WLJYUpLoadFiles第一講電磁感應(yīng)中的導(dǎo)軌問(wèn)題（教師版）

第6頁(yè)共7頁(yè)第一講電磁感應(yīng)中的導(dǎo)軌問(wèn)題（一）（教師版）前言研究?jī)筛叫袑?dǎo)體桿沿導(dǎo)軌垂直磁場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)是力電知識(shí)綜合運(yùn)用問(wèn)題，是電磁感應(yīng)部分的非常典型的習(xí)題類(lèi)型，因處理這類(lèi)問(wèn)題涉及到力學(xué)和電學(xué)的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，所以是學(xué)生練習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，下面就這類(lèi)問(wèn)題的解法舉例分析。在電磁感應(yīng)中，有三類(lèi)重要的導(dǎo)軌問(wèn)題：1．發(fā)電式導(dǎo)軌；2．電動(dòng)式導(dǎo)軌；3．雙動(dòng)式導(dǎo)軌。導(dǎo)軌問(wèn)題，不僅涉及到電磁學(xué)的基本規(guī)律，還涉及到受力分析，運(yùn)動(dòng)學(xué)，動(dòng)量，能量等多方面的知識(shí)，以及臨界問(wèn)題，極值問(wèn)題。尤其是雙動(dòng)式導(dǎo)軌問(wèn)題要求學(xué)生要有較高的動(dòng)態(tài)分析能力電磁感應(yīng)中的雙動(dòng)式導(dǎo)軌問(wèn)題其實(shí)已經(jīng)包含有了電動(dòng)式和發(fā)電式導(dǎo)軌，由于這類(lèi)問(wèn)題中物理過(guò)程比較復(fù)雜，狀態(tài)變化過(guò)程中變量比較多，關(guān)鍵是能抓住狀態(tài)變化過(guò)程中變量“變”的特點(diǎn)和規(guī)律，從而確定最終的穩(wěn)定狀態(tài)是解題的關(guān)鍵，求解時(shí)注意從動(dòng)量、能量的觀點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用相應(yīng)的規(guī)律進(jìn)行分析和解答。綜述：電磁感應(yīng)中有一類(lèi)關(guān)于導(dǎo)軌的習(xí)題，涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)、牛頓定律、動(dòng)量守恒及動(dòng)量定理、能量關(guān)系等相關(guān)知識(shí)，現(xiàn)按不同標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)如下：一．按運(yùn)動(dòng)類(lèi)型分1.1利用楞次定律的“阻礙”作用，分析問(wèn)題。例1：MN、PO為固定水平光滑直導(dǎo)軌，a、b為金屬棒，磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面，⑴若磁場(chǎng)均勻，a棒有向右初速度V0，則b如何運(yùn)動(dòng)？⑵若a、b原先靜止，當(dāng)磁場(chǎng)均勻變化時(shí)，它們?nèi)绾芜\(yùn)動(dòng)？解析：⑴由楞次定律可知，b棒應(yīng)向右加速，a則減速，最后兩者達(dá)到共速；并且在達(dá)到共速前，始終有Vb<Va；因?yàn)閮烧咚馨才嗔Φ戎捣聪?，所以整體合力為0，動(dòng)量守恒，MaV0=(Ma+Mb)V共∴V共=MaV0/(Ma+Mb)⑵若磁場(chǎng)均勻變小，a、b分開(kāi)運(yùn)動(dòng)，即反向運(yùn)動(dòng)；若磁場(chǎng)變大，它們相向運(yùn)動(dòng)。1.2在恒定外力作用下，做勻速運(yùn)動(dòng)例2：長(zhǎng)為L(zhǎng)、電阻r=0.3Ω、質(zhì)量M=0.1㎏的金屬棒OD垂直跨在位于水平面上的兩條平行光滑金屬導(dǎo)軌上，兩導(dǎo)軌的間距也為L(zhǎng)，棒與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌左端接有R=0.5Ω的電阻，量程0～3.0A的電流表串接在一條導(dǎo)軌上，量程為0～1.0V的電壓表接在電阻R的兩端。垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)向下穿過(guò)平面，現(xiàn)用向右恒定的外力F使金屬棒以V=2m/s向右勻速滑動(dòng)，觀察到電路中的一個(gè)電表正好滿(mǎn)偏，而另一個(gè)電表未滿(mǎn)偏，則滿(mǎn)偏的電表是哪個(gè)表？拉動(dòng)金屬棒的外力F多大？解析：⑴應(yīng)是電壓表滿(mǎn)偏。此時(shí)U=1.0V，I=U/R=2.0A<3.0A⑵電動(dòng)勢(shì)ε=BLV=I(R+r)=1.6V∴BL=0.8又∵勻速F外=FA=BIL=0.8×2=1.6N1.3只在安培力作用下做變減速運(yùn)動(dòng)例3：在例2中，若撤去外力F，此后金屬棒將如何運(yùn)動(dòng)？從撤去外力開(kāi)始，通過(guò)電阻R的電荷量Q是多少？解析：撤去外力后，金屬棒只受安培力而做加速度越來(lái)越小的變減速運(yùn)動(dòng)，逐漸慢下來(lái)，最后停下來(lái)。