考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共287題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共287題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、矩形閘門寬a米，高h(yuǎn)米，垂直放在水中，上邊與水面相齊，閘門壓力為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：2、在曲線y=(x-1)2上的點(diǎn)(2，1)處作曲線的法線，由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域?yàn)镈(y>0)，則區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：過(guò)曲線y=(x-1)2上點(diǎn)(2，1)的法線方程為，該法線與x軸的交點(diǎn)為(4，0)，則由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)3、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)f(x)連續(xù)且關(guān)于x=T對(duì)稱，a標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，證明：存在ξ[(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=x2f(x)，由積分中值定理得，其中c∈，即φ(c)=φ(1)，顯然φ(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(t)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且證明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)y=f(x)為區(qū)間[0，1]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)．(1)證明存在c∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，c]上以f(c)為高的矩形面積等于區(qū)間[c,1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積；(2)設(shè)f(x)在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且，證明(1)中的c是唯一的．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求曲線與x軸圍成的區(qū)域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求雙紐線(x2+y2)2=a2(x2一y2)所圍成的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩個(gè)部分，求左右兩個(gè)部分的面積之比．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)C1，C2是任意兩條過(guò)原點(diǎn)的曲線，曲線C介于C1，C2之間，如果過(guò)C上任意一點(diǎn)P引平行于x和y軸的直線，得兩塊陰影所示區(qū)域A，B有相等的面積，設(shè)C的方程是y=x2，C1的方程是，求曲線C2的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)曲線y=a+x—x3，其中a<0．當(dāng)x>0時(shí)，該曲線在x軸下方與y軸、x軸所圍成圖形的面積和在x軸上方與x軸所圍成圖形的面積相等，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線y=a+x—x3與x軸正半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為α，β(α<β)，由條件得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求曲線y=x2一2x、y=0、x=1、x=3所圍成區(qū)域的面積S，并求該區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)平面圖形D由x2+y2≤2x與y≥x圍成，求圖形D繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)L：y=e-x(x≥0)．(1)求由y=e-x、x軸、y軸及x=a(a＞0)所圍成平面區(qū)域繞x軸一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)．(2)設(shè)，求c．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求由曲線y=4一x2與x軸圍成的部分繞直線x=3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、曲線y=x2(x≥0)上某點(diǎn)處作切線，使該曲線、切線與z軸所圍成的面積為，求切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程，并求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求擺線的第一拱繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)曲線與x軸、y軸所圍成的圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V1(a)，繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V2(a)，問(wèn)a為何值時(shí)，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)一拋物線y=ax2+bx+C過(guò)點(diǎn)(0，0)與(1，2)，且a<0，確定a，b，c，使得拋物線與x軸所圍圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€過(guò)原點(diǎn)，所以C=0，又曲線過(guò)點(diǎn)(1，2)，所以a+b=2，b=2一a．因?yàn)閍<0，所以b>0，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，所以令S’(a)=0，得a=一4，從而b=6，所以當(dāng)a=一4，b=6，c=0時(shí)，拋物線與x軸所圍成的面積最小．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)直線y=kx與曲線所圍平面圖形為D1，它們與直線x=1圍成平面圖形為D2．(1)求k，使得D1與D2分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周成旋轉(zhuǎn)體體積V1與V2之和最小，并求最小值；(2)求此時(shí)的D1+D2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、求擺線的長(zhǎng)度．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)曲線，過(guò)原點(diǎn)作切線，求此曲線、切線及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、一半徑為R的球沉入水中，球面頂部正好與水面相切，球的密度為1，求將球從水中取出所做的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：以球頂部與水面相切的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下，取，由于球的密度與水的密度相同，所以水面以下不做功，dω=(2R—x)×π[R2一(R—x)2]×1×gdx=πx(2R—x)2gdx，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f"(x)連續(xù)，f’(0)=0，=1，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)非極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由=1及f"(x)的連續(xù)性，得f"(0)=0，由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x|＜δ時(shí)，＞0，從而f"(x)＞0，于是f’(x)在(一δ，δ)內(nèi)單調(diào)增加，再由f’(0)=0，得當(dāng)x∈(一δ，0)時(shí)，f’(x)＜0，當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f’(x)＞0，x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，選(B)．2、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(一δ，0)內(nèi)單凋減少C、對(duì)任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)D、對(duì)任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x∈(一δ，0)時(shí)，f(x)f(0)，應(yīng)選(D)．