高中數(shù)學(xué)必修一《優(yōu)化方案》答案解析第一章

集合與函數(shù)概念

［犢微材破要點(diǎn)］

1.元素與集合

(1)元素與集合的定義：

一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).

(2)集合中元素的性質(zhì)：

①確定性：即給定的集合，它的元素是確定的.

②互異性：即給定集合的元素是互不相同的.

③無序性.

(3)集合相等:

只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,就稱這兩個(gè)集合是相等的.

(4)元素與集合的關(guān)系：

a是集合A的元素，記作表GA,。不是集合A的元素，記作演A.

2.集合的表示方法

除了用自然語言表示集合外，還可以用列舉法和描述法表示集合.

(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號"{}”括起來表示集合的方法.

(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

3.常用數(shù)集及其記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN*或N+ZQR

［不間做丈思維］

1.著名數(shù)學(xué)家能否構(gòu)成一個(gè)集合？

提示：不能，沒有一定的評定標(biāo)準(zhǔn)，故著名數(shù)學(xué)家是不確定的對象，所以不能構(gòu)成集合.

2.一個(gè)集合能表示成｛s,k,t,一嗎?

提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何兩個(gè)相同的對象在同一個(gè)集合中，只能

算作這個(gè)集合的一個(gè)元素.

3.集合｛-5,-8｝和｛(-5,-8)｝是同一集合嗎？

提示：不是同一集合.集合｛-5,—8｝中元素有2個(gè)，為數(shù).而集合｛(一5,—8)｝中有

一個(gè)元素為坐標(biāo)(一5,—8).

［例1］下列每組對象能否構(gòu)成一個(gè)集合：

(1)某校2013年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；

(2)不超過20的非負(fù)數(shù)；

(3)帥哥;

(4)直角坐標(biāo)系平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)；

(5小的近似值的全體.

［自主解答］“高個(gè)子”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，因此(1)不能構(gòu)成集合.(2)任給一個(gè)實(shí)數(shù)x,

可以明確地判斷是不是"不超過20的非負(fù)數(shù)”，即“0WxW20”與“x>20或x<0"，兩者必

居其一，且僅居其一，故”不超過20的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成集合；(3)“師哥”沒有一個(gè)明確的

標(biāo)準(zhǔn)，不能構(gòu)成集合；(4)“一些點(diǎn)”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無法確

定，因此“直南坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合；(6)“小的近似值”不明確精

確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能構(gòu)成集合.

［方法?熱伸］____________________________

判斷指定的對象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確標(biāo)準(zhǔn)，對于任何一個(gè)對象,

都能確定它是不是給定集合的元素，同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無序性.

||南式UH練

1.下列能構(gòu)成集合的是()

A.中央電視臺著名節(jié)目主持人

B.2013年沈陽全運(yùn)會(huì)比賽的所有項(xiàng)目

C.2010年上海世博園中所有漂亮的展館

D.世界上的高樓

答案：B

集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用

［例2］已知集合『={4+2,（a+l）2,-+3a+3},若1WA,求實(shí)數(shù)〃的值.

［自主解答］若a+2=l,則。=-1,所以4=（1,0,1},與集合中元素的互異性矛盾，應(yīng)

舍去；

若（。+1尸=1,則4=0或4=—2,

當(dāng)a=0時(shí)，A={2,1,3},滿足題意.

當(dāng)a=~2時(shí)，A={0,l,l},

與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

若“2+3a+3=l,則a=—1或a=-2（均舍去）.

綜上可知，a=0.

例2中16A改為4WA,則結(jié)果如何？

解：若a+2=4,則4=2.

；.A={4,9,13}滿足題意.

若（。+1尸=4,則4=1或4=-3.

當(dāng)a=l時(shí)，A={3,4,7},滿足題意.

當(dāng)。=-3時(shí)，A={-1,3,4,}滿足題意.

若/+3a+3=4,

則a=一告"3,代入后都滿足題意，故a的值為a=1,a=2,或a=~3或a=-告"2

［方法，規(guī)制______________________________

1.這類問題既要用元素的確定性，又要利用互異性檢驗(yàn)解的正確與否.初學(xué)者解題時(shí)易忽

略元素的互異性，學(xué)習(xí)中要高度重視.另外，本類問題往往涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想.

