浙江省寧波市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023學(xué)年第二學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的計(jì)算得解.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，所以.故選：C2.如圖，用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形且直角邊長(zhǎng)是，求出直觀圖的面積，根據(jù)平面圖形的面積是直觀圖的倍，得到結(jié)果．【詳解】因?yàn)槭堑闹庇^圖，且直角邊長(zhǎng)是，所以面積為，因?yàn)槠矫鎴D形與直觀圖的面積的比為，所以的面積為，故選：A3.設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面的四組向量不能構(gòu)成基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】B【解析】【分析】判斷每個(gè)選項(xiàng)中的向量是否共線，即可判斷出答案.【詳解】由于是平面內(nèi)的一個(gè)基底，故不共線，和不共線，故A能構(gòu)成基底，和共線，故B不能構(gòu)成基底，和不共線，故C能構(gòu)成基底，根據(jù)向量的加減法法則可知和不共線，故D能構(gòu)成基底，故選：B4.在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過(guò)作于，根據(jù)的長(zhǎng)度大小關(guān)系判斷三角形個(gè)數(shù)，即可確定參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，過(guò)作于，如下圖示，則，可得時(shí)，三角形有兩解.當(dāng)，即時(shí)，三角形不存在；當(dāng)或時(shí)，△分別對(duì)應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，在射線方向上有一個(gè)△，而在射線方向上不存在，故此時(shí)僅有一個(gè)三角形；故選：B5.為不重合的直線，為互不相同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，則或與異面【答案】D【解析】【分析】ABC可以舉出其他情況反駁即可，D選項(xiàng)易知其正確.【詳解】對(duì)A，若，，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若，，，則或相交；對(duì)C，若，，則或；對(duì)D，若，，則或與異面，正確.故選：D.6.已知向量，，且．則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算及向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得數(shù)量積的值，再根據(jù)投影向量的運(yùn)算公式求解即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，則，所以在方向上的投影向量為.故選：A.7.點(diǎn)在的內(nèi)部，且滿足：，則的面積與的面積之比是（）A. B.3 C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用向量的平行四邊形法則可知點(diǎn)在的中線上，且，從而可得，根據(jù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，取中點(diǎn)為點(diǎn)，則，即，所以在中線上，且過(guò)，分別作邊上的高，垂足為，則，所以，，所以，所以，故選：C.8.已知，，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可知與垂直，結(jié)合向量的幾何意義，可將向量的模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離問(wèn)題，即可求解.【詳解】設(shè)，共起點(diǎn)，由，可得，所以與垂直，如圖由向量減法的幾何意義可知，向量的終點(diǎn)落在圖中的圓上，由題意可知的終點(diǎn)在圖中所示的射線上，所以的最小值是從圓上的點(diǎn)到射線上的點(diǎn)形成的向量，要求的最小值，只需求圓心到射線的距離減去圓的半徑，故最小值為.故選：.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下面的命題正確的有（）A.若，，則B.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線C.若滿足且與同向，則D.“若是不共線的四點(diǎn)，且”“四邊形是平行四邊形”【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A，若，不一定平行，故A錯(cuò)；對(duì)于B，方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B正確對(duì)于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且，可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；若四邊形ABCD是平行四邊形，可得，且，此時(shí)A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且，故D正確故選：BD10.在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)z滿足，則B.若復(fù)數(shù)、滿足，則C.若復(fù)數(shù)、滿足，則D.若，則的最大值為【答案】AD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計(jì)算判斷A；舉例說(shuō)明判斷BC；利用復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，于是，，A正確；對(duì)于B，令復(fù)數(shù)、，顯然，滿足，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，復(fù)數(shù)、，滿足，而，顯然，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，表示點(diǎn)到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，因此，即的最大值為，D正確.故選：AD11.在中，所對(duì)的邊分別為，下面命題正確的有（）A.若是銳角三角形，則不等式恒成立B.若，則C.