考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷1（共267題）

考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷1（共9套）（共267題）考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0．則方程在(a，b)內(nèi)的根有()A、0個B、1個C、2個D、無窮多個標準答案：B知識點解析：令則F(x)在[a，b]上連續(xù)，而且故F(x)在(a，b)內(nèi)有根．又，所以F(x)單調(diào)增加，它在(a，b)內(nèi)最多只有一個根．應選B．2、設f(x)連續(xù)，f(0)=1，f’(0)=2．下列曲線與曲線y=f(x)必有公共切線的是()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：曲線y=f(x)在橫坐標x=0對應的點(0，1)處切線為y=1+2x．選項D中函數(shù)記為y=F(x)．由F(0)=1，F(xiàn)’(0)=2f(0)=2，知曲線y=F(x)在橫坐標x=0對應點處切線方程也為y=1+2x．故應選D．3、設φ(x)在[a，b]上連續(xù)，且φ(x)＞0，則函數(shù)的圖形()A、在(a，b)內(nèi)為凸B、在(a，b)內(nèi)為凹C、在(a，b)內(nèi)有拐點D、在(a，b)內(nèi)有間斷點標準答案：B知識點解析：先將φ(x)利用｜x一t｜的分段性分解變形，有因為φ(t)在[a，b]上連續(xù)，所以φ(x)可導，因而答案不可能是D．為討論其余三個選項，只需求出φ’’(x)，討論φ’’(x)在(a，b)內(nèi)的符號即可．因故y=φ(x)的圖形為凹．應選B．4、則()A、F(x)為f(x)的一個原函數(shù)B、F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函數(shù)C、F(x)在(一∞，+∞)上不連續(xù)D、F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，但不是f(x)的原函數(shù)標準答案：D知識點解析：請看通常的解法：求積分并用連續(xù)性確定積分常數(shù)，可得但是所以F’+(0)≠F’-(0)．根據(jù)原函數(shù)定義，F(xiàn)(x)不是f(x)在(一∞，+∞)上的原函數(shù)．請考生看看，我們還有更好的方法解決這個問題嗎?事實上，由于f(x)有第一類間斷點，所以F(x)必然不是其原函數(shù)，而變限積分存在就必連續(xù)，所以答案自然選擇D．5、則在(一∞，+∞)內(nèi)，下列正確的是()A、f(x)不連續(xù)且不可微，F(xiàn)(x)可微，且為f(x)的原函數(shù)B、f(x)不連續(xù)，不存在原函數(shù)，因而F(x)不是f(x)的原函數(shù)C、f(x)和F(x)均為可微函數(shù)，且F(x)為f(x)的一個原函數(shù)D、f(x)連續(xù)，且F’(x)=f(x)標準答案：A知識點解析：可以驗證x=0為f(x)的第二類間斷點，因為：故x=0為f(x)的第二類振蕩間斷點，可能存在原函數(shù)．通過計算故F(x)可微，即F’(x)=f(x)，故A正確．同樣請考生自己得出此題的簡捷做法．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、已知函數(shù)F(x)的導數(shù)為則F(x)=_________．標準答案：知識點解析：由題意7、標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：8、積分標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：9、設z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，其中f，g分別二階連續(xù)可導和二階連續(xù)可偏導，則＝___________。標準答案：f’＋xf"＋xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’＋yx2y－1lnxg11"＋2y2xy－1g12"＋2xy＋1lnxg21"＋4xyg22"知識點解析：由z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，得10、設f(u，v)一階連續(xù)可偏導，f(tx，ty)＝t3f(x，y)，且fx’(1，2)＝1，fy’(1，2)＝4，則f(1，2)＝___________．標準答案：3知識點解析：f(tx，ty)＝t3f(x，y)兩邊對t求導數(shù)得xfx’(tx，ty)＋yfy’(tx，ty)＝3t2f(x，y)，取t＝1，x＝1，y＝2得fx’(1，2)＋2fy’(1，2)＝3f(1，2)，故f(1，2)＝3．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)11、已知，設D為由x＝0、y＝0及x＋y＝t所圍成的區(qū)域，求標準答案：當t＜0時，F(xiàn)(t)＝0；當0≤t＜1時，當1≤t＜2時，當t≥2時，F(xiàn)(t)＝1，則知識點解析：暫無解析12、計算，其中D＝{(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．故標準答案：令D1＝{(x，y)｜0≤x≤1,0≤y≤x}，D2＝{(x，y)｜0≤x≤y，0≤y≤1}，則知識點解析：暫無解析13、計算，其中D＝{(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤2}．標準答案：令D1＝{(x，y)｜－1≤x≤1，0≤y≤x2)，D2＝{(x，y)｜一1≤x≤1，x2≤y≤2)，知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：本題考查的知識點是不定積分的分部積分法，關鍵是選好u和du=－cosx.lnsinx+∫(csc2x－1)dx=－cot.lnsinx－cotx－x+C知識點解析：暫無解析18、標準答案：本題考查典型的有理函數(shù)的不定積分，首先湊微分，然后將分母配方．知識點解析：暫無解析19、標準答案：因x=一[(1一x)一1]，從而可湊微分法．知識點解析：暫無解析20、標準答案：本題考查定積分的性質(zhì)和定積分的計算，由于是對稱區(qū)間上的定積分，一般利用奇函數(shù)，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上積分性質(zhì)簡化計算，本題還用到了華里士公式．知識點解析：暫無解析21、標準答案：此題計算量大些，考慮用分部積分法．然后分部積分，留arccosx，移到d后面，即知識點解析：暫無解析22、標準答案：由于(x一1nx)’≠1一lnx，分子分母同時除以，注意到知識點解析：暫無解析23、標準答案：一般會想到如下解法：用牛頓一萊布尼茨公式，令則知識點解析：暫無解析設f(x)連續(xù)，其中V＝{(x，y，z)｜x2＋y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求24、設f(x)連續(xù)，其中V＝{(x，y，z)｜x2＋y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求標準答案：知識點解析：暫無解析25、其中，[x]表示不超過x的最大整數(shù)．標準答案：因分段函數(shù)則由定積分的分段可加性得知識點解析：暫無解析26、標準答案：因分段函數(shù)則由定積分的分段可加性得知識點解析：暫無解析27、已知標準答案：令t=x一2n，則由定積分的分段可加性與分部積分得，知識點解析：暫無解析28、設f(x)在[0，1]上連續(xù)且單調(diào)減少，且f(x)＞0．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析29、證明：用二重積分證明標準答案：令D1＝{(x，y)｜x2＋y2≤R2，x≥0，y≥0)，S＝{(x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R)，D2＝{(x，y)｜x2＋y2≤2R2，x≥0，y≥0)知識點解析：暫無解析30、計算定積分標準答案：令1一x=sint，則知識點解析：暫無解析31、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析32、設函數(shù)x=x(y)由方程x(y—x)2=y所確定，試求不定積分標準答案：令y—x=t，則(y—t)t2=y，故得t3一3t=A(t3+t2一t一1)+B(t2+2t+1)+C(t3一t2一t+1)+D(t2一2t+1)=(A+C)t3+(A+B—C+D)t2+(一A+2B—C一2D)t—A+B+C+D．比較t的同次冪的系數(shù)得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、由曲線y=1一(x一1)2及直線y=0圍成圖形(如圖3—1所示)繞y軸旋轉而成的立體的體積V是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)選項需把曲線表成x=x(y)，于是要分成兩部分2、曲線r=aebθ(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α[(α＞0)的一段弧長為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：利用極坐標表示曲線的弧長公式，故選A．3、旋輪線的一支x=a(t—sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤2π)的質(zhì)心是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：先求弧微分故選A．