高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 立體幾何步驟規(guī)范練 北師大版

步驟規(guī)范練——立體幾何(建議用時：90分鐘)一、選擇題1．(·榆林模擬)一個幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則這個幾何體的俯視圖不可能是 ()．解析∵該幾何體的主視圖和左視圖都是正方形，∴其可能為正方體或底面直徑與高相等的圓柱或底面是等腰直角三角形且其腰長等于高的直三棱柱，但不可能是一個底面矩形長與寬不相等的長方體．∴選D.答案D2.(·豫西五校聯(lián)考)如圖是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A，B，C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，∠ABC的值為 ()．A．30° B．45°C．60° D．90°解析還原正方體，如圖所示，連接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，則∠ABC＝60°.答案C3．(·浙江五校聯(lián)盟聯(lián)考)關(guān)于直線l，m及平面α，β，下列命題中正確的是 ()．A．若l∥α，α∩β＝m，則l∥mB．若l∥α，m∥α，則l∥mC．若l⊥α，l∥β，則α⊥βD．若l∥α，m⊥l，則m⊥α答案C4．若直線m平面α，則條件甲：直線l∥α是條件乙：l∥m的 ()．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析若l∥α，mα，不一定有l(wèi)∥m；若l∥m，mα，則lα或l∥α，因而甲?/乙，乙?/甲．答案D5．(·宜春模擬)一個棱長為2的正方體沿其棱的中點截去部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ()．A．7 B.eq\f(22,3)C．eq\f(47,6) D.eq\f(23,3)解析依題意可知該幾何體的直觀圖如圖所示，其體積為23－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(23,3).答案D6．(·溫州二模)下列命題正確的是 ()．A．若平面α不平行于平面β，則β內(nèi)不存在直線平行于平面αB．若平面α不垂直于平面β，則β內(nèi)不存在直線垂直于平面αC．若直線l不平行于平面α，則α內(nèi)不存在直線平行于直線lD．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)不存在直線垂直于直線l答案B7．(·濰坊模擬)設(shè)m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是 ()．A．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥nC．m⊥α，nβ，m⊥n，則α⊥βD．mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β解析A中的直線m，n也有可能異面，所以不正確．B正確．C中α，β不一定垂直，錯誤．D中當(dāng)m，n相交時，結(jié)論成立，當(dāng)m，n不相交時，結(jié)論不成立．所以選B.答案B8．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側(cè)面積(單位：cm2)為()．A．48 B．64C．80 D．120解析據(jù)三視圖知，該幾何體是一個正四棱錐(底面邊長為8cm)，直觀圖如圖，PE為側(cè)面△PAB的邊AB上的高，且PE＝5cm.∴此幾何體的側(cè)面積是S＝4S△PAB＝4×eq\f(1,2)×8×5＝80(cm2)．答案C9.(·合肥一模)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點，則下列結(jié)論不成立的是 ()．A．EF與BB1垂直B．EF與BD垂直C．EF與CD異面D．EF與A1C1解析連接B1C，AC，則B1C交BC1于F，且F為B1C的中點，又E為AB1的中點，所以EF綊eq\f(1,2)AC，而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC，所以B1B⊥EF，A正確；又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B正確；顯然EF與CD異面，C正確；由EF綊eq\f(1,2)AC，AC∥A1C1，得EF∥A1C1答案D10．(·廣州二模)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積是 ()．A．12π B．24πC．32π D．48π解析該幾何體的直觀圖如圖所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，其中底面ABCD是邊長為4的正方形，高為CC1＝4，該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的直徑為AC1＝4eq\r(3)＝2R，所以球的半徑為R＝2eq\r(3)，所以球的表面積是4πR2＝4π×(2eq\r(3))2＝48π.答案D二、填空題11．(·蘇錫常鎮(zhèn)四市二調(diào))設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列命題：①若α∥β，mβ，nα，則m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，則m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，則m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n.上面命題中，所有真命題的序號為________．解析①只要畫出兩個平行平面，可以發(fā)現(xiàn)分別在兩個平面內(nèi)的直線是可以異面的，即m與n可以異面，不一定平行；③滿足條件的兩條直線m和n也可以相交或異面，不一定平行．答案②④12．(·漢中模擬)某機器零件的俯視圖是直徑為24mm的圓(包括圓心)，主視圖和左視圖完全相同，如圖所示，則該機器零件的體積是________mm3(結(jié)果保留π)．解析依題意，該機器零件可視為是從一個圓柱中挖去一個圓錐，因此該機器零件的體積為π×122×24－eq\f(1,3)×π×122×12＝2880π(mm3)．答案2880π13．(·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________．