2.一個(gè)集合中，元素之間沒有先后順序，只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，這兩個(gè)集

合就是同一個(gè)集合.

||理式訓(xùn)練

2.含有兩個(gè)實(shí)數(shù)的集合A可以表示為{a—3,2a—1},求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：：4={a-3,2a-l},

二由集合中元素的互異性可得a-3W2a-l.

：.a的取值范圍為“W-2.

集合的表示方法

［例3］用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

［x+y=3

(1)方程組-的解集；

口一)=5

(2)不等式2x—3>5的解集.

fx+y=3fx=4,

［自主解答］(1)集合用描述法表示為{(x,y)|').解方程組，得故集合

(x~y=5lj=-l

用列舉法表示為{(4,-1)}.

(2)由2x-3>5可得x>4,所以不等式2x-3>5的解集為{x［x>4,xCR}.

［t注?熱伸］___________________________

1.一個(gè)集合可以用不同的方法表示，需根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，同時(shí)注意列舉法和描

述法的適用范圍.

2.方程(或方程組)的解的個(gè)數(shù)較少，因此方程(或方程組)的解集一般用列舉法表示；不

等式(或不等式組)的解集一般用描述法表示.注意，當(dāng)題目中要求求出“…的解集”或?qū)懗?/p>

“…的集合”時(shí)，一定要將最終結(jié)果寫成集合的形式.

IIB：訓(xùn)練

3.有下面六種表示方法

①{x=—l,y=2}②，(x,y)|(=2|

③{-1,2}@(-l,2)⑤{(T,2)}⑥{x,)，|x=—1,或y=2}.

2r+y=0,

其中，能正確表示方程組，八的解集的是________(把所有正確答案的序號填在

X—y+3=0

空格上).

解析：

序號判斷原因分析

①中含兩個(gè)元素，且都是式子，而方程組的解集中只有一個(gè)元素，是一

?否

個(gè)點(diǎn).

②能②代表元素是點(diǎn)的形式，且對應(yīng)值與方程組解相同.

③否③中含兩個(gè)元素，是數(shù)集，而方程組的解集是點(diǎn)集，且只有一個(gè)元素.

④否④沒有用花括號“{}”括起來，不表示集合.

⑤能⑤中只含有一個(gè)元素，是點(diǎn)集且與方程組解對應(yīng)相等.

⑥中代表元素與方程組解的一般形式不符，須加小括號（）,條件中

⑥否

“或”也要改為“且”.

答案：②⑤

審題要嚴(yán)，做題要細(xì)，一招不慎，滿盤皆輸，試

1____IIBM解題高手易錯(cuò)題

試能否走出迷宮！

已知集合A中含有三個(gè)元素，1,0,x,若NGA,求實(shí)數(shù)x的值.

［錯(cuò)解］Vx3eA,故f=0或一=1或J?=x,

若1=0,則x=0;

若j?=l,則x=l;

若J?=X,則X—1或x=0.

綜上所述：所求x的值為0或1.

［錯(cuò)因］本題錯(cuò)誤的原因有兩個(gè)，一是沒有考慮到元素的互異性，解出來的結(jié)果沒有代

入檢驗(yàn)，得出了錯(cuò)誤結(jié)果；二是解丁=工時(shí)漏掉了X=-l這個(gè)答案，也導(dǎo)致了錯(cuò)誤的結(jié)果.

［正解］Vx3eA,

...f是集合4中的元素.

又?.?集合A中含有3個(gè)元素，，需分情況討論：

①若X3=（）,則x=0,此時(shí)集合A中有兩個(gè)元素0,不符合集合中元素的互異性，舍去；

②若d=l,則x=l,此時(shí)集合A中有兩個(gè)元素1,不符合集合中元素的互異性，舍去；

③若丁=X，則x=0、x=—1或x=l,當(dāng)x=0、x=l時(shí)不符合集合中元素的互異性，都

舍去.當(dāng)*=一1時(shí)，此時(shí)集合A中有三個(gè)元素1,0,-1,符合集合中元素的互異性；

綜上可知，X=—1.

課堂練課下測查漏補(bǔ)缺抓基礎(chǔ)提能力全面落實(shí)

CHUANGXtNYANLIANDACH0NGGUANI

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1.有下列各組對象:

①接近于0的數(shù)的全體;

②比較小的正整數(shù)的全體；

③平面上到點(diǎn)。的距離等于1的點(diǎn)的全體;

④正三角形的全體.