對(duì)金屬棒用動(dòng)量定理，∴Q=mv/BL=0.25c1.4在恒定外力下做變加速運(yùn)動(dòng)例4：質(zhì)量m,長(zhǎng)度為L(zhǎng)，電阻為R的金屬棒ab，接在豎直放置的“門(mén)”型金屬框架上組成閉合回路，框架置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，棒ab在框架上滑動(dòng)始終保持水平，所受摩擦力為f，框架電阻不計(jì)，當(dāng)棒ab從靜止下滑，達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)，電路的電功率是多少？解析：棒ab下滑后，受到重力、摩擦力、安培力的作用做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到達(dá)到穩(wěn)定速度。穩(wěn)定時(shí)，mg=f+FA,FA=BIL=B2L2V/R∴P=FAV=(mg-f)2R/(B2L2)例5：兩根豎直放置在絕緣地面上的金屬框架的上端接有一電容量為C的電容器，框架上有一質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的金屬棒，平行于地面放置，與框架接觸良好且無(wú)摩擦，棒離地面的高度為h,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與框架平面垂直，開(kāi)始時(shí)電容器不帶電，將棒由靜止釋放，則棒落地時(shí)速度多大？解析：對(duì)金屬棒分析：設(shè)其加速度為a，ma=mg－FA=mg－BIL在△t（△t→0）時(shí)間內(nèi)，電容器上的電量變化為△Q=C△U=CBL△V=CBLa△t所以，I=△Q/△t=CBLa所以，ma=mg－BIL=mg－B2L2Caa==恒量，因此金屬棒作勻加速運(yùn)動(dòng)∴1.5在變力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)例6：如圖甲，一對(duì)平行光滑導(dǎo)軌放在水平面上，兩軌道間距L=0.20m,電阻R=1Ω；有一導(dǎo)體棒靜止放在軌道上，與兩軌道垂直，棒與軌道的電阻都忽略不計(jì)?，F(xiàn)有一外力F沿軌道方向拉棒，使之做勻加速運(yùn)動(dòng)，測(cè)得力F與時(shí)間t的關(guān)系如圖乙所示。求棒的質(zhì)量m和加速度a.解析：物體做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可知F－FA=maFA=BIL=B2L2V/RV=at∴F=ma+B2L2at/R從圖線(xiàn)乙中任取兩組坐標(biāo)[如（0s，1.5N）、(30s，4.5N)代入，可求得a=10m/s2,m=0.15㎏1.6外力以恒定功率拉動(dòng)棒例7：兩光滑導(dǎo)軌水平放置在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌所在平面，金屬棒ab可沿導(dǎo)軌自由滑動(dòng)，導(dǎo)軌一端接一個(gè)定值電阻R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)?，F(xiàn)將金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止向右拉，若保持拉力恒定，經(jīng)時(shí)間t1后速度為v，加速度為a1，最終以速度2v做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；若保持拉力的功率恒定經(jīng)時(shí)間t2后，速度為v，加速度為a2，最終也以速度2v做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則a1與a2的關(guān)系怎樣？解析：F恒定時(shí)，ma1=F－FA速度為v時(shí)，F(xiàn)A=B2L2v/(R+r)r為金屬棒ab的電阻勻速時(shí)，速度為2v,a=0,F=B2L22v/(R+r)∴ma1=B2L2v/(R+r)拉力F的功率恒定時(shí)，ma2=F－FA速度為v時(shí)，F(xiàn)=P/vFA=B2L2v/(R+r)勻速時(shí)，a=0,F’=FA’=B2L22v/(R+r)=P/2v∴ma2=3B2L2v/(R+r)=3a1即a2=3a1二、按導(dǎo)軌是否固定分2.1導(dǎo)軌固定：上述所有例題都是導(dǎo)軌固定的情況。2.2導(dǎo)軌自由例8：矩形金屬線(xiàn)框abcd質(zhì)量為4m,ab邊和cd邊的電阻均為R，ad邊bc邊足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)。金屬棒ef質(zhì)量m，電阻為R，與線(xiàn)框的ad邊和bc邊接觸良好，且無(wú)摩擦。開(kāi)始時(shí)將線(xiàn)框靜止放在絕緣且光滑的水平面上，范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)處置于線(xiàn)框平面，使金屬棒ef以初速度V0向右運(yùn)動(dòng)，求金屬棒ef最終的速度和其上產(chǎn)生的焦耳熱。解析：運(yùn)動(dòng)后某時(shí)刻，設(shè)ef中的電流是I，則abcd中的電流各為I/2，所以，ef所受的安培力FA=BIL，方向向左，abcd所受的安培力FA1=FA2=BIL/2，方向都向右，所以矩形框架abcd和金屬棒ef的合力等于0，系統(tǒng)動(dòng)量守恒mV0=5mV,即V=V0/5所以ef的最終速度為V0/5，向右；由能量關(guān)系，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱等于系統(tǒng)損失的動(dòng)能，Q總=mV02/2－5mV2/2=2mV02/5,又Qab︰Qcd︰Qef=1︰1︰4∴Qef=4mV02/15例9：例8中若金屬線(xiàn)框固定，則ef的最終速度和其上產(chǎn)生的焦耳熱又是多少？