數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用論文前期報告

PAGEPAGE1河北工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）前期報告一﹑工作過程本課題主要研究的是數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用。畢業(yè)設(shè)計工作的過程大致分為：首先熟悉畢業(yè)設(shè)計任務(wù)，收集相關(guān)資料。研究數(shù)學(xué)歸納法的基本原理，及其各種表現(xiàn)形式和應(yīng)用，為后期的工作做準(zhǔn)備。然后系統(tǒng)地介紹數(shù)學(xué)歸納法的原理，討論基本表現(xiàn)形式和性質(zhì)，并利用大量例證來討論數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)證明中應(yīng)用。采用的研究手段是查閱文獻資料，結(jié)合查找的資料，進行系統(tǒng)的歸納，提煉，總結(jié)，論述數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)性質(zhì)及與各方面的聯(lián)系和應(yīng)用等。畢業(yè)設(shè)計（論文）工作進度：現(xiàn)已按時順利完成任務(wù)書要求前期工作。文獻綜述數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法。最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法是證明當(dāng)n等于任意一個自然數(shù)時某命題成立。證明分下面兩步：證明當(dāng)n=1時命題成立。證明如果在n=k時命題成立，那么可以推導(dǎo)出在n=k+1時命題也成立。（k代表任意自然數(shù)）1.數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷程數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法，從普通不嚴(yán)密的“歸納法”到精確的“數(shù)學(xué)歸納法”，再到更一般的“超窮歸納法”、“連續(xù)歸納法”等，數(shù)學(xué)歸納法已經(jīng)有兩千多年的歷史了。數(shù)學(xué)歸納法最早可以在印度和古希臘時代的著作中找到絲縷痕跡，如印度婆什迦羅的“循環(huán)方法”和歐幾里德素數(shù)無限的證明中都可以找到這種蹤跡。李文林翻譯的美國數(shù)學(xué)史教授V?J?Katz在《數(shù)學(xué)史通論》（第二版）中表明，十四世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和工程師萊維?本?熱爾森（LevibenGerson，1288~1344）在其1321年出版的代表作《計算技術(shù)》中已經(jīng)“本質(zhì)上使用了數(shù)學(xué)歸納法”，更有資料表明，在中世紀(jì)伊斯蘭數(shù)學(xué)中就已經(jīng)較清楚、廣泛地使用了數(shù)學(xué)歸納法的歸納推理。但真正比較明確使用數(shù)學(xué)歸納法的是意大利數(shù)學(xué)家、物理天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯（F.Maurolycus,1494-1575），但他也未對數(shù)學(xué)歸納法證明中的奠基和歸納推理這兩個步驟進行明確的描述。真正明確數(shù)學(xué)歸納法證明兩步的應(yīng)該還是17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家帕斯卡(B.Pascal,1623~1662)，他最早將數(shù)學(xué)歸納法的證明用形式的兩步明確下來?！皵?shù)學(xué)歸納法”名稱則是由英國數(shù)學(xué)家創(chuàng)立,并由英國教科書作者普遍采用而推廣。然而嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)歸納法的建立，是在數(shù)的理論充分發(fā)展及對無窮概念有較深刻的認(rèn)識后才得以完成的。十七世紀(jì)后，在數(shù)學(xué)歸納法有了明晰的框架后，發(fā)展出了最小數(shù)原理、第一和第二數(shù)學(xué)歸納法、反向歸納法、遞減歸納法、螺旋歸納法、雙重甚至多重歸納法等各種形式的數(shù)學(xué)歸納法。至1889年意大利數(shù)學(xué)家C?皮亞諾(C.Peano,1858~1932)發(fā)表《算術(shù)原理新方法》，給出自然數(shù)的公理體系，使數(shù)學(xué)歸納法有了一個準(zhǔn)確、合理的理論基礎(chǔ)。（參見[1][2]）2.數(shù)學(xué)歸納法與歸納法邏輯上的歸納法是指從一系列有限的特殊事例推出一般性結(jié)論的推理方法，從肯定全體對象中的一系列有限的個別事物到肯定全體對象。但數(shù)學(xué)歸納法并不具備這些特征。邏輯中的演繹法是由一般性的前提推到個別性的結(jié)論的推理方法，演繹推進的前提必然蘊涵結(jié)論。從數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)來考察，還是從它的推理過程來考察，數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上都是一種演繹法。現(xiàn)代美國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞(G.Polya,1887-1985)曾這樣評論“數(shù)學(xué)歸納法”這一名稱：“歸納法是通過對特例進行觀察與綜合以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的過程.它用于所有科學(xué)甚至數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)歸納法則僅在數(shù)學(xué)中用以證明某類定理。從名稱上看，二者有聯(lián)系,但二者在邏輯方面的聯(lián)系極少。不過兩者之間還有某種實際聯(lián)系；我們常把兩種方法一起使用?！保▍⒁奫1][3]）3.數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)是數(shù)學(xué)歸納法原理，其來源于皮亞諾的自然數(shù)公理。皮亞諾自然數(shù)公理內(nèi)容如下：①1是自然數(shù)；②每一個自然數(shù)a，都有一個后繼數(shù)a'，a'也是自然數(shù)；③如果b、c都是自然數(shù)a的后繼數(shù)，那么b=c；④1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)；⑤對于自然數(shù)的命題，如果它對自然數(shù)1是正確的，假設(shè)它對自然數(shù)n為真時，可以證明它對后繼數(shù)n'也真，則命題對所有自然數(shù)都為真。（因后來把0也作為自然數(shù)，所以公理中的1要換成0。）數(shù)學(xué)歸納法原理即為上述皮亞諾自然數(shù)公理的第⑤條：設(shè)有一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n)，如果滿足(1)當(dāng)(,)時,P(n)成立；(2)假設(shè)(,)時,P(n)成立,則時P(n)也成立；那么命題P(n)對于的所有自然數(shù)n都成立。其證明如下：設(shè)P(n)是依賴于自然數(shù)n的一個命題,M是使命題P(n)成立的那些自然數(shù)的集合。于是，由數(shù)學(xué)歸納法條件(1)，時，P(n)成立，故，()；由數(shù)學(xué)歸納法條件(2)，假設(shè)時P(n)成立，推得時，P(n)成立，故知一旦，k的直接后經(jīng)為。由此可知，使命題P(n)成立的自然數(shù)集合M滿足皮亞諾公理條件①②，所以M含有的一切自然數(shù)，于是命題P(n)對的一切自然數(shù)n都成立。證畢。（參見[3][5]）自然數(shù)公理和數(shù)學(xué)歸納法原理承認(rèn)與自然數(shù)相關(guān)的許多無窮數(shù)目的命題能夠通過遞推解決，集合論承認(rèn)無限的全體中無限能夠構(gòu)造完，由此可知，數(shù)學(xué)歸納法實質(zhì)上有一個無限遞推下去的過程。（參見[3]）4.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明關(guān)于自然數(shù)的等式和不等式。此外，可以利用數(shù)學(xué)歸納法定義一些關(guān)于自然數(shù)集或非負(fù)整數(shù)集上的函數(shù)，如階乘函數(shù)和裴波拉契函數(shù)，還可以利用數(shù)學(xué)歸納法定義某些集合。（參見[4]）參考文獻：[1]張莉,賀賢孝.數(shù)學(xué)歸納法的歷史[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1999,(02),102~106.[2]馮進.數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷程[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報,2008,(08),19~26.[3]李宗俊.數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)[J].宜賓師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2001,(02),46~47.[4]黃萬徽.數(shù)學(xué)歸納法原理及其應(yīng)用[J].高等函授學(xué)報(自然科學(xué)