熱點(diǎn)09解析幾何-2020年高考數(shù)學(xué)（理）【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】（解析版）

熱點(diǎn)09解析幾何

【命題趨勢(shì)】

解析兒何一直是高考數(shù)學(xué)中的計(jì)算量代名詞，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.

即兩道選擇，一道填空，一道解答題.高考中選擇部分，一道圓錐曲線相關(guān)的簡單概念以及

簡單性質(zhì)，另外一道是圓錐曲線的性質(zhì)會(huì)與直線、圓等結(jié)合考查一道綜合題目，一般難度談

中等.填空題目也是綜合題目，難度中等.大題部分一般是以橢圓拋物線性質(zhì)為主，加之直線

與圓的相關(guān)性子相結(jié)合，常見題型為定值、定點(diǎn)、對(duì)應(yīng)變量的取值范圍問題、面積問題等.

雙曲線一般不出現(xiàn)在解答題中，一般出現(xiàn)在小題中.即復(fù)習(xí)解答題時(shí)也應(yīng)是以橢圓、拋物線

為主.本專題主要通過對(duì)高考中解析幾何的知識(shí)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)，整理了高考中常見的解析幾何的

題型進(jìn)行詳細(xì)的分析與總結(jié)，通過本專題的學(xué)習(xí)，能夠掌握高考中解析幾何出題的脈略，從

而能夠?qū)τ诟呖贾羞@一重難點(diǎn)有一個(gè)比較詳細(xì)的認(rèn)知，對(duì)于解析幾何的題目的做法能夠有一

定的理解與應(yīng)用.

【滿分技巧】

定值問題：采用逆推方法，先計(jì)算出結(jié)果.即一般會(huì)求直線過定點(diǎn)，或者是其他曲線過定

點(diǎn).對(duì)于此類題目一般采用特殊點(diǎn)求出兩組直線，或者是曲線然后求出兩組直線或者是曲線

的交點(diǎn)即是所要求的的定點(diǎn).算出結(jié)果以后，再去寫出一般情況下的步驟.

定值問題：一般也是采用利用結(jié)果寫過程的形式.先求結(jié)果一般會(huì)也是采用滿足條件的特

殊點(diǎn)進(jìn)行帶入求值（最好是原點(diǎn)或是（1.0）此類的點(diǎn)）.所得答案即是要求的定值.然后再利

用答案，寫出一般情況下的過程即可.注：過程中比較復(fù)雜的解答過程可以不求，因?yàn)橐呀?jīng)

知道答案，直接往答案上湊即可.

求解橢圓或雙曲線的離心率的解題策略：

1、定義法：通過己知條件列出方程組，求得名。得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方

程求解；

3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

關(guān)于取值范圍問題：一般也是采用利用結(jié)果寫過程的形式.對(duì)于答案的求解，一般利用邊界

點(diǎn)進(jìn)行求解，答案即是在邊界點(diǎn)范圍內(nèi).知道答案以后再寫出一般情況下的步驟比較好寫.一

般情況下的步驟對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算可以不算.

【考查題型】選擇，填空，解答題

【限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：55分鐘）

22

1.（2020.上海嘉定區(qū).高三一模）過雙曲線C：5=1的右頂點(diǎn)作X軸的垂線與。的

a~b1

一條漸近線相交于點(diǎn)A，若以C的右焦點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓經(jīng)過A、。兩點(diǎn)（。為坐

標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的方程為（）

A.--/=1

3

27

CX2y2D.三-工=1

kx.-----------------1

2226

【答案】B

【分析】連接AE，F(xiàn)O=2,故c=2,不妨設(shè)漸近線方程為y則4（。力）.