4、設(shè)函數(shù)f(x)=則在點(diǎn)x=0處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、導(dǎo)數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(x)=則在x=1處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但不是連續(xù)可導(dǎo)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：6、若f(—x)=—f(x)，且在(0，+∞)內(nèi)f’(x)＞0，f"(x)＞0，則在(一∞，0)內(nèi)()．A、f’(x)＜0，f"(x)＜0B、f’(x)＜0，f"(x)＞0C、f’(x)＞0，f"(x)＜0D、f’(x)＞0，f"(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，故在(一∞，0)內(nèi)有f’(x)＞0．因?yàn)閒"(x)為奇函數(shù)，所以在(一∞，0)內(nèi)f"(x)＜0，選(C)．7、設(shè)f(x)，g(x)(a＜x＜b)為大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)＜0，則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)8、設(shè)函數(shù)y=y(x)由e2x+y一cos(xy)=e一1確定，則曲線y=y(z)在x=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=1，9、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)在x0=一1處取得增量△x=0．05時(shí)，函數(shù)增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy|x=—1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因?yàn)椤鱵的線性部分為dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=一．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，且f(a)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=f’(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，顯然φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，因?yàn)棣?a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)a—1[(b一x)f(x)一af(x)]得(b一ξ)a—1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a—1≠0，故f(ξ)=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，試證明存在ξ∈(a，b)，使=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)∫xag(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，φ(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt一f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，因?yàn)棣?a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(x)＞0，從而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令φ(x)=f(x)，因?yàn)閒(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)令φ(x)=xf(x)，因?yàn)閒(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g’(x)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)—f(x)g(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x一1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=，則φ(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1)，由羅爾定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，證明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(0)=f(1)，所以f’(ξ)=一f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=x2，F(xiàn)’(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，再由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，連接點(diǎn)A(a，f(a))，B(b，f(b))的直線與曲線y=f(x)交于點(diǎn)C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C共線，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因?yàn)閒(x)二階可導(dǎo)，所以再由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f"(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)三階可導(dǎo)，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨設(shè)f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)b＞a＞0，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上滿足｜f"(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值．證明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)為f(x)在[a，b]上的最小值，從而f’(c)=0．由微分中值定理得兩式相加得|f’(a)|+|f’(b)|≤2(b一a)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，證明：｜f’(x)｜≤．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、證明：當(dāng)x＞1時(shí)，．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，f(1)=2ln2＞0，因?yàn)閒’(x)=ln(1+x)+1—lnx一1=ln(1+)＞0(x＞1)，所以f(x)在[1，+∞)上單調(diào)增加。再由f(1)=2ln2＞0得當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，即．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＞(1+x)ln2(1+x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，arctanx+．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求y=∫0x(1一t)arctantdt的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=(1—x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=一arctanx+＜0，所以x=0為極小值點(diǎn)，極小值為y=0；x=1為極大值點(diǎn)，極大值為y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt—∫01tarctantdt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)場(chǎng)A={x3+2y，y3+2z，z3+2x}，曲面S：x2+y2+z2=2z內(nèi)側(cè)，則場(chǎng)A穿過(guò)曲面指定側(cè)的通量為()．