考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷1（共128題）

考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷1（共5套）（共128題）考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、對于n元方程組，下列命題正確的是A、如果Ax=0只有零解，則Ax=b有唯一解．B、如果Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多解．C、如果Ax=b有兩個不同的解，則Ax=0有無窮多解．D、Ax=b有唯一解的充要條件是r(A)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)r(A)=n時，不一定有r=n．注意，n元方程組只表示A有n個列向量，并不反映列向量的維數(shù)(即方程的個數(shù))，此時可以有r＞n，那么方程組可能無解，所以(A)，(B)，(D)均不對．對于(C)，從Ax=b有不同的解，知Ax=0有非零解，進(jìn)而有無窮多解．2、已知η1，η2，η3，η4是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則此方程組的基礎(chǔ)解系還可選用A、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B、η1，η2，η3，η4的等價向量組α1，α2，α3，α4．C、η1，η2，η3，η4的等秩向量組α1，α2，α3，α4．D、η1+η2，η2+η3，η3－η4，η4－η1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本小題中(A)，(D)均線性相關(guān)．(η1+η2)一(η2+η3)+(η3+η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3一η4)+(η4—η1)=0，用簡單的加減可排除(A)，(D)．關(guān)于(C)，因?yàn)榈戎炔荒鼙ＷCαi是方程組的解，也就不可能是基礎(chǔ)解系．至于(B)，由等價知α1，α2，α3，α4是解，從r(α1，α2，α3，α4)=r(η1，η2，η3，η4)=4，得到α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，故(B)正確．3、已知β1，β2是Ax=b的兩個不同的解，α1，α2是相應(yīng)齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2是任意常數(shù)，則Ax=b的通解是A、k1α1+k2(α1+α2)+．B、k1α1+k2(α1－α2)+．C、k1α1+k2(β1－β2)+．D、k1α1+k2(β1－β2)+．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：不是Ax=b的解，從解的結(jié)構(gòu)來看應(yīng)排除(A)，(C)，雖β1—β2，α1都是Ax=0的解，但是否線性無關(guān)不能保證，能否成為基礎(chǔ)解系不明確，(D)應(yīng)排除．由α1，α2是基礎(chǔ)解系，得α1，α1一α2線性無關(guān)是基礎(chǔ)解系，而是Ax=b的解，故(B)正確．4、設(shè)A是秩為n一1的n階矩陣，α1與α2是方程組Ax=0的兩個不同的解向量，則Ax=0的通解必定是A、α1+α2．B、kα1．C、k(α1+α2)．D、k(α1一α2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)橥ń庵斜赜腥我獬?shù)，顯見(A)不正確．由n—r(A)=1知Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個非零向量構(gòu)成．α1，α1+α2與α1一α2中哪一個一定是非零向量呢?已知條件只是說α1，α2是兩個不同的解，那么α1可以是零解，因而kα1可能不是通解．如果α1=－α2≠0，則α1，α2是兩個不同的解，但α1+α2=0，即兩個不同的解不能保證α1+α2≠0．因此要排除(B)、(C)．由于α1≠α2，必有α1一α2≠0．可見(D)正確．5、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次方程組Ax=b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系A(chǔ)、不存在．B、僅含一個非零解向量．C、含有兩個線性無關(guān)的解向量．D、含有三個線性無關(guān)的解向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本題考查齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)．也就是要求出矩陣A的秩．由于因?yàn)锳*≠0，必有r(A*)≥l，故r(A)=n或n一1．又因ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是Ax=b互不相同的解，知ξ1－ξ2是Ax=0的非零解，而必有r(A)＜n．從而r(A)=n一1．因此，n—r(A)=n一(n—1)=1，即Ax=0只有一個線性無關(guān)的解．故應(yīng)選(B)．6、設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0，其中A，B均為m×n矩陣，則下列命題①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩r(A)≥r(B)②若秩r(A)≥r(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解③若Ax=0與Bx=0同解，則秩r(A)=r(B)④若秩r(A)=r(B)，則Ax=0與Bx=0同解中正確的是A、①，②．B、①，③．C、②，④．D、③，④．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：命題④顯然錯誤，可排除(C)、(D)．對于(A)和(B)必有一個是正確的．因此命題①必正確．由①正確，可知③必正確．所以應(yīng)選(B)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)7、設(shè)A是n階矩陣，對于齊次線性方程組Ax=0．(Ⅰ)如A中每行元素之和均為0，且r(A)=n一1，則方程組的通解是___________；(Ⅱ)如每個n維向量都是方程組的解，則r(A)=___________；(Ⅲ)如r(A)=n一1，且代數(shù)余子式A11≠0，則Ax=0的通解是_________，A*x=0的通解是__________，(A*)*x=0的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)k(1，1，…，1)T．(Ⅱ)0(Ⅲ)k(A11，A12，…，A1n)Tk1e1+k2e2+…+knenk知識點(diǎn)解析：(Ⅰ)從r(A)=n一1知Ax=0的基礎(chǔ)解系由1個解向量組成，因此任一非零解都可成為基礎(chǔ)解系．因?yàn)槊啃性刂投紴?，有ai1+ai2+…+ain=1.ai1+1.ai2+…+1.ain=0，所以，(1，1，…，1)T滿足每一個方程，是Ax=0的解，故通解是k(1，1，…，1)T．(Ⅱ)每個n維向量都是解，因而有n個線性無關(guān)的解，那么解空間的維數(shù)是n，又因解空間維數(shù)是n—r(A)，故n=n—r(A)，即r(A)=0．(Ⅲ)對Ax=0，從r(A)=n一1知基礎(chǔ)解系由1個解向量所構(gòu)成．因?yàn)锳A*=｜A｜E=0，A*的每一列都是Ax=0的解．現(xiàn)已知A11≠0，故(A11，A12，…，A1n)T是Ax=0非零解，即是基礎(chǔ)解系，所以通解是k(A11，A12，…，A1n)T．對A*x=0，從r(A)=n一1知r(A*)=1，那么A*x=0的基礎(chǔ)解系由n—r(A*)=n一1個向量所構(gòu)成，從A*A=0知A的每一列都是A*x=0的解，由于代數(shù)余子式A11≠0，知，n一1維向量(a22，a32，…，an2)T，(a22，a33，…，an3)T，…，(a2n，a3n，…，ann)T線性無關(guān)，那么延伸為n維向量(a12，a22，…，an2)T，(a13，a23，…，an3)T，…，(a1n，a2n，…，ann)T仍線性無關(guān)，即是A*x=0的基礎(chǔ)解系，．對(A*)*x=0，同上知r(A*)=1，已知當(dāng)n≥3時，r((A*)*)=0，那么任意n個線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成基礎(chǔ)解系．例如，取e1=(1，0，…，0)T，e2=(0，1，…，0)T，…，en=(0，0，…，1)T，得通解k1e1+k2e2+…+knen．如n=2，對于A==A．那么(A*)*x=0的通解是k(注：AA*=0，A11=a22≠0，r(A)=1)．8、已知α1，α2是方程組的兩個不同的解向量，則a=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2是方程組兩個不同的解，故方程組有無窮多解．因此秩r(A)=r＜3，對增廣矩陣作初等行變換有易見僅當(dāng)a=－2時，r(A)=r=2＜3．故知a=－2．9、設(shè)A是秩為3的5×4矩陣，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個不同的解，若α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，則方程組Ax=b的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T．知識點(diǎn)解析：由于秩r(A)=3，所以齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由4一r(A)=1個向量所構(gòu)成．又因?yàn)?α1+α2+2α3)一(3α1+α2)=2(α3一α1)=(0，一4，一6，一8)T是Ax=0的解，即其基礎(chǔ)解系可以是(0，2，3，4)T．由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，知(α1+α2+2α3)是方程組Ax=b的一個解．