2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體測(cè)評(píng)作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE第一章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體,可以使截面是長(zhǎng)方形,也可以使截面是圓,則這個(gè)幾何體可以是()A.棱柱 B.棱臺(tái) C.圓柱 D.球答案C2.如圖,是一個(gè)物體的三視圖,則此物體的直觀圖是()解析由三視圖知幾何體為圓錐與圓柱的組合體如圖.故選D.答案D3.如圖,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直觀圖,A'O'=6,B'O'=2,則△OAB的面積是()A.6 B.32 C.62 D.12解析△OAB是直角三角形,其兩條直角邊分別是4和6,則其面積是12.答案D4.若圓錐的高擴(kuò)大到原來的2倍,底面半徑縮短到原來的12,則圓錐的體積(A.縮小為原來的12B.擴(kuò)大為原來的2倍C.不變 D.縮小為原來的1解析設(shè)原圓錐的高為h,半徑為r,體積為V,則V=13πr2h;改變后圓錐的體積為V'=13π12r2·2h=1答案A5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.18 B.24 C.32 D.36解析由三視圖可知,幾何體是三棱柱削去一個(gè)同底的三棱錐,如圖,三棱柱的高為5,削去的三棱錐的高為3,三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長(zhǎng)分別為3和4的直角三角形,所以幾何體的體積為12×3×4×5-13×12×3×4×3=30答案B6.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2,高為1,則該圓臺(tái)的全面積為()A.32π B.(5+32)πC.5+323π D.解析由題意被截去圓錐的高為1,母線長(zhǎng)為2,圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2,∴圓臺(tái)的全面積為π(12+22+1×2+2×2)=(5+32)π.故選B.答案B7.(2024·全國1,文9)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為()A.217 B.25 C.3 D.2解析如圖所示,易知N為CD的中點(diǎn),將圓柱的側(cè)面沿母線MC剪開,展平為矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,從M到N的路程中最短路徑為MN在Rt△MCN中,MN=MC2+N答案B8.某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為()A.23 B.1 C.43 D解析該幾何體為三棱錐,其直觀圖如圖所示,體積V=13×12×2×2×2=43答案C9.如圖是一幾何體的三視圖,正視圖是一等腰直角三角形,且斜邊BD長(zhǎng)為2;側(cè)視圖為始終角三角形;俯視圖為始終角梯形,且AB=BC=1,則此幾何體的體積是()A.12 B.2C.22 D.解析由三視圖可知該幾何體為四棱錐與三棱錐的組合體,其直觀圖如圖.依據(jù)正視圖是一等腰直角三角形,且斜邊BD長(zhǎng)為2,∴棱錐的高為1.又底面直角梯形的底邊長(zhǎng)分別為1,2,高為1,∴底面面積為1+22×1=32,∴幾何體的體積V=13×32×1答案A10.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB=AC=13,BB1=BC=6,E,F為側(cè)棱AA1上的兩點(diǎn),且EF=3,則多面體BB1C1CEF的體積為()A.30 B.18C.15 D.12解析VBB=S△ABC×6-13S△ABC·A1F-13S△ABC=S△ABC·6-13(A1∵AC=AB=13,BC=6,∴S△ABC=12×6×(13)∴VBB1C1CEF=答案A11.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,則該球的表面積為()A.443π B.4849C.814π D.16解析如圖,設(shè)PE為正四棱錐P-ABCD的高,則正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直線上,延長(zhǎng)PE交球面于一點(diǎn)F,連接AE,AF.由球的性質(zhì)可知△PAF為直角三角形且AE⊥PF,又底面邊長(zhǎng)為4,∴AE=22,PE=6,∴側(cè)棱長(zhǎng)PA=PE2+A設(shè)球的半徑為R,則PF=2R.由三角形相像得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=113∴S=4πR2=4π1132=484答案B12.一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如下圖所示,則該幾何體的體積為()A.13+B.13C.13+D.1+26解析由三視圖可知,四棱錐為底面邊長(zhǎng)為1的正方形,高為1.其體積V1=13×12×1=1設(shè)球的半徑為R,因?yàn)樗睦忮F的底面是半球底面的內(nèi)接正方形,故2R=2,即R=22所以半球的體積為V2=12×4π3故該幾何體的體積為V=V1+V2=13+2π答案C二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.將一個(gè)正方形圍著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的體積為27πcm3,則該幾何體的側(cè)面積為cm2.

解析將一個(gè)正方形圍著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體是圓柱體,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為acm,則圓柱體的體積為V=πa2·a=27π,解得a=3cm,∴該圓柱的側(cè)面積為S=2π×3×3=18π(cm2).答案18π14.如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1∶V2=.

解析因?yàn)镈,E分別是AB,AC的中點(diǎn),所以S△ADE∶S△ABC=1∶4.又F是AA1的中點(diǎn),所以A1究竟面的距離H為F究竟面距離h的2倍,即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱錐F-ADE高的2倍,所以V1∶V2=13S△ADE·答案1∶2415.直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有點(diǎn)P(-2,-1),Q(0,-2),將△POQ繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的體積為.