其中能構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：①不能構(gòu)成集合，“接近”的概念模糊，無明確標(biāo)準(zhǔn).②不能構(gòu)成集合，“比較

小”也是不明確的，多小算小沒明確標(biāo)準(zhǔn).③④均可構(gòu)成集合，因?yàn)槿稳∫粋€(gè)元素是否是此

集合的元素有明確的標(biāo)準(zhǔn)可依.

答案：A

2.下面幾個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①集合N*中最小的數(shù)是1；

②若一若N*,則aGN*；

③若“GN*,/7GN*,則a+匕最小值是2；

①￥+4=4*的解集是{2,2}.

A.0B.I

C.2D.3

解析：N*是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1,故①正確；當(dāng)“=0時(shí)，一科N",且演N*,

故②錯(cuò)；若aGN’,則a的最小值是1,又bWN*,匕的最小值也是1,當(dāng)“和6都取最小值

時(shí)，a+6取最小值2,故③正確；由集合元素的互異性知④是錯(cuò)誤的.故①③正確.

答案：C

3.已知集合〃={3,且4WM,則實(shí)數(shù)，力等于（）

A.4B.3

C.2D.1

解析：：.4=m+\,：.m=3.

答案：B

4.已知①@|eQ③0={0}④睇N

@K6Q⑥-3GZ.正確的個(gè)數(shù)為.

解析：①②⑥是正確的：③④⑤是錯(cuò)誤的.

答案：3

5.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨杭褐?={巾=3%+2,左GZ},B^{x\x=6m-l,mSZ},則有：

17A；-5A；17B.

解析：令3k+2=17得，k=5CZ.

所以17GA.

令弘+2=—5得，Z=-3Z.

所以一5住A.

令6/n—l=17得，機(jī)=3￡Z,

所以17G/?.

答案:G,陣，G

6.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)一年中有31天的月份的全體；

(2)大于-3.5小于12.8的整數(shù)的全體；

(3)梯形的全體構(gòu)成的集合：

(4)所有非負(fù)偶數(shù)的集合；

(5)所有能被3整除的數(shù)的集合；

(6)方程。-1)。-2)=0的解集；

(7)不等式2x-l>5的解集.

解：(1)｛1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月｝.

(2)｛-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12).

(3)｛木是梯形｝或｛梯形｝.

(4)｛0,2,4,6,8,???).

⑸｛小=3〃，〃￡Z｝.

(6)｛1,2｝.

(7)｛x|2x-l>5｝.

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一、選擇題

1.下列給出的對象中，能組成集合的是()

A.一切很大的數(shù)B.高中數(shù)學(xué)的所有難題

C.美麗的小女孩D.方程,-1=0的實(shí)數(shù)根

解析：選項(xiàng)A,B,C中的對象都沒有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，不滿足集合中元素的確定性,

故A,B,C中的對象都不能組成集合.

答案：D

2.下列命題不正確的有()

①很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；

②集合=/—1｝與集合｛(x,y)|y=/-1｝是同一個(gè)集合；

③1,|,I|-||,0.5這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素；

④集合｛(x,y)|xyW0,x,y^R｝是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析:①錯(cuò)的原因是元素不確定；②前者是數(shù)集，而后者是點(diǎn)集，種類不同

=0.5,有重復(fù)的元素，應(yīng)該是3個(gè)元素；④該集合還包括坐標(biāo)軸上的點(diǎn).

答案：D

3.已知集合4={1,2,3,4,5},B={(x,y)\x^A,y&A,x-y&A},則8中所含元素的個(gè)

數(shù)為()

A.3B.6

C.8D.10

解析：列舉得集合8={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},

共含有10個(gè)元素.

答案：D

4.定義集合運(yùn)算：A*B={z\z=xy,x&A,y^B}.設(shè)—={1,2},5=(0,2),則集合A*8

的所有元素之和為()

A.0B.2

C.3D.6

解析：依題意，4*5={0,2,4),其所有元素之和為6.

答案：D

二、填空題

5.集合A={(2,-2),(2,2)}中含有個(gè)元素.

解析：；(2,-2),(2,2)是兩個(gè)點(diǎn)，.?.有2個(gè)元素.

答案：2

6.已知集合A={(x,y)ly—2x+l),B—{(x,y)|y=x+3},a^AB.a^B,則。為.