那么根據(jù)方程組解的結(jié)構(gòu)知其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)10、已知ξ1=(一9，1，2，11)T，ξ2=(1，一5，13，0)T，ξ3=(一7，一9，24，11)T是方程組的三個解，求此方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A是3×4矩陣，r(A)≤3，由于A中第2，3兩行不成比例，故r(A)≥2，又因η1=ξ1一ξ2=(一10，6，一11，11)T，η2=ξ2一ξ3=(8，4，一11，一11)T是Ax=0的兩個線性無關(guān)的解，于是4一r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解．知識點(diǎn)解析：求Ax=b的通解關(guān)鍵是求Ax=0的基礎(chǔ)解系，ξ1一ξ2，ξ2一ξ3都是Ax=0的解，現(xiàn)在就要判斷秩r(A)，以確定基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)．11、解齊次方程組標(biāo)準(zhǔn)答案：對系數(shù)矩陣作初等行變換化為階梯形矩陣由n—r(A)=4—2=2，基礎(chǔ)解系由2個向量組成，每個解中有2個自由變量．令x2=1，x4=0，解得x3=0，x1=2；令x2=0，x4=2，解得x3=15，x1=－22．于是得到η1=(2，1，0，0)T，η2=(一22，0，15，2)T，通解是k1η1+k2η2．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、解方程組標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣高斯消元化為階梯形由r(A)=r(A)=3，方程組有解，n－r(A)=1有1個自由變量．先求相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，令x3=2，解出x4=0，x2=－1，x1=－1，所以齊次方程組通解是k(－1，－1，2，0)T．再求非齊次線性方程組的特解，令x3=0，解出x4=，0，．所以，方程組的通解是：+k(一1，一1，2，0)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)A=(Ⅰ)求滿足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)對(Ⅰ)中任意向量ξ2，ξ3，證明ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)對增廣矩陣(Aξ1)作初等行變換，有得Ax=0的基礎(chǔ)解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T．故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T或ξ2=(k，一k，2k+1)T，其中k為任意常數(shù)．因?yàn)锳2=，對增廣矩陣(A2ξ1)作初等行變換，有得A2x=0的基礎(chǔ)解系(一1，1，0)T，(0，0，1)T．又A2x=ξ1有特解(，0，0)T，故其中t1，t2為任意常數(shù)．(Ⅱ)因?yàn)樗驭?，ξ2，ξ3必線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：其實(shí)求ξ2和ξ3就是分別求方程組Ax=ξ1與方程組A2x=ξ1的通解．14、設(shè)A=已知方程組Ax=b有無窮多解，求a的值并求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：線性方程組Ax=b有無窮多解r(A)=r＜n．對增廣矩陣作初等行變換，有當(dāng)a=3時，r(A)=r=2＜3，此時于是方程組的通解為：(3，一1，0)T+k(一7，3，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、討論a，b取何值時，下列方程組無解、有唯一解、有無窮多解，有解時求出其解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將增廣矩陣用初等行變換化為階梯形，即討論：(Ⅰ)當(dāng)a=－1，b≠36時，r(A)=3，r=4方程組無解；(Ⅱ)當(dāng)a≠－1，a≠6時，r(a)=r=4，方程組有唯一解，由下往上依次可解出(Ⅲ)當(dāng)a=－1，b=36時，r(A)=r=3，方程組有無窮多解，此時方程組化為令x4=0，有x3=0，x2=－12，x1=6，即特解是ξ=(6，一12，0，0)T．令x4=1，解齊次方程組有x3=0，x2=5，x1=－2，即η=(一2，5，0，1)T是基礎(chǔ)解系．所以通解為ξ+kη=(6，一12，0，0)T+k(一2，5，0，1)T．(Ⅳ)當(dāng)a=6時，r(A)=r=3，方程組有無窮多解，此時方程組化為令x3=0，有特解α=令x3=1，有齊次方程組基礎(chǔ)解系β=(一2，1，1，0)T．所以通解是α+kβ=(b—36))T+k(－2，1，1，0)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)A=已知線性方程組Ax=b存在2個不同的解，(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程組Ax=b的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)榫€性方程組Ax=b有2個不同的解，所以r(A)=r＜n．由知λ=1或λ=一1．當(dāng)λ=1時，必有r(A)=1，r=2．此時線性方程組無解．而當(dāng)λ=一1時，若a=一2，則r(A)==2，方程組Ax=b有無窮多解．故A=－1，a=－2．(Ⅱ)當(dāng)λ=－1，a=－2時，所以方程組Ax=b的通解為+k(1，0，1)T，其中K是任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)齊次線性方程組其中A≠0，b≠0，n≥2．試討論a，b為何值時，方程組僅有零解，有無窮多解?當(dāng)有無窮多解時，求出其全部解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對系數(shù)矩陣作初等行變換，把第1行的一1倍分別加至第2行到第n行，有(Ⅰ)如果a=b，方程組的同解方程組是x1+x2+…+xn=0．由于n一r(A)=n一1，取自由變量為x2，x3，…，xn，得到基礎(chǔ)解系為：α1=(一1，1，0，…，0)T，α2=(一1，0，1，…，0)T，…，αn－1=(一1，0,0，…，1)T．方程組通解是：k1α1+k2α2+…+kn－1αn－1，其中k1，k2，…，kn－1為任意常數(shù)．(Ⅱ)如果a≠b，對系數(shù)矩陣作初等行變換，有若a≠(1一n)b，則秩r(A)=n，此時齊次方程組只有零解．若a=(1一n)b，則秩r(A)=n一1．取x1為自由變量，則基礎(chǔ)解系為a=(1，1，…，1)T，于是方程組的通解是：kα，其中k為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)方程組(Ⅰ)與方程組(Ⅱ)x1+2x2+x3=a一1有公共解，求a的值及所有公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)聯(lián)立，得方程組(Ⅲ)則方程組(Ⅲ)的解就是方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解．對方程組(Ⅲ)的增廣矩陣作初等行變換，有則方程組(Ⅲ)有解(a一1)(a一2)=0．當(dāng)a=1時，，此時方程組(Ⅲ)的通解為k(一1，0，1)T(k為任意常數(shù))，即為方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解．當(dāng)a=2時，，此時方程組(Ⅲ)有唯一解(0，1，一1)T，這亦是方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的唯一公共解．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)4元齊次線性方程組(Ⅰ)為而已知另一4元齊次線性方程組(Ⅱ)的一個基礎(chǔ)解系為α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，0+8)T．(1)求方程組(Ⅰ)的一個基礎(chǔ)解系；(2)當(dāng)a為何值時，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)有非零公共解?若有，求出其所有非零公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有由于，n—r(A)=4—2=2，基礎(chǔ)解系由2個線性無關(guān)的解向量所構(gòu)成，取x3，x4為自由變量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系．(2)設(shè)η是方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的非零公共解，則η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2與l1，l2均是不全為0的常數(shù)。由k1β1+k2β2－l1α1－l2α2=0，得齊次方程組(Ⅲ)對方程組(Ⅲ)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有如果a≠一1，則(Ⅲ)→，那么方程組(Ⅲ)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0．于是η=0．不合題意．當(dāng)a=－1時，方程組(Ⅲ)同解變形為，解出k1=l1+4l2，k2=l1+7l2．于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2．所以a=一1時，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T．知識點(diǎn)解析：要求n元線性方程組的基礎(chǔ)解系必須知道該線性方程組系數(shù)矩陣的秩r為多少，才能確定基礎(chǔ)解系中所含線性無關(guān)的解的個數(shù)n一r．任意選取n—r個線性無關(guān)的解便是基礎(chǔ)解系，因此，首先應(yīng)求出或判定出方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣的秩．20、已知ξ1=(0，0，1，0)T，ξ2=(一1，1，0，1)T是齊次線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系，η1=(0，1，1，0)T，η2=(一1，2，2，1)T是齊次線性方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系，求齊次線性方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)齊次線性方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解是γ，則γ=c1ξ1+c2ξ2=d1η1+d2η2，從而c1ξ1+c2ξ2－d1η1－d2η2=0．