解析將△POQ繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,得到一個(gè)下底面半徑為2,上底面半徑為1,高為2的圓臺(tái),挖去一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐形成的組合體,所以得到的幾何體的體積為13π×(1+4+2)×2-13π×1×2=4答案4π16.如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別是A'A,C'C的中點(diǎn),則下列推斷正確的是.(填序號(hào))

①四邊形BFD'E在底面ABCD內(nèi)的投影是正方形;②四邊形BFD'E在平面A'D'DA內(nèi)的投影是菱形;③四邊形BFD'E在平面A'D'DA內(nèi)的投影與在面ABB'A'內(nèi)的投影是全等的平行四邊形.解析①四邊形BFD'E的四個(gè)頂點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)的投影分別是點(diǎn)B,C,D,A,故投影是正方形;②設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,由AE=1,取D'D的中點(diǎn)G,則四邊形BFD'E在平面A'D'DA內(nèi)的投影是四邊形AGD'E,因?yàn)锳E∥D'G,且AE=D'G,所以四邊形AGD'E是平行四邊形,但AE=1,D'E=5,故四邊形AGD'E不是菱形;對(duì)于③,由②知是兩個(gè)邊長(zhǎng)分別相等的平行四邊形,從而③正確.答案①③三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖.(1)試推斷該幾何體是什么幾何體;(2)畫出其側(cè)視圖,并求該平面圖形的面積;(3)求出該幾何體的體積.解(1)由該幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體是一個(gè)正六棱錐.(2)該幾何體的側(cè)視圖如圖,其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的長(zhǎng)是俯視圖正六邊形對(duì)邊的距離,即BC=3a,AD是正六棱錐的高,即AD=3a,所以該平面圖形的面積為S=12·3a·3(3)設(shè)這個(gè)正六棱錐的底面積是S,體積為V,則S=6×34a2=332所以V=13×332a218.(本小題滿分12分)如圖所示(單位:cm),四邊形ABCD是直角梯形,求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積.解由題意,知所成幾何體的表面積等于圓臺(tái)下底面積、圓臺(tái)的側(cè)面積與半球面面積的和.又S半球面=12×4π×22=8π(cm2S圓臺(tái)側(cè)=π(2+5)(5-2)2+S圓臺(tái)下底=π×52=25π(cm2),所以所成幾何體的表面積為8π+35π+25π=68π(cm2).又V圓臺(tái)=π3×(22+2×5+52)×4=52π(cm3V半球=12×4π3×23=所以所成幾何體的體積為V圓臺(tái)-V半球=52π-16π3=14019.(本小題滿分12分)如圖所示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為5+2的正方形,剪去陰影部分得到圓錐的側(cè)面和底面綻開圖,求該圓錐的體積.解設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,高為h,則依題意有14·2πl(wèi)=2πr,∴l(xiāng)=4r∵AC=OC+OA=2r+r+l=(2+5)r,且AC=2×(2+5),∴(2+5)r=(2+5)×2,∴r=2.∴l(xiāng)=42,∴h=l2∴V圓錐=13πr2h=13π(2)2×故該圓錐的體積為23020.(本小題滿分12分)如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為a,連接A'C',A'D,A'B,BD,BC',C'D,得到一個(gè)三棱錐.求:(1)三棱錐A'-BC'D的表面積與正方體表面積的比值;(2)三棱錐A'-BC'D的體積.解(1)∵ABCD-A'B'C'D'是正方體,∴六個(gè)面都是正方形.∴A'C'=A'B=A'D=BC'=BD=C'D=2a,∴S三棱錐=4×34×(2a)2=23a2,S正方體=6a2∴S三棱錐(2)明顯,三棱錐A'-ABD,C'-BCD,D-A'D'C',B-A'B'C'是完全一樣的,∴V三棱錐A'-BC'D=V正方體-4VA'-ABD=a3-4×13×a221.(本小題滿分12分)據(jù)說宏大的阿基米德死了以后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑.在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案,圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)在圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.試計(jì)算出圖形中圓錐、球、圓柱的體積比.解設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則V圓柱=πr2h,圓錐的底面半徑為r,高為h,則V圓錐=13πr2h球的半徑為r,所以V球=43πr3.又h=2r所以V圓錐∶V球∶V圓柱=13πr2h∶43πr3∶(πr2h)=23πr3∶43πr3∶(2πr3)=1∶2∶3.22.(本小題滿分12分)養(yǎng)路處建立圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供溶化高速馬路上的積雪之用),已建的倉庫的底面直徑為12m,高為4m.養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫,以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案:一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變);二是高度增加4m(底面直徑不變).(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積;(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積;(3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些?解(1)若按方案一,倉庫的底面直徑變成16