4、半圓形閘門半徑為R(米)，將其垂直放入水中，且直徑與水面齊，設水密度ρ=1．若坐標原點取在圓心，x軸正向朝下，則閘門所受壓力P為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：如圖3—8所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相應的小橫條所受壓力微元5、設F(x)=∫xx+2πesintsintdt，則F(x)()A、為正常數(shù)．B、為負常數(shù)．C、恒為零．D、不為常數(shù)．標準答案：A知識點解析：由分析可知，F(xiàn)(x)=F(0)，而F(0)=∫02πesintsintdt=一∫02πesintdcost=一esintcost｜02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0．故選A．6、等于()A、∫01ln2xdx．B、2∫12lnxdx．C、2∫12ln(1+x)dx．D、∫12ln2(1+x)dx．標準答案：B知識點解析：結合積分的定義，則故選B．7、設函數(shù)f(x)連續(xù)，則在下列變上限積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()A、∫0xt[f(t)一f(一t)dtB、∫0xt[f(t)+f(一t)dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0x[f(t)]2dt標準答案：B知識點解析：取f(x)=x，則相應的均為奇函數(shù)，故不選A、C、D．應選B．8、設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，則方程∫axf(t)dt+=0在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的根有()A、0個．B、1個．C、2個．D、無窮多個．標準答案：B知識點解析：賦值法．取f(x)≡1，顯然滿足題設條件．而此時原方程化為(x一a)+(x一b)=0，即2x一(a+b)=0．而該方程顯然在(a，b)內(nèi)只有一個實根，可見A、C、D均不正確，故選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、f(x)=，則∫14(x—2)dx=_________標準答案：知識點解析：設x一2=t，dx=dt，當x=1時，t=一1；當x=4時，t=2．于是10、設f(x)=max{1，x2}，則∫xxf(t)dt=_________標準答案：知識點解析：11、拋物線y2=2px，從原點到這曲線上的一點M(x，y)的弧長s=_________．標準答案：知識點解析：設p＞O，y＞0，則12、已知曲線y=f(x)過點(0，一)，且其上任一點(x，y)處的切線斜率為xln(1+x2)，則f(x)=_________．標準答案：(1+x2)[ln(1+x2)一1]知識點解析：13、在曲線y=x2(0≤x≤1)上取一點(t，t2)(0＜t＜1)，設A1是由曲線y=x2(0≤x≤1)，直線y=t2和x=0所圍成圖形的面積；A2是由曲線y=x2(0≤x≤1)，直線y=t2和x=1所圍成圖形的面積，則t取_________時，A=A1+A2取最小值．標準答案：知識點解析：如圖3—9所示．A1=∫0t(t2一x2)dx，A2=∫01(x2一t2)dx，A(t)=A1(t)+A2(t)=2∫01(t2一x2)dx+∫01(x2—t2)dx14、已知拋物葉形線的一部分：y2=(3一x)2(0≤x≤3)，如圖3—2所示，它圍成的圖形為M，則M的面積A=_________，M的質(zhì)心(形心)=_________．標準答案：知識點解析：(1)由對稱性可知，第一象限內(nèi)y=(3一x)與x軸圍成的面積的兩倍即是M的面積，因此三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、求由曲線y=與直線y=a(0＜a＜1)以及x=0，x=1圍成的平面圖形(如圖3—5的陰影部分)繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的體積V(a)．標準答案：把由曲線y=與直線y=a(0＜a＜1)以及x=0，x=1圍成的平面圖形記為D，則D可分為兩個部分區(qū)域知識點解析：暫無解析16、設函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0．試證明在(0，π)內(nèi)至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．標準答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，則有F(0)=0，F(xiàn)(π)=0。又因為0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，則在(0，π)內(nèi)F(x)sinx恒為正或恒為負，與∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，但當ξ∈(0，π)時sinξ≠0，故F(ξ)=0。由以上證得，存在滿足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0，再對F(x)在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，π]上分別用羅爾定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ)=F’(ξ)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0．知識點解析：暫無解析17、設f(x)在[0，+∞]連續(xù)，且證明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．標準答案：作函數(shù)F(x)=f(x)+x，有∫01F(x)dx=∫01[f(x)+x]dx=∫01f(x)dx+＜0．所以由積分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1—0)F(a)＜0，即F(a)＜0．又因此，由零點定理，至少存在一個ξ∈(a，b)(0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0．知識點解析：暫無解析18、計算不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析19、設f(x)=，證明曲線y=f(x)在區(qū)間(ln2，+∞)上與x軸圍成的區(qū)域有面積存在，并求此面積．標準答案：知識點解析：暫無解析20、計算下列反常積分(廣義積分)的值．標準答案：(1)由于x2一2x=(x一1)2一1，因此為去掉被積函數(shù)中的根號，可令x一1=sect則有知識點解析：暫無解析21、設函數(shù)y=f(x)在[a，b]上(a＞0)連續(xù)，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸圍成的平面圖形(如圖3—6所示)繞)，軸旋轉一周得旋轉體，試導出該旋轉體的體積公式．標準答案：用微元法，任取[a，b]上小區(qū)間[x，x+dx]，相應得到小曲邊梯形，它繞y軸旋轉所成立體的體積為dV=｜f(x)｜2πxdx，于是積分得旋轉體的體積為V=2π∫abx｜f(x)｜dx知識點解析：暫無解析22、設曲線y=在(x0，y0)處有公切線(如圖3—7所示)，求這兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積V。標準答案：先求a值與切點坐標，由已知條件知識點解析：暫無解析23、假定所涉及的反常積分(廣義積分)收斂，證明∫—∞+∞f(x一)dx=∫—∞+∞f(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導數(shù)，證明∫abf(x)dx=∫abf"(x)(x一a)(x一b)dx．標準答案：連續(xù)利用分部積分法有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=f(a)(b—a)一∫abf’(x)(x—b)d(x一a)=f(a)(b一a)+∫ab(x一a)d[f’(x)(x一b)]=f(a)(b一a)+∫ab(x一a)df(x)+∫abf"(x)(x一a)(x一b)dx=f(a)(b—a)+f(b)(b一a)一∫abf(x)dx+∫abf"(x)(x一a)(x一b)dx，移項并整理得∫abf(x)dx=∫abf"(x)(x一a)(x—b)dx．知識點解析：暫無解析25、設f(x)在[a，b]上有連續(xù)的導數(shù)，證明｜∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx．標準答案：可設｜f(x)｜=｜f(x)｜，即證(b一a)｜f(x0)｜≤｜∫abf(x)｜+(b一a)∫ab｜f’(x)｜dx，即｜∫abf(x0)dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤(b—a)∫ab｜f’(x)｜dx．事實上，｜∫abf(x0)dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤｜∫ab[f(x0)—f(x)]dx｜=｜∫ab[(t)dt]dx｜≤∫ab[∫ab｜f’(t)｜dt]dx=(b一a)∫ab｜f’(x)｜dx．故得證．知識點解析：暫無解析26、設函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．