解析：ef最終停下來(lái)，V=0Q總=mV02/2Qef=mV02/3三、按導(dǎo)軌所處平面分3.1導(dǎo)軌處于水平面內(nèi)，如上面例1、2、3、6、7、8、9；3.2導(dǎo)軌處于豎直面內(nèi)，如上面例4、5；3.3導(dǎo)軌處于斜面上例10：MN、PQ為相距L的光滑平行導(dǎo)軌，導(dǎo)軌平面于水平方向成θ角，導(dǎo)軌位于方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。在時(shí)刻t1=0時(shí)，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab由靜止下滑，在時(shí)刻t2=T，ab已在做速度為v的勻速直線(xiàn)，設(shè)M、P間接一阻值為R的電阻，其余電阻均不計(jì)，在時(shí)間T內(nèi)，磁場(chǎng)力對(duì)ab的沖量大小為多少？磁感應(yīng)強(qiáng)度多大？解析：由動(dòng)量定理，mgsinθ·T－IA=mv－0∴IA=mgsinθ·T－mv勻速時(shí)合外力為0，mgsinθ=FA=B2L2v/R∴例11：在于水平面成θ角的矩形導(dǎo)電框架范圍內(nèi)，有垂直于框架平面斜向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，框架ad、bc部分足夠長(zhǎng)，且電阻不計(jì)，，ab、cd部分的電阻均為R，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，有一質(zhì)量為m，電阻為2R，夾于ad、bc之間的金屬裸導(dǎo)線(xiàn)，從圖示位置無(wú)摩擦地平行于ab沿框架上沖，上沖初速度未知，其所能到達(dá)的離圖示位置的最大高度未h，此過(guò)程中ab上發(fā)熱Q，，求ab的最大發(fā)熱功率。解析：由動(dòng)能定理，0－mV02/2=－mgh－WA=－mgh－Q總Qab︰Qcd︰Q棒=（I/2）2R︰（I/2）2R︰I22R=1Q︰1Q︰8Q∴Q總=10QV02=2gh+20Q/m又Pab=Iab2R=（0.5BLV/2.5R）2Rab棒一直做減速運(yùn)動(dòng)，所以速度為V0時(shí)最大，Pabmax=B2L2（20Q+2mgh）/25mR四、按導(dǎo)軌形狀分類(lèi)4.1平行等距導(dǎo)軌，上述所有例題中的導(dǎo)軌都屬于此類(lèi)別；4.2平行不等距導(dǎo)軌例12：無(wú)限長(zhǎng)的光滑平行導(dǎo)體框架MON、xo’y水平放置，左右兩側(cè)的寬度分別為L(zhǎng)1、L2，且L1=2L2=2L，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，范圍足夠大，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B兩根金屬棒a、b的質(zhì)量分別為Ma=2Mb=2m，電阻分別為Ra=2Rb=2R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，初始金屬棒a、b離OO’足夠遠(yuǎn)。⑴若開(kāi)始時(shí)金屬棒b靜止，而給金屬棒a一個(gè)水平向右的初速V0，求此時(shí)b棒的加速度？⑵若使棒a、b同時(shí)獲得相向的速度，大小分別為Va、Vb，且Vb=2Va=2V0，求在以后過(guò)程中b棒的最小速度。解析；⑴Vb=0，E=B2LV0，I=E/3R，F(xiàn)Ab=BILa=2B2L2V0/3Mr⑵∵a、b棒所受安培力大小不相等，∴合外力不為0，動(dòng)量不守恒。a、b棒所受安培力大小之比FAa︰FAb=L1︰L2=2︰1…①b棒的加速度之比a1︰a2=1︰1，又Vb=2Va=2V0所以，a先減速到0后反向（向左）加速，b一直減速，最終兩者一起勻速，勻速時(shí)b的速度為其最小速度。以向左為正方向，對(duì)a、b分別用動(dòng)量定理a：FAa·t=2mVa’－(－2mV0)……②b：FAb·t=mVb’－m2V0…………③且勻速時(shí)應(yīng)有△φ=B△S=0，即Va’·t·2L=Vb’·t·L∴Va’︰Vb’=1︰2………④聯(lián)立上述四式，解得Va’=V0/3向左Vb’=2V0/3向左4.3圓形導(dǎo)軌例13：一個(gè)粗細(xì)均勻、電阻為2R的金屬圓環(huán)，放置在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，其直徑為L(zhǎng)，將長(zhǎng)也L、電阻為R/2的金屬棒ab放置在金屬圓環(huán)上，并以速率v勻速向右，當(dāng)ab運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，θ=60°，ab兩端的電勢(shì)差為多少？解析：電動(dòng)勢(shì)E=BLV，圓環(huán)左右兩部分并聯(lián)與cd部分串聯(lián)，Uac=Udb=BL（1－sinθ）V/2Ecd=BLsinθV圓環(huán)左右兩部分電阻分別為R1=4R/3，R2=2R/3，cd部分電阻為r=Rsinθ/2電路中電流I=Ecd/（R1//R2+r）Ucd=E－Ir=∴Uab=Uac+Udb+Ucd=，且b端電勢(shì)高。