人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：培優(yōu)課 求數(shù)列的通項

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1培優(yōu)課求數(shù)列的通項求數(shù)列的通項公式多以小題的形式出現(xiàn)，但也可作為解答題，主要考查利用累加法、累乘法、公式法等求數(shù)列的通項公式，利用通項公式求數(shù)列中的項、公差、公比等，試題較靈活.類型一利用an與Sn的關(guān)系求通項〖例1〗(1)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________.(2)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，且對任意n∈N*，均有an，Sn，aeq\o\al(2,n)成等差數(shù)列，則an＝________.〖答案〗(1)an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))(2)n〖解析〗(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))(2)∵an，Sn，aeq\o\al(2,n)成等差數(shù)列，∴2Sn＝an＋aeq\o\al(2,n).當(dāng)n＝1時，2S1＝2a1＝a1＋aeq\o\al(2,1).又a1>0，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋aeq\o\al(2,n)－an－1－aeq\o\al(2,n－1)，∴(aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1))－(an＋an－1)＝0.∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴an＝n(n∈N*).類型二利用遞推關(guān)系求通項〖例2〗(1)數(shù)列{an}滿足a1＝1，對任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項公式；(3)在數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項公式；(4)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，求數(shù)列{an}的通項公式.解(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式兩邊同時相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，n≥2.又a1＝1也適合上式，∴an＝eq\f(n（n＋1）,2)，n∈N*.(2)因為an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，所以an－1＝eq\f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq\f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq\f(1,2)a1.以上(n－1)個式子，累乘得an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n)(n≥2).又a1＝1符合上式，∴an＝eq\f(1,n).(3)因為an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝3，所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.(4)∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，a1＝1，∴an≠0，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，又a1＝1，則eq\f(1,a1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列.∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*).嘗試訓(xùn)練1.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通項公式.解因為a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，故an＝eq\f(2（1－2n－1）,1－2)＋2＝2n，當(dāng)n＝1時，a1也符合上式，所以an＝2n.2.在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，6anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*).(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式.(1)證明由6anan－1＋an－an－1＝0，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝6(n≥2)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以3為首項，6為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)可得eq\f(1,an)＝3＋(n－1)×6＝6n－3，所以an＝eq\f(1,6n－3)，n∈N*.3.已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.解由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以數(shù)列{an－3}是首項為a1－3＝－1，公比為2的等比數(shù)列，則an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.4.在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式an.解由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1，得當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝eq\f(n,2)an，兩式作差得nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1－eq\f(n,2)an，得(n＋1)