解齊次線性方程組(Ⅲ)(ξ1，ξ2，－η1，－η2)x=0，由得(Ⅲ)的通解為t(1，1，一1，1)T，即c1=c2=t，d1=－t，d2=t．從而方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解t(ξ1+ξ2)=t(一1，1，1，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知齊次線性方程組同解，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉匠探M(Ⅱ)中“方程個數(shù)＜未知數(shù)個數(shù)”，所以方程組(Ⅱ)必有非零解．因此方程組(Ⅰ)必有非零解．從而(Ⅰ)的系數(shù)行列式必為0，即有對方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有可求出方程組(Ⅰ)的通解是k(一1，一1，1)T．由于(一1，一1，1)T是方程組(Ⅱ)的解，故有當(dāng)b=1，C=2時，方程組(Ⅱ)為其通解是k(一1，一1，1)T，所以方程組(Ⅰ)與Ⅱ同解．當(dāng)b=0，c=1時，方程組(Ⅱ)為由于秩r(Ⅱ)=1，而r(Ⅰ)=2，所以方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)不同解．故b=0，C=1應(yīng)舍去．從而當(dāng)a=2，b=1，c：2時方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A是m×n實(shí)矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，證明方程組(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0是同解方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果α是(Ⅰ)的解，那么Aα=0，而ATAα=AT0=0，可見α是(Ⅱ)的解．如果α=(a1，a2，…，an)T是(Ⅱ)的解，即ATATAα=0，(Aα)T(Aα)=0．不妨設(shè)Aα=(b1，b2，…，bm)T，則(Aα)T(Aα)==0．從而b1=b2=…=bm=0，即Aα=0，所以(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此，(Ⅰ)與(Ⅱ)是同解方程組．知識點(diǎn)解析：所謂方程組同解即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解，顯然本題的難點(diǎn)是如何證(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．23、已知n元齊次線性方程組A1x=0的解全是A2x=0的解，證明A2的行向量可以由A1的行向量線性表出．若線性方程組(Ⅰ)A1x=b1和(Ⅱ)A2x=b2都有解，且(Ⅰ)的解全是(H)的解，則(A2，b2)的行向量組可以由(A1，b1)的行向量組線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳1x=0的解全是A2x=0的解，所以A1x=0與同解．那么n—r(A1)=n一r所以A2的行向量可以由A1的行向量線性表出．因?yàn)锳1x=b1的解全是A2x=b2的解，所以A1x=b1與同解．如果A1α=b1，A1η=0，則因A1x=b1的解全是A2x=b2的解，那么α和α+η都是A2x=b2的解，而有A2α=b2及A2(α+η)=b2，從而A2η=0．說明此時A1x=0的解全是A2x=0的解，那么r(A1，b1)=r(A1)=r所以(A2，b2)的行向量組可以由(A2，b2)的行向量組線性表出．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求出一個齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系是η1=(2，一1，1，1)T，η2=(一1，2，4，7)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：由η1，η2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，知n—r(A)=2，即r(A)=2．對于齊次方程組x=0，有得基礎(chǔ)解系(一2，一3，1，0)T，(一3，一5，0，1)T．所以為所求．知識點(diǎn)解析：由A(η1，η2)=0有(η1，η2)TAT=0，可見x=0的解就是AT的列向量(即A的行向量)．25、已知α1，α2，α3是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，證明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0+0=0知，α1+α2是齊次方程組Ax=0的解．類似可知α2+α3，α3+α1也是Ax=0的解．若k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，即(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，因?yàn)棣?，α2，α3是基礎(chǔ)解系，它們是線性無關(guān)的，故由于此方程組系數(shù)行列式D==2≠0，故必有k1=k2=k3=0，所以α1+α2，α2+α3，α3+α1線性無關(guān)．根據(jù)題設(shè)，Ax=0的基礎(chǔ)解系含有3個線性無關(guān)的向量，所以α1+α2，α2+α3，α3+α1是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：按基礎(chǔ)解系的定義，要證三個方面：①α1+α2，α2+α3，α3+α1是解；②它們線性無關(guān)；③向量個數(shù)等于n一r(A)．26、設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為A，Mj(j=1，2，…，n)是矩陣A中劃去第j列所得到的行列式，證明：如果Mj不全為0，則(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T．是該方程組的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳是(n一1)×n矩陣，若Mj不全為0，即A中有n—1階子式非零，故r(A)=n一1．那么齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由n—r(A)=1個非零向量所構(gòu)成．按第一行展開，有Di=ai1M1一ai2M2+…+ain(一1)1+nMn．又因Di中第一行與第i+1行相同，知Di=0．因而ai1M1一ai2M2+…+ain(一1)n－1Mn=0．即(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T滿足第i個方程(i=1，2，…，n一1)，從而它是Ax=0的非零解，也就是Ax=0的基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、已知A是m×n矩陣，其m個行向量是齊次線性方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系，B是m階可逆矩陣，證明BA的行向量也是齊次方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳的行向量是Cx=0的解，即CAT=0，那么C(BA)T=CATBT=0BT=0．可見BA的行向量是方程組Cx=0的解．由于A的行向量是基礎(chǔ)解系，所以A的行向量線性無關(guān)，于是m=r(A)=n一r(C)．又因B是可逆矩陣，r(BA)=r(A)=m=n—r(C)，所以BA的行向量線性無關(guān)，其向量個數(shù)正好是n—r(C)，從而是方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A是m×n矩陣，Aχ＝0是非齊次線性方程組Aχ＝b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()A、若Aχ＝0僅有零解，則Aχ＝b有唯一解．B、若Aχ＝0有非零解，則Aχ＝b有無窮多個解．C、若Aχ＝b有無窮多個解，則Aχ＝0僅有零解．D、若Aχ＝b有無窮多個解，則Aχ＝0有非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴徽擙R次線性方程組Aχ＝0的解的情況如何，即r(A)＝n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)＝r(Ab)，所以選項(xiàng)A、B均不正確．而由Aχ＝b有無窮多個解可知，r(A)＝r(Ab)＜n．根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件可知，此時Aχ＝0必有非零解．所以應(yīng)選D．2、要使都是線性方程組Aχ＝0的解，只要系數(shù)矩陣A為()A、[－211]B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由題意，ξ1，ξ2與A的行向量是正交的，對于選項(xiàng)A，因(－2，1，1)ξ1＝0，(－2，1，1)ξ2＝0，而逐一驗(yàn)證可得，其他三個選項(xiàng)均不滿足正交條件．所以應(yīng)選A．3、設(shè)A為n階矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，對于線性方程組(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有()A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：如果α是(Ⅰ)的解，有Aα＝0，可得ATAα＝AT(Aα)＝AT0＝0，即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解．反之，若α是(Ⅱ)，的解，有ATAα＝0，用αT左乘可得αT(ATAα)＝(αTAT)(Aα)＝(Aα)T(Aα)＝αT0＝0，若設(shè)Aα＝(b1，b2，…，bn)，那么(Aα)T(Aα)＝b12＋b＋22…＋bn2＝0bi＝0(i＝1，2，…，n)即Aα＝0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以應(yīng)選A．