A、32πB、一32πC、D、一標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)2、設(shè)L為從點(diǎn)A(0，一1，1)到點(diǎn)B(1，0，2)的直線段，則∫L(x+y+z)ds=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)曲線L：，則∮L(x2+2y2+z)ds=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2πa3知識(shí)點(diǎn)解析：4、∫L｜y｜ds=___________，其中L：(x2+y2)2=a2(x2一y2)(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：2a2(2—)知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)向量場(chǎng)A=2x3yzi—x2y2zj一x2yz2k，則其散度divA在點(diǎn)M(1，1，2)沿方向l={2，2，一1}的方向?qū)?shù)(divA)｜M=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)L是從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(2，0)的有向弧段y=x(2一x)，則∫L(yex—e-y+y)dx+(x-y+ex)dy=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P(x，y)=yex—e-y+y，Q(x，y)=xe-y+ex，7、設(shè)f(u)連續(xù)可導(dǎo)，且∫04f(u)du=2，L為半圓周y=，起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為B(2，0)，則∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)8、計(jì)算I=圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、計(jì)算，其中D為單位圓x2+y2=1所圍成的第一象限的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、計(jì)算二重積分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲線(x2+y2)2=a2(x2一y2)圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)半徑為R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，問(wèn)R取何值時(shí)，球面S在定球面內(nèi)的面積最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)球面S：x2+y2+(z一a)2=R2，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx∫abf(y)dy=[∫abf(x)dx]2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b)一F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx—∫abf(x)F(x)dx=F2(b)一∫abF(x)dF(x)=F2(b)一[∫abf(x)dx]2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)積分得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)在[0，a](a＞0)上非負(fù)、二階可導(dǎo)，且f(0)=0，f"(x)＞0，為y=f(x)，y=0，x=a圍成區(qū)域的形心，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D為區(qū)域a≤x≤b，a≤y≤b．證明dxdy≥(b—a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于直線y=x對(duì)稱，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，F(xiàn)(t)=[x2+f(x2+y2)]dv，其中V={(x，y，z)｜x2+y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)Ω：x2+y2+z2≤1，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x，y，z)=x+2y一2z+5，因?yàn)閒’x=1≠0，f’y=2≠0，f’z=—2≠0，所以f(x，y，z)在區(qū)域Ω的邊界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y一2z+5+λ(x2+y2+z2一1)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，計(jì)算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x2，y=1，x=一1圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、交換積分次序并計(jì)算(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且單調(diào)減少，且f(x)＞0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：等價(jià)于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01xf2(x)dx，等價(jià)于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy，或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy≥0令I(lǐng)=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy，根據(jù)對(duì)稱性I=∫01dx∫01xf(x)y(y)[f(y)一f(x)]dy，2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y—x)[f(x)一f(y)]dy，因?yàn)閒(x)＞0且單調(diào)減少，所以(y—x)[f(x)一f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、證明：用二重積分證明標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S=((x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(x，y，z)連續(xù)，∑為曲面2z=x2+y2位于z=2與z=8之間部分的上側(cè)，計(jì)算[yf(x，y，z)+x]dydz+[xf(x，y，z)+y]dzdx+[2xyf(x，y，z)+z]dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面2z=x2+y2上任一點(diǎn)(x，y，z)指向上側(cè)的法向量為n={一x，一y，1}，法向量的方向余弦為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(x，y)dx+xcosydy=t2，f(x，y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以有cosy=f’y(x，y)，則f(x，y)=siny+C(x)，而tcosydy=t2，兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得C(t)=2t—sint2一2t2cost2，于是f(x，y)=siny+2x—sinx2一2x2cosx2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)L為曲線｜x｜+｜y｜=1的逆時(shí)針?lè)较?，?jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：P=，令C：x2+4y2=r2(r＞0)逆時(shí)針且C在曲線L內(nèi)，則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、位于點(diǎn)(0，1)的質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力大小為(其中常數(shù)k＞0，且r=｜AM｜)，質(zhì)點(diǎn)M沿曲線L：y=自點(diǎn)B(2，0)到點(diǎn)(0，0)，求質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、在變力F={yz，xz，xy}的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面=1上第一卦限的點(diǎn)M(ξ，η，ζ)，問(wèn)ξ，η，ζ取何值時(shí)，F(xiàn)所做的功最大?求最大的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)原點(diǎn)O到點(diǎn)M(ξ，η，ζ)的直線為L(zhǎng)，L的參數(shù)方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且曲線積分∫[3f’(x)一2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy與路徑無(wú)關(guān)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以有f"(x)=3f’(x)一2f(x)+xe2x，即f"(x)一3f’(x)+2f(x)=xe2x，由特征方程λ一3λ+2=0得λ1=1，λ2=2，則方程f"(x)一3f’(x)+2f(x)=0的通解為f(x)=C1ex+C2e2x，令特解f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得a=，b=一1，故所求f(x)=C1ex+C2e2x+(一x)e2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、計(jì)算，其中S為圓柱x2+y2=a2(a＞0)位于z=—a與z=a之間的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)x→0時(shí)ax2+bx+c-cosx是比x2高階的無(wú)窮小，其中a，b，c為常數(shù)，則()A、a=，b=0，c=1。