解析：且“GB,

fy=2x+1

...a是方程組,,的解.

[y=x+3

%=2

解方程組，得,

[y=5

：.a為(2,5).

答案：(2,5)

7.用描述法表示方程雙一工一3的解集為.

解析：??5<—x—3,

??.總.

3

工解集為{加<—/}.

3

答案：{小v一]}

8.{(x,y)|(x+2)2+|y—3|=0,x,y《R}=.

解析：由(X+2)2+|)~3|=0,又(X+2)220,僅一3|一0,所以(*+2y=0,|y—3|=0,所以

x=~2,)，=3,所以{(x,^)|(x+2)2+|y-3|=0,x,y￡R}={(-2,3)}.

答案：{(-2,3)}

三、解答題

9.已知集合A含有兩個(gè)元素a—3和2a—1,

(1)若一3WA,試求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若aGA,試求實(shí)數(shù)a的值.

解：(1)因?yàn)橐?GA,

所以-3=a—3或一3=2a—1.

若一3=。-3,則a=0.

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素一3,-1,符合題意.

若一3=2a—1,

則a=—\.

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素一4,—3,符合題意，

綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或一1.

(2)因?yàn)閍&A,

所以a=a~3或a—2a~l.

當(dāng)a=a—3時(shí)，有0=—3,不成立.

當(dāng)a=2a—1時(shí)，有a=l,此時(shí)A中有兩個(gè)元素一2,1,符合題意.綜上知4=1.

10.已知集合4={x|丘2-8犬+16=0}只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)表的值，并用列舉法表示

集合A.

解：當(dāng)k=0時(shí)，原方程變?yōu)橐?x+16=0,

所以x=2,此時(shí)集合A={2};

當(dāng)上去0時(shí)，要使一元二次方程小一8尤+16=0有兩個(gè)相等實(shí)根，需1=64—64%=0,即

k=l.

此時(shí)方程的解為兩=e=4,集合4={4}.

［裱教材?裾要直］

1.子集的概念

文字語言符號語言圖形語言

集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就說這兩

A=8（或8。A）4^）或（?

個(gè)集合有包含關(guān)系,則稱集合A是集合B的子集

2.集合相等與真子集的概念

定義符號表示圖形表示

集合相等；如果4UB,且8UA,就說集合4與8相等A=B

如果集合AUB,但存在元素xGB,且依A,A伙或

真子集

則稱集合A是B的真子集BA）

3.空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集.

(2)用符號表示為：0.

(3)規(guī)定：空集是任何集合的子集.

4.子集的有關(guān)性質(zhì)

(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集,即AGA.

(2)對于集合4,B,C,如果且那么A=C.

［小問敢大思耀］

1.若4B,則AGB且對嗎？

提示：對.B,首先AQB,其中8中至少有一個(gè)元素不屬于A,即AWB.

2.任何集合都有真子集嗎？

提示：不是，空集。就沒有真子集.

3.{0}和。表示同一集合嗎？它們之間有什么關(guān)系？

提示：{0}和。不是同一個(gè)集合.{0}表示含有一個(gè)元素0的集合，。是不含任何元素的集

合，且。{0}.

t提類題通法

有限集合子集確定問題

［例1］寫出集合4={1,2,3}的所有子集和真子集.

［自主解答］由0個(gè)元素構(gòu)成的子集：。；

由1個(gè)元素構(gòu)成的子集：{I},{2},{3};

由2個(gè)元素構(gòu)成的子集：{1,2},{1,3},{2,3};

由3個(gè)元素構(gòu)成的子集：{1,2,3}.

由此得集合A的所有子集為。，{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3).

在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3},剩下的都是A的真子集.

［方法?規(guī)律］______________________________

1.求解有限集合的子集問題，關(guān)鍵有三點(diǎn)：

(1)確定所求集合；

(2)合理分類，按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫出；

(3)注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身.

2.一般地，若集合A中有"個(gè)元素，則其子集有2"個(gè)，真子集有2"—1個(gè)，非空真子集

有2"一2個(gè).

||竭武訓(xùn)練

1.已知集合M滿足{2,3}1,2,3,4,5},求集合M及其個(gè)數(shù).

解：當(dāng)M中含有兩個(gè)元素時(shí)，加為{2,3};

當(dāng)M中含有三個(gè)元素時(shí),M為{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5};

當(dāng)M中含有四個(gè)元素時(shí)，M為{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};

當(dāng)M中含有五個(gè)元素時(shí)，M為{2,3,1,4,5}.