4、設(shè)A是n階矩陣，對于齊次線性方程組(Ⅰ)Anχ＝0和(Ⅱ)An+1χ＝0，現(xiàn)有四個命題(1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；(2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；(3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；(4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．以上命題中正確的是()A、(1)(2)B、(1)(4)C、(3)(4)D、(2)(3)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：若Anα＝0，則An+1α＝A(Anα)＝A0＝0，即若α是(Ⅰ)的解，則α必是(Ⅱ)的解，可見命題(1)正確．如果An+1α＝0，而Anα≠0，那么對于向量組α，A1α，A2α，…，Anα，一方面有：若kα＋k1A1α＋k2A2α＋…＋knAnα＝0，用An左乘上式的兩邊，并把An+1α＝0，An+2α＝0…代入，得kAnα＝0．由Anα≠0而知必有k＝0．類似地用An-1左乘可得k1＝0．因此，α，A1α，A2α，…，Anα線性無關(guān)．但另一方面，這是n＋1個n維向量，它們必然線性相關(guān)，兩者矛盾．故An+1α＝0時，必有Anα＝0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此命題(2)正確．所以應(yīng)選A。5、設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)＝m＜n，Im為m階單位矩陣，則下述結(jié)論中正確的是()A、A的任意m個列向量必線性無關(guān)．B、A的任意一個m階子式不等于零．C、A通過初等行變換，必可以化為(ImO)的形式．D、非齊次線性方程組Aχ＝b一定有無窮多解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：選項(xiàng)A、B顯然不正確，將其中的“任意”都改為“存在”，結(jié)論才正確．對于矩陣A，只通過初等行變換是不能保證將其化為等價標(biāo)準(zhǔn)型(ImO)的，故C也不正確，故選D．事實(shí)上，由于A有m行且r(A)＝m＜n，因此r(Ab)≥r(A)＝m．又r(Ab)≤min{m，n＋1}＝m，故r(Ab)＝r(A)＝m＜n，從而該非齊次線性方程組一定有無窮多解．所以選項(xiàng)D正確．6、非齊次線性方程組Aχ＝b中未知量的個數(shù)為n，方程個數(shù)為m，系數(shù)矩陣的秩為r，則()A、r＝m時，方程組Aχ＝b有解．B、r＝n時，方程組Aχ＝b有唯一解．C、m＝n時，方程組Aχ＝b有唯一解．D、r＜n時，方程組有無窮多個解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：對于選項(xiàng)A，r(A)＝r＝m．由于r(Ab)≥m＝r，且r(Ab)≤min{m，n＋1}＝min{r，n＋1}＝r，因此必有(Ab)＝r，從而r(A)＝r(Ab)，所以，此時方程組有解，所以應(yīng)選A．由B、C、D選項(xiàng)的條件均不能推得“兩秩”相等．7、設(shè)α1，α2，α3是4元非齊次線性方程組Aχ＝b的3個解向量，且r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程組Aχ＝b的通勰χ＝()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：根據(jù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，易知2α1－(α2＋α3)＝(2，3，4，5)T是Aχ＝0的一個非零解，所以應(yīng)選C．8、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則線性方程組(AB)χ＝0()A、當(dāng)n＞m時，僅有零解．B、當(dāng)n＞m時，必有非零解．C、當(dāng)m＞n時，僅有零解．D、當(dāng)m＞n時，必有非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳B是m階矩陣，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}(矩陣越乘秩越小)，所以當(dāng)m＞n時，必有r(AB)＜m，根據(jù)齊次方程組存在非零解的充分必要條件可知，選項(xiàng)D正確．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、已知α1，α2是方程組的兩個不同的解向量，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2是方程組的兩個不同的解，因此該方程組有無窮多解，即系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等，且均小于3，對增廣矩陣做初等行變換有因此a＝－2時，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等且均為2．故a＝－2．10、四元方程組Aχ＝b的三個解是α1，α2，α3，其中α1＝(1，1，1，1)T，α2＋α3(2，3，4，5)T，如果r(a)＝3，則方程組Aχ＝b的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，1，1)T＋k(0，1，2，3)T知識點(diǎn)解析：根據(jù)(α2＋α3)－2α1＝(α2－α1)＋(α3－α1)＝(2，3，4，5)T－2(1，1，1，1)T＝(0，1，2，3)T，因此可知(0，1，2，3)T是Aχ＝0的解．又因?yàn)閞(A)＝3，n－r(A)＝1，所以Aχ＝b的通解為(1，1，1，1)T＋k(0，1，2，3)T．11、設(shè)α＝(6，－1，1)T與α＝(－7，4，2)T是線性方程組的兩個解，那么此方程組的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(6，－1，1)T＋k(13，－5，－1)T(k為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：一方面因?yàn)棣?，α2是非齊次線性方程組Aχ＝b的兩個不同的解，因此一定有r(A)＝r(A)＜3．另一方面由于在系數(shù)矩陣A中存在二階子式＝－1≠0因此一定有r(A)≥2，因此必有r(A)＝r()＝2．則n－r(A)＝3－2＝1，因此，導(dǎo)出組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系由一個解向量所構(gòu)成，根據(jù)解的性質(zhì)可知α1－α2＝(6，－1，1)T－(－7，4，2)T＝(13，－5，－1)T，是導(dǎo)出組Aχ＝0的非零解，即基礎(chǔ)解系，那么由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)可知(6，－1，1)T＋k(13，－5，－1)T(k為任意常數(shù))是方程組的通解．12、齊次線性方程組，的一個基礎(chǔ)解系為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：A＝，得同解方程組13、設(shè)A＝，A*是A的伴隨矩陣，則A*χ＝0的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，4，7)T＋k2(2，5，8)T知識點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嘇的秩是2，所以｜A｜＝0，因此A*A＝｜A｜E＝O，所以A的列向量為A*χ＝0的解，又由已知條件得r(A*)＝1，因此A*χ＝0的通解是k1(1，4，7)T＋k2(2，5，8)T．14、齊次方程組有非零解，則λ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3或－1知識點(diǎn)解析：系數(shù)矩陣的行列式｜A｜＝＝－(λ2＋4λ＋3)＝－(λ＋3)(λ＋1)，所以當(dāng)λ＝－3或λ＝－1時，方程組有非零解．15、設(shè)n階矩陣A的秩為n－2，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Aχ＝b的三個線性無關(guān)的解，則Aχ＝b的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：α1＋k1(α2－α1)＋k2(α3－α1)，k1，k2為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：α1，α2，α3是非齊次線性方程組Aχ＝b的三個線性無關(guān)的解，則α2－α1，α3－α1是Aχ＝0的兩個解，且它們線性無關(guān)，又n－r(A)＝2，故α2－α1，α3－α1是Aχ＝0的基礎(chǔ)解系，所以Aχ＝b的通解為α1＋k1(α2－α1)＋k2(α3－α1)，k1，k2為任意常數(shù)．三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)16、已知方程組有解，證明：方程組無解．標(biāo)準(zhǔn)答案：用A1，和A2，分別表示方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，則A2＝(或＝A2T)．已知方程組(Ⅰ)有解，故r(A1)＝r()．又由于(b1，b2，…，bm，1)不能由(a11a21，…，am1，0)，(a12，a22，…，am2，0)，…，(a1n，a2n，…，amn，0)線性表示，則即r(A1T)≠r()，由已知可得r(A1T)＝r(A1)＝r()＝r(A2T)＝r(A2)，則r(A2)≠r()，即方程組(Ⅱ)無解．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、已知線性方程組有無窮多解，而A是3階矩陣，且分別是A關(guān)于特征值1，－1，0的三個特征向量，求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等變換，有由于方程組有無窮多解，故a＝－1或a＝0．當(dāng)a＝－1時，三個特征向量線性相關(guān)，不合題意舍去；當(dāng)a＝0時．三個特征向量線性無關(guān)，是A的特征向量，故a＝0．令P＝，有P-1AP＝A＝，那么A＝PAP-1＝知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)方程組(1)與方程(2)χ1＋2χ2＋χ3＝a－1有公共解，求a的值及所有公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程組(1)與(2)聯(lián)立，得方程組(3)則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解．