B．－sin1C．sin1D．2sin1〖答案〗B〖解析〗s′＝－sint，當t＝1時，s′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝1＝－sin1))，所以當t＝1時質(zhì)點的瞬時速度為－sin1.3．已知f(x)＝eq\r(x)，則f′(8)等于()A．0B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),8)D．－1〖答案〗C〖解析〗f