考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷1(共287題)_第1頁
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文檔簡介

考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷1(共9套)(共287題)考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題,每題1.0分,共2分。)1、矩形閘門寬a米,高h(yuǎn)米,垂直放在水中,上邊與水面相齊,閘門壓力為().A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識點(diǎn)解析:2、在曲線y=(x-1)2上的點(diǎn)(2,1)處作曲線的法線,由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域?yàn)镈(y>0),則區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為().A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:過曲線y=(x-1)2上點(diǎn)(2,1)的法線方程為,該法線與x軸的交點(diǎn)為(4,0),則由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為,選(D).二、填空題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)3、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:4、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:5、標(biāo)準(zhǔn)答案:3知識點(diǎn)解析:6、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:7、標(biāo)準(zhǔn)答案:1知識點(diǎn)解析:8、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:三、解答題(本題共28題,每題1.0分,共28分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析12、設(shè)f(x)連續(xù)且關(guān)于x=T對稱,a標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析14、設(shè)f(x)在區(qū)間[0,1]上可導(dǎo),證明:存在ξ[(0,1),使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:令φ(x)=x2f(x),由積分中值定理得,其中c∈,即φ(c)=φ(1),顯然φ(x)在區(qū)間[0,1]上可導(dǎo),由羅爾中值定理,存在ξ∈(c,1)(0,1),使得φ’(ξ)=0.而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x),所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0,注意到ξ≠0,故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.知識點(diǎn)解析:暫無解析15、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),證明:存在ξ∈(a,b),使得標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析16、設(shè)f(t)在[0,π]上連續(xù),在(0,π)內(nèi)可導(dǎo),且證明:存在ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析17、設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù),在(0,2)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2.證明:標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析18、設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上二階連續(xù)可導(dǎo),證明:存在ξ∈(a,b),使得標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析19、設(shè)y=f(x)為區(qū)間[0,1]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).(1)證明存在c∈(0,1),使得在區(qū)間[0,c]上以f(c)為高的矩形面積等于區(qū)間[c,1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積;(2)設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明(1)中的c是唯一的.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析20、求曲線與x軸圍成的區(qū)域繞x軸、y軸形成的幾何體體積.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析21、求雙紐線(x2+y2)2=a2(x2一y2)所圍成的面積.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析22、拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩個(gè)部分,求左右兩個(gè)部分的面積之比.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析23、設(shè)C1,C2是任意兩條過原點(diǎn)的曲線,曲線C介于C1,C2之間,如果過C上任意一點(diǎn)P引平行于x和y軸的直線,得兩塊陰影所示區(qū)域A,B有相等的面積,設(shè)C的方程是y=x2,C1的方程是,求曲線C2的方程.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析24、設(shè)曲線y=a+x—x3,其中a<0.當(dāng)x>0時(shí),該曲線在x軸下方與y軸、x軸所圍成圖形的面積和在x軸上方與x軸所圍成圖形的面積相等,求a.標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)曲線y=a+x—x3與x軸正半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為α,β(α<β),由條件得知識點(diǎn)解析:暫無解析25、求曲線y=x2一2x、y=0、x=1、x=3所圍成區(qū)域的面積S,并求該區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析26、設(shè)平面圖形D由x2+y2≤2x與y≥x圍成,求圖形D繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析27、設(shè)L:y=e-x(x≥0).(1)求由y=e-x、x軸、y軸及x=a(a>0)所圍成平面區(qū)域繞x軸一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a).(2)設(shè),求c.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析28、求由曲線y=4一x2與x軸圍成的部分繞直線x=3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析29、曲線y=x2(x≥0)上某點(diǎn)處作切線,使該曲線、切線與z軸所圍成的面積為,求切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程,并求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析30、求擺線的第一拱繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析31、設(shè)曲線與x軸、y軸所圍成的圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V1(a),繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V2(a),問a為何值時(shí),V1(a)+V2(a)最大,并求最大值.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析32、設(shè)一拋物線y=ax2+bx+C過點(diǎn)(0,0)與(1,2),且a<0,確定a,b,c,使得拋物線與x軸所圍圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)榍€過原點(diǎn),所以C=0,又曲線過點(diǎn)(1,2),所以a+b=2,b=2一a.因?yàn)閍<0,所以b>0,拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為,所以令S’(a)=0,得a=一4,從而b=6,所以當(dāng)a=一4,b=6,c=0時(shí),拋物線與x軸所圍成的面積最?。R點(diǎn)解析:暫無解析33、設(shè)直線y=kx與曲線所圍平面圖形為D1,它們與直線x=1圍成平面圖形為D2.(1)求k,使得D1與D2分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周成旋轉(zhuǎn)體體積V1與V2之和最小,并求最小值;(2)求此時(shí)的D1+D2.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析34、求擺線的長度.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析35、設(shè)曲線,過原點(diǎn)作切線,求此曲線、切線及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析36、一半徑為R的球沉入水中,球面頂部正好與水面相切,球的密度為1,求將球從水中取出所做的功.