江西省撫州市臨川區(qū)二中2022年高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.102.若復(fù)數(shù)滿足,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.4.一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合,如果圓錐的表面積與半球的表面積相等,那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是()A. B. C. D.5.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.6.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對(duì)為()A. B. C. D.7.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)8.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高;③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低;④甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差.以上說法正確的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④9.已知,如圖是求的近似值的一個(gè)程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.10.已知,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.11.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的焦距為()A. B. C.6 D.812.已知點(diǎn),若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),則面積的最小值為()A.6 B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量=(-4,3),=(6,m),且,則m=__________.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A0,a,B3,a+415.已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值為_________.16.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)設(shè),且當(dāng)時(shí),不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,為側(cè)棱上一點(diǎn),已知.(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角,若,求的值;20.(12分)2019年6月,國(guó)內(nèi)的運(yùn)營(yíng)牌照開始發(fā)放.從到,我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間,完成了技術(shù)上的飛躍,躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)的消費(fèi)意愿,2019年8月,從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查,樣本中各類用戶分布情況如下:用戶分類預(yù)計(jì)升級(jí)到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較,可得出下圖的關(guān)系(例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的).(1)從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率;(2)從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人,以表示這2人中愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)2019年底,從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐,能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化?說明理由.21.(12分)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分:分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)(1)已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表),請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.(?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi);(ⅱ)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,若,則,,.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,計(jì)算得到答案.【詳解】,驗(yàn)證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,圖像共有8個(gè)交點(diǎn),故所有解之和等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.2.D【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,即可得答案;【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵.4.D【解析】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】

直接相乘,得,由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).6.B【解析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B7.C【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖,得到a滿足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而研究函數(shù)的最值,屬于??碱}型.8.A【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤;,,則,故②錯(cuò)誤,③正確;顯然甲同學(xué)的成績(jī)更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).9.C【解析】

由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.10.D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小,利用作差法,結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系,進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,所以最小;而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,綜上可知,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形,對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,作差法比較大小,屬于中檔題.11.A【解析】

依題意可得,再根據(jù)離心率求出,即可求出,從而得解;【詳解】解:∵雙曲線的離心率為,所以,∴,∴,雙曲線的焦距為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

求得直線的方程,畫出曲線表示的下半圓,結(jié)合圖象可得位于,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式,以及三角形的面積公式,可得所求最小值.【詳解】解:曲線表示以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn)),如圖,直線的方程為,可得,由圓與直線的位置關(guān)系知在時(shí),到直線距離最短,即為,則的面積的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積最值,解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系,確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值,這由數(shù)形結(jié)合思想易得.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.8.【解析】

利用轉(zhuǎn)化得到加以計(jì)算,得到.【詳解】向量則.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.14.(-53,【解析】

求出AB的長(zhǎng)度,直線方程,結(jié)合△ABC的面積為5,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可.【詳解】解:AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3設(shè)△ABC的高為h,則∵△ABC的面積為5,∴S=12|AB|h=即h=2,直線AB的方程為y﹣a=43x,即4x﹣3y+3若圓x2+y2=9上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C,則圓心O到直線4x﹣3y+3a=0的距離d=|3a|則應(yīng)該滿足d<R﹣h=3﹣2=1,即|3a|5得|3a|<5得-53<故答案為:(-53,【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,求出直線方程和AB的長(zhǎng)度,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵.15.0或6【解析】

計(jì)算得到圓心,半徑,根據(jù)得到,利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】,即,圓心,半徑.,故圓心到直線的距離為,即,故或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。16.【解析】由已知,即,取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線,則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為,由題可知,所以,則所求雙曲線方程為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】

(1)通過分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果;(2)將不等式整理為,根據(jù)能成立思想可知,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),可化為,由,解得;由,解得;由,解得.綜上所述:所以原不等式的解集為.(2),,,,有解,,即,又,,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題;關(guān)鍵是明確對(duì)于不等式能成立的問題,通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.18.(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)先證明

,再證明平面,利用面面垂直的判定定理,即可求證所求證;(Ⅱ)根據(jù)題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面的向量,利用公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)證:由已知得又平面,平面,,而故,平面平面,平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知,推理知梯形中,,,有,又,故所以相似,故有,即所以,以為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,則令,則,是平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的一個(gè)法向量為令,則是平面的一個(gè)法向量=又二面角為鈍二面角,其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,考查向量法求二面角的余弦值,考查直觀想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19.(1)(2)【解析】

(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)根據(jù),得,又為的內(nèi)角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域?yàn)?;?)由,得,又為的內(nèi)角,所以,又因?yàn)樵谥?,,所以,所?【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,20.(1)(2)詳見解析(3)事件雖然發(fā)生概率小,但是發(fā)生可能性為0.02,所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生變化,詳見解析【解析】

(1)由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到,結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式,即可求解;(2)由題意的所有可能值為,利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式,分別求得相應(yīng)的概率,得到隨機(jī)變量的分布列,利用期望的公式,即可求解.(3)設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐”,得到七概率為,即可得到結(jié)論.【詳解】(1)由題意可知,從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率估計(jì)為樣本中早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶的頻率,即.(2)由題意的所有可能值為,記事件為“從早期體驗(yàn)用戶中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上”,事件為“從中期跟隨用戶中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上”,由題意可知,事件,相互獨(dú)立,且,,所以,,,所以的分布列為0120.180.490.33故的數(shù)學(xué)期望.(3)設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐”,那么.回答一:事件雖然發(fā)生概率小,但是發(fā)生可能性為0.02,所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生變化.回答二:事件發(fā)生概率小,所以可以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶人數(shù)增加.【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列,數(shù)

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