B、a=，b=0，c=0。C、a=，b=0，c=1。D、a=，b=0，c=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意得(ax2+bx+c-cosx)=0，則c=1。又因?yàn)樗詁=0，a=。故選C。2、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上存在二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)=f(-x)，當(dāng)x＜0時(shí)有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，有()A、f’(x)＜0，f’’(x)＞0。B、f’(x)＞0，f’’(x)＜0。C、f’(x)＞0，f’’(x)＞0。D、f’(x)＜0，f’’(x)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x)=f(-x)可知，f(x)為偶函數(shù)，因偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，即f’(x)為奇函數(shù)，f’’(x)為偶函數(shù)，因此當(dāng)x＜0時(shí)，有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，有f’(x)＞0，f’’(x)＞0。故選C。3、函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖1-2-2所示，則y=f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：只需考查f’’(x)=0的點(diǎn)與f’’(x)不存在的點(diǎn)。f’’(x1)=f’’(x4)=0，且在x=x1，x4兩側(cè)f’’(x)變號(hào)，故凹凸性相反，則(x1，f(x1))，(x4，f(x4))是y=f(x)的拐點(diǎn)。x=9處f’’(0)不存在，但f(x)在x=0連續(xù)，且在x=0兩側(cè)f’’(x)變號(hào)，由此(0，f(0))也是y=f(x)的拐點(diǎn)。雖然f’’(x3)=0，但在x=x3兩側(cè)f’’(x)＞0，y=f(x)是凹的。(x3，f(x3))不是y=f(x)的拐點(diǎn)。因此總共有三個(gè)拐點(diǎn)。故選C。4、由曲線y=1-(x-1)2與直線y=0圍成的圖形(如圖1-3-1所示)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積1V是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)選項(xiàng)需把曲線表成x=x(y)，于是要分成兩部分所求立體體積為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差，其中5、設(shè)有直線L：及平面∏：4x-2y+z-2=0，則直線L()A、平行于∏。B、在∏上。C、垂直于∏。D、與刀斜交。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：直線L的方向向量為=-28i+14j-7k=-7{4，-2，1}，平面∏的法向量n={4，-2，1}，顯然s與n平行，因此直線L與平面∏垂直，故選C。6、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零。B、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零。C、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零。D、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，故有fx(x0，y0)=0，f(x0，y0)=0。又由fx(x0，y0)=，可知B正確。7、設(shè)有曲線從x軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?，則ydx+zdy+xdz等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取∑為平面x+y+z=0包含球面x2+y2+z2=a2內(nèi)的部分，法線方向按右手法則，由斯托克斯公式得其中cosα，cosβ，cosγ為平面x+y+z=0法線向量的方向余弦，且cosα=cosβ=cosγ=則，故選C。8、下列命題成立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：若中至少有一個(gè)不成立，則級(jí)數(shù)中至少有一個(gè)發(fā)散，故選C。9、設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2-(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥1，y2，y3是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)線性無(wú)關(guān)的解，所以y1-y3，y2-y3都是齊次線性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=0的解，且y1-y3與y2-y3線性無(wú)關(guān)，因此該齊次線性方程的通解為y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)。比較四個(gè)備選項(xiàng)，且由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，應(yīng)選D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、已知=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、曲線xy=1在點(diǎn)D(1，1)處的曲率圓方程是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(x-2)2+(y-2)2=2知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，那么D點(diǎn)處的曲率設(shè)D點(diǎn)曲率中心的坐標(biāo)為(α，β)，那么因此所求方程為(x-2)2+(y-2)2=2。13、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：14、經(jīng)過(guò)平面∏1：x+y+1=0與平面∏2：x+2y+2z=0的交線，并且與平面∏3：2x-y-z=0垂直的平面方程是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3x+4y+2z+2=0知識(shí)點(diǎn)解析：平面∏1與∏2的交線方程為其方向向量點(diǎn)P0(0，-1，1)在交線L上。所求平面∏過(guò)點(diǎn)P0，交線L的方向向量s與平面∏3的法向量，n=(2，-1，-1)垂直，因此故∏的方程為3x+4y+2z+2=0。15、已知曲線L的方程為y：1-｜x｜，x∈[-1，1]，起點(diǎn)是(-1，0)，終點(diǎn)是(1，0)，則曲線積分xydx+x2dy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：令16、無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在原級(jí)數(shù)中令=t，原級(jí)數(shù)可化為的收斂半徑和收斂區(qū)間即可。對(duì)于級(jí)數(shù)，由于所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(-1，1)。由于的收斂區(qū)間為17、設(shè)y=ex(asinx+bcosx)(a，b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，則該方程為_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’-2y’+2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個(gè)根是r1,2=1±i，特征方程為(r-r1)(r-r2)=r2-(r1+r2)r+r1r2=r2-2r+2=0，故所求微分方程為y’’-2y’+2y=0。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件得[f[x+1)+1+3sin2x]=0，因此有[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0，故f(1)=0。