標(biāo)準(zhǔn)答案:以球頂部與水面相切的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸鉛直向下,取,由于球的密度與水的密度相同,所以水面以下不做功,dω=(2R—x)×π[R2一(R—x)2]×1×gdx=πx(2R—x)2gdx,知識點(diǎn)解析:暫無解析考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)1、設(shè)f"(x)連續(xù),f’(0)=0,=1,則().A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0,f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)非極值,(0,f(0))也非y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:由=1及f"(x)的連續(xù)性,得f"(0)=0,由極限的保號性,存在δ>0,當(dāng)0<|x|<δ時(shí),>0,從而f"(x)>0,于是f’(x)在(一δ,δ)內(nèi)單調(diào)增加,再由f’(0)=0,得當(dāng)x∈(一δ,0)時(shí),f’(x)<0,當(dāng)x∈(0,δ)時(shí),f’(x)>0,x=0為f(x)的極小值點(diǎn),選(B).2、設(shè)f(x)在[0,+∞)上連續(xù),在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),則().A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:3、設(shè)f(x)連續(xù),且f’(0)>0,則存在δ>0,使得().A、f(x)在(0,δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(一δ,0)內(nèi)單凋減少C、對任意的x∈(一δ,0),有f(x)>f(0)D、對任意的x∈(0,δ),有f(x)>f(0)標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:當(dāng)x∈(一δ,0)時(shí),f(x)f(0),應(yīng)選(D).4、設(shè)函數(shù)f(x)=則在點(diǎn)x=0處f(x)().A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、導(dǎo)數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:5、設(shè)f(x)=則在x=1處f(x)().A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但不是連續(xù)可導(dǎo)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:6、若f(—x)=—f(x),且在(0,+∞)內(nèi)f’(x)>0,f"(x)>0,則在(一∞,0)內(nèi)().A、f’(x)<0,f"(x)<0B、f’(x)<0,f"(x)>0C、f’(x)>0,f"(x)<0D、f’(x)>0,f"(x)>0標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f’(x)為偶函數(shù),故在(一∞,0)內(nèi)有f’(x)>0.因?yàn)閒"(x)為奇函數(shù),所以在(一∞,0)內(nèi)f"(x)<0,選(C).7、設(shè)f(x),g(x)(a<x<b)為大于零的可導(dǎo)函數(shù),且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)<0,則當(dāng)a<x<b時(shí),有().A、f(x)g(b)>f(b)g(x)B、f(x)g(a)>f(a)g(x)C、f(x)g(x)>f(b)g(b)D、f(x)g(x)>f(a)g(a)標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識點(diǎn)解析:二、填空題(本題共3題,每題1.0分,共3分。)8、設(shè)函數(shù)y=y(x)由e2x+y一cos(xy)=e一1確定,則曲線y=y(z)在x=0對應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:當(dāng)x=0時(shí),y=1,9、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo),且=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:10、設(shè)f(u)可導(dǎo),y=f(x2)在x0=一1處取得增量△x=0.05時(shí),函數(shù)增量△y的線性部分為0.15,則f’(1)=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:由dy=2xf’(x2)△x得dy|x=—1=一2f’(1)×0.05=一0.1f’(1),因?yàn)椤鱵的線性部分為dy,由一0.1f’(1)=0.15得f’(1)=一.三、解答題(本題共17題,每題1.0分,共17分。)11、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0),且f(a)=0.證明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f’(ξ).標(biāo)準(zhǔn)答案:令φ(x)=(b一x)af(x),顯然φ(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),因?yàn)棣?a)=φ(b)=0,所以由羅爾定理,存在ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,由φ’(x)=(b一x)a—1[(b一x)f(x)一af(x)]得(b一ξ)a—1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a—1≠0,故f(ξ)=.知識點(diǎn)解析:暫無解析12、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=g(b)=0,g’(x)<0,試證明存在ξ∈(a,b),使=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:令φ(x)=f(x)∫xag(t)dt+g(x)∫axf(t)dt,φ(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt一f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt,因?yàn)棣?a)=φ(b)=0,所以由羅爾定理,存在ξ∈(a,b)使φ(ξ)=0,即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0,由于g(b)=0及g’(x)<0,所以區(qū)間(a,b)內(nèi)必有g(shù)(x)>0,從而就有∫xbg(t)dt>0,于是有=0.知識點(diǎn)解析:暫無解析13、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0,證明:(1)存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).(2)存在η∈(a,b),使得ηf’(η)+f(η)=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:(1)令φ(x)=f(x),因?yàn)閒(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0,由羅爾定理,存在ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=≠0,故f’(ξ)=2ξf(ξ).(2)令φ(x)=xf(x),因?yàn)閒(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0,由羅爾定理,存在η∈(a,b),使得φ’(η)=0,而φ’(x)=xf’(x)+f(x),故ηf’(η)+f(η)=0.知識點(diǎn)解析:暫無解析14、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且g’(x)≠0.證明:存在ξ∈(a,b),使得。標(biāo)準(zhǔn)答案:令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)—f(x)g(x),則F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)=F(b)=f(a)g(b),由羅爾定理,存在ξ∈(a,b),使得F’(ξ)=0,而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x),所以知識點(diǎn)解析:暫無解析15、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),證明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:令φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt.因?yàn)棣?0)=φ(1)=0,所以由羅爾定理,存在ξ∈(0,1),使得φ’(ξ)=0.而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x一1)f(x),故∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0.知識點(diǎn)解析:暫無解析16、設(shè)f(x)在[1,2]上連續(xù),在(1,2)內(nèi)可導(dǎo),證明:存在ξ∈(1,2),使得ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1).標(biāo)準(zhǔn)答案:令φ(x)=,則φ(x)在[1,2]上連續(xù),在(1,2)內(nèi)可導(dǎo),且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1),由羅爾定理,存在ξ∈(1,2),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=,故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1).知識點(diǎn)解析:暫無解析17、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=f(1),證明:存在ξ,η∈(0,1),使得f’(ξ)+f’(η)=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)閒(0)=f(1),所以f’(ξ)=一f’(η),即f’(ξ)+f’(η)=0.知識點(diǎn)解析:暫無解析18、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0).證明:存在ξ,η∈(a,b),使得。