人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊教學設計1：6 2 3-6 2 4 第2課時 組合數(shù)公式教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2.3~6.2.4第2課時組合數(shù)公式教學目標1.理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式.2.能運用組合數(shù)公式進行計算.3.會用組合數(shù)公式解決一些簡單的組合問題．教學知識梳理知識點一組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知識點二組合數(shù)的性質性質1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).教學案例題型一組合數(shù)公式〖例1〗(1)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝__________；(2)(Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(97,100))÷Aeq\o\al(3,101)＝__________.〖答案〗(1)329(2)eq\f(1,6)〖解析〗(1)原式＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)－1＝…＝Ceq\o\al(4,10)＋Ceq\o\al(3,10)－1＝Ceq\o\al(4,11)－1＝329.(2)原式＝Ceq\o\al(98,101)÷Aeq\o\al(3,101)＝Ceq\o\al(3,101)÷Aeq\o\al(3,101)＝eq\f(A\o\al(3,101),3！)÷Aeq\o\al(3,101)＝eq\f(1,6).〖變式1〗(1)計算Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)已知Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，求n；(3)化簡Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＋1.解：(1)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝5150.(2)由Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，知3n＋6＝4n－2或3n＋6＋(4n－2)＝18，解得n＝8或2.而3n＋6≤18且4n－2≤18，即n≤4且n∈N*，∴n＝2.(3)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＋1＝1＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,9)＝Ceq\o\al(4,9)＝eq\f(9×8×7×6,4×3×2×1)＝126.題型二有限制條件的組合問題〖例2〗有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內．(1)恰有1個空盒，有幾種放法？(2)恰有2個盒子不放球，有幾種放法？解：(1)先從4個小球中取2個放在一起，有Ceq\o\al(2,4)種不同的取法，再把取出的2個小球與另外2個小球看成三堆，并分別放入4個盒子中的3個盒子里，有Aeq\o\al(3,4)種放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144(種)不同的放法．(2)恰有2個盒子不放球，也就是把4個不同的小球只放入2個盒子中．有兩類放法：第一類，1個盒子放3個小球，1個盒子放1個小球，先把小球分組，有Ceq\o\al(3,4)種，再放到2個盒子中有Aeq\o\al(2,4)種放法，共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)種放法；第二類，2個盒子中各放2個小球有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種放法．故恰有2個盒子不放球的方法有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝84(種)．〖變式2〗課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選．解：(1)一名女生，四名男生，故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350(種)選法．(2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165(種)選法．(3)至少有一名隊長當選含有兩類：有一名隊長當選和兩名隊長都當選．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825(種)選法．或采用間接法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種)．(4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生，只有一名女生，沒有女生．故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(種)選法．題型三分組、分配問題〖例3〗判斷下列問題是組合問題，還是排列問題．(1)設集合A＝{a，b，c，d}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個？(2)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其結果有多少種不同的可能？(3)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其結果有多少種不同的可能？(4)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排3個客人入座，又有多少種方法？(5)把4本相同的數(shù)學書分給5個學生，每人至多得一本，有多少種分配方法？(6)4個人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？解：(1)組合問題，因為集合中取出元素具有“無序性”．(2)組合問題，由于加法運算滿足交換律，所以選出的兩個元素做加法時，與兩個元素的位置無關．(3)排列問題，兩個元素做除法時，誰作除數(shù)，誰作被除數(shù)不一樣，此時與位置有關．(4)第一問是組合問題，第二問是排列問題，“入座”問題同“排隊”，與順序有關．(5)組合問題，由于4本數(shù)學書是相同的，不同的分配方法取決于從5個學生中選擇哪4個人，這和順序無關．(6)排列問題，因為5種工作是不同的，一種分工方法就是從5種不同的工作中選出4種，按一定的順序分配給4個人，它與順序有關．〖變式3〗給出下列問題：(1)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生完成一件工作，有多少種不同的安排方法？