又因?yàn)樵趚=0的某空心鄰域內(nèi)f(x+1)+3sin2x≠0，現(xiàn)利用等價(jià)無(wú)窮小替換：當(dāng)x→0時(shí)，ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)奇函數(shù)f(x)在[-1，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1，證明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x，則F(0)=f(0)=0，F(xiàn)(1)=f(1)-1=0，由羅爾定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1。(Ⅱ)令G(x)=ex[f’(x)-1]，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使C(ξ)=0，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，故f’(x)為偶函數(shù)，知G(-ξ)=0，則存在η∈(-ξ，ξ)(-1，1)，使得G’(η)=eη(f’(η)-1)+eηf’’(η)=0，f’’(η)+f’(η)=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且。試證明在(0，π)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=，0≤x≤π，則有F(0)=0，F(xiàn)(π)=0。又因?yàn)樗源嬖讦巍?0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，則在(0，π)內(nèi)F(x)sinx恒為正或恒為負(fù)，與矛盾，但當(dāng)ξ∈(0，π)時(shí)sinξ≠0，故F(ξ)=0。再對(duì)F(x)在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，π]上分別用羅爾定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)其中f和g具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且gz(x，y，z)≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：本題確定兩個(gè)因變量，三個(gè)自變量。由第一個(gè)方程來(lái)看，u是因變量，x，y，t是自變量，由第二個(gè)方程來(lái)看，z是因變量。因此確定x，y，t為自變量，u，z為因變量。于是將方程組對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得同理，將方程組對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)镈=｜(x，y)｜x2+y2-xy≤75}，小山的高度函數(shù)為h(x，y)=75-x2-y2+xy。(Ⅰ)設(shè)M(x0，y0)為區(qū)域D上的一點(diǎn)，問(wèn)h(x，y)在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為g(x0，y0)，寫出g(x0，y0)的表達(dá)式；(Ⅱ)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳下尋找一坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)。也就是說(shuō)，要在D的邊界線x2+y2-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(shù)(x，y)達(dá)到最大值的點(diǎn)。試確定攀登起點(diǎn)的位置。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)函數(shù)h(x，y)在點(diǎn)M處沿該點(diǎn)的梯度方向(Ⅱ)求g(x，y)在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點(diǎn)與求g2(x，y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x)，在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點(diǎn)等價(jià)。這是求解條件最值問(wèn)題，用拉格朗日乘數(shù)法。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75)，則有聯(lián)立(1)，(2)解得y=-x，λ=-6或y=x，λ=-2。若y=-x，則由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5。若y=x，則由(3)式得x2=75，即。于是得可能的條件極值點(diǎn)M1(5，-5)，M2(-5，5)，?，F(xiàn)比較f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2-8xy在這些點(diǎn)的函數(shù)值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得邊界線D上的最大值，即M1，M2可作為攀登的起點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、已知積分與路徑無(wú)關(guān)，f(x)可微，且(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)對(duì)(Ⅰ)中求得的f(x)，求函數(shù)u=u(x，y)使得du=(x+xysinx)dx+(Ⅲ)對(duì)(Ⅱ)中的du求積分，其中積分路徑為從A(π，1)到B(2π，0)的任意路徑。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題意可得這是一階線性微分方程，通解為f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始條件，得C=-1，于是f(x)=x(sinx-xcosx-1)。(Ⅱ)由(Ⅰ)中結(jié)論可得du=(x+xysinx)dx+=(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy，則=x+xysinx，兩邊對(duì)x積分得u=-xycosx+ysinx+φ(y)，于是=-ccosx+sinx+φ’(y)=sinx-xcosx-1，因此φ’(y)=-1，兩邊對(duì)y積分得φ(y)=-y+C，u=-xycosx+ysinx-y+C，其中C為任意常數(shù)。(Ⅲ)由于積分與路徑無(wú)關(guān)，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an=，則當(dāng)x2＜1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)x2＞1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(-1，1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、f(x)=2x+3x一2，當(dāng)x→0時(shí)()．A、f(x)～xB、f(x)是x的同階但非等價(jià)的無(wú)窮小C、f(x)是x的高階無(wú)窮小D、f(x)是x的低階無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以f(x)是x的同階而非等價(jià)的無(wú)窮小，選(B)．2、設(shè)，則當(dāng)x=0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、低階無(wú)窮小B、高階無(wú)窮小C、等價(jià)無(wú)窮小D、同階但非等價(jià)的無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，g(x)～因?yàn)?，所以f(x)是g(x)的高階無(wú)窮小，選(B)．3、極限()．A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D(zhuǎn)、等于0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以極限不存在但不是∞，選(C)．4、當(dāng)x→1時(shí)，的極限為()．A、2B、0C、∞D(zhuǎn)、不存在但不是∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然，因?yàn)?，而，所以不存在但不是∞，選(D)．5、設(shè)f(x)連續(xù)且，則為()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：，選(B)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)＞0，則=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、若=5，則a=__________，b=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a=1，b=-4知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)，當(dāng)x→0時(shí)，比較這兩個(gè)無(wú)窮小的關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)f(x)連續(xù)，且，且f’(0)存在。