標(biāo)準(zhǔn)答案:令F(x)=x2,F(xiàn)’(x)=2x≠0(a<x<b),由柯西中值定理,存在η∈(a,b),使得,再由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a,b),使得。知識點(diǎn)解析:暫無解析19、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo),連接點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,f(b))的直線與曲線y=f(x)交于點(diǎn)C(c,f(c))(其中a<c<b).證明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:由微分中值定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C共線,所以f’(ξ1)=f’(ξ2),又因?yàn)閒(x)二階可導(dǎo),所以再由羅爾定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)(a,b),使得f"(ξ)=0.知識點(diǎn)解析:暫無解析20、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)三階可導(dǎo),f(a)=f(b),且f(x)在[a,b]上不恒為常數(shù).證明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)>0,f’(η)<0.標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)閒(x)在[a,b]上不恒為常數(shù)且f(a)=f(b),所以存在c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b),不妨設(shè)f(c)>f(a)=f(b),由微分中值定理,存在ξ∈(a,c),η∈(c,b),使得知識點(diǎn)解析:暫無解析21、設(shè)b>a>0,證明:.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析22、設(shè)f(x)在[a,b]上滿足|f"(x)|≤2,且f(x)在(a,b)內(nèi)取到最小值.證明:|f’(a)|+|f’(b)|≤2(b一a).標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)閒(x)在(a,b)內(nèi)取到最小值,所以存在c∈(a,b),使得f(c)為f(x)在[a,b]上的最小值,從而f’(c)=0.由微分中值定理得兩式相加得|f’(a)|+|f’(b)|≤2(b一a).知識點(diǎn)解析:暫無解析23、設(shè)f(x)在[0,1]上二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f(1),又|f"(x)|≤M,證明:|f’(x)|≤.標(biāo)準(zhǔn)答案:由泰勒公式得知識點(diǎn)解析:暫無解析24、證明:當(dāng)x>1時(shí),.標(biāo)準(zhǔn)答案:令f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx,f(1)=2ln2>0,因?yàn)閒’(x)=ln(1+x)+1—lnx一1=ln(1+)>0(x>1),所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)增加。再由f(1)=2ln2>0得當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,即.知識點(diǎn)解析:暫無解析25、證明:當(dāng)x>0時(shí),x2>(1+x)ln2(1+x).標(biāo)準(zhǔn)答案:令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x),f(0)=0;f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x),f’(0)=0;知識點(diǎn)解析:暫無解析26、證明:當(dāng)x>0時(shí),arctanx+.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析27、求y=∫0x(1一t)arctantdt的極值.標(biāo)準(zhǔn)答案:令y’=(1—x)arctanx=0,得x=0或x=1,y"=一arctanx+<0,所以x=0為極小值點(diǎn),極小值為y=0;x=1為極大值點(diǎn),極大值為y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt—∫01tarctantdt知識點(diǎn)解析:暫無解析考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題,每題1.0分,共1分。)1、設(shè)場A={x3+2y,y3+2z,z3+2x},曲面S:x2+y2+z2=2z內(nèi)側(cè),則場A穿過曲面指定側(cè)的通量為().A、32πB、一32πC、D、一標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:二、填空題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)2、設(shè)L為從點(diǎn)A(0,一1,1)到點(diǎn)B(1,0,2)的直線段,則∫L(x+y+z)ds=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:3、設(shè)曲線L:,則∮L(x2+2y2+z)ds=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:2πa3知識點(diǎn)解析:4、∫L|y|ds=___________,其中L:(x2+y2)2=a2(x2一y2)(a>0).標(biāo)準(zhǔn)答案:2a2(2—)知識點(diǎn)解析:5、設(shè)向量場A=2x3yzi—x2y2zj一x2yz2k,則其散度divA在點(diǎn)M(1,1,2)沿方向l={2,2,一1}的方向?qū)?shù)(divA)|M=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:6、設(shè)L是從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,0)的有向弧段y=x(2一x),則∫L(yex—e-y+y)dx+(x-y+ex)dy=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:P(x,y)=yex—e-y+y,Q(x,y)=xe-y+ex,7、設(shè)f(u)連續(xù)可導(dǎo),且∫04f(u)du=2,L為半圓周y=,起點(diǎn)為原點(diǎn),終點(diǎn)為B(2,0),則∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:1知識點(diǎn)解析:P(x,y)=xf(x2+y2),Q(x,y)=yf(x2+y2),三、解答題(本題共22題,每題1.0分,共22分。)8、計(jì)算I=圍成.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析9、計(jì)算.標(biāo)準(zhǔn)答案:令知識點(diǎn)解析:暫無解析10、計(jì)算,其中D為單位圓x2+y2=1所圍成的第一象限的部分.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析11、計(jì)算二重積分(x2+4x+y2)dxdy,其中D是曲線(x2+y2)2=a2(x2一y2)圍成的區(qū)域.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析12、設(shè)半徑為R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上,問R取何值時(shí),球面S在定球面內(nèi)的面積最大?標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)球面S:x2+y2+(z一a)2=R2,知識點(diǎn)解析:暫無解析13、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),證明:∫abf(x)dx∫abf(y)dy=[∫abf(x)dx]2.標(biāo)準(zhǔn)答案:令F(x)=∫axf(t)dt,則∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b)一F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx—∫abf(x)F(x)dx=F2(b)一∫abF(x)dF(x)=F2(b)一[∫abf(x)dx]2.知識點(diǎn)解析:暫無解析14、設(shè)f(x,y),g(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù),且g(x,y)≥0.證明:存在(ξ,η)∈D,使得.標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)閒(x,y)在D上連續(xù),所以f(x,y)在D上取到最大值M和最小值m,故m≤f(x,y)≤M,又由g(x,y)≥0得mg(x,y)≤f(x,y)g(x,y)≤Mg(x,y)積分得知識點(diǎn)解析:暫無解析15、設(shè)f(x)在[0,a](a>0)上非負(fù)、二階可導(dǎo),且f(0)=0,f"(x)>0,為y=f(x),y=0,x=a圍成區(qū)域的形心,證明:.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a,b],且f(x)>0,D為區(qū)域a≤x≤b,a≤y≤b.證明dxdy≥(b—a)2.標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于直線y=x對稱,知識點(diǎn)解析:暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù),F(xiàn)(t)=[x2+f(x2+y2)]dv,其中V={(x,y,z)|x2+y2≤t2,0≤z≤h}(t>0),求.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析18、設(shè)Ω:x2+y2+z2≤1,證明:標(biāo)準(zhǔn)答案:令f(x,y,z)=x+2y一2z+5,因?yàn)閒’x=1≠0,f’y=2≠0,f’z=—2≠0,所以f(x,y,z)在區(qū)域Ω的邊界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值.