2015屆高三數(shù)學(xué)第一輪知識(shí)點(diǎn)課后強(qiáng)化訓(xùn)練題10

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1．(文)(2013·北京高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|[答案]C[解析]本題考查了偶函數(shù)的判斷及單調(diào)性的判斷，y＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)；y＝e－x是非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)；y＝lg|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,lg－x，x<0，))，當(dāng)x>0時(shí)是增函數(shù)，D錯(cuò)；由二次函數(shù)圖像性質(zhì)知C正確.(理)若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值為1，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－3 B．－2C．－1 D．1[答案]B[解析]∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上是增加的，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值為1，∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.選B.2．(文)函數(shù)y＝1－eq\f(1,x－1)()A．在(－1，＋∞)內(nèi)是增加的B．在(－1，＋∞)內(nèi)是減少的C．在(1，＋∞)內(nèi)是增加的D．在(1，＋∞)內(nèi)是減少的[答案]C[解析]函數(shù)定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，y1＝eq\f(1,x－1)在(1，＋∞)上是減少的．所以y＝1－eq\f(1,x－1)在(1，＋∞)上是增加的．(理)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|[答案]B[解析]本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性．對(duì)于A，y＝x3不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；B正確，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單增；對(duì)于C，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，錯(cuò)誤；對(duì)于D，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，錯(cuò)誤，故選B.3．函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)[答案]C[解析]本題考查函數(shù)的值域的求法以及換元的方法．令u＝16－4x，則y＝eq\r(u)，u≥0，因?yàn)?x>0，－4x<0，所以0≤16－4x<16∴y＝eq\r(u)∈[0,4)，故選C.4．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)[答案]A[解析]由題意知，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．在A中，由f′(x)＝－eq\f(1,x2)<0，得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上為減函數(shù)；在B中，由f′(x)＝2(x－1)<0得x<1，所以f(x)在(－∞，1)上為減函數(shù)．在C中，由f′(x)＝ex>0，知f(x)在R上為增函數(shù)．在D中，由f′(x)＝eq\f(1,x＋1)且x＋1>0知，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．5．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)?)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[答案]A[解析]本題考查了指、對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題．3x>0?3x＋1>1?log2(3x＋1)>log21＝0，選A.6．(文)函數(shù)f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)[答案]A[解析]由已知易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－3>0，))即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞減．(理)函數(shù)f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，eq\f(3,2)] B．[eq\f(3,2)，＋∞)C．(－1，eq\f(3,2)] D．[eq\f(3,2)，4)[答案]D[解析]函數(shù)f(x)的定義域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(25,4)的減區(qū)間為[eq\f(3,2)，4)，∵e>1，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[eq\f(3,2)，4)．二、填空題7．(2014·徐州模擬)已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減少的，則a的取值范圍是________．[答案][0，eq\f(3,4)][解析]當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－12x＋5，顯然f(x)在(－∞，3)上是減少的．當(dāng)a≠0時(shí)，要使f(x)在(－∞，3)上是減少的，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,－\f(4a－3,2×2a)≥3))，即0<a≤eq\f(3,4).綜上可知a∈[0，eq\f(3,4)]．8．(文)函數(shù)y＝x＋2eq\r(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值M與最小值N的和為_(kāi)_______．[答案]8[解析]函數(shù)y＝x＋2eq\r(x)在其定義域上是增函數(shù)，所以x＝0時(shí)有最小值N＝0，x＝4時(shí)有最大值M＝8，M＋N＝8.(理)函數(shù)y＝－(x－3)|x|的遞增區(qū)間是________．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))[解析]y＝－(x－3)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋3xx>0，,x2－3xx≤0.))作出該函數(shù)的圖像，觀察圖像知遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).9．(文)若在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上，函數(shù)f(x)＝x2＋px＋q與g(x)＝x＋eq\f(1,x)在同一點(diǎn)取得相同的最小值，則f(x)在該區(qū)間上的最大值是________．[答案]3[解析]對(duì)于g(x)＝x＋eq\f(1,x)在x＝1時(shí)，g(x)的最小值為2，則f(x)在x＝1時(shí)取最小值2，∴－eq\f(p,2)＝1，eq\f(4q－p2,4)＝2.