故2?=〃+（2-a））,解得a=l2=百，故雙曲線方程為V—三=1

2.（2020.重慶九龍坡區(qū).渝西中學(xué)高三月考（理））已知點(diǎn)4,A2分別為雙曲線C：

5―斗=1（心0,40）的左、右頂點(diǎn)，直線尸行交雙曲線于M,N兩點(diǎn)，若降,?《火

??七4=4,則雙曲線C的離心率為（）

Aa

B.2C.6D.71+^2

2

【答案】C

2

%。b

【分析】設(shè)M（xo,yo）,則勺0y

%+a

h4

同理可得上

,NA/，所以k^k^?氏附］?&N&4,

2MAMAZ

即與=2,所以雙曲線C的離心率為Jl+瑪=5

故選：C

3.（2020?鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高三月考（理））設(shè)直線y=x+2a與雙曲線

22

C:5-4=1（。＞0力＞0）交于4,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線Q4與OB的斜率之積為

Ub~

3

則雙曲線C的離心率為（)

2

A.73B.2C.76D.V5

【答案】D

y=x+2。

【分析】聯(lián)立〈22_,得(/—/)2Z3X42=0,

%yX-46-4?-ab-

/一”--1

設(shè)人（石,凹）,8（/，%），

4/4/+/〃2

則多+巧=官不，王馬=一下二/

(內(nèi)+2〃)(工2+2。)

X|x2x1x2

22

I2a(%1+%2)+4a-3b3

22

王元24a+b2

1+*逐

所以"2=4/，e

故選：D

4.（2020?浙江高三月考）設(shè)《，工分別是橢圓G和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是的一個(gè)

公共點(diǎn)，且|尸￡|＜|尸鳥|，線段PK的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)尸2，若G和G的離心率分別為6,

11

e,則一+一的值為（）

2G%

35

A.2B.3C.-D.一

22

【答案】A

【分析】設(shè)雙曲線的方程為，￡=力＞0），焦點(diǎn)6（G。），

因?yàn)榫€段尸耳的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F2,可得已用=閨周=2c,

又由|尸周＜|尸鳥|，根據(jù)雙曲線的定義可得|尸閭—?dú)w用=2c-|P4卜加，

所以|尸制=2。-2a,

設(shè)橢圓的長軸長為24,

根據(jù)橢圓的定義,可得|尸閭+|尸制=2c+2c_2a=2",解得a'=2c—a,

11a'a2c-aa

所以一+—=—+-=-----+-=2

43

故選：A.

5.（2020?全國高三專題練習(xí)（理））一條光線從點(diǎn)（-2,-3）射出，經(jīng)＞軸反射后與圓

（x+3）?+（y-2『=1相切，則反射光線所在直線的斜率為（)

3一25T44-3

A.或--B.----或---，或下D.----或---

352334

【答案】D

【分析】根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)（-2,-3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)

（2,-3）,

設(shè)反射光線所在直線的斜率為后，

則反射光線所在直線方程為y+3=Z（x-2）,即丘-y-2左一3=0,

-3k-2-2k-3\

又由反射光線與圓（x+3p+（y—2）2=1相切，可得=1,

VF+1

43

整理得12^+25左+12=0，解得攵=一一或女=一一.

34

故選：D.

6.（202。全國高三月考）設(shè)雙曲線無2-21=1的左、右焦點(diǎn)分別為A、工，過士的直線

3

與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與雙曲線的漸近線在第一象限交于點(diǎn)8,若則

AB6的周長為（）

A.4百+2B.473-2C.4+26D.4-273

【答案】C

【分析】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：

因?yàn)殡p曲線方程為21=1,所以。=1,。=百，c=2,

3

因?yàn)?。是線段與心中點(diǎn)，所以|。河=；恒用=c=2,

因?yàn)殡p曲線V-冷=1的漸近線方程為y=瓜,

所以tan?BOB6^BOF2=60,8。鳥是等邊三角形，BF2=2,

則％2=《工2_5^2=42_22=12,BF1=2瓜

因?yàn)锳g-=2Q=2,所以Ag=2+A[,

故A8K的周長為：

AB+BF2+AF2=AB+BF2+2+AFi=2+BFl+BF2=273+4,

故選：C.