證明在(0，π)內(nèi)f(x)至少有兩個零點．標準答案：反證法，如果f(x)在(0，π)內(nèi)無零點(或有一個零點，但f(x)不變號，讓法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)內(nèi)，有sinx＞0，因此，必有∫0πf(x)sinxdx＞0(或＜0)。這與假設相矛盾．如果f(x)在(0，π)內(nèi)有一個零點，而且改變一次符號，設其零點為a∈(0，π)，于是在(0，a)與(a，π)內(nèi)f(x)sin(x一a)同號，因此∫0πf(x)sin(x一a)dx≠0，但是，另一方面∫0πf(x)sin(x一a)dx=∫0πf(x)(sinxcosa一cossina)dx=cos∫0πf(x)sinxdx一sina∫0π)f(x)cosxdx=0．這個矛盾說明f(x)也不能在(0，π)內(nèi)只有一個零點，因此它至少有兩個零點．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設則有()A、I123B、I321C、I231D、I213標準答案：D知識點解析：首先，由可得I2＜I1．其次，．其中故I3＞I1，從而I2＜I1＜I3，故選D．2、積分()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：3、積分()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：設x=t6，則．4、積分()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：5、()A、B、C、arctan(-cox2x)+CD、標準答案：B知識點解析：6、積分()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：7、設f(x)在[a，b]上非負，在(a，b)內(nèi)f’’(x)＞0，f’(x)＜0,則I1、I3、I3的大小關系為()A、I1≤I2≤I3B、I2≤I3≤I1C、I1≤I3≤I2D、I3≤I2≤I1標準答案：D知識點解析：如圖所示，I1是梯形AabB的面積，I2是曲邊梯形AabB的面積，I3是長方形A1abB的面積．由于f’(x)＜0，f’’(x)＞0，y=f(x)單調(diào)減少且圖形為凹．由圖1．3—1可知I3≤I2≤I1．8、設函數(shù)f(x)在[a，b]上可積，，則下列說法正確的是()A、φ(x)在[a，b]上可導B、φ(x)在[a，b]上連續(xù)C、φ(x)在[a，b]上不可導D、φ(x)在[a，b]上不連續(xù)標準答案：B知識點解析：當f(x)在[a，b]上連續(xù)時在[a，b]上可導．如果f(x)只在[a，b]上可積，則只能保證φ(x)在[a，b]上連續(xù)．9、設則()A、N≤P≤QB、N≤Q≤PC、Q≤P≤ND、P≤N≤Q標準答案：D知識點解析：x2sin3x是奇函數(shù)，故N=0，x3e2是奇函數(shù)，故所以P≤N≤Q.10、設f(x)連續(xù)，則在下列變上限積分中，必為偶函數(shù)的是()A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：奇函數(shù)的原函數(shù)是偶函數(shù)(請讀者自己證之．但要注意，偶函數(shù)f(x)的原函數(shù)只有為奇函數(shù)，因為其它原函數(shù)與此原函數(shù)只差一個常數(shù)，而奇函數(shù)加上一個非零常數(shù)后就不再是奇函數(shù)了)，選項A中被積函數(shù)為奇函數(shù)，選項B，C被積函數(shù)都是偶函數(shù)．選項D中雖不能確定為偶函數(shù)，但為非負函數(shù)，故變上限積分必不是偶函數(shù)，應選A．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：12、xx(1+Inx)的全體原函數(shù)為=_____________．標準答案：xx+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：因為(xx)’=(exlnx)’=xz(1+lnx)，所以∫xx(1+lnx)dx=xx+C.13、∫(arcsinx)2dx=____________.標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：14、標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：15、若∫f(x)dx－F(x)+C,且x=at－b(a≠0),則∫f(t)dt=_________.標準答案：F(t)+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：因F’(x)=f(x)，故F’(t)=f(t)，于是∫f(t)dt=F(t)+C.16、積分標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：17、設f’(ex)=1+x，則f(x)=_________．標準答案：xlnx+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：設u=ex，則x=Inu，由f’(ex)=1+x，得f’(u)=1+lnu，f(u)=∫(1+lnu)du一ulnu+C，因此f(x)=xlnx+C18、積分標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：19、將分解為部分分式的形式為_______．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設f(x)的一個原函數(shù)為lnx，則f’(x)=_________．標準答案：知識點解析：由題設三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設求f(x)dx．標準答案：因為f(x)在(一∞，1)內(nèi)連續(xù)，所以∫f(x)如在(一∞，1)內(nèi)存在，因而∫f(x)dx在x=0處連續(xù)可導，因此又因x=1為f(x)的第一類間斷點，所以在包含x=1的區(qū)間內(nèi)f(x)的原函數(shù)不存在，故此處的C1和C2是兩個相互獨立的常數(shù)．知識點解析：暫無解析22、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析23、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析24、已知f(x)的一個原函數(shù)為(1+sinx)lnx，求∫xf’(x)dx．標準答案：由于∫xf’(x)fx=xf(x)－∫f(x)dx，又由于(1+sinx)lnx為f(x)的一個原函數(shù)，知識點解析：暫無解析25、計算標準答案：知識點解析：暫無解析26、求標準答案：借助圖1．3—3，可得知識點解析：暫無解析27、求標準答案：因為x4+1=(x2+1)2一2x2=所以可令比較系數(shù)得，知識點解析：暫無解析28、設f(x)連續(xù)，且f(0)＝1，令F(t)＝f(x2＋y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．標準答案：知識點解析：暫無解析29、計算二重積分標準答案：知識點解析：暫無解析30、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)在[a，b]連續(xù)，則f(x)在[a，b]非負且在[a，b]的任意子區(qū)間上不恒為零是F(x)=∫axf(t)dt在[a，b]單調(diào)增加的()A、充分非必要條件．B、必要非充分條件．C、充要條件．D、既非充分又非必要條件．標準答案：C知識點解析：已知g(x)在[a，b]連續(xù)，在(a，b)可導，則g(x)在[a，b]單調(diào)增加g’(x)≥0(x∈(a，b))，在(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)g’(x)≠0．因此，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)dt(在[a，b]可導)在[a，b]單調(diào)增加F’(x)=f(x)≥0(x∈(a，b))且在(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)F’(x)=f(x)≠0．故選C．2、設g(x)=∫0xf(u)du，其中f(x)=則g(x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)(．)A、無界．B、遞減．C、不連續(xù)．D、連續(xù)．標準答案：D知識點解析：因為f(x)在區(qū)間[0，2]上只有一個第一類間斷點(x=1為f(x)的跳躍間斷點)，所以f(x)在該區(qū)間上可積，因而g(x)=∫0xf(u)du在該區(qū)間內(nèi)必連續(xù)，故選D．3、方程=0根的個數(shù)()A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：B知識點解析：設F(x)=，則F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，又F(0)=＞0，由零點定理得F(x)=0至少有一個根。又易知．且當x∈(一∞，+∞)時，≥1(等號僅當x=0成立)，又0＜≤1，一1≤sinx≤1，所以有一1≤≤1，又F’(0)=1>0，因此F’(x)＞0，從而有F(x)在(一∞，+∞)嚴格單調(diào)遞增，因此，F(xiàn)(x)=0最多有一實根．綜上，F(xiàn)(x)=0在(一∞，+∞)上有且僅有一個實根，故選B．