人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊教學(xué)設(shè)計(jì)1：6 2 3-6 2 4 第1課時(shí) 組合及組合數(shù)的定義教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2.3~6.2.4第1課時(shí)組合及組合數(shù)的定義教學(xué)目標(biāo)1.理解組合的定義，正確認(rèn)識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.會用組合知識解決一些簡單的組合問題．教學(xué)知識梳理知識點(diǎn)一組合及組合數(shù)的定義1．組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．2．組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．知識點(diǎn)二排列與組合的關(guān)系相同點(diǎn)兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素不同點(diǎn)排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系A(chǔ)eq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)教學(xué)案例探究點(diǎn)1組合概念的理解例1判斷下列各事件是排列問題還是組合問題：(1)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每兩隊(duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場次？(2)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽，這次比賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？(3)從10個(gè)人里選3個(gè)代表去開會，有多少種選法？(4)從10個(gè)人里選出3個(gè)不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？解：(1)是組合問題，因?yàn)槊績蓚€(gè)隊(duì)比賽一次并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別．(2)是排列問題，因?yàn)榧钻?duì)得冠軍、乙隊(duì)得亞軍與甲隊(duì)得亞軍、乙隊(duì)得冠軍是不一樣的，是有順序區(qū)別的．(3)是組合問題，因?yàn)?個(gè)代表之間沒有順序的區(qū)別．(4)是排列問題，因?yàn)?個(gè)人中，擔(dān)任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的．方法歸納判斷一個(gè)問題是否是組合問題的方法技巧區(qū)分排列與組合的關(guān)鍵是看結(jié)果是否與元素的順序有關(guān)，若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，而交換任意兩個(gè)元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān)．由此可知，定序問題屬于組合，即排列時(shí)，如果限定某些元素保持規(guī)定的順序，則定序的這n個(gè)元素屬于組合問題．跟蹤訓(xùn)練1.判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)設(shè)集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個(gè)元素的有多少個(gè)？(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？(3)3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？(4)把3本相同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得1本，有幾種分配方法？解：(1)因?yàn)楸締栴}與元素順序無關(guān)，故是組合問題．(2)因?yàn)榧渍镜揭艺镜能嚻迸c乙站到甲站的車票是不同的，故是排列問題，但票價(jià)與順序無關(guān)，甲站到乙站與乙站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問題．(3)因?yàn)榉止し椒ㄊ菑?種不同的工作中選出3種，按一定順序分給3個(gè)人去干，故是排列問題．(4)因?yàn)?本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的順序，故是組合問題.探究點(diǎn)2組合的個(gè)數(shù)問題例2一個(gè)口袋里裝有7個(gè)白球和1個(gè)紅球，從口袋中任取5個(gè)球．(1)共有多少種不同的取法？(2)其中恰有一個(gè)紅球，共有多少種不同的取法？(3)其中不含紅球，共有多少種不同的取法？解：(1)從口袋里的8個(gè)球中任取5個(gè)球，不同取法的種數(shù)是Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)從口袋里的8個(gè)球中任取5個(gè)球，其中恰有一個(gè)紅球，可以分兩步完成：第一步，從7個(gè)白球中任取4個(gè)白球，有Ceq\o\al(4,7)種取法；第二步，把1個(gè)紅球取出，有Ceq\o\al(1,1)種取法．故不同取法的種數(shù)是Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,1)＝Ceq\o\al(4,7)＝Ceq\o\al(3,7)＝35.(3)從口袋里任取5個(gè)球，其中不含紅球，只需從7個(gè)白球中任取5個(gè)白球即可，不同取法的種數(shù)是Ceq\o\al(5,7)＝Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1)＝21.跟蹤訓(xùn)練2.在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各1名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依下列條件各有多少種選派方法．(1)有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；(2)既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；(3)至少有1名主任參加；(4)既有主任，又有外科醫(yī)生．解：(1)先選內(nèi)科醫(yī)生有Ceq\o\al(3,6)種選法；再選外科醫(yī)生有Ceq\o\al(2,4)種選法．故有選派方法Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)．(2)既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生，正面思考應(yīng)包括四種情況，共有選派方法Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,6)·Ceq\o\al(1,4)＝246(種)．若用間接法，則有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)包含兩類情況：選1名主任有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,8)種；選2名主任有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,8)種．故共有選派方法Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,8)＝196(種)．若用間接法，則有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,8)＝196(種)．(4)外科主任成為“熱點(diǎn)”元素．若選外科主任，則其余可任意選取，有Ceq\o\al(4,9)種選取方法；若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余的四人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，有(Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5))種．故共有選派方法Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．探究點(diǎn)3簡單的組合問題例3現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？解：(1)從10名教師中選出2名去參加會議的選法數(shù)就是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45種．(2)從6名男教師中選2名，有Ceq\o\al(2,6)種選法，從4名女教師中選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有不同的選法Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝90種．方法歸納解簡單的組合應(yīng)用題時(shí)，要先判斷它是不是組合問題，取出元素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；取出元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問題．只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時(shí)，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其種數(shù)．在解題時(shí)還應(yīng)注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，注意有無重復(fù)或遺漏．跟蹤訓(xùn)練3.在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級培訓(xùn)．在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必需參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加．解：(1)從中任取5人是組合問題，共有Ceq\o\al(5,12)＝792種不同的選法．(2)甲、乙、丙三人必需參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，共有Ceq\o\al(2,9)＝36種不同的選法．(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126種不同的選法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3種選法；再從另外9人中選4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378種不同的選法．課堂小結(jié)1．知識清單：(1)組合與組合數(shù)的定義．(2)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系．(3)用列舉法寫組合．2．方法歸納：枚舉法．3．常見誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”．當(dāng)堂檢測1．下列四個(gè)問題屬于組合問題的是()A．從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席深圳世界大學(xué)生運(yùn)動會開幕式D．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長和學(xué)習(xí)委員〖解析〗A，B，D項(xiàng)均為排列問題，只有C項(xiàng)是組合問題．〖答案〗C2．若Aeq\o\al(3,n)＝12Ceq\o\al(2,n)，則n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．4〖解析〗Aeq\o\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×eq\f(1,2)n(n－1)．由n∈N＋，且n≥3，解得n＝8.〖答案〗A3．Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)的值為________.〖解析〗Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)＝Ceq\o\al(6,9)＝eq\f(9！,6！×3！)＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84.〖答案〗844．6個(gè)朋友聚會，每兩人握手1次，一共握手______次．〖解析〗每兩人握手1次，無順序之分，是組合問題，故一共握手Ceq\o\al(2,6)＝15次．〖答案〗155．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數(shù)列，求Ceq\o\al(12,n)的值．解：由已知得2Ceq