22

7.（2020?全國高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)尸為雙曲線二一二=1（〃>0,。>0）右支上一點(diǎn)，

點(diǎn)6，鳥分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)/是△PKK的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒

有s△呼-s△眸=*s△獷心，則雙曲線的漸近線方程是（）

歷

A.y=±xB.y=±----x

2

C.y=±y/3xD.y=±^-x

【答案】D

【分析】SwSw與S"且/是鳥的內(nèi)心，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，

則;閥卜一防研r=^^xgx2cxr，

?周一|尸鳥|=&,即2a=辰,

b1c2-a21b垂）

/.r=；—=—，即——二—，

/礦3a3

漸近線方程是y=±*x.

故選：D.

22

8.（2020.全國高三專題練習(xí)（理））“，"是雙曲線C：1—二=l（a>仇6>0）的左、

a~b~

右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)6的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，若

\AB\:\BF2\:\AF2\^3:4:5,其中是雙曲線的漸近線方程是（）

A.y—+>/3xB.y=±2x/§xC.y=±3-73-^D.y-±4>/3x

【答案】B

【分析】因?yàn)閨陰:忸9|:|M|=3:4:5,所以設(shè)|A耳=34,所以忸闖=44利|=5左,

所以|A8「+忸行「=|A用2,所以435為直角三角形，

又因?yàn)?忸周=勿,|你|一恒用=為，

所以|A片+|筋|-怛段=|明|-|秋|,所以|必|=3人，

所以2a=2-所以人=a,所以忸制=6a,忸圖=4a,

又因?yàn)殁钌?忸居「=山周2,所以4c,2=52",所以/=13/且。2=/+/,

所以從=12/,所以2=2百，所以漸近線方程為y=±2限，

a

故選：B.

9.(2020?杭州高級(jí)中學(xué)錢塘學(xué)校高三月考)已知雙曲線￡；:[—4=l(a>0/>0),點(diǎn)

a'b~

尸為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為。，且滿足

\PF\=3\FQ\,若|OP|=b,則E的離心率為.

【答案】73

【分析】

令尸（與，>0），/，%>0則Q（一/，一%）且與一4=1①，

cTb

由題意知：￡的左準(zhǔn)線為％=-幺，結(jié)合雙曲線第二定義知：|PF|=e（x0+幺），

2

\FQ\=e(x-—)，又IP用=3WQ|,

0C

22Q2

.?./+幺=3(%—幺)，解得不=4②,

CCC

22

,：\OP\=b^]:x0+=b,

4〃44〃2

.?.聯(lián)立①，②得：土+/(j-1)=〃，整理得3"=C2,

CC"

e=V5-

故答案為：G

10.（2020.四川省綿陽南山中學(xué)高三月考（理））已知橢圓C：工+y2=l的左、右頂點(diǎn)

4

分別為A，B,點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，過。作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)〃，N,

過。作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.則BDE與3DN的面積之比為.

【答案】4:5

【分析】由題意得A(-2,0),8(2,0),設(shè)。(%0),N(x0,-y0),

,x0+2

由于所以&E=一」—，

%

所以直線。E的方程是y—（xX。）①，

%

直線BN的方程是y=,°（X2）②，

%-2

由①②得:（X2）="（x%）,即？?！?/p>

%-2為V-4x—2

而受1+%2=],所以二1=二二殳，解得工=2±%，

代入①得E的

4°4x-25

4

縱坐標(biāo)為%=一二%，

4

一￡為4

所以2，3=絲v=_1_=3.

SBDN-%5

4

故答案為：二.

■y

22

11.（2020.湖南高三開學(xué)考試）設(shè)雙曲線C：4—占=1（a>0力>0）的中心為0,上

a2b2

下焦點(diǎn)分別為6,F2,過耳作以實(shí)軸為直徑的圓的切線,切點(diǎn)為T，與。的一條漸近線交

于x軸下方的點(diǎn)P.若用「〃。丁，則。的離心率為______

【答案】2

【分析】如圖，易知。丁，/7/,內(nèi)刀=42—Y”，

FJ//OTnF『工FF,

可知|OP|=g|EK|=c,且Rf￡P(guān)g中，斜邊上的高為2ab

>

C

設(shè)產(chǎn)（如為）,即闖=+

由漸近線的斜率為|4=@目]。尸|=。，，

b

由點(diǎn)P在漸近線上，貝=

h

所以|。葉=玉）2+%2=1+￡_/2=02,即,/2=,2,所以闖=Z?