4、由曲線y=(0≤x≤π)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體體積為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由曲線y=f(x)繞x軸旋轉所得旋轉體的體積計算公式，得故遠B．5、設一元函數(shù)f(x)有下列四條性質(zhì)：①f(x)在[a，b]連續(xù)；②f(x)在[a，b]可積；③f(x)在[a，b]存在原函數(shù)；④f(x)在[a，b]可導．若用“P→Q”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()A、①→②→③．B、①→③→④．C、④→①→②．D、④→③→①．標準答案：C知識點解析：這是討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的可導性、連續(xù)性及可積性與原函數(shù)存在性間的關系問題．由f(x)在[a，b]可導→f(x)在[a，b]連續(xù)→f(x)在[a，b]可積且存在原函數(shù)．故選C．6、曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸所圍成圖形面積可表示為()A、一∫02x(x一1)(2一x)dx．B、∫01x(x一1)(2一x)dx—∫12x(x一1)(2一x)dx．C、一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD、∫02x(x一1)(2一x)dx．標準答案：C知識點解析：由于所求平面圖形在x軸上、下方各有一部分，其面積為這兩部分的面積之和，所以只要考查B、C選項中的每一部分是否均為正即可，顯然C正確．事實上，S=∫02｜y｜dx=∫02｜x(x一1)(2一x)｜dx=∫01｜x(x—1)(2一x)｜dx+∫12｜x(x—1)(2一x)｜dx=一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx。7、設f(x)=∫0xecost一e—costdt，則()A、f(x)=f(x+2π)．B、f(x)＞f(x+2π)．C、f(x)＜f(x+2π)．D、當x＞0時，f(x)＞f(x+2π)；當x＜0時，f(x)＜f(x+2π)．標準答案：A知識點解析：考查f(x+2π)一f(x)=∫xx+2x[ecost一e—cost]dt被積函數(shù)以2π為周期且為偶函數(shù)，由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得因此，f(x+2π)一f(x)=0，故選A．8、曲線y=e9sinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成圖形的面積可表示為()A、一∫03πe—xsinxdxB、∫03πe—xsinxdx．C、∫0πe—xsinxdx一∫ππe—xsinxdx+∫2π3πe—xsinxdx．D、∫02πe—xsinxdx一∫2π3πe—xsinxdx．標準答案：C知識點解析：當0≤x≤π或2π≤x≤3π時，y≥0；當π≤x≤2π時，y≤0．所以y=e—xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的面積為∫0πe—xsinxdx一∫π2πe—xsinxdx+∫2π3πe—xsinxdx．故選C．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、=_________．標準答案：ln2知識點解析：10、=_________．標準答案：ln2知識點解析：原式整理得11、=_________．標準答案：知識點解析：12、設=c，則a=_________，b=_________，c=_________。標準答案：a≠1；b=0；c=0或a=1；b=0；c=一2知識點解析：13、曲線y=∫0xtantdt(0≤x≤)的弧長s=_________。標準答案：ln(1+)知識點解析：14、設F(x)=，(x＞0)，則F(x)=_________。標準答案：知識點解析：15、曲線ρθ=1相應于的一段弧長s=_________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)16、(1)設f(x)連續(xù)，證明∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx；(2)證明，其中曲線l為y=sinx，x∈[0，π]。標準答案：(1)設x=π—t，則dx=一dt，且當x=0時，t=π；當x=π時，t=0．于是∫0πxf(sinx)dx=一∫π0(π—t)f[sin(π一t)]dt=∫0π(π一t)f(sint)dt=π∫0πf(sint)dt—∫0πtf(sint)dt=π∫0πf(sinx)dx—∫0πxf(sinx)dx，知識點解析：暫無解析17、(1)設f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，證明f(x)是以l(＞0)為周期的周期函數(shù)的充要條件是對任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx．(2)計算標準答案：(1)證明：必要性：設φ(a)=∫0a+lf(x)dx一∫0af(x)dx，由題設φ’(a)=f(a+l)一f(a)=0，則φ(a)=c(常數(shù))．設a=0，則c=φ(0)=∫0lf(x)dx，那么φ(a)=∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx．充分性：在∫0a+lf(x)dx=∫0lf(x)dx兩邊對a求導，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l為周期．(2)利用上述性質(zhì)，將原區(qū)間變換成對稱區(qū)間，從而利于使用函數(shù)的奇偶性，于是知識點解析：暫無解析18、設f(x)在[—π，π]上連續(xù)，且有f(x)=+∫—ππf(x)sinxdx，求f(x)．標準答案：由于∫—ππf(x)sinxdx存在，且記為A，于是可得，知識點解析：暫無解析19、設曲線y=ax2(x≥0，常數(shù)a＞0)與曲線y=1一x2交于點A，過坐標原點O和點A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D，求(1)D繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的體積V(a)；(2)a的值，使V(a)為最大．標準答案：當a＞0時，得V(a)的唯一駐點a=4．當0＜a＜4時，V’(a)＞0；當a＞4時，V’(a)＜0．故a=4為V(a)的唯一極大值點，即為最大值點．知識點解析：暫無解析20、過坐標原點作曲線y=ex的切線，該切線與曲線y=ex以及x軸圍成的向x軸負向無限伸展的平面圖形，記為D，求(1)D的面積A；(2)D繞直線x=1所成的旋轉體的體積V。標準答案：設切點坐標為P(x0，y0)，于是曲線y=ex在點P的切線斜率為y’0=，則切線方程為y一y0=(x一x0)．它經(jīng)過點(0，0)，所以一y0=一，代入求得x0=1，從而y0==e，即切線方程為y=ex．(1)取水平微元為A的面積元素，D的面積(如圖3—11所示)知識點解析：暫無解析21、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析22、設有擺線試求L繞x軸旋轉一周所得旋轉面的面積．標準答案：這是由參數(shù)方程給出的曲線，由于x’(θ)=1一cosθ，y’(θ)=sinθ，則按旋轉面面積計算公式，可得旋轉面的面積知識點解析：暫無解析23、計算(1)求J=；(2)設f(x)=max{x3，x2，1}，求∫f(x)dx標準答案：因此，∫f(x)dx=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析24、設曲線L的參數(shù)方程為x=φ(t)=t—sint，t=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)．(1)求由L的參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=y(x)，并求出它的定義域．(2)求曲線L與x軸所圍圖形繞y軸旋轉一周所成旋轉體的體積V。標準答案：(1)φ’(t)=1一cost＞0(t∈(0，2π))，φ’(0)=φ’(2π)=0，又φ(t)在[0，2π]上連續(xù)，所以φ(t)在[0，2π]單調(diào)遞增，值域為[φ(0)，φ(2π)]=[0，2π]，則x=φ(t)在[0，2π]存在連續(xù)的反函數(shù)t=t(x)，定義域為[0，2π]，即y(x)=ψ[t(x)]在[0，2π]上連續(xù)．(2)由旋轉體的體積公式有：V=2π∫02πxy(x)dx=2π∫02π(t一sint)(1一cost)2dt=2π∫02πt(1一cost)2dt一2π(訂sint(1一cost)2dt，其中∫02πsint(1一cost)2dt=∫—ππsint(1一cost)2dt=0。再令t=2π—s，那么V=2π∫02π(2π—s)(1一coss)2ds=2π∫02π2π(1—coss)2ds—V，從而知識點解析：暫無解析25、設f(x)在[0，a]上有一階連續(xù)導數(shù)，證明至少存在一點ξ∈[0，a]，使得∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)．標準答案：∫0af(x)dx=∫0af(x)d(x一a)=[(x—a)f(x)]｜0a—∫0a(x—a)f’(x)dx=af(0)一∫0a(x一a)f’(x)dx．因為f’(x)連續(xù)，x一a≤0(x∈[0，a])，故由積分中值定理知，至少存在一點ξ∈[0，a]，使知識點解析：暫無解析26、設f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲線y=f(x)與x軸所圍封閉圖形的面積．