若非零向量與滿足，則為等腰三角形D.是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)銳角三角形的角的范圍：和正弦定理的邊角互化關(guān)系可以判斷A和B，已知為與同向的單位向量然后結(jié)合向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積和共線定理可得C和D.【詳解】解：A項(xiàng)：由是銳角三角形，故:，所以：，A正確；B項(xiàng)：由正弦定理可知：，若，則，顯然不符合，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：由向量加法法則可知與的角平分線共線，又可得：的角平分線與垂直，由三角形的性質(zhì)可知為等腰三角，故C正確；D項(xiàng)：過(guò)作，如圖，，所以：，，由向量加法的平行四邊形法則可知點(diǎn)在邊的中線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，故D正確.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量滿足，且，，則與的夾角等于__________.【答案】【解析】【詳解】由題意可得，解得，又因?yàn)樗裕睿?3.已知某圓錐的體積為，該圓錐側(cè)面的展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為______．【答案】【解析】【分析】由圓錐體積公式，側(cè)面積公式，扇形圓心角公式，及軸截面三角形中的勾股定理，聯(lián)立方程組可求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為，高為，圓錐的體積，化簡(jiǎn)得：，側(cè)面展開圖的圓心角，化簡(jiǎn)得：，由勾股定理可得：，代入得：，，圓錐的側(cè)面積，故答案為：.14.在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理及正弦定理邊化角整理計(jì)算得到的大小，然后利用正弦定理將用角的表示，利用輔助角公式變形，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，又，所以，由正弦定理，所以，所以，由得，所以，即的取值范圍?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)．（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義，限制實(shí)部虛部求解即可.（2）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義限制實(shí)部虛部的范圍，解不等式組求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以解得【小問(wèn)2詳解】復(fù)數(shù)它在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以，解得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，分別是棱的中點(diǎn)．（1）證明：三條直線相交于同一點(diǎn)（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）1.【解析】【分析】（1）先通過(guò)證明且得到四點(diǎn)共面，且相交，再利用基本事實(shí)三可證明結(jié)論；（2）通過(guò)以及棱錐的體積公式求解.【小問(wèn)1詳解】連接，如圖：分別是的中點(diǎn)，，，且，∴四邊形為平行四邊形，，在中，分別是的中點(diǎn)，，，且四點(diǎn)共面，設(shè)，平面，平面，平面，平面，平面平面，三條直線相交于同一點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】，三棱錐的高為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，，，．．17.在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，滿足______．（1）求角；（2）若，，且，求的面積注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角形角度關(guān)系即可得結(jié)論；（2）根據(jù)向量相等確定點(diǎn)的位置，再結(jié)合余弦定理、三角形面積公式求解即可得答案.【小問(wèn)1詳解】選①：由正弦定理得，，，即，，，，．選②：由及正弦定理，可得，可知：，則，，．選③：由及正弦定理得，可得，，；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，為中點(diǎn)，設(shè)，，則由余弦定理得，，又在中，由余弦定理得，所以的面積．18.平面幾何中有如下結(jié)論：“三角形的角平分線分對(duì)邊所成的兩段之比等于角的兩邊之比，即．”已知中，，，為角平分線．過(guò)點(diǎn)作直線交的延長(zhǎng)線于不同兩點(diǎn)，且滿足，，（1）求的值，并說(shuō)明理由；（2）若，求的最小值．【答案】（1），理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）用表示，再根據(jù)三點(diǎn)共線，利用向量共線定理求解即可；（2）利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和均值不等式“1”的妙用求解即可.小問(wèn)1詳解】根據(jù)角平分線定理，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，所以的最小值為．19.在銳角中，角所對(duì)的邊分別是．已知，．（1）求角；（2）若是內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及取最大值的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若是中上的一點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．【答案】（1）（2）存在，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，（3）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，即可求出，從而得解；（2）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算得到，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解；（3）依題意可得平分，由面積公式得