對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有則方程組(3)有解，即(a－1)(a－2)＝0．當(dāng)a＝1時，此時方程組(3)的通解為k(一1，0，1)T(k為任意常數(shù))，即為方程組(1)與(2)的公共解．當(dāng)a＝2時，此時方程組(3)有唯一解(0，1，－1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)4元齊次線性方程組(1)為而已知另一4元齊次線性方程組(2)的一個基礎(chǔ)解系為α1＝(2，－1，a＋2，1)T，α2＝(－1，2，4，a＋8)T．(1)求方程組(1)的一個基礎(chǔ)解系；(2)當(dāng)a為何值時，方程組(1)與(2)有非零公共解?若有，求出所有非零公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有由于n－r(A)＝4－2＝2，基礎(chǔ)解系由2個線性無關(guān)的解向量所構(gòu)成，取χ3，χ4為自由變量，得β1＝(5，－3，1，0)T，β2＝(－3，2，0，1)T是方程組(1)的基礎(chǔ)解系．(2)設(shè)η是方程組(1)與(2)的非零公共解，則η＝k1β1＋k2β2＝l1α1＋l2α2，其中k1，k2與l1，l2均是不全為0的常數(shù)．由k1β1＋k2β2－l1α1－l2α2＝0，得齊次方程組(3)對方程組(3)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有當(dāng)a≠－1時，則(3)那么方程組(3)只有零解，即k1＝k2＝l1＝l2＝0，于是η＝0，不合題意．當(dāng)a＝－1時，方程組(3)同解變形為解得k1＝l1＋4l2，k2＝l1＋7l2．于是η＝(l1＋4l2)β1＋(l1＋7l2)β2＝l1α1＋l2α2．所以當(dāng)a＝－1時，方程組(1)與(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，－1，1，1)T＋l2(－1，2，4，7)T，l1，l2為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、已知α1，α2，α3是齊次線性方程組Aχ＝0的一個基礎(chǔ)解系，證明α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝0＋0＝0可知，α1＋α2是方程組Aχ＝0的解．同理可知α2＋α3，α1＋α3也是Aχ＝0的解．假設(shè)k1(α1＋α2)＋k2(α2＋α3)＋k3(α1＋α3)＝0，則(k1＋k3)α1＋(k1＋k2)α2＋(k2＋k3)α3＝0，因?yàn)棣?，α2，α3是基礎(chǔ)解系，它們是線性無關(guān)的，因此由于此方程組系數(shù)行列式D＝＝2≠0，則有后。k1＝k2＝k3＝0，所以α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3線性無關(guān)．根據(jù)題設(shè)，Aχ＝0的基礎(chǔ)解系含有3個線性無關(guān)的向量，所以α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3也是方程組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求線性方程組的通解，并求滿足條件χ12＝χ22的所有解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等行變換，有方程組的解：令χ3＝0，χ4＝0得χ2＝1，χ1＝2，即α＝(2，1，0，0)T．導(dǎo)出組的解：令χ3＝1，χ4＝0得χ2＝3，χ1＝1，即η1＝(1，3，1，0)T；令χ3＝0，χ4＝1得χ2＝0，χ1＝－1，即η2＝(－1，3，1，0)T．因此方程組的通解是：(2，1，0，0)T＋k1(1，3，1，0)T＋k2(－1，0，0，1)T如果要求通解滿足χ12＝χ22，則有(2＋k1－k2)2＝(1＋3k1)2，那么2＋k1－k2＝1＋3k1或2＋k1－k2＝－(1＋3k1)，即k2＝1－2k1或k2＝3＋41．所以(1，1，0，1)T＋k(3，3，1，－2)T或(－1，1，0，3)T＋k(－3，3，1，4)T(k為任意常數(shù))是滿足χ12＝χ22的所有解．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、當(dāng)a，b取何值時，方程組有唯一解，無解，有無窮多解?當(dāng)方程組有解時，求其解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等行變換，有(1)當(dāng)a≠0且b≠3時，方程組有唯一解(2)當(dāng)a＝0時，對任意的b，方程組均無解．(3)當(dāng)a≠0，b＝3時，方程組有無窮多解(，1，0)T＋k(0，－3，2)T(k為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)線性方程組已知(1，－1，1，－1)T是該方程組的一個解，求方程組所有的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將(1，－1，1，－1)T代入方程組可得λ＝μ．對增廣矩陣作初等行變換，可知(1)當(dāng)A＝時，因?yàn)閞(A)＝r()＝2＜4，所以方程組有無窮多解．其通解為(，1，0，0)T＋k1(1，－3，1，0)T＋k2(－1，－2，0，2)T(其中k1k2為任意常數(shù))．(2)當(dāng)λ≠時，因r(A)＝r()＝3＜4，所以方程組有無窮多解，其通解為(－1，0，0，1)T＋k(2，－1，1，－2)T，其中k為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有當(dāng)a＝0時，r(A)＝1＜n，故方程組有非零解，其同解方程組為χ1＋χ2＋…＋χn＝0，由此得基礎(chǔ)解系為η1＝(－1，1，0，…，0)T，η2＝(－1，0，1，…，0)T，…，ηn-1＝(－1，0，0，…，1)T，于是方程組的通解為χ＝k1η1＋…＋kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1為任意常數(shù)．當(dāng)a≠0時，對矩陣B作初等行變換，有可知a＝－時，r(A)＝n－1＜n，故方程組也有非零解，其同解方程組為由此得基礎(chǔ)解系為η＝(1，2，…，n)T，于是方程組的通解為χ＝kη，其中k為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、已知3階矩陣A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全為零，矩陣B＝(k為常數(shù))，且AB＝O，求線性方程組Aχ＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB＝O知，B的每一列均是Aχ＝0的解，且r(A)＋r(B)≤3．(1)若k≠9，則r(B)＝2，于是r(a)≤1，顯然r(a)≥1，故r(a)＝1．可見此時Aχ＝0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為3－r(a)＝2，矩陣B的第一列、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Aχ＝0的通解為χ＝(k1，k2為任意常數(shù))．(2)若k＝9，則r(B)＝1，從而1≤r(a)≤2．①若r(A)＝2，則Aχ＝0的通解為：χ＝k1(k1為任意常數(shù))．②若r(A)＝1，則Aχ＝0的同解方程組為：aχ1＋bχ2＋cχ3＝0，不妨設(shè)a≠0，則其通解為χ＝(k1，k2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、某五元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等變換，化為，則自(1)χ4，χ5；(2)χ3，χ5；(3)χ1，χ5；(4)χ2，χ3．那么正確的共有()A、1個B、2個C、3個D、4個標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩r(A)＝3，有n－r(A)＝5－3＝2，故應(yīng)當(dāng)有2個自由變量．由于去掉χ4，χ5兩列之后，所剩三階矩陣為，因?yàn)槠渲扰cr(A)不相等，故χ4，χ5不是自由變量．同理，χ3，χ5不能是自由變量．而χ1，χ5與χ2，χ3均可以是自由變量，因?yàn)樾辛惺蕉疾粸?．所以應(yīng)選B．2、已知α1，α2，α3，是非齊次線性方程組Aχ＝b的三個不同的解，那么下列向量α1－α2，α1＋α2－2α3，(α2－α1)，α1－3α2＋2α3中能導(dǎo)出方程組Aχ＝0的解向量共有()A、4個B、3個C、2個D、1個標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由Aαi＝b(i＝1，2，3)有A(α1－α2)＝Aα1－Aα2＝b－b＝0，A(α1＋α2－2α3)＝Aα1＋Aα2－2Aα3＝b＋b－2b＝0，A＝0，A(α1－3α2＋2α3)＝Aα1－3Aα2＋2Aα3＝b－3b＋2b＝0，那么，α1－α2，α1＋α2－2α3，(α2－α1)，α1－3α2＋2α3均是齊次方程組Aχ＝0的解．所以應(yīng)選A．3、已知α1＝(1，1，－1)T，α2＝(1，2，0)T是齊次方程組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系，那么下列向量中Aχ＝0的解向量是()A、(1，－1，3)TB、(2，1，－3)TC、(2，2，－5)TD、(2，－2，6)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：如果A選項(xiàng)是Aχ＝0的解，則D選項(xiàng)必是Aχ＝0的解．因此選項(xiàng)A、D均不是Aχ＝0的解．由于α1，α2是Aχ＝0的基礎(chǔ)解系，那么α1，α2可表示Aχ＝0的任何一個解η，亦即方程組χ1α1＋χ2α2＝η必有解，因?yàn)榭梢姷诙€方程組無解，即(2，2，－5)T不能由α1，α2線性表示．所以應(yīng)選B．4、設(shè)n元齊次線性方程組Aχ＝0的系數(shù)矩陣A的秩為r，則Aχ＝0有非零解的充分必要條件是()A、r＝nB、r≥nC、r＜nD、r＞n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：將矩陣A按列分塊，A＝(α1，α2，…，αn)，則Aχ＝0的向量形式為χ1α1＋χ2α2＋…＋χnαn＝0，而Aχ＝0有非零解α1，α2，…，αn線性相關(guān)r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以應(yīng)選C．