標準答案：因為t｜t｜為奇函數(shù)，可知其原函數(shù)f(x)=∫—1xt｜t｜dt=∫—10t｜t｜dt+∫0xt｜t｜dt為偶函數(shù)，即由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)與x軸有交點(一1，0)，(1，0)．又由f’(x)=x｜x｜，可知x＜0時，f’(x)＜0，故f(x)單調(diào)減少，從而f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)；當x＞0時，f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)單調(diào)增加，且y=f(x)與x軸有一交點(1，0)．綜上，y=f(x)與x軸交點僅有兩個．所以封閉曲線所圍面積A=∫—11｜f(x)｜dx=2∫—10｜f(x)｜dx知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、由曲線y=x(0≤x≤π)與x軸圍成的圖形繞x軸旋轉所成旋轉體的體積為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：2、拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：選積分變量為y(如圖1．3-2)，兩條曲線的交點3、曲線上相應于x從3到8的一段弧的長度為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)4、設f(x)連續(xù)，則=________標準答案：xf(x2)知識點解析：5、設n是正整數(shù)，則=________標準答案：知識點解析：當f(x)+f(a+b-x)便于積分時可簡化定積分的計算．6、=________標準答案：知識點解析：7、定積分中值定理的條件是f(x)在[a，b]上連續(xù)，結論是________標準答案：在[a，b]上至少存在一點ξ，使=f(ξ)(b-a)，a≤ξ≤b知識點解析：暫無解析8、=______標準答案：1知識點解析：9、=________標準答案：知識點解析：令，則x=t2+2，dx=2tdt，原積分=10、反常積分=_______標準答案：知識點解析：11、反常積分=_________標準答案：知識點解析：12、曲線9y2=4x3上從x=0到x=1的一段弧的長度為_______標準答案：知識點解析：曲線方程可化為，弧長元素13、由曲線y=x3，y=0及x=1所圍圖形繞z軸旋轉一周得到的旋轉體的體積為________標準答案：知識點解析：該旋轉體體積14、函數(shù)y=lnx在區(qū)間[1，e]上的平均值為_____標準答案：知識點解析：平均值三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)15、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：至少存在一點ξ∈(a，b)，使得標準答案：記G(x)=求得G(x)的原函數(shù)F(x)=，其中C為任意常數(shù)．因為f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，所以F(x)：(1)在[a，b]上連續(xù)；(2)在(a，b)內(nèi)可導；(3)F(a)=F(b)=C，即F(x)在[a，b]上滿足羅爾定理，所以，至少存在一個ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即知識點解析：暫無解析16、設f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且滿足證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．標準答案：由積分中值定理，得令F(x)=，則F(x)在[ξ1，1]上連續(xù)，在(ξ1，1)內(nèi)可導，且F(1)=f(1)=f(ξ1)=F(ξ1)．由羅爾定理，在(ξ1，1)內(nèi)至少有一點ξ，使得F’(ξ)=[f’(ξ)-2ξf(ξ)]=0，于是f’(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ1，1)(0，1)．知識點解析：暫無解析17、設函數(shù)f(x)有連續(xù)導數(shù)，F(xiàn)(x)=，證明：F(2a)-2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)．標準答案：F(2a)-2F(a)知識點解析：暫無解析18、f(x)在[0，1]上有連續(xù)導數(shù)，且f(0)=0，證明：存在ξ∈[0，1]，使得標準答案：因為f’(x)在[0，1]上連續(xù)，所以，f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，設為m，M，即有x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M．由中值定理，對任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)-f(0)=f’(η)x，于是有f’(x1)x=mx≤f(x)=f(x)-f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x，因為f’(x)在[0，1]上連續(xù)，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2][0，1]，或ξ∈[x2，x1][0，1]，使f’(ξ)=知識點解析：暫無解析19、設f(x)在[a，b]上連續(xù)且嚴格單調(diào)增加，證明：標準答案：令F(t)=因為a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上嚴格單調(diào)增加，所以f(x)-f(t)≤0，于是有即F(t)單調(diào)遞減，又F(a)=0，所以F(b)＜0，從而(a+b)知識點解析：暫無解析20、設函數(shù)f’(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(a)=0，證明：標準答案：因為f2(x)=[f(x)-f(a)]2=，而知識點解析：暫無解析21、設f(x)，g(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．證明：對任何a∈[0，1]，有標準答案：令F(a)=f(x)g’(x)dx-f(a)g(1)，a∈[0，1]，則F’(a)=g(a)f’(a)-f’(a)g(1)=f(a)[g(a)-g(1)]．因為x∈[0，1]時，f’(x)≥0，g’(x)≥0，即函數(shù)f(x)，g(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，又a≤1，所以F’(a)=f’(a)[g(a)-g(1)]≤0，即函數(shù)F(a)在[0，1]上單調(diào)遞減，又知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導，且求證：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．標準答案：首先證明f(x)在(0，π)內(nèi)必有零點．因為在(0，π)內(nèi)f(x)連續(xù)，且sinx＞0，所以，若無零點，則恒有f(x)＞0或f(x)＜0，從而有，與題設矛盾．所以，f(x)在(0，π)內(nèi)必有零點．下面證明f(x)在(0，π)內(nèi)零點不唯一，即至少有兩個零點．用反證法．假設f(x)在(0，π)內(nèi)只有一個零點x0，則f(x)在(0，x0)和(x0，π)上取不同的符號(且不等于零)，否則與矛盾．這樣，函數(shù)sin(x-x0)f(x)在(0，x0)和(x0，π)上取相同的符號，即恒正或恒負．那么有：從而矛盾，所以f(x)在(0，π)內(nèi)至少有兩個零點．于是由羅爾定理即得存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)0．知識點解析：暫無解析設函數(shù)f(x)在[a，b]上有連續(xù)導數(shù)，在(a，6)內(nèi)二階可導，且，證明：23、在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；標準答案：由加強型的積分中值定理知，至少存在一點c∈(a，b)，使得設G(x)=e-xf(x)，則G(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且G(a)=G(b)=G(c)=0，G’(x)=e-xf’(x)-e-xf(x)=e-x[f’(x)-f(x)]．由羅爾定理可知，分別存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，6)，使得G’(ξ)=G’(ξ2)=0，從而f’(ξ1)=f(ξ1)，f’(ξ2)=f(ξ2)．知識點解析：暫無解析24、在(a，b)內(nèi)至少存在一點η，η≠ξ，使得f’’(η)=f(η)．標準答案：設F(x)=ex[f’(x)-f(x)]，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且F(ξ1)=F(ξ2)=0，則F’(x)=ex[f’’(x)-f’(x)]+ex[f’(x)-f(x)]=ex[f’(x)-f(x)]．對F(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應用羅爾定理，即存在η∈(ξ1，ξ2)，使得F’(η)=0，故有f’’(η)=f(η)，且η≠ξi(i=1，2)．