解析如圖，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因為AH∶HB＝1∶2，所以O(shè)H＝eq\f(1,3)R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由題意得πr2＝π，則r＝1，故R2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)R))2，即R2＝eq\f(9,8).由球的表面積公式，得S＝4πR2＝eq\f(9π,2).答案eq\f(9,2)π14.正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點，設(shè)三棱錐D－GAC的體積為V1，三棱錐P－GAC體積為V2，則V1∶V2＝________.解析設(shè)棱錐的高為h，V1＝VD－GAC＝VG－ADC＝eq\f(1,3)S△ADC·eq\f(1,2)h，V2＝VP－GAC＝eq\f(1,2)VP－ABC＝VG－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(h,2).又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故V1∶V2＝2∶1.答案2∶1三、解答題15．(·濟南一模)在如圖的多面體中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝eq\f(1,2)BC，G是BC的中點．(1)求證：AB∥平面DEG；(2)求證：EG⊥平面BDF.證明(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.又∵BC＝2AD，G是BC的中點，∴AD綊BG，∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG.∵AB?平面DEG，DG平面DEG，∴AB∥平面DEG.(2)連接GF，四邊形ADFE是矩形，∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，∴DF⊥平面BCFE，EG平面BCFE，∴DF⊥EG.∵EF綊BG，EF＝BE，∴四邊形BGFE為菱形，∴BF⊥EG，又BF∩DF＝F，BF平面BFD，DF平面BFD，∴EG⊥平面BDF.16.(·成都一模)如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，△ABF是等邊三角形，棱EF∥BC，且EF＝eq\f(1,2)BC.(1)求證：EO∥面ABF；(2)若EF＝EO，證明：平面EFO⊥平面ABE.證明(1)取AB的中點M，連接FM，OM.∵O為矩形ABCD的對角線的交點，∴OM∥BC，且OM＝eq\f(1,2)BC，又EF∥BC，且EF＝eq\f(1,2)BC，∴OM＝EF，且OM∥EF，∴四邊形EFMO為平行四邊形，∴EO∥FM，又∵FM平面ABF，EO?平面ABF，∴EO∥平面ABF.(2)由(1)知四邊形EFMO為平行四邊形，又∵EF＝EO，∴四邊形EFMO為菱形，連接EM，則有FO⊥EM，又∵△ABF是等邊三角形，且M為AB中點，∴FM⊥AB，易知MO⊥AB，且MO∩MF＝M，∴AB⊥面EFMO，∴AB⊥FO.∵AB∩EM＝M，∴FO⊥平面ABE.又∵FO平面EFO，∴平面EFO⊥平面ABE.17．(·安徽卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)證明：PC⊥BD；(2)若E為PA的中點，求三棱錐P－BCE的體積．(1)證明連接AC，交BD于O點，連接PO.因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC.因此BD⊥PC.(2)解因為E是PA的中點，所以VP－BCE＝VC－PEB＝eq\f(1,2)VC－PAB＝eq\f(1,2)VB－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因為∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝eq\r(3)，AC＝2eq\r(3)，BO＝1.又PA＝eq\r(6)，PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.故S△APC＝eq\f(1,2)PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝eq\f(1,2)VB－APC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)·BO·S△APC＝eq\f(1,2).18．(·廣東卷)如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)證明：DE∥平面BCF；(2)證明：CF⊥平面ABF；(3)當(dāng)AD＝eq\f(2,3)時，求三棱錐F－DEG的體積VF-DEG.(1)證明在等邊△ABC中，AD＝AE，在折疊后的圖形中，仍有AD＝AE，AB＝AC，因此eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，從而DE∥BC.因為DE?平面BCF，BC平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)證明在折疊前的圖形中，因為△ABC為等邊三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，則在折疊后的圖形中，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝eq\f(1,2)，BC＝eq\f(\r(2),2).，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.又BF∩AF＝F，BF平面ABF，AF平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)解由(1)知，平面DEG∥平面BCF，由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.在折疊前的圖形中，AB＝1，BF＝CF＝eq\f(1,2)，AF＝eq\f(\r(3),2).由AD＝eq\f(2,3)知eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，又DG∥BF，所以eq\f(DG,BF)＝eq\f(AG,AF)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，所以D