所以滿足條件的集合M為{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},

{2,3,1,4,5},集合M的個(gè)數(shù)為8.

■77集合間關(guān)系的判定

［例2］下列各式正確的是.

⑴{?《{4}；(2){1,2,3}={3,1,2}；(3)0￡{0};

(4){1}{巾W5}；(5){1,3}{3,4}.

［自主解答］

題號正誤原因

(1)V任何一個(gè)集合都是它本身的子集.

(2)V兩集合中的元素是一樣的，符合集合相等的定義.

(3)X元素0是集合{0}中的一個(gè)元素，故應(yīng)為oe{o}.

VI<5,???1￡{x［x<5}.???{l}q{x|xW5}.又:{1}H{x|x<5},工

(4)V

{1}{x|xW5}.

(5)X,門6{1,3},但1陣{3,4},.\{l,3}o{3,4}.””是“真包含于”的意思

［答案］⑴⑵(4)

［t注?熱伸］___________________________

集合間關(guān)系的判定的步驟：

首先，判斷一個(gè)集合4中的任意元素是否屬于另一集合B,若是，則AQB,否則A至B；,

其次，判斷另一個(gè)集合8中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合4,若是，則BQA,否則B堂A；,

最后，下結(jié)論：若A=B,BQA,則A=3；若A=B,B生A,則AB；若A生B,BQA,

則8A；若上述三種情況都不成立，則A至3,B至A.

I注意］有時(shí)一個(gè)集合可以看成另一個(gè)集合的元素，如{1}可以看成集合{{1},1,2,3)

中的元素，也可以看成子集，因此{(lán)1}G{{1},1,2,3}與{1}G{{1},1,2,3}都正確.

||國t訓(xùn)練

2.集合M={x*+x-6=0},N={R2x+7>0},試判斷集合M和N的關(guān)系.

解：M={-3,2},A^=j.r|x>—

77

V—3>-2，2>—2，

又OWN,但04M,：.MN.

集合間關(guān)系的應(yīng)用

［例3］已知集合4={乂-3或工忘4},B={x\2m~\<x<m+\］,且8=A.求實(shí)數(shù)的取值

范圍.

［自主解答］???BUA,

(1)當(dāng)8=0時(shí)，〃?+lW2m—1,解得“22.

一3W2/M—1,

(2)當(dāng)8W0時(shí)，有?"?+lW4,

2m_l</n+1

解得一I

綜上得—

［方法，規(guī)律］____________________________

(1)利用集合之間的關(guān)系時(shí)，首先要分析、簡化每個(gè)集合.

(2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù),

還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤，一般含“=”用實(shí)點(diǎn)表示，不含“=”用虛點(diǎn)表示.

(3)此類問題還應(yīng)注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時(shí)，初學(xué)者會(huì)

想當(dāng)然認(rèn)為非空集合而丟解，因此分類討論是必須的.

im：訓(xùn)練

3.設(shè)集合A={1,3,a},B={\,cr-a+\},且4皂B,求a的值.

解：A^B,而/—o+1€B,/.a2—a+1GA.

,'.a2~a+1=3或a+1=a.

當(dāng)a+l=3時(shí)，a=2或〃=—1.

(l)a=2時(shí)，A={1,3,2},B={1,3},這時(shí)滿足條件4NB;

(2)〃=-1時(shí)，4={l,3,-I},B={\,3},這時(shí)也滿足條件ANA

當(dāng)/一a+l=a時(shí)，a—\,此時(shí)A={1,3,1},B={1,1),根據(jù)集合中元素的互異性，故舍

去a=1.

：.a的值為2或一1.

解題審題要嚴(yán)，做題要細(xì)，一招不慎，滿盤皆輸，試試能

易錯(cuò)題

高手否走出迷宮！

已知用={小2—3x+2=0},N={x[x2-2x+a=0},若NUM,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

[錯(cuò)解]VM={X|X2-3X+2=0}={1,2},

[1+1=2,

(1)當(dāng)％={1}時(shí)，有.,??=1.

[1X1—a,

2+2=2

(2)當(dāng)汽={2}時(shí)，有‘不成立.

,2X2=。，

[1+2=2,

⑶當(dāng)N={1,2}時(shí)，有一c_不成立.