4.4三角形軌道例14：三角形金屬框架MON平面與勻強(qiáng)磁場(chǎng)B垂直，導(dǎo)體ab能緊貼金屬框運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體從O點(diǎn)看勢(shì)向右勻速平動(dòng)時(shí)，速率為V，則回路Obc中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系怎樣？解析；E=BLcbV=B（V·t·tg30°）V=BV2tg30°·t4.5正弦形導(dǎo)軌例15：勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.40T，OCA導(dǎo)軌與OA直導(dǎo)軌分別在O點(diǎn)和A點(diǎn)接一阻值R1=3.0Ω和R2=6.0Ω幾何尺寸可忽略的定值電阻，導(dǎo)軌OCA的曲線(xiàn)方程為y=1.0sin(πx/3)(m)，金屬棒ab長(zhǎng)1.5米，以速度v=5.0m/s水平向右勻速運(yùn)動(dòng)。（b點(diǎn)始終在x軸上），設(shè)金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好，摩擦不計(jì)，電路中除了電阻R1、R2外，其余電阻不計(jì)，曲線(xiàn)OCA與x軸之間所圍面積越為1.9㎡。求：⑴金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)R1的最大功率⑵金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)從x=0到x=3m的過(guò)程中通過(guò)金屬棒ab的電量⑶金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)從x=0到x=3m的過(guò)程中，外力必須做多少功？解析：⑴金屬棒切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)ε=ByV=BVsin(πx/3)R1上產(chǎn)生的功率P1=ε2/R1當(dāng)sin(πx/3)=1，即x=1.5m時(shí)P1max=（0.4×5.0×1）2/3.0=4/3w⑵Q=It=△φ/R總=BS（R1+R2）/R1R2=0.38C⑶由動(dòng)能定理W外－WA=0－0WA=E有效2t/R總t=OA/v=0.6s而金屬棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)ε=BVsin(πx/3)是按正弦變化的∴∴W外=0.6J1.不等間距型圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直平面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌所在的平面(紙面)向里。導(dǎo)軌的a1b1段與a2b2段是豎直的．距離為小l1，c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1y1與x2y2為兩根用不可伸長(zhǎng)的絕緣輕線(xiàn)相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為m1和m2，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸。兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力。已知兩桿運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，已勻速向上運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。(04全國(guó)2)【解析】設(shè)桿向上運(yùn)動(dòng)的速度為，因桿的運(yùn)動(dòng)，兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大?、倩芈分械碾娏鱲②電流沿順時(shí)針?lè)较颉山饘贄U都要受到安培力作用，作用于桿的安培力為③方向向上，作用于桿的安培力方向向下。當(dāng)桿作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有⑤解以上各式，得⑥⑦作用于兩桿的重力的功率的大小⑧電阻上的熱功率v⑨由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得vv2在水平導(dǎo)軌上的“雙桿滑動(dòng)”問(wèn)題不等間距水平導(dǎo)軌，無(wú)水平外力作用（安培力除外）如圖所示，光滑導(dǎo)軌EF、GH等高平行放置，EG間寬度為FH間寬度的3倍，導(dǎo)軌右側(cè)水平且處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，左側(cè)呈弧形升高。ab、cd是質(zhì)量均為m的金屬棒，現(xiàn)讓ab從離水平軌道h高處由靜止下滑，設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)。試求：(1)ab、cd棒的最終速度；(2)全過(guò)程中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱。【解析】ab下滑進(jìn)入磁場(chǎng)后切割磁感線(xiàn)，在abcd電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，ab、cd各受