52abc

故----b=>e---2.

ca

「―與=1（4>0,4>o）有相同的焦點(diǎn)片，K,點(diǎn)P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，

4by

2F\PF]吟,橢圓的離心率為4,雙曲線的離心率為02,=2,則e：+e；=.

【答案】8

【分析】不妨設(shè)P在第一象限，

再設(shè)PP|=S,PFi=t,由橢圓的定義可得s+/=2m

由雙曲線的定義可得s-r=2m,

解得s=a+m,t=a-ci\,

,7C

由NFiPFi——,

2

在三角形FiPFi中，利用勾股定理可得4c2=1+/=（。+4f+5一4y=2a2+2^\

22

116+%-.

化|HJ—7Hy=2―2~=2，又由eiC2=2,

e{e2?

所以q2+622=26；022=8.

故答案為：8.

22

13.（2020?浙江高三月考）已知橢圓C：「+±=1（4＞力＞0）的長軸長為4,焦距為2G.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（H）設(shè)直線/：丫=履+加與橢圓。交于P,Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，且OP-OQ=0,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)X,使得|胡|mnuuin

=AOPOQ恒成立？若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)X,

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）反+尸=1；（H）存在，4=好.

4-2

【分析】：（I）由題意可知a=2,c=G，

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

（II）因?yàn)?。?。。二。，所以△OPQ為直角二角形，設(shè)原點(diǎn)到直線/的距離為d,

Iuumiuun＜uuw

由““廣啜也公啜團(tuán).。。

uunuiUi?uum

要求實(shí)數(shù)4,使得產(chǎn)。=40尸,0。恒成無，即；1=：.

?1a

x2

+A2=1,

設(shè)點(diǎn)尸（演,yj,Q（x2,y2）,聯(lián)立方程，4

y=kx+m,

(1+4公卜2+s/awc+4nr-4=0,

一8km

%!+x

21+4公

4m2-4

=

\+4k2

A=(Skm)2—4(1+4攵2)(4加2—4)>0=>//<1+4Z:2,所以有

4/〃%2一422-8%2加2+加2+4%2M_-4攵2+/〃2

X?>2=k~xx+km(x\+%)+m~

}21+4&2_1+43

W-4-4k2+m25〃，一4一442

,/OPOQ=0,??x,x+y.y=-------+------；—=---------；——

「2''221+4左21+4公1+秘2

I刑,,2加4.1

???5機(jī)2=4+442,d/c，??a=-----=—，??Z=一旦

2

1+公i+k5d2

14.（2020?山東濟(jì)南市?高三開學(xué)考試）已知橢圓C：5+，=1（4＞匕＞0）的離心率為乎,

點(diǎn)p（半，￥）在。上.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/7（0,--）,試判斷在橢圓C上是否存在三個(gè)不同點(diǎn)Q,M,N（其中

2

M,N的縱坐標(biāo)不相等），滿足。朋+?？?；。。，且直線切0與直線四傾斜角互補(bǔ)？

若存在，求出直線MN的方程，若不存在，說明理由.

【答案】（1）—+y2=1：（2）存在，方程為y=3近%—2或）,=—2.

