人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案：習(xí)題課 等差數(shù)列的性質(zhì)的綜合問(wèn)題

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE1習(xí)題課等差數(shù)列的性質(zhì)的綜合問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.2.掌握等差數(shù)列中項(xiàng)的設(shè)法．一、等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例1《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書(shū)中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則立夏的日影子長(zhǎng)為()A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺〖答案〗D〖解析〗設(shè)該等差數(shù)列為{an}，冬至、小寒、大寒、…芒種的日影子長(zhǎng)分別記為a1，a2，a3，…，a12，公差為d，由題意可得，a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，又a12＝4.5，所以d＝eq\f(a12－a4,12－4)＝－1.所以立夏的日影子長(zhǎng)為a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺)．反思感悟解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟及注意點(diǎn)(1)解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟：①審題，即仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題；③判型，即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；④求解，即求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解；⑤還原，即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中．(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1假設(shè)某市2020年新建住房400萬(wàn)平方米，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米．那么該市在________年新建住房的面積開(kāi)始大于820萬(wàn)平方米．〖答案〗2029〖解析〗設(shè)n年后該市新建住房的面積為an萬(wàn)平方米．由題意，得{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>eq\f(42,5).由于n∈N*，則n≥9.所以該市在2029年新建住房的面積開(kāi)始大于820萬(wàn)平方米．二、等差數(shù)列中項(xiàng)的設(shè)法例2(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)；(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．解(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－da＝6a＋d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－1，))所以這三個(gè)數(shù)為4,3,2.(2)設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4.反思感悟等差數(shù)列的設(shè)項(xiàng)方法和技巧(1)當(dāng)已知條件中出現(xiàn)與首項(xiàng)、公差有關(guān)的內(nèi)容時(shí)，可直接設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，利用已知條件建立方程(組)求出a1和d，即可確定此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)當(dāng)已知數(shù)列有3項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為a－d，a，a＋d，此時(shí)公差為d.若有5項(xiàng)、7項(xiàng)、…時(shí)，可同理設(shè)出．(3)當(dāng)已知數(shù)列有4項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此時(shí)公差為2d.若有6項(xiàng)、8項(xiàng)、…時(shí)，可同理設(shè)出．跟蹤訓(xùn)練2已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為eq\f(85,9)，求這5個(gè)數(shù)．解設(shè)第三個(gè)數(shù)為a，公差為d，則這5個(gè)數(shù)分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，,a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝\f(85,9)，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,d＝±\f(2,3).))當(dāng)d＝eq\f(2,3)時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，1，eq\f(5,3)，eq\f(7,3)；當(dāng)d＝－eq\f(2,3)時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是eq\f(7,3)，eq\f(5,3)，1，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3).綜上，這5個(gè)數(shù)分別是－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，1，eq\f(5,3)，eq\f(7,3)或eq\f(7,3)，eq\f(5,3)，1，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3).三、等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例3若關(guān)于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則數(shù)列的公差d＝________，m＋n的值為_(kāi)_______．〖答案〗eq\f(1,6)eq\f(31,72)〖解析〗設(shè)x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分別為x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0,1－4n>0)．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為x1，則根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的第4項(xiàng)為x2.由題意知x1＝eq\f(1,4)，∴x2＝eq\f(3,4)，數(shù)列的公差d＝eq\f(\f(3,4)－\f(1,4),4－1)＝eq\f(1,6)，∴數(shù)列的中間兩項(xiàng)分別為eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，eq\f(5,12)＋eq\f(1,6)＝eq\f(7,12).∴x1·x2＝m＝eq\f(3,16)，x3·x4＝n＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)＝eq\f(35,144).∴m＋n＝eq\f(3,16)＋eq\f(35,144)＝eq\f(31,72).反思感悟解決數(shù)列綜合問(wèn)題的方法策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項(xiàng)．(2)利用通項(xiàng)公式，得到一個(gè)以首項(xiàng)a1和公差d為未知數(shù)的方程或不等式．(3)利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決．跟蹤訓(xùn)練3已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9＝________.〖答案〗27〖解析〗方法一由性質(zhì)可知，數(shù)列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差數(shù)列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，則a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.方法二設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.1．知識(shí)清單：(1)等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．(2)等差數(shù)列中項(xiàng)的設(shè)法．(3)等差數(shù)列的綜合應(yīng)用．2．方法歸納：解方程組法．3．常見(jiàn)誤區(qū)：對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)不理解而致錯(cuò)．1．已知等差數(shù)列1，a1，a2,9，則a2－a1的值為()A．8B．－8C．±8D.eq\f(8,3)〖答案〗D〖解析〗根據(jù)等差數(shù)列1，a1，a2,9知，1和9是該數(shù)列的第一項(xiàng)和第四項(xiàng)，所以a2－a1＝eq\f(9－1,4－1)＝eq\f(8,3).2．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，則a5＋a8等于()A．12B．22C．24D．34〖答案〗B〖解析〗設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d＝eq\f(a3＋a6－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋a5)),2)＝eq\f(14－10,2)＝2，故a5＋a8＝a5＋a2＋6d＝10＋6×2＝22.3．由公差d≠0的等差數(shù)列a1，a2，…，an組成一個(gè)新的數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說(shuō)法正確的是()A．新數(shù)列不是等差數(shù)列B．新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C．新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列D．新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差為2d的等差數(shù)列．4．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等．問(wèn)各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