5、已知4階方陣A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其中α1，α2線性無關(guān)，若α1＋2α2－α3＝β，α1＋α2＋α3＋α4＝β，2α1＋3α2＋α3＋2α4＝β，k1，k2為任意常數(shù)，那么Aχ＝β通解為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由α1＋2α2－α3＝β知即γ1＝(1，2，－1，0)T是Aχ＝β的解．同理γ2＝(1，1，1，1)T，γ3(2，3，1，2)T也均是Aχ＝B的解，那么η1＝γ1－γ2＝(0，1，－2，－1)T，η2＝γ3－γ2＝(1，2，0，1)T是導(dǎo)出組Aχ＝0的解，并且它們線性無關(guān)．于是Aχ＝0至少有兩個線性無關(guān)的解向量，有n－r(A)≥2，即r(A)≤2，又因?yàn)棣?，α2線性無關(guān)，有r(A)＝r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)＝2，從而n－r(A)＝2，因此η1，η2就是Aχ＝0的基礎(chǔ)解系，根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，所以應(yīng)選B．6、已知β1，β2是非齊次線性方程組Aχ＝b的兩個不同的解，α1，α2是對應(yīng)的齊次線性方程Aχ＝0的基礎(chǔ)解系，k1，k2為任意常數(shù)，則方程組Aχ＝b的通解是()A、k1α1＋k2(α1＋α2)＋B、k1α1＋k2(α1－α2)＋C、k1α1＋k2(β1＋β2)＋D、k1α1＋k2(β1－β2)＋標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對于A、C選項(xiàng)，因?yàn)樗赃x項(xiàng)A、C中不含有非齊次線性方程組Aχ＝b的特解，故均不正確．對于選項(xiàng)D，雖然(β1－β2)是齊次線性方程組Aχ＝0的解，但它與α1不一定線性無關(guān)，故D也不正確，所以應(yīng)選B．事實(shí)上，對于選項(xiàng)B，由于α1(α1－α2)與α1，α2等價(顯然它們能夠互相線性表示)，故α1，(α1－α2)也是齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，而由可是齊次線性方程組Aχ＝b的_個特解，由非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)定理知，B選項(xiàng)正確．7、三元一次方程組所代表的三個平面的位置關(guān)系為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為A，對增廣矩陣作初等行變換，有因?yàn)閞(A)＝2，而r()＝3，方程組無解，即三個平面沒有公共交點(diǎn)．又因平面的法向量，n1＝(1，2，1)，n2＝(2，3，1)，n3(1，－1，－2)互不平行．所以三個平面兩兩相交，圍成一個三棱柱．所以應(yīng)選C．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、設(shè)A為3×3矩陣，且方程組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系含有兩個解向量，則r(a)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：由線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的和等于未知數(shù)的個數(shù)，且本題系數(shù)矩陣為3×3階，因此r(A)＝n－r＝3－2＝1．9、設(shè)A是一個五階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若η1，η2是齊次線性方程組Aχ＝0的兩個線性無關(guān)的解，則r(A)*＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：η1，η2是齊次線性方程組Aχ＝0的兩個線性無關(guān)的解．因此由方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系，因此有n－r(A)≥2，即r(A)≤3．又因?yàn)锳是五階矩陣，而r(A)≤3，因此｜A｜的4階子式一定全部為0，因此代數(shù)余子式Aij，恒為零，即A*＝O，所以r(A*)＝0．10、設(shè)A＝，若Aχ＝0的解空間是二維空間，那么a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1或5知識點(diǎn)解析：解空間是二維的，即Aχ＝0的基礎(chǔ)解系由兩個向量組成，因此n－r(A)＝2，即r(A)＝2，對矩陣A作初等變換有由此可見a＝5或者a＝1時，r(A)＝2．11、方程組有非零解，則k＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1知識點(diǎn)解析：一個齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式等于零，即＝12(k＋1)＝0，因此得k＝－1．12、設(shè)A＝，A*是A的伴隨矩陣，則A*χ＝0的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，2，－1)T＋k2(1，0，1)T知識點(diǎn)解析：A是一個3階矩陣，由已知得｜A｜＝0，且r(A)＝2，因此r(A*)＝1，那么可知n－r(A*)＝3－1＝2，因此A*χ＝0有兩個基礎(chǔ)解系，其通解形式為k1η1＋k2η2．又因?yàn)锳*A＝｜A｜E＝0，因此矩陣A的列向量是A*χ＝0的解，故通解是k1(1，2，－1)T＋k2(1，0，1)T．13、已知方程組，總有解，則λ應(yīng)滿足的條件是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≠1且λ≠－知識點(diǎn)解析：對于任意的b1，b2，b3，方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩為3，即｜A｜≠0，由｜A｜＝＝(5λ＋4)(λ－1)≠0，可知λ≠1且λ≠－．14、已知方程組，有無窮多解，那么a＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：線性方程組Aχ＝b有解的充分必要條件是r(A)＝r()，而有無窮多解的充分必要條件是r(A)＝r()＜n，對增廣矩陣作初等行變換，有由于r(A)＝2，則可以推出6－2a＝0，因此方程組有無窮多解的充分必要條件是a＝3．三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)15、設(shè)A＝E－ξξT，其中E是n階單位矩陣，ξ是n維非零列向量，ξT是ξ的轉(zhuǎn)置．證明：(1)A2＝A的充分條件是ξTξ＝1；(2)當(dāng)ξTξ＝1時，A是不可逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A2＝(E－ξξT)(E－ξξT)＝E－2ξξT＋ξ(ξTξ)ξT＝(2－ξTξ)ξξT，因此A2＝AE－(2－ξTξ)ξξT＝E－ξξT(ξTξ－1)ξξT＝0．因?yàn)棣巍?，所以ξξT≠0，因此A2＝A的充要條件為ξTξ＝1．(2)當(dāng)ξTξ＝1時，由A＝E－ξξT可得Aξ＝ξ－ξξTξ＝ξ－ξ＝0，因?yàn)棣巍?，因此Aχ＝0有非零解，即｜A｜＝0，所以A不可逆．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、已知方程組的一個基礎(chǔ)解系為(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．試寫出線性方程組的通解，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知，線性方程組(Ⅱ)的通解為y＝c1(a11，a12，…，a1，2n)T＋c2(a21，a22，…，a2，2n)T＋…＋cn(an1，an2，…，an，2n)T，其中c1，c2，…，cn是任意的常數(shù)．這是因?yàn)椋悍匠探M(Ⅰ)和(Ⅱ)的系數(shù)矩陣分別為A，B，則根據(jù)題意可知ABT＝0，因此BAT＝(ABT)T＝0?？梢夾的n個行向量的轉(zhuǎn)置為(Ⅱ)的n個解向量．由于B的秩為n，因此(Ⅱ)的解空間的維數(shù)為2n－r(B)＝2n－n＝n，又因?yàn)锳的秩是2n與(Ⅰ)的解空間的維數(shù)的差，即n，因此A的n個行向量是線性無關(guān)的，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成(Ⅱ)的一個基礎(chǔ)解系，因此得到(Ⅱ)的上述的一個通解．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)α1，α2，…，αs為線性方程組Aχ＝0的一個基礎(chǔ)解系，β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1．其中t1，t2為實(shí)常數(shù)．試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也為Aχ＝0的一個基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣耰(i＝1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的線性組合，且α1，α2，…，αs是Aχ＝0的解據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知βi(i＝1，2，…，s)均為Aχ＝0的解．從α1，α2，…，αs是Aχ＝0的基礎(chǔ)解系知s＝n－r(A)．以下分析β1，β2，…，βs線性無關(guān)的條件：設(shè)k1β1＋k2β2＋…＋ksβs＝0，即(t1k1＋t2ks)α1＋(t2k1＋t1k2)α2＋(t2k2＋t1k3)α3＋…＋(t2ks-1＋t1ks)αs＝0，由于α1，α2，…，αs線性無關(guān)，因此有又因系數(shù)行列式當(dāng)t1s＋(－1)s+1t2s≠0時，方程組(*)只有零解k1＝k2＝…＝ks＝0．