求f’(0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f”(0)=4，，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析37、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析38、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析39、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、把x→0+時(shí)的無(wú)窮小量α=排列起來(lái)，使排在后面的是前面一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是()A、α，β，γ。B、α，γ，β。C、β，α，γ。D、β，γ，α。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗援?dāng)x→0+時(shí)，α是x的一階無(wú)窮小，β是x的三階無(wú)窮小，γ是x的二階無(wú)窮小，故選B。2、設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意的x均滿足等式f(1+x)=af(x)，且有f’(0)=b，其中a，b為非零常數(shù)，則()A、f(x)在x=1處不可導(dǎo)。B、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=a。C、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=b。D、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=ab。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因且由f’(0)=b可知3、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值。B、f(0)是f(x)的極小值。C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。D、f(0)不是f(x)的極值，(x，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：在題設(shè)等式兩端對(duì)x求導(dǎo)，得f’’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1。令x=0可得f’’’(0)=1(因由上式可推得f’’’(x)連續(xù))。又f’’(0)=0，由拐點(diǎn)的充分條件可知，(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。故選C。4、由曲線(0≤x≤π)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式，得5、已知向量a，b的模分別為｜a｜=2，｜b｜=，且a.b=2，則｜a×b｜=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：a.b=｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞=cos＜a，b＞=2，則cos＜a，b＞=故｜a×b｜=｜a｜｜b｜sin＜a，b＞=6、函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)可微的充分條件是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由可知，f(x，y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)fx(x，y)和fy(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，故選D。7、設(shè)曲線積分-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無(wú)關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，則f(x)等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：曲線積分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無(wú)關(guān)，則[f(x)-ex]cosy=-f’(x)cosy，即f’(x)+f(x)=ex。所以有8、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)()A、絕對(duì)收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與λ有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槎烧?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，再由比較審斂法極限形式知，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。9、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則方程的通解為()A、y=Cy1(x)。B、y=Cy2(x)。C、y=C1y1(x)+C2y2(x)。D、y=C[y1(x)-y2(x)]。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，所以y1(x)-y2(x)為該方程的一個(gè)非零解，則y=C[y1(x)-y2(x)]為該方程的通解。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、設(shè)a＞0，a≠1，且，則p=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：故取p=2。11、已知=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)y=y(x)由參數(shù)方程=________，y=y(x)在任意點(diǎn)處的曲率K=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知因此，y=y(x)的曲率13、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：原式=14、兩個(gè)平行平面∏1：2x-y-3z+2=0，∏2：2x-y-3z-5=0之間的距離是=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在平面∏上任取一點(diǎn)P0(-1，0，0)，則平行平面∏1到∏2的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P0到平面∏2的距離，利用點(diǎn)到平面的距離公式，則有15、設(shè)L為正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，則曲線積分的值為=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示為16、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：[4，6)知識(shí)點(diǎn)解析：冪級(jí)數(shù)的系數(shù)為an=，則有因此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1。當(dāng)x=4時(shí)，原級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=6時(shí)，原級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)的收斂域是[4，6)。17、若函數(shù)f(x)滿足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，則f(x)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：ez知識(shí)點(diǎn)解析：齊次微分方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0的特征方程為r2+r-2=0，特征根為r1=1，r2=-2，該齊次微分方程的通解為f(x)=C1ex+C2e-2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex+5C2e-2x=2ex，比較系數(shù)可得C1=1，C2=0。故f(x)=ex。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、證明：(Ⅰ)對(duì)任意正整數(shù)n，都有成立；(Ⅱ)設(shè)，證明{an}收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令=x，則原不等式可化為先證明ln(1+x)＜x，x＞0。令f(x)=x-ln(1+x)。由于可知f(x)在0，+∞)上單調(diào)遞增。又由于f(0)=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)f(x)＞f(0)=0。也即ln(1+x)＜x，x＞0。再證明＜ln(1+x)，x＞0。令g(x)=ln(1+x)-。由于可知g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增。又因g(0)=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞g(0)=0。即再代入，即可得到所需證明的不等式。因此數(shù)列{an}是有界的。由單調(diào)有界收斂定理可知數(shù)列{an}收斂。