所以，a=l.

I錯(cuò)因]空集是一個(gè)特殊的集合，是任何集合的子集，在解決集合關(guān)系問題時(shí)極易忽略。,

錯(cuò)解中沒有考慮集合N為。的情況.

[正解],：M={X\X2-3X+2=0}={1,2},

叉NJM,:.N=0,或%={1},或竹⑵,或N={1,2}.

(1)當(dāng)N=。時(shí)，方程x2-2x+a=0的判別式/=4-4“<0,即a>l.

1+1=2,

(2)當(dāng)'={1}時(shí)，有,

[1X1=<7,

Cl=1.

2+2=2,

(3)當(dāng)N={2}時(shí)，有'不成立.

2X2=。，

[1+2=2,

⑷當(dāng)N={1,2}時(shí)，有不成立.

[1X2=a,

綜上可知實(shí)數(shù)。的取值范圍是

N0.1語堂強(qiáng)化熱身體臉，當(dāng)堂鞏固所學(xué)！

1.下列命題中，正確的有（）

①空集是任何集合的真子集;

②若AB,BC,則AC；

③任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的真子集；

④如果不屬于B的元素也不屬于A,則

A.①②B.②③

C.②④D.③④

解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①錯(cuò)；②真子集具有傳遞性，故②正確;

③若一個(gè)集合是空集，則沒有真子集，故③錯(cuò)；④由韋恩（Venn）圖易知④正確.

答案：C

2.設(shè)集合M={x|x>-2},則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.{0}CMB.{0}GM

C.0GMD.OQM

解析：選項(xiàng)B、C中均是集合之間的關(guān)系，符號錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中是元素與集合之間的關(guān)

系，符號錯(cuò)誤.

答案：A

3.已知集合4={x|x是平行四邊形},2={x|x是矩形},C={x|x是正方形},￡>={x|x是

菱形},則（）

A.AQBB.CQB

C.DQCD.AU。

解析：選項(xiàng)A錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)是選項(xiàng)B對，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形.選

項(xiàng)C錯(cuò)，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.選項(xiàng)D錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)是OG4.

答案：B

4.已知。{x|f—x+a=O},則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：{x|x2—x+a=O}.

{x|f—x+a=O}W。.

即/一x+a=O有實(shí)根.

0]

答案：a/

5.若{〃,0/}={c,7,—1},貝lj。=,h=

11

解析--

WOO/

bP

答案：一1I0

6.已知集合人={-1,3,2〃?-1},集合B={3,〃/},若B=A,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

解：\-BQA,：.nT=~\,或機(jī)2=2%一］,當(dāng)機(jī)2=—1時(shí)，顯然無實(shí)數(shù)根；當(dāng)n^=2m

—1時(shí)，m=l..??實(shí)數(shù)m=l.

譚下檢測活頁作業(yè)，知能同步測控!

一、選擇題

1.已知集合用="￡冏-34忘1},則它的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.14

C.15D.16

解析：：M={xWZ|-3<xWl}={-2,—1,0,1}共有4個(gè)元素，，它的真子集共有24一1

=15個(gè).

答案：C

2.定義集合A*8=*|xGA,且遙8},若—={1,2,345},-={2,4,5},則4*8的子集個(gè)

數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：由題意知A*B={1,3},

：.A*B的子集個(gè)數(shù)為22=4個(gè).

答案：D

3.已知集合M=國一小令〈小，xez）,則下列集合中為集合M子集的是（）

A.P={-3,0,1）

B.Q={-1,0,1,2}

C./?={y|-7t<y<-l,yGZ}

D.S={x||x|W小，xGN}

解析：先用列舉法表示集合，再觀察元素與集合的關(guān)系.集合M={-2,-1,0,1},集

合/?={-3,-2},5={0,1},不難發(fā)現(xiàn)集合P中的元素一36M,集合。中的元素2電W,集

合R中的元素一3由0，而S={0』}中的任意一個(gè)元素都在集合M中，所以S=M,且SM.

答案：D

4.已知集合AG{0,1,2),且集合A中至少含有一個(gè)偶數(shù)，則這樣的集合A的個(gè)數(shù)為()

A.6B.5

C.4D.3

解析：集合{0,1,2}的子集為：。，{0},{I},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2),其中含

有偶數(shù)的集合有6個(gè).