因此當(dāng)s為偶數(shù)，t1≠±t2，或當(dāng)s為奇數(shù)，t1≠－t2時，β1，β2，…，βs線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、已知平面上三條不同直線的方程分別為l1＝aχ＋2by＋3c＝0，l2＝bχ＋2cy＋3a＝0，l3＝cχ＋2ay＋3b＝0，試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a＋b＋c＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性：設(shè)三條直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)，則其線性方程組有唯一解，故系數(shù)矩陣A＝與增廣矩陣的秩均為2，于是＝0。因?yàn)椋?(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)3(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，但根據(jù)題設(shè)可知(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故a＋b＋c＝0．充分性：由a＋b＋c＝0，則從必要性的證明中可知，＝0，故r()＜3．由于故r(A)＝2．于是，r(A)＝r()＝2．因此方程組(*)有唯一解，即三直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：(3)nχ1＋(n－1)χ2＋…＋2χn-1＋χn＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)r(A)＝2．因此基礎(chǔ)解系的個數(shù)為4－2＝2，又原方程組等價于取χ3＝1，χ4＝5，得χ1＝－4，χ2＝2；取χ3＝0，χ4＝4，得χ1＝0，χ2＝1．因此基礎(chǔ)解系為(2)r(A)＝2，基礎(chǔ)解系的個數(shù)為4－2＝2，又原方程組等價于取χ3＝1，χ4＝2得χ1＝0，χ2＝0；取χ3＝0，χ4＝19，得χ1＝1，χ2＝7．因此基礎(chǔ)解系為(3)記A＝(n，n－1，…，1)，可見r(A)＝1，從而有n－1個線性無關(guān)的解構(gòu)成此方程的基礎(chǔ)解系，原方程組為χn＝－nχ1－(n－1)χ2－…－2χn-1，取χ1＝1，χ2＝χ3＝…＝χn-1＝0，得χn＝－n；取χ2＝1，χ1＝χ3＝χ4＝…＝χn-1＝0，得χn＝－(n－1)＝－n＋1；取χn-1＝1，χ1＝χ2＝…＝χn-2＝0，得χn＝－2．所以基礎(chǔ)解系為(ξ1，ξ2，ξn-1)＝知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求一個齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為ξ1＝(0，1，2，3)T，ξ2＝(3，2，1，0)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求齊次方程為Aχ＝0，ξ1，ξ2是4維列向量，基礎(chǔ)解系含有2個向量，因此r(A)＝4－2＝2，即方程的個數(shù)大于等于2．記B＝(ξ1，ξ2)，且A的基礎(chǔ)解系為ξ1，ξ2，因此有AB＝0，且r(A)＝2即BTAT＝0且r(AT)＝2，所以AT的列向量就是BTχ＝0的一個基礎(chǔ)解系．BT＝(ξ1，ξ2)T＝得基礎(chǔ)解系A(chǔ)＝對應(yīng)其次線性方程組為知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)四元齊次線性方程組求：(1)方程組Ⅰ與Ⅱ的基礎(chǔ)解系；(2)Ⅰ與Ⅱ的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)求方程組Ⅰ的基礎(chǔ)解系：系數(shù)矩陣為分別取，其基礎(chǔ)解系可取為求方程Ⅱ的基礎(chǔ)解系：系數(shù)矩陣為分別取，其基礎(chǔ)解系可取為(2)設(shè)χ(χ1，χ2，χ3，χ4)T為Ⅰ與Ⅱ的公共解，用兩種方法求χ的一般表達(dá)式：χ是Ⅰ與Ⅱ的公共解，因此χ是方程組Ⅲ的解，方程組Ⅲ為Ⅰ與Ⅱ合并的方程組，即其系數(shù)矩陣取其基礎(chǔ)解系為(－1，1，2，1)T，于是Ⅰ與Ⅱ的公共解為知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A＝(1)求滿足Aξ2＝ξ1，A2ξ3＝ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(2)對(1)中任意向量ξ2和ξ3，證明ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對增廣矩陣(Aξ1)作初等行變換，則得Aχ＝0的基礎(chǔ)解系(1，－1，2)T或者Aχ＝ξ1的特解(0，0，1)T．故ξ2＝(0，0，1)T＋k(1，－1，2)T或ξ2＝(k，－k，2k＋1)T，其中k為任意常數(shù)．由于A2＝，對增廣矩陣(A2ξ1)作初等行變換，有得A2χ＝0的基礎(chǔ)解系(－1，1，0)T，(0，0，1)T．又A2χ＝ξ1有特解(，0，0)T．故ξ3＝(，0，0)T＋t1(－1，1，0)T＋t2(0，0，1)T或ξ3＝(－t，t，t)T，其中t1，t2為任意常數(shù)．(2)因?yàn)樗?，?，ξ2，ξ3線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)已知線性方程組Aχ＝b，存在兩個不同的解．(1)求λ，a；(2)求方程組Aχ＝b的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由已知可得，線性方程組Aχ＝b有兩個不同的解，則r(A)＝r()＜n．則有｜A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)2＝0．可得λ＝1或λ＝－1．當(dāng)λ＝1時，有r(A)＝1，r()＝2，此時線性方程組無解．當(dāng)λ＝－1時，若a＝－2，則r(A)＝r(*)＝2，方程組Aχ＝b有無窮多解．故λ＝－1，a＝－2．(2)當(dāng)λ＝－1，a＝－2時，所以方程組Aχ＝b的通解為＋k(1，0，1)T，其中k是任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、已知齊次線性方程組同解，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于方程組(Ⅱ)中“方程個數(shù)＜未知數(shù)個數(shù)”，所以方程組(Ⅱ)必有非零解．那么方程組(Ⅰ)必有非零解．(Ⅰ)的系數(shù)行列式為0，即對方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有則方程組(Ⅰ)的通解是k(－1，－1，1)T．因?yàn)?－1，－1，1)T是方程組(Ⅱ)的解，則有當(dāng)b＝1，c＝2時，方程組(Ⅱ)為其通解是k(－1，－1，1)T，所以方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．當(dāng)b＝0，c＝1時，方程組(Ⅱ)為由于r(Ⅱ)＝1，而r(Ⅰ)＝2，故方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)不同解，則b＝0，c＝1應(yīng)舍去．因此當(dāng)a＝2，b＝1，c＝2時，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、已知A是m×n矩陣，其m個行向量是齊次線性方程組Cχ＝0的基礎(chǔ)解系，B是m階可逆矩陣，證明：BA的行向量也是齊次方程組Cχ＝0的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知可得A的行向量是Cχ＝0的解，即CAT＝0．則C(BA)T=CATBT＝0BT＝0．可見BA的行向量是方程組Cχ＝0的解．由于A的行向量是基礎(chǔ)解系，所以A的行向量線性無關(guān)，于是m＝r(a)＝n－r(C)．又因?yàn)锽是可逆矩陣，r(BA)＝r(a)＝m＝n－r(C)，所以BA的行向量線性無關(guān)，其向量個數(shù)正好是n－r(C)，從而是方程組Cχ＝0的基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)有齊次線性方程組Aχ＝0和Bχ＝0，其中A，B均為m×n矩陣，現(xiàn)有4個命題：①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，則r(a)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，則Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解；③若Aχ＝0與Bχ＝0同解，則r(A)＝r(B)；④若r(A)＝r(B)，則Aχ＝0與Bχ＝0同解．以上命題中正確的有()A、①②B、①③C、②④D、③④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于線性方程組Aχ＝0和Bχ＝0之間可以無任何關(guān)系，此時其系數(shù)矩陣的秩之間的任何關(guān)系都不會影響它們各自解的情況，所以②，④顯然不正確，利用排除法，可得正確選項(xiàng)為B．下面證明①，③正確：對于①，由Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解可知，方程組Bχ＝0含于Aχ＝0之中，從而Aχ＝0的有效方程的個數(shù)(即為r(A))必不少于Bχ＝0的有效方程的個數(shù)(為r(B))，故r(A)≥r(B)．對于③，由于A，B為同型矩陣，若Aχ＝0與Bχ＝0同解，則其解空間的維數(shù)(即基礎(chǔ)解系包含解向量的個數(shù))相同，即n－r(A)＝n－r(B)，從而r(A)＝r(B)．所以應(yīng)選B．2、設(shè)β1，β2為非齊次方程組的的解向量，α1，α2為對應(yīng)齊次方程組的解，則()A、β1＋β2＋2α1為該非齊次方程組的解．B、β1＋α1＋α2為該非齊次方程組的解．C、β1＋β2為該非齊次方程組的解．D、β1－β2＋α1為該非齊次方程組的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本題考查線性方程組的解的性質(zhì)，將四個選項(xiàng)分別代入非齊次方程組，因此選B．3、n元線性方程組Aχ＝B有兩個解a，c，則下列方程的解是a－c的是()A、2Aχ＝BB、Aχ＝0C、Aχ＝AD、Aχ＝C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：A(a－c)＝Aa－Ac＝0，所以a－c是Aχ＝0的解．