知識點解析：暫無解析25、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，且g(x)＞0，證明：存在一點ξ∈[a，b]，使標準答案：因f(x)在[a，b]上連續(xù)，故m≤f(c)≤M因為g(x)＞0，mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，知識點解析：暫無解析設f(x)在區(qū)間[-a，a](a＞0)上具有二階連續(xù)導數(shù)，f(0)=0，26、寫出f(x)的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式；標準答案：對任意x∈[-a，a]，知識點解析：暫無解析27、證明：在[-a，a]上存在η，使標準答案：因為f’(x)在[-a，a]上連續(xù)，由最值定理：m≤f’’(x)≤M，x[-a，a]．mx2≤f’’(ξ)x2≤Mx2，知識點解析：暫無解析28、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導，且f(0).f(1)＞0，f(1)+，試證：至少存在一點ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．標準答案：令F(x)==f(1)+f(c)=0，C∈(0，1)，由此可知f(c)≠0，否則f(1)=0，與題設f(0)f(1)＞0矛盾，不妨設f(c)＞0，則f(1)＜0，f(0)＜0．由連續(xù)函數(shù)的零點定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由羅爾定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即故f(ξ)=ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析29、f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導，證明：至少存在一點ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)．標準答案：令F(x)=xe-xf(x)，因f(1)=F(1)=e-1f(1)=ηe-ηf(η)=F(η)，故在[η，1][0，1]上，對F(x)運用羅爾定理，可得ξ∈(η，1)(0，1)，使f’(ξ)(1-ξ-1)f(ξ)知識點解析：暫無解析30、設a＜b，證明：不等式標準答案：構造輔助函數(shù)知識點解析：暫無解析31、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且滿足標準答案：當x∈[a，b)時，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第6套一、解答題(本題共35題，每題1.0分，共35分。)1、設曲線L的長度為l，且．證明：標準答案：Pdx＋Qdy＝{P，Q).{dx，dy}，因為｜a.b｜≤｜a｜｜b｜，知識點解析：暫無解析2、如圖1．3—1，設曲線方程為梯形QABC的面積為D，曲邊梯形OBC的面積為D1，點A的坐標為(a，0)，a＞0，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析3、設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)大于零，并且滿足又曲線y=f(x)與x=1，y=0所圍的圖形S的面積值為2．求函數(shù)y=f(x)，并問a為何值時，圖形S繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積最?。畼藴蚀鸢福河深}設，當x≠0時，據(jù)此并由f(x)在點x=0處的連續(xù)性，得又由已知條件旋轉體的體積為,故當a=-5時，旋轉體體積最小。知識點解析：暫無解析4、設函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導且y’(x)>0，y(0)=1．過曲線y=y(x)上任意一點P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設2S1一S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．標準答案：曲線y=y(x)上點P(x，y)處的切線方程為Y—y=y’(X—x)．它與x軸的交點為由于y’(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是兩邊對x求導并化簡得yy’’=(y’)2．令P=y’，則上述方程可化為注意到y(tǒng)(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程是y=ex．知識點解析：暫無解析5、設有一正橢圓柱體，其底面的長、短軸分別為2a，2b，用過此柱體底面的短軸且與底面成a的平面截此柱體，得一楔形體(如圖1．3—2)，求此楔形體的體積V.標準答案：底面橢圓的方程為以垂直于y軸的平行平面截此楔形體所得的截面為直角三角形，兩直角邊長分別為楔形體的體積知識點解析：暫無解析6、計算曲線y=ln(1-x2)上相應于的一端弧的長度．標準答案：知識點解析：暫無解析7、求心形線r=a(1+cosθ)的全長，其中a＞0是常數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析8、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析9、設f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，以T為周期，則(1)(2)(3)∫f(x)dx(即f(x)的全體原函數(shù))周期為標準答案：(1)(2)(3)知識點解析：暫無解析10、標準答案：知識點解析：暫無解析11、設收斂，舉例說明級數(shù)不一定收斂；若是正項收斂級數(shù)，證明一定收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、若正項級數(shù)收斂，證明：收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、設{nan}收斂，且收斂，證明：級數(shù)收斂．標準答案：令Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＋1’＝(a1一a0)＋2(a2－a1)＋…＋(n＋1)(an＋1一an)，知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、證明：(1)設an＞0，且{nan}有界，則級數(shù)收斂；(2)標準答案：(1)(2)知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、設{un}，{cn}為正項數(shù)列，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析21、對常數(shù)p，討論冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：，得冪級數(shù)的收斂半徑為R＝1．(1)當p＜0時，記q＝－p，則有，因而當x＝±1時，發(fā)散，此時冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(一1，1)；(2)(3)知識點解析：暫無解析22、設f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，證明：級數(shù)絕對收斂．標準答案：由｜un＋1一un｜＝｜f(un)一f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜｜un一un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜知識點解析：暫無解析23、設f(x)在(一∞，＋∞)內(nèi)一階連續(xù)可導，且．證明：收斂，而發(fā)散．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設f(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導，且．證明：級數(shù)絕對收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析25、設y＝y(tǒng)(x)滿足y’＝x＋y，且滿足y(0)＝1，討論級數(shù)的斂散性．標準答案：由y’＝x＋y得y"＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y"(0)＝2，根據(jù)馬克勞林公式，有知識點解析：暫無解析26、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析27、求函數(shù)f(x)＝In(1一x一2x2)的冪級數(shù)，并求出該冪級數(shù)的收斂域．標準答案：f(x)＝ln(1一x一2x2)＝ln(x＋1)(1—2x)＝ln(1＋x)＋In(1—2x)，知識點解析：暫無解析求冪級數(shù)的和函數(shù)．28、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析29、在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；標準答案：由加強型的積分中值定理知，至少存在一點c∈(a，b)，使得設G(x)=e-xf(x)，則G(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且G(a)=G(b)=G(c)=0，G’(x)=e-xf’(x)一e-xf(x)=e-x[f’(x)一f(x)]．