422

222

【分析】解：（1）由題意知可得￡=@，a-b=c^3+與=1，解得。=2,b=l

a23a-3b-

2

則橢圓。的方程為工+y2=1；

4-

（2）由題意，直線MN的斜率存在且不為0,設(shè)直線方程為丫="+根，

設(shè)點(diǎn)砥%,%）,汽。2，%），

廠.21

-----FV=1,cC

聯(lián)立彳4，得（4女2+1）/+8女郎+4m2-4=0,

y=kx+m

-Skm4n?-4

所以％+9=17Z/‘%"WT

，/、c2m

y]+y2=k(xl+x2)+2m=-^--7

因?yàn)镺M+ON='OQ,

2

所以Q(,”77)(

1+4-1+4H

—16km2

因?yàn)椤Ｔ跈E圓匕所以(1+4公)4機(jī)2_

十(T)-A

41+4”

化簡得16〃，=1+4公，

滿足△〉0,

又因?yàn)橹本€HM與直線HN傾斜角互補(bǔ),

所以=0，

11

y.+—y+—

所以M21力92:0,

王

kx]+m+-kx,+m+-

所以?2?-2=0，

玉

所以2kxix?+(m4-^)(x,+x2)=0,

4k(m+2)

所以

因?yàn)殡禜0,所以m=一2,代入16〃/=1+4/得％=±孑互，

2

所以存在滿足條件的三個(gè)點(diǎn)，此時(shí)直線MN的方程為、=乎%一2或〉=一呼》一2.

15.（2020?全國高三專題練習(xí)）已知拋物線C：V=2px過點(diǎn)A（l,2）.

(1)求拋物線。的方程;

(2)求過點(diǎn)P（3,-2）的直線與拋物線。交于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)A不重合）.設(shè)

直線AM、AN的斜率分別為勺、k2,求證：及「修為定值.

【答案】（1）V=4無；（2）證明見解析.

【分析】⑴因?yàn)閽佄锞€C：V=2px過點(diǎn)A（l,2）,

所以4=2”，。=2,拋物線方程為y2=4x.

(2)設(shè)M(X[,y),Nd，%)，直線肱^的方程為x=，(y+2)+3,

\x=t(y+2)+3,

聯(lián)立〈2，整理得y—4夕一8—12=0,

[y=4x

A=16r+32r+48>0?>]+%=4f,x%=-8f—12,

k)'i-20%-2y,-20_y2-2

則-2x,-rx2-iyr.

44

=--------1-6--------------1-6-----=■2c

y}y2+2(x+%)+4-81-12+81+4

故仁?為為定值一2.

16.（2020?天津高考真題）已知橢圓=1（。>6>0）的一個(gè)頂點(diǎn)為人（0,-3）,右焦

點(diǎn)為F，且1。4|=1。尸|,其中。為原點(diǎn).

（I）求橢圓的方程；

（II）已知點(diǎn)C滿足30c=OF，點(diǎn)B在橢圓上（3異于橢圓的頂點(diǎn)），直線A3與以C

為圓心的圓相切于點(diǎn)P,且P為線段AB的中點(diǎn).求直線A3的方程.

r221

【答案】（I）工+匕v=1；（II）y=—x-3,或y=x-3.

1892

【分析】

（I）根據(jù)題意，并借助"=〃+。2,即可求出橢圓的方程；

（II）利用直線與圓相切，得到CPJ_AB,設(shè)出直線AB的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求

出8點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)CP_LAB,求出直線A3的斜率，從而得解.

【詳解】

(1)橢圓三+'=l(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-3),

?'?b=3,

由|OA|=|OF|,得C=/?=3,

乂由6=Z?2+/,得a2=32+32=18,

22

所以，橢圓的方程為二+2-=1:

189

(II)直線A8與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以CPJ_AB，

根據(jù)題意可知，直線AB和直線CP的斜率均存在，

設(shè)直線A5的斜率為上，則直線AB的方程為y+3=H，即丁=麻一3,

y=kx-31.

2,,消去y，可得(2公+1卜2-]2h=0,解得x=0或x一

-------1--------1\'2H+1

1189

將x=-^-代入y=區(qū)一3,得丫=匕羋--3=6/一3

2尸+1,2公+12^+1

12k65—3、

所以,點(diǎn)3的坐標(biāo)為

2公+1'2女2+1,

因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(。,一3),

6k-3

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為

23+1'2公+1

由30c=OF,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),

0

所以‘直線0尸的斜率為％=用＞=而二的