4、非齊次線性方程組Aχ＝B中，系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的秩都等于4，A是4×6矩陣，則()A、無法確定方程組是否有解B、方程組有無窮多解C、方程組有唯一解D、方程組無解標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同是方程組有解的充要條件，且方程組的未知數(shù)個數(shù)是6，而系數(shù)矩陣的秩為4，因此方程組有無窮多解，故選B．5、對于齊次線性方程組，而言，它的解的情況是()A、有兩組解B、無解C、只有零解D、無窮多解標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：這是一個齊次線性方程組，只需求出系數(shù)矩陣的秩就可以判斷解的情況．對系數(shù)矩陣A＝作初等列交換，得，因此r(A)＝3，系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個數(shù)，因此方程組只有零解，故選C．6、齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為A．若存在3階矩陣B≠O，使得AB＝O，則()A、λ＝－2且｜B｜＝0．B、λ＝－2且｜B｜≠0．C、λ＝1且｜B｜＝0．D、λ＝1且｜B｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：將矩陣B按列分塊，則由題設(shè)條件有AB＝A[β1，β2，β3]＝[Aβ1，Aβ2，Aβ3]＝O即ABi＝0(i＝1，2，3)，這說明矩陣B的列向量都是齊次線性方程組Aχ＝0的解．又由B≠O，知齊次線性方程組Aχ＝0存在非零解，從而r(A)＜3，且A為3階方陣，故有即λ＝1，排除選項(xiàng)A、B．若｜B｜≠0，則矩陣B可逆．以B-1右乘AB＝O，得ABB-1＝OB-1，即A＝O．這與A為非零矩陣矛盾，選項(xiàng)D不正確．故選C．7、設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量，若＝r(A)，則線性方程組()A、Aχ＝α必有無窮多解B、Aχ＝α必有唯一解C、僅有零解D、必有非零解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于選項(xiàng)C、D為互相對立的命題，且其正確與否不受其他條件制約，故其中必有一個正確也僅有一個正確，因而排除A、B．又齊次線性方程組有n＋1個變量，而由題設(shè)條件知，秩＝r(A)≤n＜n＋1．所以該方程組必有非零解，故選D．8、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次線性方程組Aχ＝b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系()A、不存在B、僅含一個非零解向量C、含有兩個線性無關(guān)的解向量D、含有三個線性無關(guān)的解向量標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)辇R次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含線性無關(guān)的解向量的個數(shù)為n－r(A)．而由A*≠D可知，A*中至少有一個非零元素，由伴隨矩陣的定義可得矩陣A中至少有一個(n－1)階子式不為零，再由矩陣秩的定義有r(A)≥n－1．又由Aχ＝b有互不相等的解知，其解存在且不唯一，故有r(A)＜n，從而r(A)＝n－1．因此對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系僅含一個非零解向量，故選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)A是秩為3的5×4矩陣，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Aχ＝b的三個不同的解，如果α1＋α2＋2α3＝(2，0，0，0)T，3α1＋α2＝(2，4，6，8)T，則方程組Aχ＝b的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，0，0，0)T＋k(0，2，3，4)T知識點(diǎn)解析：由于r(A)＝3，所以齊次方程組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系共有4－r(A)＝4－3＝1個向量，又因?yàn)?α1＋α2＋2α3)－(3α1＋α2)＝2(α3－α1)＝(0，－4，－6，－8)T是Aχ＝0的解，因此其基礎(chǔ)解系可以為(0，2，3，4)T，由A(α1＋α2＋2α3)＝Aα1＋Aα2＋2Aα3＝4b，可知(α1＋α2＋2α3)是方程組Aχ＝b的一個解，因此根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)可知，其通解是(，0，0，0)T＋k(0，2，3，4)T．10、線性方程組，有解，則未知量a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3知識點(diǎn)解析：非齊次線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等，對該方程組的增廣矩陣作初等變換可知a＝－3時，r(A)＝r(A，b)，此時方程組有解．11、設(shè)A＝(aij)是3階正交矩陣，其中a33＝－1，b＝(0，0，5)T，則線性方程組Aχ＝b必有一個解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，0，－5)T知識點(diǎn)解析：由正交矩陣定義，首先AAT＝ATA＝E，由此可知A的列向量和行向量都是單位向量，因此可設(shè)A＝，于是，則線性方程組Aχ＝b必有一個解是(0，0，－5)T．12、非齊次方程組的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(k1，k2為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：對該非齊次線性方程組的增廣矩陣作初等變換13、已知齊次線性方程組有通解k1(2，－1，0，1)T＋k2(3，2，1，0)T，則方程組的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k(13，－3，1，5)T(k為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：方程組(2)的通解一定會在方程組(1)的通解之中，是方程組(1)的通解中滿足(2)中第三個方程的解，令(1)的通解為滿足(2)的第三個方程，得(2k1＋3k2)－2(－k1＋2k2)＋0k2＋k1＝0，得到5k1＝k2，將其代入(1)的通解中，得5k2[1，2，－1，0，1]T＋k2[3，2，1，0]T＝k2[13，－3，1，5]T，是方程組(2)的通解．14、已知方程組(Ⅰ)(Ⅱ)χ＋5χ＝0，那么(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k(－5，3，1)T(k為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：將方程組(Ⅰ)和方程(Ⅱ)聯(lián)立，得到方程組(Ⅲ)(Ⅲ)的解就是兩者的公共解．對(Ⅲ)的系數(shù)矩陣做初等行變換可得由于A的秩為2，因此自由變量有1個，令自由變量χ3＝1，代入可得χ2＝3，χ1＝－5，所以(Ⅲ)的基礎(chǔ)解系為η＝(－5，3，1)T．因此(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解為k(－5，3，1)T(k為任意常數(shù))．三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)15、設(shè)n元線性方程組Aχ＝b，其中(1)當(dāng)a為何值時，該方程組有唯一解，并求χ1；(2)當(dāng)a為何值時，該方程組有無窮多解，并求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)a≠0時，方程組系數(shù)行列式Dn≠0，故方程組有唯一解．根據(jù)克拉默法則，將Dn的第一列換成b，得行列式為所以，χ1＝(2)當(dāng)a＝0時，方程組為χ＝(0，1，…，0)T＋k(1，0，…，0)T，其中k為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)矩陣A＝(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4線性無關(guān)，a1＝2a2－a3，向量b＝a1＋a2＋a3＋a4，求方程Aχ＝b的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：已知a2，a3，a4線性無關(guān)，則r(A)≥3．又顯然a1，a2，a3線性相關(guān)，因此由a1，a2，a3，a4線性相關(guān)可知r(A)≤3．終上所述，有r(A)＝3，從而原方程的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為4－3＝1，a1＝2a2－a3a1－2a2＋a3＝0(a1，a2，a3，a4)＝0，即χ＝(1，－2，1，0)T滿足方程Aχ＝0，所以χ＝(1，－2，1，0)T是該方程組的基礎(chǔ)解系．又b＝a1＋a2＋a3＋a4χ＝(1，1，1，1)T是方程Aχ＝b的一個特解．于是由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)可知，原方程的通解為知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)η1，…，ηs是非齊次線性方程組Aχ＝b的s個解，k1，…，ks為實(shí)數(shù)，滿足k1＋k2＋…＋ks＝1．證明χ＝k1η1＋k2η2＋…＋ksηs也是方程組的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于η1，…，ηs是非齊次線性方程組Aχ＝b的s個解，故有Aηi＝b(i＝1，…，s)，當(dāng)χ＝k1η1＋k2η2＋…＋ksηs，有Aχ＝A(k1η1＋k2η2＋…＋ksηs)＝k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ksAηs＝b(k1＋…＋ks)＝b，即Aχ＝b(χ＝k1η1＋k2η2＋…＋ksηs)，由此可χ也是方程的解．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A＝(1)計算行列式｜A｜(2)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時，方程組Aχ＝