令F(x,y,z,λ)=x+2y一2z+5+λ(x2+y2+z2一1),知識點(diǎn)解析:暫無解析19、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),計(jì)算+yf(x2+y2)]dxdy,其中D是由y=x2,y=1,x=一1圍成的區(qū)域.標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x),則知識點(diǎn)解析:暫無解析20、交換積分次序并計(jì)算(a>0).標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析21、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)減少,且f(x)>0.證明:標(biāo)準(zhǔn)答案:等價(jià)于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01xf2(x)dx,等價(jià)于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy,或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy≥0令I(lǐng)=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy,根據(jù)對稱性I=∫01dx∫01xf(x)y(y)[f(y)一f(x)]dy,2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y—x)[f(x)一f(y)]dy,因?yàn)閒(x)>0且單調(diào)減少,所以(y—x)[f(x)一f(y)]≥0,于是2I≥0,或I≥0,所以知識點(diǎn)解析:暫無解析22、證明:用二重積分證明標(biāo)準(zhǔn)答案:令D1={(x,y)|x2+y2≤R2,x≥0,y≥0},S=((x,y)|0≤x≤R,0≤y≤R},D2={(x,y)|x2+y2≤2R2,x≥0,y≥0}知識點(diǎn)解析:暫無解析23、設(shè)f(x,y,z)連續(xù),∑為曲面2z=x2+y2位于z=2與z=8之間部分的上側(cè),計(jì)算[yf(x,y,z)+x]dydz+[xf(x,y,z)+y]dzdx+[2xyf(x,y,z)+z]dxdy.標(biāo)準(zhǔn)答案:曲面2z=x2+y2上任一點(diǎn)(x,y,z)指向上側(cè)的法向量為n={一x,一y,1},法向量的方向余弦為知識點(diǎn)解析:暫無解析24、設(shè)f(x,y)dx+xcosydy=t2,f(x,y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求f(x,y).標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān),所以有cosy=f’y(x,y),則f(x,y)=siny+C(x),而tcosydy=t2,兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得C(t)=2t—sint2一2t2cost2,于是f(x,y)=siny+2x—sinx2一2x2cosx2.知識點(diǎn)解析:暫無解析25、設(shè)L為曲線|x|+|y|=1的逆時(shí)針方向,計(jì)算.標(biāo)準(zhǔn)答案:P=,令C:x2+4y2=r2(r>0)逆時(shí)針且C在曲線L內(nèi),則有知識點(diǎn)解析:暫無解析26、位于點(diǎn)(0,1)的質(zhì)點(diǎn)A對質(zhì)點(diǎn)M的引力大小為(其中常數(shù)k>0,且r=|AM|),質(zhì)點(diǎn)M沿曲線L:y=自點(diǎn)B(2,0)到點(diǎn)(0,0),求質(zhì)點(diǎn)A對質(zhì)點(diǎn)M所做的功.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析27、在變力F={yz,xz,xy}的作用下,質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動到橢球面=1上第一卦限的點(diǎn)M(ξ,η,ζ),問ξ,η,ζ取何值時(shí),F(xiàn)所做的功最大?求最大的功.標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)原點(diǎn)O到點(diǎn)M(ξ,η,ζ)的直線為L,L的參數(shù)方程為知識點(diǎn)解析:暫無解析28、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo),且曲線積分∫[3f’(x)一2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy與路徑無關(guān),求f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān),所以有f"(x)=3f’(x)一2f(x)+xe2x,即f"(x)一3f’(x)+2f(x)=xe2x,由特征方程λ一3λ+2=0得λ1=1,λ2=2,則方程f"(x)一3f’(x)+2f(x)=0的通解為f(x)=C1ex+C2e2x,令特解f0(x)=x(ax+b)e2x,代入原微分方程得a=,b=一1,故所求f(x)=C1ex+C2e2x+(一x)e2x.知識點(diǎn)解析:暫無解析29、計(jì)算,其中S為圓柱x2+y2=a2(a>0)位于z=—a與z=a之間的部分.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第4套一、選擇題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)1、設(shè)x→0時(shí)ax2+bx+c-cosx是比x2高階的無窮小,其中a,b,c為常數(shù),則()A、a=,b=0,c=1。B、a=,b=0,c=0。C、a=,b=0,c=1。D、a=,b=0,c=0。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:由題意得(ax2+bx+c-cosx)=0,則c=1。又因?yàn)樗詁=0,a=。故選C。2、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上存在二階導(dǎo)數(shù),且f(x)=f(-x),當(dāng)x<0時(shí)有f’(x)<0,f’’(x)>0,則當(dāng)x>0時(shí),有()A、f’(x)<0,f’’(x)>0。B、f’(x)>0,f’’(x)<0。C、f’(x)>0,f’’(x)>0。D、f’(x)<0,f’’(x)<0。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:由f(x)=f(-x)可知,f(x)為偶函數(shù),因偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),即f’(x)為奇函數(shù),f’’(x)為偶函數(shù),因此當(dāng)x<0時(shí),有f’(x)<0,f’’(x)>0,則當(dāng)x>0時(shí),有f’(x)>0,f’’(x)>0。故選C。3、函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),其二階導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖1-2-2所示,則y=f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:只需考查f’’(x)=0的點(diǎn)與f’’(x)不存在的點(diǎn)。f’’(x1)=f’’(x4)=0,且在x=x1,x4兩側(cè)f’’(x)變號,故凹凸性相反,則(x1,f(x1)),(x4,f(x4))是y=f(x)的拐點(diǎn)。x=9處f’’(0)不存在,但f(x)在x=0連續(xù),且在x=0兩側(cè)f’’(x)變號,由此(0,f(0))也是y=f(x)的拐點(diǎn)。雖然f’’(x3)=0,但在x=x3兩側(cè)f’’(x)>0,y=f(x)是凹的。(x3,f(x3))不是y=f(x)的拐點(diǎn)。因此總共有三個(gè)拐點(diǎn)。故選C。4、由曲線y=1-(x-1)2與直線y=0圍成的圖形(如圖1-3-1所示)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積1V是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:根據(jù)選項(xiàng)需把曲線表成x=x(y),于是要分成兩部分所求立體體積為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差,其中5、設(shè)有直線L:及平面∏:4x-2y+z-2=0,則直線L()A、平行于∏。B、在∏上。C、垂直于∏。D、與刀斜交。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:直線L的方向向量為=-28i+14j-7k=-7{4,-2,1},平面∏的法向量n={4,-2,1},顯然s與n平行,因此直線L與平面∏垂直,故選C。6、設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極小值,則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零。B、f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零。C、f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零。D、f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:因可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極小值,故有fx(x0,y0)=0,f(x0,y0)=0。又由fx(x0,y0)=,可知B正確。7、設(shè)有曲線從x軸正向看去為逆時(shí)針方向,則ydx+zdy+xdz等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:取∑為平面x+y+z=0包含球面x2+y2+z2=a2內(nèi)的部分,法線方向按右手法則,由斯托克斯公式得其中cosα,cosβ,cosγ為平面x+y+z=0法線向量的方向余弦,且cosα=cosβ=cosγ=則,故選C。8、下列命題成立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:若中至少有一個(gè)不成立,則級數(shù)中至少有一個(gè)發(fā)散,故選C。