新高考數(shù)學一輪復習第6章 第01講 數(shù)列的概念與簡單表示法 精講（教師版）

第01講數(shù)列的概念與簡單表示法(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系求通項公式角度1：利用SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0角度2：利用SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0角度3：作差法求通項題型二：利用遞推關系求通項公式角度1：累加法角度2：累乘法角度3：構造法角度4：倒數(shù)法題型三：數(shù)列的性質(zhì)及其應用角度1：數(shù)列的周期性角度2：數(shù)列的單調(diào)性角度3：數(shù)列的最值第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、數(shù)列的有關概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0項SKIPIF1<0通項公式如果數(shù)列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0項SKIPIF1<0與序號SKIPIF1<0之間的關系能用公式SKIPIF1<0表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0叫做數(shù)列的前SKIPIF1<0項和2、數(shù)列的表示方法（1）列表法列出表格來表示序號與項的關系．（2）圖象法數(shù)列的圖象是一系列孤立的點SKIPIF1<0．（3）公式法①通項公式法：把數(shù)列的通項用公式表示的方法，如SKIPIF1<0．②遞推公式法：使用初始值SKIPIF1<0和SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0來表示數(shù)列的方法．3、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系若數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．4、數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關系遞增數(shù)列SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0遞減數(shù)列SKIPIF1<0常數(shù)列SKIPIF1<0第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·四川綿陽·高一期中）數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個通項公式SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B當SKIPIF1<0時，代入A為SKIPIF1<0，C為SKIPIF1<0，均不滿足題意；當SKIPIF1<0時，代入D為SKIPIF1<0，不滿足題意B對SKIPIF1<0，均滿足故選：B．2．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；故選：B3．（2022·海南華僑中學高二期中）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．11 C．SKIPIF1<0 D．12【答案】D解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；故選：D4．（2022·甘肅酒泉·高二期中（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.5．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，從第______項起各項均大于SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從第SKIPIF1<0項起，各項均大于SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.6．（2022·浙江·模擬預測）古希臘著名科學家畢達哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．這些數(shù)量的（石子），排成一個個如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)．那么把三角形數(shù)從小到大排列，第10個三角形數(shù)是_________．【答案】55解析：根據(jù)題意，三角形數(shù)的每一項都是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項的和，即SKIPIF1<0故答案為:55第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系求通項公式角度1：利用SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0例題1．（2022·河南河南·一模（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0滿足上式，∴SKIPIF1<0；例題2．（2022·廣東茂名·高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.例題3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二階段練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】SKIPIF1<0令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0；例題4．（2022·安徽師范大學附屬中學模擬預測（文））已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0；(1)由題意，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由數(shù)列是正項數(shù)列可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0；方法總結已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的流程(1)先令SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0;(2)當SKIPIF1<0時，用SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0得到一個新的關系式（SKIPIF1<0）,利用SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)便可求出當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的表達式;(3)注意檢驗SKIPIF1<0時的表達式是否可以與SKIPIF1<0時的表達式合并.角度2：利用SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0例題1．（2022·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測（理））已知正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0；解：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以1為首項，1為公差的等差數(shù)數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0.2．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學高二開學考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)當n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝2，又SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2，所以SKIPIF1<0是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．可得SKIPIF1<0＝2n，所以Sn＝SKIPIF1<0.(2)由(1)可得,當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝－SKIPIF1<0；當n＝1時，a1＝SKIPIF1<0，不符合an＝－SKIPIF1<0.