∴p＝－2，q＝3.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在該區(qū)間上的最大值為3.(理)已知函數(shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．[答案](－∞，1][解析]本題考查指數(shù)函數(shù)與分段函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．∵f(x)＝e|x|的對(duì)稱(chēng)軸為x＝0，∴f(x)＝e|x－a|的對(duì)稱(chēng)軸為x＝a，若f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴a≤1.三、解答題10．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．[解析](1)證明：任設(shè)x1<x2<－2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增．(2)任設(shè)1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(ax2－x1,x1－ax2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)內(nèi)恒成立，∴a≤1.綜上知0<a≤1.能力強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1．(文)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3－3ax<0，,axx≥0))(a>0，且a≠1)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0，eq\f(2,3)] B．(eq\f(1,3)，1)C．(2,3) D．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3)][答案]A[解析]由f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,f0＝a0≤3－3a.))化簡(jiǎn)得0<a≤eq\f(2,3).(理)(2013·安徽高考)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]本題考查了函數(shù)單調(diào)性與充分必要條件的判斷．若a＝0，則f(x)＝|x|在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，若“a<0”，則f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其圖象如圖所示，在(0，＋∞)內(nèi)遞增；反之，若f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)內(nèi)遞增，從圖中可知a≤0，故選C.2．定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝3x－1，則有()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))[答案]B[解析]∵f(x)的圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))).又∵x≥1時(shí)，f(x)＝3x－1為增函數(shù)，且eq\f(4,3)<eq\f(3,2)<eq\f(5,3)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).二、填空題3．函數(shù)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)的值域?yàn)開(kāi)_______．[答案](－1,1][解析]解法1：(反解法)由y＝eq\f(1－x2,1＋x2)得x2＝eq\f(1－y,1＋y)≥0，解得－1<y≤1.解法2：(分離常數(shù)法)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)＝eq\f(－x2＋1＋2,x2＋1)＝－1＋eq\f(2,x2＋1).∵x2＋1≥1，∴0<eq\f(2,x2＋1)≤2，∴－1<－1＋eq\f(2,x2＋1)≤1.4．(文)設(shè)a，b∈R，定義max{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥b,ba<b))，函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)，則f(x)的最小值是______．[答案]eq\f(3,2)[解析]令y1＝|x＋1|，y2＝|x－2|，在同一坐標(biāo)系中分別作出其圖像，如圖所示，根據(jù)條件知函數(shù)f(x)的圖像為圖中的射線PA，PB構(gòu)成，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2,y＝x＋1))，解得y＝eq\f(3,2).即為函數(shù)f(x)的最小值．(理)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[答案](－2,1)[解析]由圖像知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.三、解答題5．(文)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a>0，x>0)．(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增加的；(2)若f(x)在[eq\f(1,2)，2]上的值域是[eq\f(1,2)，2]，求a的值．[解析](1)設(shè)x2>x1>0，則x2－x1>0，x1x2>0.f(x2)－f(x1)＝(eq\f(1,a)－eq\f(1,x2))－(eq\f(1,a)－eq\f(1,x1))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增加的．(2)f(x)在[eq\f(1,2)，2]上的值域是[eq\f(1,2)，2]，又f(x)在[eq\f(1,2)，2]上單調(diào)遞增，∴f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)，f(2)＝2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－2＝\f(1,2),\f(1,a)－\f(1,2)＝2))，∴a＝eq\f(2,5).(理)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1)當(dāng)a＝4時(shí)，求f(x)的最小值；(2)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求f(x)的最小值；(3)若a為正常數(shù)，求f(x)的最小值．[分析]在解決該類(lèi)型函數(shù)的最值時(shí)，首先考慮到應(yīng)用均值不等式求解，但須逐一驗(yàn)證應(yīng)用均值不等式所具備的條件，若條件不具備，應(yīng)從函數(shù)單調(diào)性的角度考慮．[解析](1)當(dāng)a＝4時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(4,x)＋2，易知f(x)在[1,2]上是減少的，在[2，＋∞)上是增加的．∴f(x)min＝f(2)＝6.(2)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(1,2x)＋2，易知f(x)在[1，＋∞)上為增加的，∴f(x)min＝f(1)＝eq\f(7,2).(3)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2在(0，eq\r(a)]上是減少的，在[eq\r