9、設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1,y2,y3都是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2-(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:因?yàn)閥1,y2,y3是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)線性無關(guān)的解,所以y1-y3,y2-y3都是齊次線性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=0的解,且y1-y3與y2-y3線性無關(guān),因此該齊次線性方程的通解為y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)。比較四個(gè)備選項(xiàng),且由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知,應(yīng)選D。二、填空題(本題共8題,每題1.0分,共8分。)10、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:11、已知=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:12、曲線xy=1在點(diǎn)D(1,1)處的曲率圓方程是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案:(x-2)2+(y-2)2=2知識點(diǎn)解析:由題干可知,那么D點(diǎn)處的曲率設(shè)D點(diǎn)曲率中心的坐標(biāo)為(α,β),那么因此所求方程為(x-2)2+(y-2)2=2。13、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:ln2知識點(diǎn)解析:14、經(jīng)過平面∏1:x+y+1=0與平面∏2:x+2y+2z=0的交線,并且與平面∏3:2x-y-z=0垂直的平面方程是________。標(biāo)準(zhǔn)答案:3x+4y+2z+2=0知識點(diǎn)解析:平面∏1與∏2的交線方程為其方向向量點(diǎn)P0(0,-1,1)在交線L上。所求平面∏過點(diǎn)P0,交線L的方向向量s與平面∏3的法向量,n=(2,-1,-1)垂直,因此故∏的方程為3x+4y+2z+2=0。15、已知曲線L的方程為y:1-|x|,x∈[-1,1],起點(diǎn)是(-1,0),終點(diǎn)是(1,0),則曲線積分xydx+x2dy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:0知識點(diǎn)解析:令16、無窮級數(shù)的收斂區(qū)間為________。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:在原級數(shù)中令=t,原級數(shù)可化為的收斂半徑和收斂區(qū)間即可。對于級數(shù),由于所以的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為(-1,1)。由于的收斂區(qū)間為17、設(shè)y=ex(asinx+bcosx)(a,b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解,則該方程為_______。標(biāo)準(zhǔn)答案:y’’-2y’+2y=0知識點(diǎn)解析:由通解的形式可知,特征方程的兩個(gè)根是r1,2=1±i,特征方程為(r-r1)(r-r2)=r2-(r1+r2)r+r1r2=r2-2r+2=0,故所求微分方程為y’’-2y’+2y=0。三、解答題(本題共8題,每題1.0分,共8分。)18、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)連續(xù),且有標(biāo)準(zhǔn)答案:由已知條件得[f[x+1)+1+3sin2x]=0,因此有[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0,故f(1)=0。又因?yàn)樵趚=0的某空心鄰域內(nèi)f(x+1)+3sin2x≠0,現(xiàn)利用等價(jià)無窮小替換:當(dāng)x→0時(shí),ln[1+f(x+1)+3sin2x]~f(x+1)+3sin2x,知識點(diǎn)解析:暫無解析19、設(shè)奇函數(shù)f(x)在[-1,1]上具有二階導(dǎo)數(shù),且f(1)=1,證明:(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;(Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1。標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x,則F(0)=f(0)=0,F(xiàn)(1)=f(1)-1=0,由羅爾定理知,存在ξ∈(0,1)使得F’(ξ)=0,即f’(ξ)=1。(Ⅱ)令G(x)=ex[f’(x)-1],由(Ⅰ)知,存在ξ∈(0,1),使C(ξ)=0,又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),故f’(x)為偶函數(shù),知G(-ξ)=0,則存在η∈(-ξ,ξ)(-1,1),使得G’(η)=eη(f’(η)-1)+eηf’’(η)=0,f’’(η)+f’(η)=1。知識點(diǎn)解析:暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在[0,π]上連續(xù),且。試證明在(0,π)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案:令F(x)=,0≤x≤π,則有F(0)=0,F(xiàn)(π)=0。又因?yàn)樗源嬖讦巍?0,π),使F(ξ)sinξ=0,不然,則在(0,π)內(nèi)F(x)sinx恒為正或恒為負(fù),與矛盾,但當(dāng)ξ∈(0,π)時(shí)sinξ≠0,故F(ξ)=0。再對F(x)在區(qū)間[0,ξ],[ξ,π]上分別用羅爾定理知,至少存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,π),使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0,即f(ξ1)=f(ξ2)=0。知識點(diǎn)解析:暫無解析21、設(shè)其中f和g具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且gz(x,y,z)≠0,求標(biāo)準(zhǔn)答案:本題確定兩個(gè)因變量,三個(gè)自變量。由第一個(gè)方程來看,u是因變量,x,y,t是自變量,由第二個(gè)方程來看,z是因變量。因此確定x,y,t為自變量,u,z為因變量。于是將方程組對x求偏導(dǎo)數(shù)得同理,將方程組對y求偏導(dǎo)數(shù)可得知識點(diǎn)解析:暫無解析22、設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)镈=|(x,y)|x2+y2-xy≤75},小山的高度函數(shù)為h(x,y)=75-x2-y2+xy。(Ⅰ)設(shè)M(x0,y0)為區(qū)域D上的一點(diǎn),問h(x,y)在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為g(x0,y0),寫出g(x0,y0)的表達(dá)式;(Ⅱ)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)。也就是說,要在D的邊界線x2+y2-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(shù)(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn)。試確定攀登起點(diǎn)的位置。標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)函數(shù)h(x,y)在點(diǎn)M處沿該點(diǎn)的梯度方向(Ⅱ)求g(x,y)在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點(diǎn)與求g2(x,y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x),在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點(diǎn)等價(jià)。這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘數(shù)法。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75),則有聯(lián)立(1),(2)解得y=-x,λ=-6或y=x,λ=-2。若y=-x,則由(3)式得3x2=75,即x=±5,y=±5。若y=x,則由(3)式得x2=75,即。于是得可能的條件極值點(diǎn)M1(5,-5),M2(-5,5),。現(xiàn)比較f(x,y)=g2(x,y)=5x2+5y2-8xy在這些點(diǎn)的函數(shù)值,有f(M1)=f(M2)=450,f(M3)=f(M4)=150。因?yàn)閷?shí)際問題存在最大值,而最大值又只可能在M1,M2,M3,M4中取到。所以g2(x,y)在M1,M2取得邊界線D上的最大值,即M1,M2可作為攀登的起點(diǎn)。知識點(diǎn)解析:暫無解析23、設(shè)f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析24、已知積分與路徑無關(guān),f(x)可微,且(Ⅰ)求f(x);(Ⅱ)對(Ⅰ)中求得的f(x),求函數(shù)u=u(x,y)使得du=(x+xysinx)dx+(Ⅲ)對(Ⅱ)中的du求積分,其中積分路徑為從A(π,1)到B(2π,0)的任意路徑。標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)由題意可得這是一階線性微分方程,通解為f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始條件,得C=-1,于是f(x)=x(sinx-xcosx-1)。(Ⅱ)由(Ⅰ)中結(jié)論可得du=(x+xysinx)dx+=(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy,則=x+xysinx,兩邊對x積分得u=-xycosx+ysinx+φ(y),于是=-ccosx+sinx+φ’(y)=sinx-xcosx-1,因此φ’(y)=-1,兩邊對y積分得φ(y)=-y+C,u=-xycosx+ysinx-y+C,其中C為任意常數(shù)。