答案：A

二、填空題

5.已知集合4={川”一1?X<。+2},B={x\3<x<5],則能使A2B成立的實(shí)數(shù)”的取值

范圍是?

a~1W3,

解析：

q+225,

a-135a+2*

...3Wa《4.

答案：3WaW4

6.設(shè)a,bGR,集合{0,%}={],a+b,a],則b—a=.

解析：由題意可知“NO,則a+〃=0,a=—h,所以與=—1,則a=-1,b=\,故b—a

=2.

答案：2

7.下列關(guān)系中正確的是.

①0G{0}；②0{0}；③{0』}￡{(0,1)}；

?{(?>b)}={(b,“)}.

解析：：。{0},...①錯(cuò)誤；空集是任何非空集合的真子集，②正確，{(0,1))是含有一

個(gè)元素的點(diǎn)集，③錯(cuò)誤；{(a,與}與{S,a)}是兩個(gè)不等的點(diǎn)集，④錯(cuò)誤，故正確的是②.

答案：②

8.已知集合2={1,2},那么滿足QGP的集合的個(gè)數(shù)是.

解析：；P={1,2},QQP,

二集合?？梢允?或{1}或{2}或{1,2}.

答案：4

三、解答題

9.由“2,a,b”三個(gè)元素構(gòu)成的集合與由“2a,2,廬，三個(gè)元素構(gòu)成的集合是同一個(gè)

集合，求a,b的值.

解：根據(jù)集合相等，有

a=2a,

b=b2或i，，=2a,

a=0,\a4,

再根據(jù)集合元素的互異性，得或《

b=\.1

10.設(shè)集合A={4r2-5x+6=0},B=M?-(2a+l)x+a2+a=0},若8QA,求a的值.

解：法一：4={劉/一5x+6=0}={2,3},由8UA得，8=0,或8={2},或B={3},

或8={2,3},由于/=(2a+1)2—4/-4a=l>0,

.?.8W0,且B含有兩個(gè)不同元素.

.”={2,3},需2a+1=5和J+a=6同時(shí)成立，

***a=2.

綜上所述：a=2.

法二：A={^|x2—5JT+6=0}={2,3},

B={x\Xi-(2a+l)x+a1+a^0]={x\(x-a)-

(jc—tz_1)=0}={a,a+I},

.?.當(dāng)BGA時(shí)，只有a=2且a+l=3.

?*.a=2.

I.1.3集合的基本運(yùn)算

第一課時(shí)并集與交集

［犢段材饃要點(diǎn)J

1.集合的并集與交集的定義

并集交集

自然由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素由屬于集合A且屬于集合B的所有元素

語言組成的集合組成的集合

符號

AUB={x|xJ或xGB}4nB={小邑且xCB}

語言

圖形

語言CZMD

2.并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)

并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)

AUB=BUAAQB=BQA

AUA=AAQA=A

AU0=AAG0=g

AQB<^AUB=BAQB<^AQB=A

AH恒3,AG恒4

［小問散人思旗］

1.若4={1,2,3},B={3,4,5},那么AU8={1,2,3,3,4,5}對嗎？如何表示AU8和AnB?

提示：AUB={1,2,3,3,4,5}是不對的，因?yàn)椴环显氐幕ギ愋?；AUB={1,2,3,4,5},ACB

={3}.

2.你認(rèn)為并集概念中的“或”與我們?nèi)粘Ｉ钪小盎颉币饬x一致嗎？有什么區(qū)別？

提示：并集中的“或”與生活中“或”是不一樣的.生活用語中的“或”是“或此”“或

彼”只取其一，如“老師讓張明或李紅去開會(huì)”，意思是張明去也可以，李紅去也可以，但

不包括張明和李紅一起去這種情況；而并集中的“或”則是“或此”“或彼”“或彼此”.

3.若集合A與集合B沒有公共元素，能否說集合4與集合B沒有關(guān)系？

提示：當(dāng)兩集合A與2沒有公共元素時(shí)，不能說集合4與B沒有關(guān)系，而是AC1B=0.

MINGSHIKBTANGYIDIANTONG

集合交并的簡單運(yùn)算

I例1］已知集合4={x|(x—l)(x+2)=0},B={疝x+2)(x—3)=0},則集合AU8是()

A.{-1,2,3}B.{-1,-2,3)

C.{1,-2,3}D.［1,一2,-3)

［自主解答］A={x|(x-I)(x+2)=O}={1,-2}：B={x|(x+2)(x-3)=0}={-2,3),

/.AUB={1,-2}U{-2,3］={—2,1,3}.