(2)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？(4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？在上述問題中，哪些是組合問題，哪些是排列問題？解：(1)兩名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題；(2)兩名學生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題；(3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題；(4)冠亞軍是有順序的，是排列問題．易錯易誤典例組合在幾何中的應用〖例4〗正六邊形的頂點和中心共7個點，可組成________個三角形．〖答案〗32〖解析〗不共線的三個點可組成一個三角形，7個點中共線的是過中心的3條對角線，即共有3種情況，故組成三角形的個數(shù)為Ceq\o\al(3,7)－3＝32．〖變式4〗平面內有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線．以這些點為頂點，可構成多少個不同的三角形？解：法一：以從共線的4個點中取點的多少作為分類的標準．第一類：共線的4個點中有2個點為三角形的頂點，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,8)＝48個不同的三角形；第二類：共線的4個點中有1個點為三角形的頂點，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,8)＝112個不同的三角形；第三類：共線的4個點中沒有點為三角形的頂點，共有Ceq\o\al(3,8)＝56個不同的三角形．由分類加法計數(shù)原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216個．法二：(間接法)：從12個點中任意取3個點，有Ceq\o\al(3,12)＝220種取法，而在共線的4個點中任意取3個均不能構成三角形，即不能構成三角形的情況有Ceq\o\al(3,4)＝4種．故這12個點構成三角形的個數(shù)為Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,4)＝216個．課堂小結1．知識清單：(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)計算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)計算．(3)計算時應注意利用組合數(shù)的性質Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運算．(4)分組分配問題．2．方法歸納：分類討論、正難則反、方程思想．3．常見誤區(qū)：分組分配中是否為“平均分組”．當堂檢測1.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為.〖解析〗分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)；第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(種)．由分類加法計數(shù)原理知不同的取法有264＋208＝472(種)．〖答案〗4722.某縣醫(yī)院聯(lián)合專家去農(nóng)村義務會診，其中有5人只精通中醫(yī)，4人只精通西醫(yī)，還有2人既精通中醫(yī)又精通西醫(yī)，現(xiàn)從這11位專家中選4名中醫(yī)4名西醫(yī)，有多少種不同的選法？解：法一按選西醫(yī)的人數(shù)分三類：第一類，只精通西醫(yī)的4人都入選，則可從其余7人中任選4人作中醫(yī)，有Ceq\o\al(4,7)種；第二類，只精通西醫(yī)的4人選3人，則從均精通的兩位專家中選1人作西醫(yī)，余下6人選4人作中醫(yī)，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,6)種；第三類，只精通西醫(yī)的4人選2人，則均精通的兩位專家作西醫(yī)，余下5人選4人作中醫(yī)，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,5).故由分類加法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,5)＝185種選法．法二按均精通的專家分類：第一類，兩人均不參加，有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)種；第二類，兩人有一人參加，有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5))種；第三類，兩人均參加，有(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4))×2＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)種．由分類加法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋〖Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5))〗＋〖(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4))×2＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)〗＝185種選法．3.設集合A＝{1,2,3，…，10}．(1)設A的3個元素的子集的個數(shù)為n，求n的值；(2)設A的3個元素的子集中，3個元素的和分別為a1，a2，…，an，求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．解：(1)A的3元素子集的個數(shù)為n＝Ceq\o\al(3,10)＝120.(2)在A的3元素子集中，含數(shù)k(1≤k≤10)的集合個數(shù)有Ceq\o\al(2,9)個，因此a1＋a2＋…＋an＝Ceq\o\al(2,9)×(1＋2＋3＋…＋10)＝1980.4.在∠MON的邊OM上有5個異于O點的點，邊ON上有4個異于O點的點，以這10個點(含O點)為頂點，可以得到多少個三角形？解：法一(直接法)分幾種情況考慮：O為頂點的三角形中，必須另外兩個頂點分別在OM、ON上，所以有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)個，O不為頂點的三角形中，兩個頂點在OM上，一個頂點在ON上，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)個，一個頂點在OM上，兩個頂點在ON，上有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\