新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第21講 空間幾何體（解析版）

第21講空間幾何體學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3考點和典型例題1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【典例1-1】（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側(cè)面，則該圓臺形容器的高為（

）A．SKIPIF1<0cm B．1cm C．SKIPIF1<0cm D．SKIPIF1<0cm【答案】D【詳解】由已知圓臺的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，不妨設(shè)上、下底面圓的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以圓臺軸截面為等腰梯形，其上、下底邊的長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，腰長為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為垂足，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該圓臺形容器的高為SKIPIF1<0，故選：D．【典例1-2】（2022·河南·模擬預(yù)測（文））在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若正四棱錐SKIPIF1<0的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖，連接AC，BD，記SKIPIF1<0，連接OP，所以SKIPIF1<0平面ABCD.取BC的中點E，連接SKIPIF1<0.因為正四棱錐SKIPIF1<0的體積是8，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以在直角三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故該四棱錐的側(cè)面積是SKIPIF1<0.故選：C【典例1-3】（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為圓臺下底面半徑為5，球的直徑為SKIPIF1<0，所以圓臺下底面圓心與球心重合，底面圓的半徑為SKIPIF1<0，畫出軸截面如圖，設(shè)圓臺上底面圓的半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以球心SKIPIF1<0到上底面的距離SKIPIF1<0，即圓臺的高為3，所以母線長SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.【典例1-4】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，梯形SKIPIF1<0是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則原圖形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：由題得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故選：B．【典例1-5】（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且SKIPIF1<0，.SKIPIF1<0，O分別為上?下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長相等，且三棱錐SKIPIF1<0的體積為18，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A．9 B．12 C．16 D．18【答案】D【詳解】分別過SKIPIF1<0作圓柱的母線SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0則三棱錐SKIPIF1<0的體積為兩個全等四棱錐SKIPIF1<0減去兩個全等三棱錐SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0故選：D．2、空間幾何體的表面積、體積【典例2-1】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）在底面是正方形的四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面ABCD，且SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：由題意，設(shè)四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的半徑為r，因為SKIPIF1<0，四棱錐SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的表面積為SKIPIF1<0.故選：B.【典例2-2】（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】∵球的體積為SKIPIF1<0，所以球的半徑SKIPIF1<0,設(shè)正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，正四棱錐的體積SKIPIF1<0取最大值，最大值為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C.【典例2-3】（2022·全國·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔SKIPIF1<0時，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0；水位為海拔SKIPIF1<0時，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔SKIPIF1<0上升到SKIPIF1<0時，增加的水量約為（SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】依題意可知棱臺的高為SKIPIF1<0(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積SKIPIF1<0．棱臺上底面積SKIPIF1<0，下底面積SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．【典例2-4】（2022·全國·高考真題（理））甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為SKIPIF1<0，側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：設(shè)母線長為SKIPIF1<0，甲圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，乙圓錐底面圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以甲圓錐的高SKIPIF1<0，乙圓錐的高SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【典例2-5】（2022·山東臨沂·三模）戰(zhàn)國時期的銅鏃是一種兵器，其由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意，銅鏃的直觀圖如圖所示，三棱錐的體積SKIPIF1<0，因為圓柱的底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，所以圓柱的底面圓的半徑SKIPIF1<0，所以圓柱的體積SKIPIF1<0所以此銅鏃的體積為SKIPIF1<0故選：A.3、與球有關(guān)的切、接問題【典例3-1】（2022·北京·101中學(xué)三模）一個底面積為1的正四棱柱的頂點都在同一球面上，若此球的表面積為SKIPIF1<0，則該四棱柱的高為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0設(shè)四棱柱的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選：C【典例3-2】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）若正三棱柱SKIPIF1<0的所有頂點都在同一個球O的表面上，且球O的體積的最小值為SKIPIF1<0，則該三棱柱的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以該三棱柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0.故選：B.【典例3-3】（2022·湖北·模擬預(yù)測）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點和底面上各點均在該球面上），求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)直角圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，則其側(cè)棱為SKIPIF1<0，所以頂點到底面圓圓心的距離為：SKIPIF1<0，所以底面圓的圓心即為外接球的球心，所以外接球半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【典例3-4】（2022·山東聊城·三模）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，圓錐的底面圓周和頂點都在同一球面上，則該球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C