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、(Ⅰ)證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)；(Ⅱ)證明：若函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，在(0，δ)(δ＞0)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)=A，則f’+(0)存在，且f’+(0)=A。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)作輔助函數(shù)φ(x)=f(x)-f(a)-(x-a)，易驗(yàn)證φ(x)滿足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且根據(jù)羅爾定理，可得至少有一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即所以f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。(Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，x0]上連續(xù)，開區(qū)間(0，x0)內(nèi)可導(dǎo)，因此由拉格朗日中值定理可知，存在(0，δ)，使得故f’+(0)存在，且f’+(0)=A。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0，1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。(Ⅰ)試證存在x0∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積等于在區(qū)間[x0，1]上以y=f(x)為曲邊的梯形面積；(Ⅱ)又設(shè)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)＞-，證明(Ⅰ)中的x0是唯一的。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)本題可轉(zhuǎn)化為證明x0f(x0)=，則φ(x)在閉區(qū)間[0，1]上是連續(xù)的，在開區(qū)間(0，1)上是可導(dǎo)的，又因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即(Ⅱ)令F(x)=xf(x)-有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，即F(x)在(0，1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，因此(Ⅰ)中的點(diǎn)x0是唯一的。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)z=f(x，y)，x=g(y，z)+，其中f，g，φ在其定義域內(nèi)均可微，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=f(x，y)，有dz=f’1dx+f’2dy。由x=g(y，z)+有解得代入出表達(dá)式中，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、過(guò)橢圓3x2+2xy+3y2=1上任意一點(diǎn)作橢圓的切線，試求該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)(x，y)為所給橢圓上任一點(diǎn)，則可求得在(x，y)處的切線方程為(3x+y)(X-x)+(x+3y)(Y-y)=0，它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為。所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為本題轉(zhuǎn)化為求(3x+y)(z+3y)在條件3x2+2xy+3y2=1下的極值。設(shè)F(x，y，λ)=(3x+y)(x+3y)+λ(3x2+2xy+3y2-1)，所以該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，二重積分的積分區(qū)域?yàn)镈，D1是D的第一象限部分，由對(duì)稱性，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)在上半平面D={(x，y)｜y＞0}內(nèi)，函數(shù)f(x，y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(，y)。證明對(duì)D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線L，都有yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：在等式f(tx，ty)=t-2f(x，y)兩邊對(duì)t求導(dǎo)得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=-2t-3f(x，y)，令t=1，則xf’1(x，y)+xf’2(x，y)=-2f(x，y)，(*)設(shè)P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=-xf(x，y)，則由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理可知，對(duì)D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線L，都有yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗允諗堪霃綖镽=3，相應(yīng)的收斂區(qū)間為(-3，3)。當(dāng)x=3時(shí)，由于且發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=3處發(fā)散。當(dāng)x=-3時(shí)，由于且都收斂，所以原級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=-3處收斂。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、微分方程的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、微分方程(y2+x)dx一2xydy=0的通解為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2=x(1n｜x｜+C)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、微分方程的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、方程y"一3y’+2y=2x的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1ex+C1e2x一2xex知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、解答題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)5、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析求下列方程的通解或滿足給定初始條件的特解：6、y’+1=xex+y．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、標(biāo)準(zhǔn)答案：x(csc(x+y)-cot(x+y))=C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、(y+2xy2)dx+(x一2x2y)dy=0標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、(1+x)y"+y’=0標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1ln｜1+x｜+C2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、yy"一(y’)2=y4，y(0)=1，y’(0)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、y"+4y’+1=0標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、y"+9y=cos(2x+5)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、y’’’一3y"+9y’+13y=e2xsin3x標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件y｜x=ln2=0的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)有微分方程y’一2y=φ(x)，其中，試求在(一∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)內(nèi)都滿足所給方程，且滿足條件y(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是二階線性非齊次方程的解，求方程通解及方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求方程(2x-x2)y"+(x2一2)y’+2(1一x)y=6(1一x)；通解為：y=C1x2+C2ex+3；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知函數(shù)y=e2x+(x+1)ex是二階常系數(shù)線性非齊次方程y"+ay’+by=cex的一個(gè)特解，試確定常數(shù)a，b，c及該方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=一3，b=2，c=一1，y=C1e2x+C2ex+xex知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知y"+(x+e2y)y’3=0，若把x看成因變量，y看成自變量，則方程化為什么形式?