故SKIPIF1<0方法總結：已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系；或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系，用SKIPIF1<0替換題目中的SKIPIF1<0（注意記憶這兩個?？寄Ｐ停┙嵌?：作差法求通項例題1．（2022·廣東·高二階段練習）設數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】SKIPIF1<0解：數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，上式也成立.∴SKIPIF1<0；例題2．（2022·江西撫州·高二階段練習（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】SKIPIF1<0解：對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，上述兩個等式作差可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，因此，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題3．（2022·四川·成都外國語學校高一期中（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足：對于任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】SKIPIF1<0解：設數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0；方法總結：已知等式中左側含有：SKIPIF1<0，作差法（類似SKIPIF1<0）（注意記憶該模型）同類題型歸類練1．（2022·全國·模擬預測（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0①，可得：SKIPIF1<0②，兩式相減得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是從第二項開始的，公比是2的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：C2．（2022·陜西·寶雞中學模擬預測（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0中，對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D∵SKIPIF1<0①，∴SKIPIF1<0②，②-①得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合上式，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以4為首項，9為公比的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0．故選：D．3．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為______【答案】SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，另SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此式不滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4．（2022·遼寧·沈陽二中高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為___________.【答案】SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0.②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0不滿足上式，所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<05．（2022·山東聊城·三模）設數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得，當n=1時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.當n≥2時，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，其首項和公比都等于2，所以SKIPIF1<0.6．（2022·全國·高三專題練習（理））已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的首項為1，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)證明見解析，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，上式也符合，所以SKIPIF1<0.7．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；【答案】（1）證明見解析；（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列.題型二：利用遞推關系求通項公式角度1：累加法累加法（疊加法）(記憶累積法模型)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列SKIPIF1<0的通項時，利用恒等式SKIPIF1<0求通項公式的方法稱為累加法。具體步驟：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將上述SKIPIF1<0個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0例題1．（2022·寧夏·平羅中學高一期中（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0解：因為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；例題2．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將上式累加得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也適合，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0解：（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，滿足條件，所以SKIPIF1<0；角度2：累乘法累乘法（疊乘法）（記憶累乘法模型）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列SKIPIF1<0的通項時，利用SKIPIF1<0求通項公式的方法稱為累乘法。具體步驟：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將上述SKIPIF1<0個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0例題1．（2022·全國·高三專題練習）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.【答案】SKIPIF1<0因為a1=1，SKIPIF1<0(n≥2)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0·…·SKIPIF1<0·1=SKIPIF1<0.又因為當n=1時，a1=1，符合上式，所以an=SKIPIF1<0.例題2．（2022·全國·高三專題練習）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0通項公式.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題3．（2022·浙江·寧波市北侖中學高二開學考試）已知數(shù)列{SKIPIF1<0}滿足：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)且其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；解：（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當nSKIPIF1<02時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也滿足上式，故SKIPIF1<0(nSKIPIF1<0).SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0相減得，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，角度3：構造法用“待定系數(shù)法”構造等比數(shù)列形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為SKIPIF1<0（其中：SKIPIF1<0），由此構造出新的等比數(shù)列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通項，從而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.標準模型：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0）或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0）例題1．（2022·陜西·綏德中學高一階段練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)寫出該數(shù)列的前SKIPIF1<0項；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題2．（2022·海南·模擬預測）設數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】SKIPIF1<0解：因為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0.例題3．（2022·河南·沈丘縣第一高級中學高二期末（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．②①－②得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而a1-1=1不為零，故SKIPIF1<0是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0．∴數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．角度4：倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構造等差數(shù)列類型1：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，從而構造出新的等差數(shù)列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通項，即可求得SKIPIF1<0.類型2：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為SKIPIF1<0，可通過換元：SKIPIF1<0，化簡為：SKIPIF1<0（此類型符構造法類型1：用“待定系數(shù)法”構造等比數(shù)列：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為SKIPIF1<0（其中：SKIPIF1<0），由此構造出新的等比數(shù)列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通項，從而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.）例題1．（2022·遼寧·高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列.(2)求SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0.(1)證明:∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．(2)由上述可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列【答案】證明見解析因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，3為公比的等比數(shù)列.同類題型歸類練1．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．30 B．31 C．22 D．23【答案】B因為數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B2．（2022·陜西·長安一中高一階段練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C由數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)實驗中學高二階段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．504 B．1008 C．2016 D．4032【答案】D由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D.4．（2022·福建省永春第一中學高二期末）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．6 C．12 D．20【答案】D由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D5．（2022·全國·高二）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累乘可得：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0．故選：D﹒6．（2022·浙江·模擬預測）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結論錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以此類推可知，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，C對；SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，B對；由等差中項的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，A對；由上可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，D錯.故選：D.7．（2022·全國·高二專題練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的n的最大取值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為正整數(shù)，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；故選：C8．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由題意，SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0

，運用累加法：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，n=1時，也成立，∴SKIPIF1<0；9．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{SKIPIF1<0}中，SKIPIF1<0=1，前n項和SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0(Ⅱ)求{SKIPIF1<0}的通項公式．【答案】SKIPIF1<010．（2022·全國·高二）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足上式∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項為2，公比為2的等比數(shù)列∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0題型三：數(shù)列的性質(zhì)及其應用角度1：數(shù)列的周期性例題1．（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．6 B．－6 C．3 D．－3【答案】B解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：B例題2．（2021·全國·高二課時練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C計算得a2＝SKIPIF1<0，a3＝SKIPIF1<0，a4＝SKIPIF1<0，a5＝SKIPIF1<0，a6＝SKIPIF1<0，a7＝SKIPIF1<0，觀察歸納得：數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，又因為2016＝672×3，所以a2016＝a3＝SKIPIF1<0.故選：C.例題3．（2021·河南信陽·高三階段練習（文））在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．-3 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】DSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是以4為周期的周期數(shù)列，故SKIPIF1<0，故選：D．例題4．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是以3為周期的周期數(shù)列所以SKIPIF1<0故選：A例題5．（2020·江西·南昌十中高三階段練習（文））數(shù)列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…，∴SKIPIF1<0是周期為3且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周期數(shù)列，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：B.方法總結：利用數(shù)列周期性解題的方法（試探+找規(guī)律）先利用所給數(shù)列的遞推公式,結合數(shù)列的首項,求出數(shù)列的前幾項,通過前幾項觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性,并確定數(shù)列的周期,然后再解決相關的問題.角度2：數(shù)列的單調(diào)性例題1．（2022·陜西·長安一中高二期末（文））若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不能確定【答案】B解：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B例題2．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學校高二期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即是SKIPIF1<0小于2n+1的最小值，∴SKIPIF1<0，故選：C例題3．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因為數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，可得SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0