(Ⅲ)由于積分與路徑無關(guān),所以知識點(diǎn)解析:暫無解析25、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)an=,則當(dāng)x2<1時(shí),原級數(shù)絕對收斂,當(dāng)x2>1時(shí),原級數(shù)發(fā)散,因此原級數(shù)的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為(-1,1)。知識點(diǎn)解析:暫無解析考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題,每題1.0分,共5分。)1、f(x)=2x+3x一2,當(dāng)x→0時(shí)().A、f(x)~xB、f(x)是x的同階但非等價(jià)的無窮小C、f(x)是x的高階無窮小D、f(x)是x的低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:因?yàn)?,所以f(x)是x的同階而非等價(jià)的無窮小,選(B).2、設(shè),則當(dāng)x=0時(shí),f(x)是g(x)的().A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價(jià)無窮小D、同階但非等價(jià)的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:當(dāng)x→0時(shí),g(x)~因?yàn)?,所以f(x)是g(x)的高階無窮小,選(B).3、極限().A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D(zhuǎn)、等于0標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:因?yàn)楫?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以極限不存在但不是∞,選(C).4、當(dāng)x→1時(shí),的極限為().A、2B、0C、∞D(zhuǎn)、不存在但不是∞標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:顯然,因?yàn)?,而,所以不存在但不是∞,選(D).5、設(shè)f(x)連續(xù)且,則為().A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:,選(B).二、填空題(本題共10題,每題1.0分,共10分。)6、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:7、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:8、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:9、標(biāo)準(zhǔn)答案:2知識點(diǎn)解析:10、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:11、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:12、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:13、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:14、設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),且f(x)>0,則=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:15、若=5,則a=__________,b=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案:a=1,b=-4知識點(diǎn)解析:三、解答題(本題共24題,每題1.0分,共24分。)16、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析27、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析29、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析30、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析31、設(shè),當(dāng)x→0時(shí),比較這兩個(gè)無窮小的關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析32、設(shè)f(x)連續(xù),且,且f’(0)存在。求f’(0)。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析33、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo),f”(0)=4,,求。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析34、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析35、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析36、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析37、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析38、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析39、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)1、把x→0+時(shí)的無窮小量α=排列起來,使排在后面的是前面一個(gè)的高階無窮小,則正確的排列次序是()A、α,β,γ。B、α,γ,β。C、β,α,γ。D、β,γ,α。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:因?yàn)樗援?dāng)x→0+時(shí),α是x的一階無窮小,β是x的三階無窮小,γ是x的二階無窮小,故選B。2、設(shè)函數(shù)f(x)對任意的x均滿足等式f(1+x)=af(x),且有f’(0)=b,其中a,b為非零常數(shù),則()A、f(x)在x=1處不可導(dǎo)。B、f(x)在x=1處可導(dǎo),且f’(1)=a。C、f(x)在x=1處可導(dǎo),且f’(1)=b。D、f(x)在x=1處可導(dǎo),且f’(1)=ab。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:因且由f’(0)=b可知3、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f’’(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,則()A、f(0)是f(x)的極大值。B、f(0)是f(x)的極小值。C、(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。D、f(0)不是f(x)的極值,(x,f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識點(diǎn)解析:在題設(shè)等式兩端對x求導(dǎo),得f’’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1。令x=0可得f’’’(0)=1(因由上式可推得f’’’(x)連續(xù))。又f’’(0)=0,由拐點(diǎn)的充分條件可知,(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。故選C。4、由曲線(0≤x≤π)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:由曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式,得5、已知向量a,b的模分別為|a|=2,|b|=,且a.b=2,則|a×b|=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識點(diǎn)解析:a.b=|a||b|c(diǎn)os<a,b>=cos<a,b>=2,則cos<a,b>=故|a×b|=|a||b|sin<a,b>=6、函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)可微的充分條件是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:由可知,f(x,y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)和fy(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù),則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微,故選D。7、設(shè)曲線積分-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無關(guān),其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(0)=0,則f(x)等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:曲線積分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無關(guān),則[f(x)-ex]cosy=-f’(x)cosy,即f’(x)+f(x)=ex。所以有8、設(shè)正項(xiàng)級數(shù)()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與λ有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識點(diǎn)解析:因?yàn)槎烧?xiàng)級數(shù)收斂,再由比較審斂法極限形式知,原級數(shù)絕對收斂。9、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解,則方程的通解為()A、y=Cy1(x)。B、y=Cy2(x)。C、y=C1y1(x)+C2y2(x)。D、y=C[y1(x)-y2(x)]。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識點(diǎn)解析:由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解,所以y1(x)-y2(x)為該方程的一個(gè)非零解,則y=C[y1(x)-y2(x)]為該方程的通解。二、填空題(本題共8題,每題1.0分,共8分。)10、設(shè)a>0,a≠1,且,則p=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案:2知識點(diǎn)解析:故取p=2。