1答案］C

［方法,規(guī)律］____________________________

解決此類問題首先應(yīng)看清集合中元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可

以根據(jù)交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示

的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時(shí)，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示.

■酶^訓(xùn)練

1.已知集合4={刃一1<XW3},B={x|xWO,或x2|},求AAB,AU8.

解：：A={x|-1VXW3},B={x|xWO,或x2|},

把集合A與8表示在數(shù)軸上，如圖.

----------1-L—<!>—I—I-II-------

-2-101253”

2

AnB={x\~1<xW3}n{xlxWO或x》|}

={x|—IVxWO或,WxW3};

AUB=閔一1VxW3}U{x|xWO或x>1}=R.

—已知集合交集、并集求參數(shù)

［例2］已知集合A={1,3,x},B={1,x2),AUB={1,3,x},求滿足條件的實(shí)數(shù)x的

值.

［自主解答］VAUB={1,3,x},A={1,3,x},8={1,x2},

：.AiJB=A,即BUA,

/.X2=3或x2=x.

①當(dāng)f=3時(shí)，得x=±^§.

若》=小，則人={1,3,小},8={1,3},符合題意；

若》=一小，則4={1,3,一小},8={1,3},符合題意.

②當(dāng)，=x時(shí)，則x=O或x=l.

若x=O,則4={1,3,0},8={1,0},符合題意；

若x=l,則—={1,3,1},B={1,1},不成立，舍去;

綜上可知，x=±>/5或尤=0.

［方法，規(guī)律］______________________________

(1)在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常會(huì)遇到AC8=A,AU8=8等這類問題，

解答時(shí)常借助于交、并集的定義及上節(jié)學(xué)習(xí)的集合間的關(guān)系去分析，如A

UB=B0AG8等，解答時(shí)應(yīng)靈活處理.

(2)對于含有參數(shù)的問題要分類討論，同時(shí)要檢驗(yàn)，利用好集合中元素的互異性.

||嗓t訓(xùn)練

2.已知集合4={4,6},8={2,膽},AU8={2,4,6},則，〃的值為.

解析：：4={4,6},B=[2,m),

而AUB={2,4,6},

.'.m—4或=6.

答案：4或6

解題

II____妙解題同樣的結(jié)果，不一樣的過程，節(jié)省解題時(shí)間，也是得分!

圖手

集合4=國$-0%+°2—19=0},B={x*-5x+6=0},C={x*+2x—8=0}.

(1)若AnB=4UB,求〃的值；

(2)若。AC8,AOC=0,求a的值.

［巧思］(1)ACB=4UB0A=B；(2)04nB㈡ACB#。.

［妙解］由已知，得8={2,3},C={2,-4}.

(l)：4n8=4UB,；.A=8.于是2,3是一元二次方程￥一如+/—19=0的兩個(gè)根，由根

［2+3=a,

與系數(shù)之間的關(guān)系知：2解之得a=5.

［2X3=a-19

(2)由4CB00ACBW0,又ADC=0,得3^4,24A,一4€A.

由3GA得3z—3。+/—19=0,

解得a=5或a=-2.

當(dāng)a=5時(shí)，A={x*—5x+6=0}={2,3},與24A矛盾；

當(dāng)〃=-2時(shí)，A={X|X2+2A—15=0}={3,一5},符合題意.

ci=-2.

NO.r課堂強(qiáng)化熱身體驗(yàn)，當(dāng)堂鞏固所學(xué)！

1.已知集合知={123,4},N={-2,2},下列結(jié)論成立的是()

A.NUMB.MUN=M

C.MCN=ND.MAN={2}

解析：因?yàn)橐?qM,可排除A;MUN={-2,1,2,3,4},可排除B;MA7V={2}.

答案：D

2.設(shè)A={xeN|l〈xW10},B={xeR*+x-6=0},則如圖中陰影部分表示的集合為

)

C.{-3,2}D.{-2,3}

解析：注意到集合A中的元素為自然數(shù)，因此易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而直接解

集合8中的方程可知8={-3,2},因此陰影部分顯然表示的是AClB={2}.

答案:A

3.設(shè)集合M={x|-3Wx<7},N={x\2x+k^0},若MCN