并求此方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程化為xy"—x=e2y，通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析求分別滿足下列關(guān)系式的f(x)．19、，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)≡0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、f’(x)+xf’(一x)=x．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)連續(xù)且，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=Cx+2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(x)在x＞0上有定義，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，f(xy)=xf(y)+yf(x)，f’(1)=2，試求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=2xlnx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)φ(x)連續(xù)，且，試求φ(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(x)=ex+2xex+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、已知與路徑無(wú)關(guān)，且f(0)=0，試求f(x)及I的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=xex，I=e知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)φ(x)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且φ(0)=φ’(0)=0，du=yφ(x)dx+[sinx一φ’(x)]dy，試求u(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：u(x，y)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)f(x)在(0，+∞)上可導(dǎo)，f(1)=3求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=31nx+3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)(r，θ)為極坐標(biāo)，r＞0，0≤θ≤2π，設(shè)u=u(r，θ)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并滿足=0，求u(r，θ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：u=C1+C2lnr知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)函數(shù)f(t)在[0，+∞)上連續(xù)，且滿足方程求f(t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(t)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求方程y(4)一y"=0的一個(gè)特解，使其在x→0時(shí)與x3為等價(jià)無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：y=一6x+3ex一3e-x知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、假設(shè)：(1)函數(shù)y=f(x)(0≤x＜+∞)滿足條件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；(2)平行于y軸的動(dòng)直線MN與曲線y=f(x)和y=ex一1分別相交于點(diǎn)P1和P2；(3)曲線y=f(x)、直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長(zhǎng)度．求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)函數(shù)f(x)在[1，+∞)上連續(xù)，若由曲線y=f(x)，直線x=1，x=t(t＞1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為試求y=f(x)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為r=r(θ)，M(r，θ)為L(zhǎng)上任一點(diǎn)，M0(2，0)為L(zhǎng)上一定點(diǎn)，若極徑OM0，OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上M0，M兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)值的一半，求曲線L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、以yOz坐標(biāo)面上的平面曲線段y=f(z)(0≤z≤h)繞z軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)曲面和xOy坐標(biāo)面圍成一個(gè)無(wú)蓋容器，已知它的底面積為16πcm2，如果以3cm3／s的速率把水注入容器，水表面的面積以πcm2／s增大，試求曲線y=f(z)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、要設(shè)計(jì)一形狀為旋轉(zhuǎn)體的水泥橋墩，橋墩高為h，上底面半徑為a，要求橋墩在任一水平面上所受上部橋墩的平均壓強(qiáng)為一常數(shù)P，設(shè)水泥比重為ρ，試求橋墩形狀．標(biāo)準(zhǔn)答案：橋墩應(yīng)為曲線段繞x軸旋轉(zhuǎn)所成曲面與平面x=0和x=h所圍成的旋轉(zhuǎn)體．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，f’(0)=1，則=()．A、e-1B、eC、e2D、e3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：，選(B)．2、設(shè)，則x=0是f(x)的()．A、連續(xù)點(diǎn)B、第一類間斷點(diǎn)C、第二類間斷點(diǎn)D、不能判斷連續(xù)性的點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=；當(dāng)x=0時(shí)，；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=x，因?yàn)閒(0+0)=1，f(0)=，f(0—0)=0，所以x=0為f(x)的第一類間斷點(diǎn)，選(B)．3、設(shè)f(x)是不恒為零的奇函數(shù)，且f’(0)存在，則g(x)=()．A、在x=0處無(wú)極限B、x=0為其可去間斷點(diǎn)C、x=0為其跳躍間斷點(diǎn)D、x=0為其第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)存在，所以f(x)在x=0處連續(xù)，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=0，顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，因?yàn)椋詘=0為g(x)的可去間斷點(diǎn)，選(B)．4、設(shè)f(x)=，則f(x)()．A、無(wú)間斷點(diǎn)B、有間斷點(diǎn)x=1C、有間斷點(diǎn)x=一1D、有間斷點(diǎn)x=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，f(x)=1+x；當(dāng)｜x｜>1時(shí)，f(x)=0；當(dāng)x=一1時(shí)，f(x)=0；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1．于是顯然x=1為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，選(B)．5、設(shè)，其中a，b為常數(shù)，則()．A、a=1，b=1B、a=1，b=一1C、a=一1，b=1D、a=一1，b=一1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以?/p>