11、已知=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:12、設(shè)y=y(x)由參數(shù)方程=________,y=y(x)在任意點(diǎn)處的曲率K=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:由題干可知因此,y=y(x)的曲率13、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:1知識點(diǎn)解析:原式=14、兩個(gè)平行平面∏1:2x-y-3z+2=0,∏2:2x-y-3z-5=0之間的距離是=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:在平面∏上任取一點(diǎn)P0(-1,0,0),則平行平面∏1到∏2的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P0到平面∏2的距離,利用點(diǎn)到平面的距離公式,則有15、設(shè)L為正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分,則曲線積分的值為=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分,可表示為16、冪級數(shù)的收斂域?yàn)開_______。標(biāo)準(zhǔn)答案:[4,6)知識點(diǎn)解析:冪級數(shù)的系數(shù)為an=,則有因此冪級數(shù)的收斂半徑為R=1。當(dāng)x=4時(shí),原級數(shù)為,該級數(shù)收斂,當(dāng)x=6時(shí),原級數(shù)為,該級數(shù)發(fā)散,故冪級數(shù)的收斂域是[4,6)。17、若函數(shù)f(x)滿足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex,則f(x)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:ez知識點(diǎn)解析:齊次微分方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0的特征方程為r2+r-2=0,特征根為r1=1,r2=-2,該齊次微分方程的通解為f(x)=C1ex+C2e-2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex+5C2e-2x=2ex,比較系數(shù)可得C1=1,C2=0。故f(x)=ex。三、解答題(本題共8題,每題1.0分,共8分。)18、證明:(Ⅰ)對任意正整數(shù)n,都有成立;(Ⅱ)設(shè),證明{an}收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)令=x,則原不等式可化為先證明ln(1+x)<x,x>0。令f(x)=x-ln(1+x)。由于可知f(x)在0,+∞)上單調(diào)遞增。又由于f(0)=0,所以當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0。也即ln(1+x)<x,x>0。再證明<ln(1+x),x>0。令g(x)=ln(1+x)-。由于可知g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增。又因g(0)=0,所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)=0。即再代入,即可得到所需證明的不等式。因此數(shù)列{an}是有界的。由單調(diào)有界收斂定理可知數(shù)列{an}收斂。知識點(diǎn)解析:暫無解析19、(Ⅰ)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a);(Ⅱ)證明:若函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù),在(0,δ)(δ>0)內(nèi)可導(dǎo),且f’(x)=A,則f’+(0)存在,且f’+(0)=A。標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)作輔助函數(shù)φ(x)=f(x)-f(a)-(x-a),易驗(yàn)證φ(x)滿足:φ(a)=φ(b);φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且根據(jù)羅爾定理,可得至少有一點(diǎn)ξ∈(a,b),使φ’(ξ)=0,即所以f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。(Ⅱ)任取x0∈(0,δ),則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,x0]上連續(xù),開區(qū)間(0,x0)內(nèi)可導(dǎo),因此由拉格朗日中值定理可知,存在(0,δ),使得故f’+(0)存在,且f’+(0)=A。知識點(diǎn)解析:暫無解析20、設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。(Ⅰ)試證存在x0∈(0,1),使得在區(qū)間[0,x0]上以f(x0)為高的矩形面積等于在區(qū)間[x0,1]上以y=f(x)為曲邊的梯形面積;(Ⅱ)又設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f’(x)>-,證明(Ⅰ)中的x0是唯一的。標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)本題可轉(zhuǎn)化為證明x0f(x0)=,則φ(x)在閉區(qū)間[0,1]上是連續(xù)的,在開區(qū)間(0,1)上是可導(dǎo)的,又因?yàn)棣?0)=φ(1)=0,根據(jù)羅爾定理可知,存在x0∈(0,1),使得φ’(x0)=0,即(Ⅱ)令F(x)=xf(x)-有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)>0,即F(x)在(0,1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的,因此(Ⅰ)中的點(diǎn)x0是唯一的。知識點(diǎn)解析:暫無解析21、設(shè)z=f(x,y),x=g(y,z)+,其中f,g,φ在其定義域內(nèi)均可微,求標(biāo)準(zhǔn)答案:由z=f(x,y),有dz=f’1dx+f’2dy。由x=g(y,z)+有解得代入出表達(dá)式中,得知識點(diǎn)解析:暫無解析22、過橢圓3x2+2xy+3y2=1上任意一點(diǎn)作橢圓的切線,試求該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)(x,y)為所給橢圓上任一點(diǎn),則可求得在(x,y)處的切線方程為(3x+y)(X-x)+(x+3y)(Y-y)=0,它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為。所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為本題轉(zhuǎn)化為求(3x+y)(z+3y)在條件3x2+2xy+3y2=1下的極值。設(shè)F(x,y,λ)=(3x+y)(x+3y)+λ(3x2+2xy+3y2-1),所以該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值知識點(diǎn)解析:暫無解析23、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案:如圖所示,二重積分的積分區(qū)域?yàn)镈,D1是D的第一象限部分,由對稱性,得知識點(diǎn)解析:暫無解析24、設(shè)在上半平面D={(x,y)|y>0}內(nèi),函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意的t>0都有f(tx,ty)=t-2f(,y)。證明對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有yf(x,y)dx-xf(x,y)dy=0。標(biāo)準(zhǔn)答案:在等式f(tx,ty)=t-2f(x,y)兩邊對t求導(dǎo)得xf’1(tx,ty)+yf’2(tx,ty)=-2t-3f(x,y),令t=1,則xf’1(x,y)+xf’2(x,y)=-2f(x,y),(*)設(shè)P(x,y)=yf(x,y),Q(x,y)=-xf(x,y),則由曲線積分與路徑無關(guān)的定理可知,對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有yf(x,y)dx-xf(x,y)dy=0。知識點(diǎn)解析:暫無解析25、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間,并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性。標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)樗允諗堪霃綖镽=3,相應(yīng)的收斂區(qū)間為(-3,3)。當(dāng)x=3時(shí),由于且發(fā)散,所以原級數(shù)在點(diǎn)x=3處發(fā)散。當(dāng)x=-3時(shí),由于且都收斂,所以原級數(shù)在點(diǎn)x=-3處收斂。知識點(diǎn)解析:暫無解析考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第7套一、填空題(本題共4題,每題1.0分,共4分。)1、微分方程的通解為___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析2、微分方程(y2+x)dx一2xydy=0的通解為____________.標(biāo)準(zhǔn)答案:y2=x(1n|x|+C)知識點(diǎn)解析:暫無解析3、微分方程的通解為___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析4、方程y"一3y’+2y=2x的通解為___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:y=C1ex+C1e2x一2xex知識點(diǎn)解析:暫無解析二、解答題(本題共30題,每題1.0分,共30分。)5、求微分方程的通解.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析求下列方程的通解或滿足給定初始條件的特解:6、y’+1=xex+y.