由羅爾定理知，分別存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c)，b)，使得G’(ξ1)=G’(ξ2)=0，從而f’(ξ1)=f(ξ1)，f’(ξ2)=f(ξ2)．知識點解析：暫無解析30、在(a，b)內(nèi)至少存在一點η,η≠ξ，使得f’’(η)=f(η)．標準答案：設F(x)=ex[f’(x)－f(x)]，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且F(ξ)=F(ξ)=0，則F’(x)=ex[f’’(x)一f’(x)]+ex[f’(x)一f(x)]=ex[f’’(x)一f(x)]．對F(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應用羅爾定理，即存在η∈(ξ1，ξ2)，使得F’(η)=0，故有f’’(η)=f’’(η)，且η≠ξi(i=1，2)．知識點解析：暫無解析31、標準答案：知識點解析：暫無解析32、設f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，且F(x)為方程xy’＋y＝ex的滿足的解．標準答案：知識點解析：暫無解析33、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導，且，試證：至少存在一點ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．標準答案：令由此可知f(c)≠0，否則f(1)=0，與題設f(0)f(1)＞0矛盾，不妨設f(c)＞0，則f(1)＜0，f(0)＜0．由連續(xù)函數(shù)的零點定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由羅爾定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即知識點解析：暫無解析34、f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導，證明：至少存在一點ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ1)f(ξ)．標準答案：令F(x)=xe-xf(x)，因F(1)=e-1(1)=ηe-ηf(η)=F(η)，故在[η，1]C[0，1]上，對F(x)運用羅爾定理，可得ξ∈(η，1)c(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．知識點解析：暫無解析35、將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析36、設，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．標準答案：知識點解析：暫無解析37、設，定義令試證標準答案：容易證明：當t∈(0，1]時，(1)當x∈(0，1]時，由①可得(2)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0．則方程在(a，b)內(nèi)的根有()A、0個B、1個C、2個D、無窮多個標準答案：B知識點解析：令故F(x)在(a，b)內(nèi)有根．又F’(x)=f(x)+＞0，所以F(x)單調(diào)增加，它在(a，b)內(nèi)最多只有一個根．應選(B)．2、設f(x)連續(xù)，f(0)=1，f’(0)=2．下列曲線與曲線y=f(x)必有公共切線的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：曲線y=f(x)在橫坐標x=0對應的點(0，1)處切線為y=1+2x．選項(D)中函數(shù)記為y=F(x)．由F(0)=1，F(xiàn)’(0)=2f(0)=2，知曲線y=F(x)在橫坐標x=0對應點處切線方程也為y=1+2x．故應選(D)．3、設φ(x)在[a，b]上連續(xù)，且φ(x)＞0，則函數(shù)y=(x)=()A、在(a，b)內(nèi)的圖形為凸B、在(a，b)內(nèi)的圖形為凹C、在(a，b)內(nèi)有拐點D、在(a，b)內(nèi)有間斷點標準答案：B知識點解析：先將Ф(x)利用｜x-t｜的分段性分解變形，有因為φ(t)在[a，b]上連續(xù)，所以Ф(x)可導，因而答案不可能是(D)．為討論其余三個選項，只需求出Ф’’(x)，討論Ф’’(x)在(a，b)內(nèi)的符號即可．因故y=Ф(x)的圖形為凹．應選(B)．4、，則()A、F(x)為f(x)的一個原函數(shù)B、F(x)在(-∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函數(shù)C、F(x)在(-∞，+∞)上不連續(xù)D、F(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，但不是f(x)的原函數(shù)標準答案：D知識點解析：請看通常的解法：求積分并用連續(xù)性確定積分常數(shù)，可得所以F’+(0)≠F’-(0)．根據(jù)原函數(shù)定義，F(xiàn)(x)不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函數(shù)．事實上，由于f(x)有第一類間斷點，所以F(x)必然不是其原函數(shù)，而變限積分存在就必連續(xù)，所以答案自然選擇(D)．5、已知則在(-∞，+∞)內(nèi)，下列正確的是()A、f(x)不連續(xù)且不可微，F(xiàn)(x)可微，且為f(x)的原函數(shù)B、f(x)不連續(xù)，不存在原函數(shù)，因而F(x)不是f(x)的原函數(shù)C、f(x)和F(x)均為可微函數(shù)，且F(x)為f(x)的一個原函數(shù)D、f(x)連續(xù)，且F’(x)=f(x)標準答案：A知識點解析：可以驗證x=0為f(x)的第二類間斷點，因為：故x=0為f(x)的第二類振蕩間斷點，可能存在原函數(shù)．通過計算故F(x)可微．即F’(x)=f(x)，故(A)正確．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、函數(shù)F(x)=的遞減區(qū)間為_________標準答案：[e2，+∞)知識點解析：需要考慮F(x)的導函數(shù)F’(x)=1-．令F’(x)≤0，即得x≥e2．7、已知=_______標準答案：-1知識點解析：此積分的計算要用分部積分法．原積分=8、設=________標準答案：a知識點解析：f(x)是抽象函數(shù)，不能具體地計算積分，要用積分中值定理，然后再計算極限．9、定積分=_________標準答案：知識點解析：x2sinx是奇函數(shù)，故在上的定積分值為0．原積分10、設f(x)==_________標準答案：知識點解析：作定積分換元x+1=t，原積分=11、=________標準答案：0知識點解析：被積函數(shù)cosx是奇函數(shù)，在對稱區(qū)間[-2，2]上積分為零．12、設兩曲線y=f(x)與在點(0，0)處有相同的切線，則=________標準答案：2知識點解析：由已知條件知f(0)=0，f’(0)==1，故得13、=_________(a為常數(shù)，n為自然數(shù))．標準答案：0知識點解析：顯然積分難以積出．考慮積分中值定理，，其中ξx介于x，x+a之間．所以原極限三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、若f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，且f(x)=，試證：f(x)≡0(-∞＜x＜+∞)．標準答案：由f(x)=f(t)dt可知f’(x)=f(x)，其通解為f(x)=cex，又f(0)=0，故f(x)≡0．知識點解析：暫無解析15、計算標準答案：因k值不同，故分情況討論：當k＞1時，原式=，即積分收斂；當k=1時，原式=，即積分發(fā)散；當k＜1時，原式=，即積分發(fā)散．知識點解析：暫無解析16、已知I(a)=標準答案：(1)當a≠0，±1時，知識點解析：暫無解析17、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析18、求不定積分∫(arcsinx)2dx3．標準答案：知識點解析：暫無解析19、設函數(shù)f(x)連續(xù)，且標準答案：令u=2x-t，則t=2x-u，dt=-du．當t=0時，u=2x；當t=x時，u=x．故由已知得，兩邊對x求導，得知識點解析：暫無解析20、設f(x)具有二階導數(shù)，且f’’(x)＞0．又設u(t)在區(qū)間[0，a](或[a，0])上連續(xù)．證明：標準答案：由泰勒公式有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(ξ)(x-x0)2≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)，ξ介于x與x0之間．以x=u(t)代入并兩邊對t從0到a積分，其中暫設a＞0，于是有知識點解析：由條件f’’(x)＞0，想到將f(x)在某x0處展成拉格朗日余項泰勒公式，然后丟棄f’’(ξ)得到一個不等式以處理之．21、設f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)．(1)證明：f(t)dt可以表示為一個以T為周期的函數(shù)φ(x)與kx之和，并求出此常數(shù)k；(2)求(1)中的(3)以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，g(x)=x-[x]，求標準答案：對于其中的第二個積分，作積分變量變換，令t=u+T，有可見，φ(x)為T周期函數(shù)的充要條件是可以表示成其中φ(x)為某一周期T的函數(shù)．