新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章 第04講 數(shù)列求和 精練（教師版）

第04講數(shù)列求和(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B由于SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0.2．（2022·海南華僑中學(xué)高二期中）數(shù)列SKIPIF1<0的前2022項(xiàng)和等于（

）A．SKIPIF1<0 B．2022 C．SKIPIF1<0 D．2019【答案】B解：設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B3．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2021 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0是以首項(xiàng)SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故選：B．4．（2022·江蘇常州·高二期中）已知數(shù)列滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的最小值是A．25 B．26 C．27 D．28【答案】B因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上式相加，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等式相等，故選B．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和為（

）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，由①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為SKIPIF1<0.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前10項(xiàng)和為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CSKIPIF1<0∴其前10項(xiàng)和為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則此數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的前m項(xiàng)和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因?yàn)楫?dāng)n=1時，SKIPIF1<0不滿足，所以數(shù)列SKIPIF1<0從第二項(xiàng)開始成等比數(shù)列，又SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的前m項(xiàng)和SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選:B.8．（2022·陜西·無高一階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B.二、多選題9．（2022·黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高二期中）公差為d的等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下面結(jié)論正確的有（

）A．d＝2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0【答案】ABD由題意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A、B正確；得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C錯誤；所以數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD.10．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，對任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0成立，記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0為等比數(shù)列 B．SKIPIF1<0為等差數(shù)列C．SKIPIF1<0為遞減數(shù)列 D．SKIPIF1<0【答案】BCD因?yàn)镾KIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；對SKIPIF1<0：因?yàn)镾KIPIF1<0不是常數(shù)，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等差數(shù)列，故SKIPIF1<0錯誤；對SKIPIF1<0：由上述推導(dǎo)可知，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，故SKIPIF1<0正確；對SKIPIF1<0：因?yàn)镾KIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，故SKIPIF1<0正確；對SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確.故選：SKIPIF1<0.三、填空題11．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項(xiàng)和，對于任意的SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，又記SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0由對于任意的SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列可得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.12．（2022·浙江·模擬預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，則SKIPIF1<0的值為___________.【答案】2解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：2.四、解答題13．（2022·安徽·北大培文蚌埠實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設(shè)公差為d，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．14．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高一階段練習(xí)（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0②①-②得，SKIPIF1<0經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)SKIPIF1<0時上式也成立，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.(2)由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B能力提升1．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前2022項(xiàng)的和為___________.【答案】SKIPIF1<0由題意可知，滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上各式累加得，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足上式，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∴數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2．（2022·黑龍江·哈九中三模（文））設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0由題設(shè)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且n≥2，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.【答案】960由SKIPIF1<0，當(dāng)n為奇數(shù)時，有SKIPIF1<0；當(dāng)n為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：960.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則該數(shù)列從第5項(xiàng)到第15項(xiàng)的和為______．【答案】1504設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0從第5項(xiàng)到第15項(xiàng)的和：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：1504．5．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）等比數(shù)列SKIPIF1<0中，首項(xiàng)SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0..6．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2＝0上．(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和Tn；(3)若SKIPIF1<0，求對所有的正整數(shù)n都有SKIPIF1<0成立的k的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，bn＝2n﹣1SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)因?yàn)镾KIPIF1<0①，當(dāng)n＝1時，解得SKIPIF1<0．當(dāng)n≥2時，SKIPIF1<0②，①﹣②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以數(shù)列{an}是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2＝0上．所以bn+1﹣bn＝2（常數(shù)），所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以bn＝2n﹣1SKIPIF1<0．(2)由（1）得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①﹣②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．(3)由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為單調(diào)遞減數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為1，因?yàn)閷λ械恼麛?shù)n都有SKIPIF1<0都成立，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，只需滿足SKIPIF1<0即可，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，故k＜2，則k的取值范圍為SKIPIF1<0．C綜合素養(yǎng)1．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C解：第1代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為SKIPIF1<0，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為SKIPIF1<0，…，以此類推，第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以n的最小值為9．故選：C．2．(多選）（2022·安徽·六安一中高二期中）在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為SKIPIF1<0，如：SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和記為SKIPIF1<0，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和記為SKIPIF1<0，則下列說法正確的有（

）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD從第一行開始，每一行的數(shù)依次對應(yīng)SKIPIF1<0的二項(xiàng)式系數(shù)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正確；依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的項(xiàng)數(shù)分別為0，1，2，3……構(gòu)成一個等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)之和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大整數(shù)為10，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，在SKIPIF1<0中去掉，SKIPIF1<0取的就是第12行的第2項(xiàng)，SKIPIF1<0，故C錯誤；SKIPIF1<0，這11行中共去掉了22個1，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD.3．（2022·四川遂寧·三模（文））德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時，對SKIPIF1<0的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使不等式SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是___