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析7、標(biāo)準(zhǔn)答案:x(csc(x+y)-cot(x+y))=C知識點(diǎn)解析:暫無解析8、(y+2xy2)dx+(x一2x2y)dy=0標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析9、(1+x)y"+y’=0標(biāo)準(zhǔn)答案:y=C1ln|1+x|+C2知識點(diǎn)解析:暫無解析10、yy"一(y’)2=y4,y(0)=1,y’(0)=0標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析11、y"+4y’+1=0標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析12、y"+9y=cos(2x+5)標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析13、y’’’一3y"+9y’+13y=e2xsin3x標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析14、設(shè)y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一個(gè)解,求此微分方程滿足條件y|x=ln2=0的特解.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析15、設(shè)有微分方程y’一2y=φ(x),其中,試求在(一∞,+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=y(x),使之在(一∞,1),(1,+∞)內(nèi)都滿足所給方程,且滿足條件y(0)=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析16、已知y1=3,y2=3+x2,y3=3+ex是二階線性非齊次方程的解,求方程通解及方程.標(biāo)準(zhǔn)答案:所求方程(2x-x2)y"+(x2一2)y’+2(1一x)y=6(1一x);通解為:y=C1x2+C2ex+3;知識點(diǎn)解析:暫無解析17、已知函數(shù)y=e2x+(x+1)ex是二階常系數(shù)線性非齊次方程y"+ay’+by=cex的一個(gè)特解,試確定常數(shù)a,b,c及該方程的通解.標(biāo)準(zhǔn)答案:a=一3,b=2,c=一1,y=C1e2x+C2ex+xex知識點(diǎn)解析:暫無解析18、已知y"+(x+e2y)y’3=0,若把x看成因變量,y看成自變量,則方程化為什么形式?并求此方程的通解.標(biāo)準(zhǔn)答案:原方程化為xy"—x=e2y,通解為知識點(diǎn)解析:暫無解析求分別滿足下列關(guān)系式的f(x).19、,其中f(x)為連續(xù)函數(shù);標(biāo)準(zhǔn)答案:f(x)≡0知識點(diǎn)解析:暫無解析20、f’(x)+xf’(一x)=x.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析21、設(shè)f(x)連續(xù)且,求f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案:f(x)=Cx+2知識點(diǎn)解析:暫無解析22、設(shè)f(x)在x>0上有定義,且對任意的正實(shí)數(shù)x,y,f(xy)=xf(y)+yf(x),f’(1)=2,試求f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案:f(x)=2xlnx知識點(diǎn)解析:暫無解析23、設(shè)φ(x)連續(xù),且,試求φ(x).標(biāo)準(zhǔn)答案:φ(x)=ex+2xex+知識點(diǎn)解析:暫無解析24、已知與路徑無關(guān),且f(0)=0,試求f(x)及I的值.標(biāo)準(zhǔn)答案:f(x)=xex,I=e知識點(diǎn)解析:暫無解析25、設(shè)φ(x)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),且φ(0)=φ’(0)=0,du=yφ(x)dx+[sinx一φ’(x)]dy,試求u(x,y).標(biāo)準(zhǔn)答案:u(x,y)=知識點(diǎn)解析:暫無解析26、設(shè)f(x)在(0,+∞)上可導(dǎo),f(1)=3求f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案:f(x)=31nx+3知識點(diǎn)解析:暫無解析27、設(shè)(r,θ)為極坐標(biāo),r>0,0≤θ≤2π,設(shè)u=u(r,θ)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并滿足=0,求u(r,θ).標(biāo)準(zhǔn)答案:u=C1+C2lnr知識點(diǎn)解析:暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(t)在[0,+∞)上連續(xù),且滿足方程求f(t).標(biāo)準(zhǔn)答案:f(t)=知識點(diǎn)解析:暫無解析29、求方程y(4)一y"=0的一個(gè)特解,使其在x→0時(shí)與x3為等價(jià)無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案:y=一6x+3ex一3e-x知識點(diǎn)解析:暫無解析30、假設(shè):(1)函數(shù)y=f(x)(0≤x<+∞)滿足條件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1;(2)平行于y軸的動直線MN與曲線y=f(x)和y=ex一1分別相交于點(diǎn)P1和P2;(3)曲線y=f(x)、直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長度.求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析31、設(shè)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上連續(xù),若由曲線y=f(x),直線x=1,x=t(t>1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為試求y=f(x)所滿足的微分方程,并求該微分方程滿足條件的解.標(biāo)準(zhǔn)答案:3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t),知識點(diǎn)解析:暫無解析32、設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為r=r(θ),M(r,θ)為L上任一點(diǎn),M0(2,0)為L上一定點(diǎn),若極徑OM0,OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上M0,M兩點(diǎn)間弧長值的一半,求曲線L的方程.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析33、以yOz坐標(biāo)面上的平面曲線段y=f(z)(0≤z≤h)繞z軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)曲面和xOy坐標(biāo)面圍成一個(gè)無蓋容器,已知它的底面積為16πcm2,如果以3cm3/s的速率把水注入容器,水表面的面積以πcm2/s增大,試求曲線y=f(z)的方程.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識點(diǎn)解析:暫無解析34、要設(shè)計(jì)一形狀為旋轉(zhuǎn)體的水泥橋墩,橋墩高為h,上底面半徑為a,要求橋墩在任一水平面上所受上部橋墩的平均壓強(qiáng)為一常數(shù)P,設(shè)水泥比重為ρ,試求橋墩形狀.標(biāo)準(zhǔn)答案:橋墩應(yīng)為曲線段繞x軸旋轉(zhuǎn)所成曲面與平面x=0和x=h所圍成的旋轉(zhuǎn)體.知識點(diǎn)解析:暫無解析考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第8套一、選擇題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)1、設(shè)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo),且f(0)=0,f’(0)=1,則=().A、e-1B、eC、e2D、e3標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:,選(B).2、設(shè),則x=0是f(x)的().A、連續(xù)點(diǎn)B、第一類間斷點(diǎn)C、第二類間斷點(diǎn)D、不能判斷連續(xù)性的點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=;當(dāng)x=0時(shí),;當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x,因?yàn)閒(0+0)=1,f(0)=,f(0—0)=0,所以x=0為f(x)的第一類間斷點(diǎn),選(B).3、設(shè)f(x)是不恒為零的奇函數(shù),且f’(0)存在,則g(x)=().A、在x=0處無極限B、x=0為其可去間斷點(diǎn)C、x=0為其跳躍間斷點(diǎn)D、x=0為其第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:因?yàn)閒’(0)存在,所以f(x)在x=0處連續(xù),又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn),因?yàn)?,所以x=0為g(x)的可去間斷點(diǎn),選(B).4、設(shè)f(x)=,則f(x)().A、無間斷點(diǎn)B、有間斷點(diǎn)x=1C、有間斷點(diǎn)x=一1D、有間斷點(diǎn)x=0標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:當(dāng)|x|<1時(shí),f(x)=1+x;當(dāng)|x|>1時(shí),f(x)=0;當(dāng)x=一1時(shí),f(x)=0;當(dāng)x=1時(shí),f(x)=1.于是顯然x=1為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn),選(B).5、設(shè),其中a,b為常數(shù),則().A、a=1,b=1B、a=1,b=一1C、a=一1,b=1D、a=一1,b=一1標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識點(diǎn)解析:因?yàn)椋裕?/p>

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