知識點解析：(1)證明能取到常數(shù)k使f(t)dt-kxn以T為周期即可．(1)得到的表達式去求f(t)dt即可得(2)．但請讀者注意，一般不能用洛必達法則求此極限，除非f(x)恒為常數(shù)．對于(3)，由于g(x)不連續(xù)，如果要借用(1)的結論，需要更深一層的結論(見下面的[注])．由于g(x)可以具體寫出它的分段表達式，故可直接積分再用夾逼定理即得．22、設在區(qū)間[e，e2]上，數(shù)p，q滿足條件px+q≥Inx，求使得積分I(p，q)=(px+q-lnx)dx取得最小值的p，q的值．標準答案：要使最小，直線y=px+q應與曲線y=lnx相切，從而可得到p，q的關系，消去一個參數(shù)．通過積分求出I(p)后再用微分方法求I(p)的極值點P0然后再求出q的值．或將p，q都表示成另一個參數(shù)t的函數(shù)形式，求出I(t)的極值點后，再求出p，q的值．方法一設直線y=px+q與曲線y=lnx相切于點(t，lnt)，則有方法二設直線y=px+q與曲線y=lnx相切于點(t，lnt)，則有知識點解析：暫無解析設f(x)在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)減少且非負的連續(xù)函數(shù)，f(x)fx(n=1，2，…)．23、證明：存在；標準答案：由f(x)單調(diào)減少，故當k≤x≤k+1時，f(k+1)≤f(x)≤f(k)．兩邊從k到k+1積分，得即(an}有下界．又即數(shù)列{an}單調(diào)減少，所以存在．知識點解析：由f(x)單調(diào)減少，當k≤x≤k+1時，可以寫出關于f(x)的一個不等式，兩邊從k到k+1積分，便可得到關于an的一個表達式．24、證明：反常積分同斂散．標準答案：由于f(x)非負，所以為x的單調(diào)增加函數(shù)．當n≤x≤n+1時，知識點解析：暫無解析25、設xOy平面上有正方形D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)及直線l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直線l左下方部分的面積，試求標準答案：由題設知S(t)=所以當0≤x≤1時，當1＜x≤2時，當x＞2時，因此，知識點解析：暫無解析26、設f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，0＜a＜b，且收斂，其中常數(shù)A＞0．證明：標準答案：知識點解析：積分對于A＞0收斂，由于27、求曲線的一條切線l，使該曲線與切線z及直線x=0，x=2所圍成圖形的面積最?。畼藴蚀鸢福阂驗樘幍那芯€l方程為又S’’(1)＞0，故t=1時，S取最小值，此時z的方程為y=知識點解析：暫無解析28、設D是由曲線y=sinx+1與三條直線x=0，x=π，y=0所圍成的曲邊梯形，求D繞x軸旋轉一周所圍成的旋轉體的體積．標準答案：知識點解析：暫無解析29、如圖1．3-1所示，設曲線方程為，梯形OABC的面積為D，曲邊梯形OABC的面積為D1，點A的坐標為(a，0)，a＞0，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第8套一、填空題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)1、設是f(x)的一個原函數(shù)，則=__________。標準答案：知識點解析：由于是f(x)的原函數(shù)，所以，所以2、標準答案：ln3知識點解析：3、=_________．標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：4、設f’(sin2x)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，則f(x)=____________．標準答案：一ln(1一x)一x2+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：5、設y=y(x)，若，且x→+∞時，y→0，則y=_________．標準答案：e-x知識點解析：由已知得由不變積分定義有所以∫ydx=±y→±y’=y，即分離變量，兩邊積分，再由已知條件得結果y=e-x．6、設f(x)連續(xù)，則=___________.標準答案：xf(x2)知識點解析：7、設n是正整數(shù)，則標準答案：知識點解析：8、標準答案：知識點解析：9、定積分中值定理的條件是f(x)在[a，b]上連續(xù)，結論是___________．標準答案：在[a，b]上至少存在一點ξ，使知識點解析：暫無解析10、標準答案：1知識點解析：11、標準答案：知識點解析：令則x=t2+2，dx=2tdt，12、反常積分標準答案：知識點解析：13、反常積分標準答案：知識點解析：14、曲線9y2=4x3上從x=0到x=1的一段弧的長度為__________．標準答案：知識點解析：曲線方程可化為，弧長元素15、標準答案：－xf(x2－1)知識點解析：16、設f(x，y)在區(qū)域D：x2＋y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)＝4，則標準答案：8π知識點解析：二、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)17、設f(x)二階連續(xù)可導，且曲線積分與路徑無關，求f(x)．標準答案：因為曲線積分與路徑無關，所以有f"(x)＝3f’(x)一2f(x)＋xe2x，即f"(x)一3f’(x)＋2f(x)＝xe2x，由特征方程λ2一3λ＋2＝0得λ1＝1，λ2＝2，則方程f"(x)一3f’(x)＋2f(x)＝0的通解為f(x)＝C1ex＋C2e2x，令特解f0(x)＝x(ax＋b)e2x，代入原微分方程得a＝，b＝一1，故所求f(x)＝C1ex＋C2e2x＋知識點解析：暫無解析18、計算，其中S為圓柱x2＋y2＝a2(a＞0)位于z＝一a與z＝a之間的部分。標準答案：知識點解析：暫無解析19、設S：x2＋y2＋z。2＝a2，計算標準答案：知識點解析：暫無解析20、計算曲面積分，其中∑是曲線繞z軸旋轉一周所得到的曲面，取外側．標準答案：曲面∑：z＝1一x2一y2(z≥0)，補充曲面∑0：z＝0(x2＋y2≤1)，取下側，由高斯公式得知識點解析：暫無解析21、計算曲線積分，其中C：，從z軸正向看，C為逆時針方向．標準答案：知識點解析：暫無解析22、計算，其中L：，從z軸正向看，L是逆時針方向．標準答案：設由L所圍成的平面為∑，按右手準則，∑取上側，知識點解析：暫無解析23、設空間曲線C由立體0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面與平面x＋y＋z＝所截而成，計算。標準答案：取平面x＋y＋z＝上被折線C所圍的上側部分為S，其法向量的方向余弦為cosα一cosβ一cosγ＝．設Dxy表示曲面S在平面xOy上的投影區(qū)域，其面積為A＝，由斯托克斯公式得知識點解析：暫無解析24、計算，其中L是繞原點旋轉一周的正向光滑閉曲線．標準答案：知識點解析：暫無解析25、設函數(shù)f(x，y)在D：x2＋y2≤1有連續(xù)的偏導數(shù)，且在L：x2＋y2＝1上有f(x，y)≡0．證明：，其中Dr：r2≤x2＋y2≤1．標準答案：知識點解析：暫無解析26、設，其中L是任一條光滑正向閉曲線，φ(1)＝1且原點在其所圍成的區(qū)域之外．標準答案：知識點解析：暫無解析27、設f(x)在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)減少且非負的連續(xù)函數(shù)，(1)證明：存在；(2)證明：反常積分同斂散．標準答案：(1)由f(x)單調(diào)減少，故當k≤x≤k+1時，f(k+1)≤f(x)≤f(k)．兩邊從k到k+1積分，得知識點解析：由f(x)單調(diào)減少，當k≤x≤k+1時，可以寫出關于f(x)的一個不等式，兩邊從k到k+1積分，便可得到關于an的一個表達式．28、設xOy平面上有正方形D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)及直線l：z+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直線l左下方部分的面積，試求標準答案：由題設知所以，知識點解析：暫無解析29、設L是不經(jīng)過點(2，0)，(－2，0)的分段光滑簡單正向閉曲線，就L的不同情形計算標準答案：顯然曲線積分I1，I2都滿足柯西一黎曼條件．(1)當(2，0)，(－2，0)都在L所圍成的區(qū)域之外時，I1＝I2＝0，因此I＝0；(2)當(2，0)，(－2，0)都在L所圍成的區(qū)域之內(nèi)時，分別以這兩個點為中心以r1，r2為半徑的圓C1，C2，使它們都在L內(nèi)，則，同理I2＝一2π，因此I＝一4π；(3)當(2，0)，(－2，0)有一個點在L圍成的區(qū)域內(nèi)，一個點在L圍成的區(qū)域外時，I＝一2π．知識點解析：暫無解析30、設函數(shù)u(x，y)，v(x，y)在D：x2＋y2≤1上一階連續(xù)可偏導，又標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（一元函數(shù)積分學）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設F(x)=等于()A、a2．B、a2f(a)．C、0．D、不存在．標準答案：B知識點解析：利用洛必達法則．因故選B．2、若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關系式f(x)=+ln2，則f(x)等于()A、exln2．B、e2xxln2．C、ex+ln2．D、e2x+ln2．標準答案：B知識點解析：在等式f(x)=∫02xf()dt+ln2兩端對x求導，得f’(x)=2f(x)，則=